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Mehrfacher logarithmiseher Rechenstab mit Keunliuieuablesuug.
Es gibt eine Reihe von logarithmischen Rechenbehelfen, bei denen mehrere Skalen verwendet werden ; desgleichen solche, deren Skalen Winkel miteinander einschliessen. Endlich sind auch Rechenbehelfe bekannt, bei denen Kurven für die Ablesung eine Rolle spielen. Die vorliegende Erfindung betrifft aber einen Rechenstab, der diese an sich bekannten Konstruktionselemente in neuartiger Weise kombiniert und es ermöglicht, im Rahmen der Rechenoperation eine Addition bzw. Subtraktion durchzufuhren, was sonst bei logarithmischen Rechenstäben nicht üblich ist. In der Zeichnung 1 und 3 ist der Reehenbehelf schematisch abgebildet, u. zw. stellt Fig. 1 den Behelf in Nulleinstellung dar, während Fig. 3 den Behelf nach Einstellung auf ein Rechenbeispiel wiedergibt.
Die Fig. 2a bis 2d geben eine Übersicht über die prinzipiell mögliehen Formatlagen bei Flächenteilungen wieder, auf die in der Besehreibung hingewiesen wird.
Der neue Rechenstab dient in seiner ursprünglichen Ausführung der Division von Flächen, d. h. der Auf teilung von Flächen in kleinere Flächen, und besteht aus einem quadratischen Grundbrett (Fig. 1,
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zueinander verschiebbar sind.
Am linken und am unteren Rande des quadratischen Grundbrettes ist je eine logarithmische Skala von 10 bis 100 angebracht (Fig. 1, i', i). Die beiden Schieberflächen/t', tragen die Zehnerlinien dieser Teilung als über die ganze Fläche laufende Linien, welche als Multiplikatorlinien bezeichnet werden sollen. Sie laufen bei der von unten nach oben verschiebbaren Fläche h von links nach rechts, bei der von links nach rechts verschiebbaren t'von oben nach unten und bilden ein System von Kreuzungspunkten über dem Grundbrett d, e, f, g.
Das Grundbrett selbst, das man sich als Fläche eines logarithmischen Koordinatensystems zu denken hat, trägt Ablesekurven, u. zw. für die Flächenteilungsoperationen Kurven, welche der geometrische Ort von Punkten des logarithmischen Koordinatensystems sind, bei denen die Summe von Abszisse und Ordinate einen bestimmten bei allen Punkten gleichen Wert ergibt. Bei Instrumenten, welche für die Teilung von Papier bestimmt sind, entsprechen diese Summen den Seitenlängen der zu teilenden Papierbogen, deren es im Handel eine beschränkte Anzahl gibt. Diese Kurven werden als Formatkurven bezeichnet. Eine solche Kurve (es ist die Kurve 84 cm) ist in Fig. 1 und Fig. 3 unter K eingetragen.
Die Wirkungsweise des Instrumentes ist am besten aus einem Berechnungsbeispiel zu ersehen, das der Praxis der Papierverarbeitungsindustrie entnommen ist. Diese Industrie steht immer wieder vor der Aufgabe, ein bestimmtes Drucksortenformat aus den standardisierten Papierbogen zu schneiden, und es ist zu ermitteln, welcher Bogen der geeignetste ist bzw. welche Lagerung der Einzelformate auf diesem Bogen die beste Ausnutzung, d. h. den geringsten Abfall, ergibt.
Die Anzahl der aus dem Bogen erzielbaren Einzelformate, d. i. der Nutzen, ist nun nicht einfach durch Teilung der Papierbogenseiten durch die Einzelformatseiten zu ermitteln, oft ergibt eine komplizierte Lagerung der Einzelformate eine bessere Ausnutzung.
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folgenden : a) Man bringt die Formate so unter, dass auf der grösseren Bogenseite A die grössere Einzelformatseite a und auf der kleineren Bogenseite B die kleinere Einzelformatseite b untergebracht ist (senkrechte
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b) Man bringt die Formate so unter, dass auf der grösseren Bogenseite A die kleinere Einzelformatseite b und auf der kleineren Bogenseite B die grössere Einzelformatseite a untergebracht ist (waagrechte Gleichlage) oder mathematisch ausgedrückt : A = Mi. b ;
B = m. a (Fig. 2 b). c) Man kombiniert auf der grösseren Bogenseite A die grössere und die kleinere Formatseite a und b so, dass ein möglichst Ideinet Rest entsteht : A = x. a + y. b (Fig. 2 c). d,) Man kombiniert auf der kleineren Bogenseite B die beiden Einzelformatseiten a und b, so dass ein möglichst kleiner Rest entsteht : B = x,. a + y,. b (Fig. 2 cl).
Diese beiden letzteren Lagerungen waren bisher nur durch Probieren zu finden. Das Problem stellt in beiden Fällen eine sogenannte diaphantische Gleichung dar, denn es bestehen mehrere Lösungen, d. h. einem bestimmten Wert von x entspricht ein zugehöriger Wert von 11, und nur die Reste sind verschieden gross.
Ausserdem ist mit dem Auffinden des kleinsten Restes bei Kombinierung von n und b auf einer der beiden Bogenseiten die Aufgabe noch nicht gelöst, denn es muss dem kleinsten Rest nicht der grösste Nutzen entsprechen. Die Ausnutzung ist vielmehr ausser von diesem Rest auch abhängig von den Werten m und n bzw. m1 und n, d. h. von der Anzahl der Einzelformate a und b, die in der zweiten Bogenseite unterzubringen sind, und von den dort sich ergebenden Resten. Um dies zu verstehen, muss man (Fig. 2 c) betrachten.
Die Anzahl der im Bogen unterzubringenden Formate setzt sich offensichtlich aus zwei Produkten zusammen, nämlich aus der Anzahl der senkrecht stehenden Einzelformate = $. t. plus der Anzahl der waagrecht liegenden Einzelformate = y. m.
Die Erfindung gestattet es, diese Zahlen abzulesen und den Nutzen für jede mögliche Kombination der Einzelformatseite auf jeder der beiden Bogenseiten zu ermitteln. Der Vorgang ist der folgende :
Stellt man (Fig. 3) die waagrecht verschiebbare Fläche h mit der Multiplikatorlinie j ! auf der waagrechten Skala i'auf die Einzelformatseite a (z. B. 16 cm) ein, so geben die Multiplikatorlinien 2, 3, 4 usw.
Abszissen von der Grösse des 2-, 3-, 4-... fachen von a an. Die zu diesen Punkten gehörigen Ordinaten bis zum Schnittpunkt mit der Formatkurve der zu untersuchenden Bogenseite stellen nach dem oben Gesagten die bis zum Rande des Bogens nach Abzug der Abszisse übrigbleibenden Reste dar, denn die
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des Grundbrettes nötig. Da es aber nicht erforderlich ist, sie abzulesen, wurde diese Linierung fort- gelassen.)
Stellt man hierauf die senkrecht verschiebbare Fläche Fig. 3 (h) auf die andere Einzelformatseite b ein (z.
B. auf 12 cm), so schneiden die waagrechten Multiplikatorlinien 1, 2,3, 4 usw. Stücke von den obepgenannten Ordinaten-die in den dem 1-, 2-, 3-, 4faehen der Einzelformatseite a entsprechenden Abszissenpunkten errichtet sind, also von den senkrechten Multiplikatorlinien-ab, welche dem 1-, 2-, 3-, 4fachen der zweiten Einzelformatseite entsprechen. Mit andern Worten, es werden die bis zum Bogenrande übrigbleibenden Strecken 68, 52, 36, 20 durch 12 geteilt und festgestellt, wie viele Einzelformatseiten b in diesen Resten noch unterzubringen sind.
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drei Einzelformatseiten b = 12 cm unterzubringen sind, während der Rest 84-5 x 16 die Unterbringung einer Seite b nicht mehr gestattet.
Den geringsten Rest ergibt die Kombination 3 x 16 + 3 x 12, näm- lich gar keinen : der Kreuzungspunkt von Abszisse und Ordinate liegt auf der Kurve 84.
Die Kreuzungspunkte der Multiplikatorlinien stellen also Kombinationen von x. a + y. b dar.
Je näher zur Formatkurve ein Kreuzungspunkt liegt, um so geringer ist der sich ergebende Rest, liegt er auf der Kurve, so gibt es keinen Rest, liegt er oberhalb der Kurve, dann findet die Kombination in der Bogenseite nicht Platz.
Nach dem Vorhergesagten ist es zur Ermittlung des Nutzens, den eine Kombination ergibt, nötig, die Quotienten zu kennen, welche die Division der zweiten Bogenseite, im Beispiele der Seite 68 des Bogens 84 x 68, durch die beiden Einzelformatseiten a und b ergibt, also die Werte 68 : 16 und 68 : 12.
Diese Werte werden an der waagrechten und senkrechten Randskala direkt abgelesen, auf welchen der besseren Übersichtlichkeit wegen die Seiten der Standardbogen, also z. B. 42,50, 63,68, 70,76, 84, 95, 100, 112 cm usf., in auf fälliger Weise markiert sind. Die letzte links vor der Marke 68 verlaufende senkrechte Multiplikatorlinie gibt an, wie oft a (16 cm), das ja auf der waagrechten Skala eingestellt wurde, in 68 enthalten ist. Es ist die Linie 4. Und die oberste unter der Marke 68 an der senkrechten Skala verlaufende waagrechte Multiplikatorlinie gibt an, wie oft b (= 12 cm) in 68 enthalten ist. Es ist die Linie 5.
Die Reste werden nicht beachtet.
Die Zahl der durch den Kreuzungspunkt gehenden senkrechten Multiplikatorlinie (= 3) entspricht x, die der waagrechten (= 3) entspricht y, die Zahl der senkrechten Linie links vor der Marke 68 = 68a oder m (= 4), die waagrechte Linie unter 68 = 68b oder n (= 5).
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drei Langseiten von 16 cm und drei Kurzseiten von 12 cm Länge kombiniert werden, ergibt demnach einen Nutzen von 27 Einzelformaten.
Um den grössten Nutzen zu finden, müssen auch die Kombinationen auf der kurzen Bogenseite 68 geprüft werden sowie die Ergebnisse bei waagrechter und senkrechter Gleiehlage.
Da diese Operationen viel rascher durchgeführt als beschrieben sind, erfordert die Überprüfung eines Bogens wenige Augenblicke, und da das Instrument Kurven und Marken für sämtliche standardsierte Bogenseiten aufweist, sind nach einmaliger Einstellung auf die beiden Einzelformatseiten sämtliche Kombinationen dieser Seiten auf sämtliche Bogenseiten auf einen Blick ersichtlich, und in wenigen Minuten
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PATENT-ANSPRÜCHE :
1. Logarithmischer Reelhenbehelf mit zwei Skalen und einem Rechenfeld, dadureh gekennzeichnet, dass die an den beiden Skalen verschiebbaren, in an sich bereits bekannter Weise aus durchsichtigem Material gefertigten Sehieberflächen im rechten Winkel zueinander über ein quadratisches Grundbrett gleiten, auf welchem Kurven eingetragen sind, die Punkte gleicher Summe-oder Differenz-von Abszisse und Ordinate im logarithmischen Koordinatensystem des Grundbrettes verbinden, während die Schieberflächen die logarithmische Teilung in Form von über die ganze Fläche laufenden Linien tragen.