WO2020049911A1 - ウェーハ形状データ化方法 - Google Patents

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大西　理
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信越半導体株式会社
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Definitions

  • the present disclosure relates to a method of converting the shape of a wafer into data using a function.
  • the flatness information of the wafer is SFQR (Site Frontside ref. @ LeastsQuare @ Range), SBIR (SiteBackside * ref.
  • a flatness parameter such as Range is attached to each wafer.
  • these parameters are used as a certain standard for classifying the flatness of a wafer, they can be said to be substitute parameters that cannot image the shape of the wafer. Therefore, in the stepper process, it is necessary to preliminarily measure the wafer shape on the stage with the prestage before baking the device pattern on the wafer.
  • Patent Literature 1 describes a method for measuring a cross-sectional shape of a work such as a silicon wafer. Specifically, in the cited document 1, the thickness of a workpiece to be polished by a rotatable platen is measured by a thickness measuring unit, and the thickness measured by the thickness measuring unit is determined by the thickness measuring unit. Obtains a plurality of in-plane positions of the work whose thickness has been measured, and calculates the thickness at each in-plane position by a predetermined diameter of the work corresponding to a radial distance from the center of the work to each in-plane position.
  • Patent Document 2 discloses a mask blank substrate used for manufacturing a mask blank in which a thin film for forming a transfer pattern is provided on one main surface of a light-transmitting substrate. Shape fitting is performed on a virtual reference plane represented by a Zernike polynomial in which the order of the variable is only the second or lower order, and the maximum height of difference data between the main surface and the virtual reference plane in the calculation area is calculated. For a mask blank having a surface shape in which the difference between the height and the minimum height is equal to or less than a predetermined value.
  • the method of Patent Document 1 is a method of obtaining a cross-sectional shape in a predetermined radial direction (for example, the X-axis direction and the Y-axis direction), and thus is not suitable for obtaining the shape of the entire surface of the wafer. Further, in the method of the cited document 1, the thickness at each in-plane position is converted into the thickness at a predetermined radial position in order to obtain a predetermined radial cross-sectional shape. An error occurs with the cross-sectional shape of. In other words, the method of Patent Document 1 cannot obtain a highly accurate wafer shape.
  • Patent Document 2 is a technique relating to a mask blank substrate composed of a light-transmitting substrate, and is a technique relating to the shape expression of a wafer which is a thin disk-shaped plate made of a semiconductor material such as silicon. And different.
  • Patent Document 3 can obtain the shape of the contour line of the image of the light irradiation portion reflected on the surface to be inspected, but is not suitable for obtaining the shape of the entire surface of the wafer.
  • the present disclosure has been made in view of the above circumstances, and can reduce the volume of wafer shape data, and can obtain highly accurate shape data, and provide a method suitable for obtaining the shape of the entire surface of the wafer.
  • the purpose is to provide.
  • one aspect of the present disclosure is a method of converting the shape of a wafer into a function by using a function, and the method includes: The thickness profile at the position is measured, the wafer thickness is converted into a function with respect to the position in the radial direction for each angle by a polynomial approximation of order 6 or higher, and the thickness profile output from the measuring machine and the thickness profile output by the function After confirming that the error is within a predetermined error over the entire surface of the wafer, the function for each angle is used as data representing the wafer shape.
  • a function of the wafer thickness with respect to the position in the radial direction is performed for each angle in the circumferential direction, and the obtained function is used as data representing the wafer shape.
  • the capacity can be reduced as compared with the data of the thickness shape.
  • the order of the polynomial in the function is 6 or more, an error from the actual thickness shape output from the measuring device can be reduced, and highly accurate shape data can be obtained.
  • the thickness shape output from the measuring device is compared with the thickness shape output by the function, and it is confirmed that the error is within a predetermined error over the entire surface of the wafer, so that more accurate shape data is obtained. be able to.
  • shape data of the entire surface of the wafer can be obtained.
  • the angle can be set to 10 degrees or less, and preferably 1 degree or less. According to this, the thickness shape of the entire surface of the wafer can be expressed with high accuracy.
  • the thickness profile for each angle output from the measuring device is averaged, and the averaged thickness profile is calculated based on a correlation coefficient when approximated by a polynomial polynomial.
  • the order of the polynomial at that time may be determined.
  • the order of the polynomial when the function is formed in consideration of the correlation coefficient is determined, so that highly accurate shape data can be easily obtained.
  • the thickness shape output from the measuring device is compared with the thickness shape output by the function, it is easy to keep the entire surface of the wafer within a predetermined error.
  • the order of the polynomial is determined using data obtained by averaging the thickness shape at each angle obtained by the measurement, the order necessary for expressing the wafer shape can be easily obtained.
  • the functionalization may be performed using a polynomial of an order whose correlation coefficient is 0.95 or more. Thereby, highly accurate shape data can be obtained.
  • FIG. 5 is a flowchart illustrating a procedure for converting the shape of a wafer into data using a function.
  • FIG. 4 is a diagram showing thickness data at a certain angle indicated by a point in a polar coordinate system having a wafer center as an origin.
  • FIG. 5 is a diagram illustrating a relationship between a polynomial order and a correlation coefficient when a polynomial polynomial is applied to a thickness shape of a wafer in the first embodiment.
  • FIG. 13 is a diagram illustrating a thickness map output from a measuring device on the first to fifth wafers of Example 2 in an upper part, and a thickness map output from a function in a lower part.
  • FIG. 4 is a diagram showing thickness data at a certain angle indicated by a point in a polar coordinate system having a wafer center as an origin.
  • FIG. 5 is a diagram illustrating a relationship between a polynomial order and a correlation coefficient when a polynomial polynomi
  • FIG. 13 is a diagram illustrating a thickness map output from the measuring device on the sixth to tenth wafers of Example 2 in an upper part, and a thickness map output from a function in a lower part.
  • FIG. 14 is a diagram illustrating a thickness map output from the measuring device on the 11th to 15th wafers of Example 2 in an upper part, and a thickness map output from a function in a lower part.
  • a silicon wafer (hereinafter simply referred to as a wafer) whose thickness shape is to be represented by a function is prepared (S1).
  • the thickness profile of the prepared wafer is measured by a measuring device such as a flatness measuring device “WaferSight2” manufactured by KLA-Tencor (S2).
  • the scanning range of the thickness measurement by the measuring device is the entire surface of the wafer.
  • the scanning for measuring the thickness of the wafer may be performed in any manner. The scanning may be performed along the radial direction of the wafer for each position (angle) ⁇ in the circumferential direction of the wafer, or the position in the radial direction of the wafer may be used.
  • Scanning may be performed along the circumferential direction of the wafer for each r, or may be performed along a direction parallel to the X coordinate axis or a direction parallel to the Y coordinate axis in the XY coordinate system (orthogonal coordinate system).
  • the measuring machine records the coordinates of each thickness measurement point on the wafer in association with the measured thickness value.
  • the coordinates may be coordinates in a coordinate system (for example, an XY coordinate system) different from the polar coordinates with the wafer center as the origin, or may be polar coordinates with the wafer center as the origin. Further, the principle of the thickness measurement in the measuring instrument may be any.
  • the step width (resolution) of the thickness measurement by the measuring device is, for example, a step width of 10 degrees or less in the circumferential direction of the wafer, and 1/10 of the diameter of the wafer in the radial direction of the wafer (for example, when the diameter is 300 mm).
  • text data for example, a csv file
  • the measurement result thickness measurement value of each point and coordinates of each point
  • wafer shape data S3
  • the coordinate system of the measuring instrument is different from the polar coordinates with the wafer center as the origin
  • the coordinates of the measurement point are converted into polar coordinates (r-theta coordinates) with the wafer center as the origin by the coordinate conversion software.
  • the wafer shape data is output.
  • every 360 degrees of the circumference from the center of the wafer are divided into equal numbers at equal intervals (hereinafter, referred to as divided angles ⁇ 1).
  • the function of the wafer thickness z with respect to the radial position r is performed by a polynomial approximation of degree 6 or higher (S4).
  • the division angle ⁇ 1 can be, for example, 10 degrees or less (for example, 1 degree), and preferably 1 degree or less.
  • the division angle ⁇ 1 may be the same as the step width in the ⁇ direction in the measured shape data, or if the step width is a very small value (for example, a step width of 0.1 degrees or less), The angle may be larger than the step width from the viewpoint of reducing the capacity or reducing the burden of functioning.
  • r indicates the distance from the center of the wafer (that is, the position in the radial direction).
  • n is the order of the polynomial (the highest order among the orders related to the radius r of each term constituting the polynomial), and is an integer of 6 or more.
  • a, b, c, and const are coefficients. The coefficients in the polynomial may be determined by, for example, the least squares method.
  • the polynomial is a one-dimensional polynomial (one-variable polynomial) in which the only variable related to the dimension of the space is the radius r.
  • the Zernike polynomial used in Patent Document 2 is a two-dimensional polynomial (two-variable polynomial) in which variables relating to dimensions are two variables of a radius r and an angle ⁇ .
  • the degree of a polynomial in which the correlation coefficient R is a value (for example, 0.90 or more) that can ensure the required accuracy in expressing the wafer shape is obtained.
  • a function is formed using the polynomial of the degree obtained in this way. The inventor has found that the correlation coefficient R is 0.95 or more when the degree of the polynomial is 6 or more (see Example 1 described later).
  • the measured shape data used for determining the order of the polynomial may be data obtained from a wafer (wafer to be shipped) itself whose shape is to be converted into a function in the step S4, or may be another wafer (for example, The data may be data obtained from a sample wafer that is not to be shipped.
  • the order of the polynomial may be determined from measured shape data of a plurality of wafers. In this case, the correlation coefficient R is confirmed for each measured shape data by the above procedure, and the order in which all the correlation coefficients R are equal to or more than a predetermined value (for example, 0.90 or more) is converted into a function in the step S4. The order is determined as the order of the polynomial.
  • coefficients of each term of the polynomial are output as information of a function (polynomial) for each division angle ⁇ 1.
  • the thickness shape (measured shape data) output from the measuring device is compared with the function shape data, which is the thickness shape output by the function obtained in the step S4, and within a predetermined error over the entire surface of the wafer. It is confirmed that there is (S5).
  • the thickness shape z (r) for each division angle ⁇ 1 obtained from the function obtained in the step S4 is compiled (integrated) and output as a thickness map of one wafer.
  • the step width of the thickness output in the radial direction is the same as the step width in the radial direction of the measured shape data.
  • This step width can be, for example, a step width of 1/10 or less of the diameter of the wafer (for example, 30 mm when the diameter is 300 mm) or a step width of 10 mm or less regardless of the wafer diameter.
  • a difference map is obtained by calculating a difference between the thickness map obtained from the function shape data and the thickness map obtained from the measured shape data. It is confirmed that there is no portion exceeding a predetermined error in this difference map.
  • the function information (coefficient data of each term of the polynomial) obtained in step S4 is attached to the wafer as data representing the wafer shape and supplied to the user. (S6).
  • the number N of polynomials per wafer is 360 degrees / division angle ⁇ 1, and the number of coefficients per polynomial is (n + 1), where n is the degree of the polynomial. Therefore, the function information includes N ⁇ (n + 1) coefficient data per wafer.
  • the function shape data has low accuracy and is not adopted as the shape data attached to the wafer.
  • the degree of the polynomial is increased, and the functioning is performed again in the step S4, and it is confirmed whether or not the entire surface of the wafer is within a predetermined error in the step S5.
  • the function information is attached to the wafer and supplied to the user (S6).
  • z ar n + br n ⁇ 1 + cr n ⁇ 2 +... + Const) for each division angle ⁇ 1 is applied to each coefficient of the polynomial attached as function information and the radius r to obtain the division angle.
  • a thickness shape for each ⁇ 1 can be obtained. By integrating these thickness shapes for each division angle ⁇ 1 into one, it is possible to obtain a thickness shape (thickness map) of the entire surface of the wafer.
  • the measured shape data of the wafer can be represented in association with the r-theta coordinates. Therefore, the shape of the wafer at a certain angle can be one-dimensionally extracted, and the thickness z can be one-dimensionally represented by the radius r.
  • the shape of the entire wafer surface can be expressed with a function.
  • the wafer shape obtained from the function for each angle is a three-dimensional shape including the in-plane position (r, ⁇ ) and the thickness z of the wafer.
  • the division angle ⁇ 1 is set to 1 degree
  • information on the entire surface of the wafer can be represented by 360 ⁇ (n + 1) coefficient data, resulting in significant data compression.
  • Example 1 The relationship between polynomial order and correlation coefficient was investigated. Specifically, three silicon wafers having a diameter of 300 mm (hereinafter, referred to as wafers) were prepared, and the thickness and shape of each wafer were measured with a flatness measuring device “WaferSight2” manufactured by KLA-Tencor. Note that WaferSight2 is based on the principle that light is incident on a wafer, and the amount of displacement on the wafer surface is measured from the number and width of interference fringes generated by optical interference between the reflected light from the wafer and the reflected light from the reference plane. Measuring machine.
  • the measurement result file (wnt file) output from WaferSight2 is converted to a thickness measurement value with respect to polar coordinates with the center of the wafer as the origin, using offline analysis software “OASys” manufactured by KLA-Tencor, and the measurement after conversion.
  • the shape data was output as a csv file.
  • the step width in the ⁇ direction (division angle ⁇ 1) was 1 degree
  • the step width in the r direction was 0.2 mm.
  • the obtained measured shape data was averaged in the circumferential direction for each distance r from the wafer center. This averaging was performed on the measured shape data of each wafer.
  • the degree of the polynomial at the time of functionalization be 6 or higher, more preferably 8th or higher with a correlation coefficient R of 0.99 or higher, and more preferably the correlation coefficient R is approximately 1. It turned out that 10 or more orders were good.
  • Example 2 Fifteen silicon wafers having a diameter of 300 mm (hereinafter referred to as wafers) were prepared, each wafer was converted into a function according to the procedure shown in FIG. 1, a thickness map obtained from the obtained function, and a thickness map output from the measuring instrument. It was compared with the thickness map. Specifically, the thickness profile of each wafer was measured with a flatness measuring device “WaferSight2” manufactured by KLA-Tencor.
  • the measurement result file (wnt file) output from WaferSight2 is converted to a thickness measurement value with respect to polar coordinates with the center of the wafer as the origin, using offline analysis software “OASys” manufactured by KLA-Tencor, and the measurement after conversion.
  • the shape data was output as a csv file.
  • the step width in the ⁇ direction (division angle ⁇ 1) was 1 degree
  • the step width in the r direction was 0.2 mm.
  • Table 1 shows the coefficients of the polynomial obtained from one of the fifteen wafers.
  • the thicknesses z (r) were compiled (integrated) into one and output as a thickness map of one wafer. The output of this thickness map was performed for each of the 15 wafers.
  • FIGS. 4 to 6 show the thickness map (the map shown as “Raw”) output from the measuring device for each of the 15 wafers in the upper row, and the thickness map (shown as “Fitting”) output from the function. Map) is shown below.
  • the step size in the radial direction of the thickness data serving as the basis of each thickness map in FIGS. 4 to 6 was 0.2 mm.
  • the displacement of the reference plane is set to zero, and the displacement amount with respect to this reference plane is indicated by achromatic shades.
  • the thickness map output from the function is the same as the thickness map output from the measuring device, and the thickness shape of the wafer can be accurately expressed. It can be said that. In fact, when the upper thickness map and the lower thickness map were compared for each wafer, it was confirmed that the error was within ⁇ 5.5 nm (predetermined error) over the entire surface of each wafer.
  • the capacity of the shape data output from the measuring device was 2 to 20 Mb per wafer.
  • the capacity of function information was 63 kb per wafer, and the capacity could be significantly reduced by making the function.

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Abstract

ウェーハを準備し（Ｓ１）、準備したウェーハに対して、ウェーハ中心から円周３６０度を所定の数に分割した角度毎に半径方向の各位置の厚み形状を測定する（Ｓ２、Ｓ３）。測定機から得られる角度毎の厚み形状を６次以上の多項式で近似し、半径方向の位置に対するウェーハ厚さの関数化を行う（Ｓ４）。測定機から出力された厚み形状と前記関数によって出力された厚み形状との比較を行い、ウェーハ全面で所定の誤差以内であることを確認する（Ｓ５）。この確認後に、前記角度毎の関数の情報をウェーハ形状を表すデータとしてウェーハに添付してユーザーに供給する（Ｓ６）。これにより、ウェーハの形状データの容量を低減でき、かつ、高精度な形状データを得ることができ、かつ、ウェーハ全面の形状を得るのに適した方法を提供する。

Description

ウェーハ形状データ化方法
　本開示はウェーハの形状を関数によりデータ化する方法に関する。
　シリコンウェーハ等のウェーハをユーザーに出荷する際には、ウェーハのフラットネス情報としてＳＦＱＲ（Ｓｉｔｅ　Ｆｒｏｎｔｓｉｄｅ　ｒｅｆ．　ｌｅａｓｔ　ｓＱｕａｒｅ　Ｒａｎｇｅ）やＳＢＩＲ（Ｓｉｔｅ　Ｂａｃｋｓｉｄｅ　ｒｅｆ．　Ｉｄｅａｌ　Ｒａｎｇｅ）、ＥＳＦＱＲ（Ｅｄｇｅ　Ｓｉｔｅ　Ｆｒｏｎｔｓｉｄｅ　ｒｅｆ．　ｌｅａｓｔ　ｓＱｕａｒｅ　Ｒａｎｇｅ）といったフラットネスパラメーターが個々のウェーハに添付される。これらのパラメーターはウェーハのフラットネスを分類するには一定の基準として用を足しているが、ウェーハの形状をイメージすることが出来ない代用的なパラメーターと言える。そのため、ステッパー工程では、デバイスパターンをウェーハに焼く前にプレステージでステージ上でのウェーハ形状を予め計測する必要がある。
　ここで、ウェーハ形状の計測に関連して下記特許文献１～３がある。特許文献１には、シリコンウェーハなどのワークの断面形状を測定する方法が記載されている。具体的には、引用文献１には、回転可能な定盤によって研磨されていくワークの厚さを厚さ測定手段により測定し、該厚さ測定手段が測定する厚さと、該厚さ測定手段が厚さを測定したワークの面内位置とをそれぞれ複数取得していき、各面内位置における厚さを、ワークの中心から各面内位置までの径方向距離に対応するワークの所定の径方向の各位置における厚さに変換処理して、所定の径方向のワークの断面形状を求める方法が記載されている。また、ワークの断面形状を多項式近似曲線により求めることも記載されている。
　引用文献２には、透光性基板の一方の主表面に転写パターン形成用の薄膜が設けられたマスクブランクの製造に用いられるマスクブランク用基板であって、主表面における算出領域で、半径に係る変数の次数が２次以下の項のみで構成されたゼルニケ多項式で表現した仮想基準面に対して形状フィッティングを行い、主表面と仮想基準面との差分データの前記算出領域内での最高高さと最低高さとの差が所定値以下となる表面形状を有したマスクブランク用基板が記載されている。
　引用文献３には、基板の被検査面上に光を照射し、その被検査面上に映る光照射部の画像を取得し、この画像の輪郭線を多項式で近似し、この輪郭線よりも外側に形成された散乱像を検出することで、被検査面の検査を行う方法が記載されている。
特開２０１７－２０４６０９号公報 国際公開第２０１４／２０３９６１号 特開２０１６－２０８２４号公報
　プレステージでの計測を省くには、個々のウェーハにウェーハ計測時の全形状データを添付すれば良いが、フラットネス測定機の高分解能化に伴い、１枚のウェーハ形状データ容量は増大し、全形状データを個々のウェーハに添付することは現実的ではない。
　また、引用文献１の方法では、所定の径方向（例えばＸ軸方向、Ｙ軸方向）の断面形状を得る方法であるので、ウェーハ全面の形状を得るには適さない。また、引用文献１の方法では、所定の径方向の断面形状を得るために、各面内位置における厚さを所定の径方向の位置における厚さに変換処理するので、所定の径方向における実際の断面形状との誤差が生じる。つまり、引用文献１の方法では高精度なウェーハ形状を得ることができない。
　また、引用文献２の技術は、透光性基板から構成されたマスクブランク用基板に関する技術であり、シリコン等の半導体材料を薄く円盤状に加工してできた板であるウェーハの形状表現に関する技術とは異なる。
　また、引用文献３の方法では、被検査面上に映る光照射部の画像の輪郭線の形状を得ることはできるが、ウェーハ全面の形状を得るには適さない。
　本開示は上記事情に鑑みなされたものであり、ウェーハの形状データの容量を低減でき、かつ、高精度な形状データを得ることができ、かつ、ウェーハ全面の形状を得るのに適した方法を提供することを目的とする。
　上記目的を達成するため、本開示の一態様は、ウェーハの形状を関数によりデータ化する方法であって、ウェーハの中心から円周３６０度を所定の数に分割した角度毎に半径方向の各位置の厚み形状を測定し、６次以上の多項式近似により前記角度毎に半径方向の位置に対するウェーハ厚さの関数化を行い、測定機から出力された厚み形状と前記関数によって出力された厚み形状との比較を行い、ウェーハ全面で所定の誤差以内であることを確認したのち、前記角度毎の関数をウェーハ形状を表すデータとする。
　本開示の一態様によれば、円周方向の角度毎に半径方向の位置に対するウェーハ厚さの関数化を行い、得られた関数をウェーハ形状を表すデータとするので、測定機から出力される厚み形状のデータに比べて容量を低減できる。また、前記関数における多項式の次数を６次以上とすることで、測定機から出力される実際の厚み形状との誤差を小さくでき、高精度な形状データを得ることができる。さらに、測定機から出力された厚み形状と前記関数によって出力された厚み形状との比較を行い、ウェーハ全面で所定の誤差以内であることを確認するので、より一層、高精度な形状データを得ることができる。また、本開示の一態様では、円周３６０度の分割数を多くすれば、ウェーハ全面の形状データを得ることができるので、ウェーハ全面の形状を得るのに適した方法であるといえる。
　また、本開示の一態様において前記角度が１０度以下とすることができ、好ましくは１度以下とすることができる。これによれば、ウェーハ全面の厚み形状を高精度に表現できる。
　本開示の一態様において、前記測定機から出力される前記角度毎の厚み形状を平均化して、この平均化した厚み形状を多次多項式で近似したときの相関係数に基づいて、前記関数化するときの多項式の次数を決定するとしてもよい。
　これによれば、相関係数を考慮して関数化するときの多項式の次数を決定するので、高精度な形状データを得やすくできる。また、測定機から出力された厚み形状と前記関数によって出力された厚み形状との比較を行ったときに、ウェーハ全面で所定の誤差以内にしやすくできる。また、多項式の次数の決定は、測定により得られた角度毎の厚み形状を平均化したデータを用いて行うので、ウェーハ形状を表現するに当たって必要な次数を簡単に得ることができる。
　また、本開示の一態様において前記相関係数が０．９５以上となる次数の多項式で前記関数化を行うとしてもよい。これによって、高精度な形状データを得ることができる。
ウェーハの形状を関数によりデータ化する手順を示したフローチャートである。 ウェーハ中心を原点とした極座標系において、ある角度における厚みデータを点で示した図である。 実施例１において、ウェーハの厚み形状に対して多次多項式を当てはめた際の多項式次数と相関係数との関係を示した図である。 実施例２の１～５枚目のウェーハにおける、測定機から出力された厚みマップを上段に示し、関数から出力された厚みマップを下段に示した図である。 実施例２の６～１０枚目のウェーハにおける、測定機から出力された厚みマップを上段に示し、関数から出力された厚みマップを下段に示した図である。 実施例２の１１～１５枚目のウェーハにおける、測定機から出力された厚みマップを上段に示し、関数から出力された厚みマップを下段に示した図である。
　以下、図１を参照して、本開示の実施形態を説明する。先ず、厚み形状を関数により表現する対象となるシリコンウェーハ（以下、単にウェーハという）を準備する（Ｓ１）。
　次に、準備したウェーハの厚み形状をＫＬＡ－Ｔｅｎｃｏｒ社製のフラットネス測定機「ＷａｆｅｒＳｉｇｈｔ２」等の測定機により測定する（Ｓ２）。この際、測定機による厚み測定の走査（スキャン）範囲はウェーハ全面とする。なお、ウェーハにおける厚み測定の走査はどのように行ってもよく、ウェーハの円周方向における位置（角度）θ毎にウェーハの半径方向に沿って走査してもよいし、ウェーハの半径方向における位置ｒ毎にウェーハの円周方向に沿って走査してもよいし、ＸＹ座標系（直交座標系）におけるＸ座標軸に平行な方向又はＹ座標軸に平行な方向に沿って走査してもよい。測定機はウェーハにおける各厚み測定点の座標を、厚み測定値に対応付けて記録している。この座標は、ウェーハ中心を原点とした極座標とは異なる座標系（例えばＸＹ座標系）における座標であってもよいし、ウェーハ中心を原点とした極座標であってもよい。また、測定機における厚み測定の原理はどのようなものであってもよい。
　測定機による厚み測定の刻み幅（分解能）は、ウェーハの円周方向においては例えば１０度以下の刻み幅、ウェーハの径方向においては例えばウェーハの直径の１０分の１（例えば直径が３００ｍｍの場合は３０ｍｍ）以下の刻み幅又はウェーハ直径に関わらず１０ｍｍ以下の刻み幅とすることができる。
　次に、測定機による測定結果（各点の厚み測定値及び各点の座標）のテキストデータ（例えばｃｓｖファイル）をウェーハの形状データとして出力する（Ｓ３）。この際、測定機の座標系がウェーハ中心を原点とした極座標と異なっている場合には、座標変換ソフトによって、測定点の座標を、ウェーハ中心を原点とした極座標（ｒ－ｔｈｅｔａ座標）に変換したうえで、ウェーハの形状データを出力する。
　次に、Ｓ３の工程で得た形状データ（以下、測定形状データという）に対して、ウェーハ中心から円周３６０度を等間隔に所定の数に分割した角度（以下、分割角度θ１という）毎に、６次以上の多項式近似により半径方向の位置ｒ（ウェーハ中心からの距離）に対するウェーハ厚さｚの関数化を行う（Ｓ４）。分割角度θ１は例えば１０度以下（例えば１度）とすることができ、好ましくは、１度以下とするのがよい。また、分割角度θ１は、測定形状データにおけるθ方向の刻み幅と同じであってもよいし、該刻み幅が非常に小さい値（例えば０．１度以下の刻み幅）の場合には、データ容量の削減の観点又は関数化の負担低減の観点で、該刻み幅よりも大きい角度としてもよい。
　より詳しくは、分割角度θ１毎に、厚みｚを、ｚ＝ａｒｎ＋ｂｒｎ－１＋ｃｒｎ－２＋・・・＋ｃｏｎｓｔの形式の多項式で表現する。この多項式において、ｒはウェーハ中心からの距離（つまり半径方向における位置）を示している。ｎは、多項式の次数（多項式を構成する各項の半径ｒに係る次数のうち最高次数）であって６以上の整数である。ａ、ｂ、ｃ、ｃｏｎｓｔは係数である。多項式における係数は例えば最小二乗法により決定すればよい。上記多項式は、空間の次元に係る変数が半径ｒのみである１次元多項式（１変数多項式）である。なお、上記特許文献２で使用しているゼルニケ多項式は、次元に係る変数が半径ｒと、角度θとの２変数である２次元多項式（２変数多項式）である。
　また、例えば、図２に示すように、θ＝αにおける近似多項式は、測定形状データのうちのθ＝αの座標を持つ厚みデータ１００に基づいて得るようにする。すなわち、上記特許文献１では、θ＝α以外の座標の厚みデータを、θ＝αにおける厚みデータに変換処理したうえで多項式近似を行うが、本実施形態ではそのようなことは行わない。
　また、図２において、β＝α＋１８０°としたとき、θ＝βにおける近似多項式は、測定形状データのうちのθ＝βの座標を持つ厚みデータ１０１に基づいて、θ＝αにおける近似多項式とは別個に得るようにする。このように、Ｓ４の工程では、３６０度÷分割角度θ１＝Ｎ個の多項式を別個に得る。
　多項式の次数は例えば以下のようにして決定する。すなわち、測定形状データにおいて、ウェーハ中心からの距離ｒ毎に、円周方向の各データの平均化を行う。例えば半径方向の厚み測定の刻み幅が１ｍｍとした場合、ｒ＝１ｍｍの座標を持つ円周方向の各データの平均化を行い、ｒ＝２ｍｍの座標を持つ円周方向の各データの平均化を行い、このような平均化を各距離ｒ毎に行う。そして、平均化した形状データを多次多項式（ｚ＝ａｒｎ＋ｂｒｎ－１＋ｃｒｎ－２＋・・・＋ｃｏｎｓｔ）に当てはめたときの相関係数Ｒを確認する。相関係数Ｒが、ウェーハ形状を表現するに当たって必要な精度を確保できる値（例えば０．９０以上）となる多項式の次数を求める。Ｓ４の工程では、このようにして得られた次数の多項式で関数化を行う。本発明者は、多項式の次数が６次以上であれば相関係数Ｒが０．９５以上となるという知見を得ている（後述の実施例１参照）。
　また、多項式の次数の決定に用いる測定形状データは、Ｓ４の工程で形状の関数化を行うウェーハ（出荷対象となるウェーハ）そのものから得られたデータであってもよいし、別のウェーハ（例えば出荷対象とはならないサンプルウェーハ）から得られたデータであってもよい。また、多項式の次数は、複数のウェーハの測定形状データから決定してもよい。この場合、各測定形状データに対して上記手順で相関係数Ｒを確認し、全ての相関係数Ｒが所定値以上（例えば０．９０以上）となる次数を、Ｓ４の工程で関数化を行う際の多項式の次数として決定する。
　Ｓ４の工程では、分割角度θ１毎の関数（多項式）の情報として、多項式の各項の係数を出力する。
　次に、測定機から出力された厚み形状（測定形状データ）と、Ｓ４の工程で得た関数によって出力された厚み形状である関数形状データとを比較して、ウェーハ全面で所定の誤差以内であることを確認する（Ｓ５）。具体的には、例えば、Ｓ４の工程で得られた関数から得られる分割角度θ１毎の厚み形状ｚ（ｒ）をコンパイル（統合）して、１枚のウェーハの厚みマップとして出力する。この際、半径方向における厚み出力の刻み幅は、測定形状データにおける半径方向の刻み幅と同じとする。この刻み幅は、例えばウェーハの直径の１０分の１（例えば直径が３００ｍｍの場合は３０ｍｍ）以下の刻み幅又はウェーハ直径に関わらず１０ｍｍ以下の刻み幅とすることができる。そして、例えば、関数形状データから求まる厚みマップと、測定形状データから求まる厚みマップとの差分をとることで、差分マップを求める。この差分マップにおいて所定の誤差を超える箇所が無いことを確認する。
　ウェーハ全面で所定の誤差以内であることを確認したのち、Ｓ４の工程で得られた関数情報（多項式の各項の係数データ）を、ウェーハ形状を表すデータとしてウェーハに添付してユーザーに供給する（Ｓ６）。１枚のウェーハ当たりの多項式の個数Ｎは３６０度／分割角度θ１となり、１つの多項式当たりの係数の個数は、多項式の次数をｎとすると、（ｎ＋１）個となる。したがって、関数情報は、１枚のウェーハ当たり、Ｎ×（ｎ＋１）個の係数データを含んで構成される。
　なお、Ｓ５の工程において、所定の誤差を超える箇所があった場合には、関数形状データは低精度であるとして、ウェーハに添付する形状データとして採用しない。この場合、例えば、多項式の次数を大きくして、再度、Ｓ４の工程における関数化を行い、Ｓ５の工程でウェーハ全面で所定の誤差以内になったか否かを確認する。そして、ウェーハ全面で所定の誤差以内であることを確認できた場合に、関数情報をウェーハに添付してユーザーに供給する（Ｓ６）。
　ユーザー側では、分割角度θ１毎のｚ＝ａｒｎ＋ｂｒｎ－１＋ｃｒｎ－２＋・・・＋ｃｏｎｓｔ）に、関数情報として添付された多項式の各係数と半径ｒとを当てはめることで、分割角度θ１毎の厚み形状を得ることができる。これら分割角度θ１毎の厚み形状を１つに統合することで、ウェーハ全面の厚み形状（厚みマップ）を得ることができる。
　このように、本実施形態では、ウェーハの測定形状データをｒ－ｔｈｅｔａ座標に対応付けて表すことができる。よって、ある角度におけるウェーハの形状を一次元的に抽出することができ、厚みｚを半径ｒで一次元的に表現することができる。この関係に対して、多項式によるフィッティングを行い、各々の角度方向に対して関数で形状を表現することでウェーハ全面の形状を関数で表現することができる。角度毎の関数から得られるウェーハ形状は、ウェーハの面内位置（ｒ、θ）及び厚みｚから構成される３次元的な形状である。また、例として、分割角度θ１を１度とした場合、ウェーハ全面の情報は、３６０×（ｎ＋１）個の係数データで表現することができ、大幅なデータの圧縮となる。
　以下、実施例を挙げて具体的に説明するが、これらは本開示を限定するものではない。
　（実施例１）
　多項式次数と相関係数との関係を調べた。具体的には、直径３００ｍｍのシリコンウェーハ（以下、ウェーハという）を３枚準備して、各ウェーハの厚み形状を、ＫＬＡ－Ｔｅｎｃｏｒ社製のフラットネス測定機「ＷａｆｅｒＳｉｇｈｔ２」により測定した。なお、ＷａｆｅｒＳｉｇｈｔ２は、ウェーハに光を入射し、ウェーハからの反射光と基準面からの反射光との光学干渉によって生じる干渉縞の数と幅から、ウェーハ表面の変位量を計測することを原理とする測定機である。
　ＷａｆｅｒＳｉｇｈｔ２から出力される測定結果のファイル（ｗｎｔファイル）を、ＫＬＡ－Ｔｅｎｃｏｒ社製のオフライン解析ソフト「ＯＡＳｙｓ」を用いて、ウェーハ中心を原点とした極座標に対する厚み測定値に変換し、変換後の測定形状データをｃｓｖファイルとして出力した。出力した測定形状データにおけるθ方向の刻み幅（分割角度θ１）は１度とし、ｒ方向の刻み幅は０．２ｍｍとした。
　次いで、得られた測定形状データに対して、ウェーハ中心からの距離ｒ毎に、円周方向の各データの平均化を行った。この平均化を、各ウェーハの測定形状データに対して行った。
　そして、ウェーハ毎の平均化形状データに対して、多次多項式（ｚ＝ａｒｎ＋ｂｒｎ－１＋ｃｒｎ－２＋・・・＋ｃｏｎｓｔ）を当てはめたときの相関係数Ｒと、多次多項式の次数との関係を調べた。多項式の係数は最小二乗法により求めた。図３はこの関係を示している。
　図３に示すように、次数が６次の場合には、３枚のウェーハ毎の相関係数Ｒの全てが０．９７以上となった。また、次数が７次の場合には、全ての相関係数Ｒが０．９８以上となった。また、次数が８次以上の場合には、全ての相関係数Ｒが０．９９以上となった。特に、次数が１０次の場合には、全ての相関係数Ｒがほぼ１となった。
　以上より、関数化する際の多項式の次数は６次以上が好ましく、より好ましくは相関係数Ｒが０．９９以上となる８次以上がよく、より好ましくは相関係数Ｒがほぼ１となる１０次以上がよいことが分かった。
　（実施例２）
　直径３００ｍｍのシリコンウェーハ（以下、ウェーハという）を１５枚準備して、各ウェーハに対して図１の手順にしたがって関数化を行い、得られた関数から求まる厚みマップと、測定機から出力された厚みマップとを比較した。具体的には、各ウェーハの厚み形状を、ＫＬＡ－Ｔｅｎｃｏｒ社製のフラットネス測定機「ＷａｆｅｒＳｉｇｈｔ２」により測定した。
　ＷａｆｅｒＳｉｇｈｔ２から出力される測定結果のファイル（ｗｎｔファイル）を、ＫＬＡ－Ｔｅｎｃｏｒ社製のオフライン解析ソフト「ＯＡＳｙｓ」を用いて、ウェーハ中心を原点とした極座標に対する厚み測定値に変換し、変換後の測定形状データをｃｓｖファイルとして出力した。出力した測定形状データにおけるθ方向の刻み幅（分割角度θ１）は１度とし、ｒ方向の刻み幅は０．２ｍｍとした。
　各測定形状データに対して、分割角度θ１毎に、半径方向の位置ｒ（ウェーハ中心からの距離）に対する１０次の多項式で近似を行った。多項式の係数は最小二乗法により求めた。得られた分割角度θ１毎の多項式の各係数を出力した。表１は、１５枚のウェーハのうちの１つから得られた多項式の各係数を示している。表１に示す関数情報は、多項式の個数が３６０個であり、多項式１個当たりの係数の個数が１１個であり、全体として３６０×１１＝３９６０個の係数データから構成されている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-T000001
　また、得られた関数（多項式）に基づいて分割角度θ１（＝１度）毎の厚みｚ（ｒ）を出力した。それら厚みｚ（ｒ）を１つにコンパイル（統合）し、１枚のウェーハの厚みマップとして出力した。この厚みマップの出力を１５枚のウェーハのそれぞれに対して行った。
　図４～図６は、１５枚のウェーハ毎に、測定機から出力された厚みマップ（「Ｒａｗ」と示したマップ）を上段に示し、関数から出力された厚みマップ（「Ｆｉｔｔｉｎｇ」と示したマップ）を下段に示している。なお、図４～図６の各厚みマップの基となる厚みデータの、半径方向の刻み幅は０．２ｍｍとした。図４～図６の各厚みマップでは、基準面の変位をゼロとして、この基準面に対する変位量を無彩色の濃淡で示している。
　図４～図６に示すように、いずれのウェーハにおいても、関数から出力された厚みマップは、測定機から出力された厚みマップと同様のマップとなり、ウェーハの厚み形状を精度よく表現できているといえる。実際、ウェーハ毎に上段の厚みマップと下段の厚みマップとを比較したところ、いずれのウェーハにおいても、ウェーハ全面で誤差が±５．５ｎｍ（所定の誤差）以内であることが確認できた。
　また、測定機「ＷａｆｅｒＳｉｇｈｔ２」から出力される形状データと、関数情報との容量を比較したところ、測定機から出力される形状データの容量は１枚のウェーハ当たり２～２０Ｍｂであったのに対し、関数情報の容量は１枚のウェーハ当たり６３ｋｂとなり、関数化することで容量を大幅に圧縮できた。
　なお、本開示は、上記実施形態に限定されるものではない。上記実施形態は、例示であり、本開示の技術的思想と実質的に同一な構成を有し、同様な作用効果を奏するものは、いかなるものであったとしても本開示の技術的範囲に包含される。

Claims (5)

  1. 　ウェーハの形状を関数によりデータ化する方法であって、ウェーハの中心から円周３６０度を所定の数に分割した角度毎に半径方向の各位置の厚み形状を測定し、６次以上の多項式近似により前記角度毎に半径方向の位置に対するウェーハ厚さの関数化を行い、測定機から出力された厚み形状と前記関数によって出力された厚み形状との比較を行い、ウェーハ全面で所定の誤差以内であることを確認したのち、前記角度毎の関数をウェーハ形状を表すデータとするウェーハ形状データ化方法。
  2. 　前記角度が１０度以下である請求項１に記載のウェーハ形状データ化方法。
  3. 　前記角度が１度以下である請求項１又は２に記載のウェーハ形状データ化方法。
  4. 　前記測定機から出力される前記角度毎の厚み形状を平均化して、この平均化した厚み形状を多次多項式で近似したときの相関係数に基づいて、前記関数化するときの多項式の次数を決定する請求項１～３のいずれか１項に記載のウェーハ形状データ化方法。
  5. 　前記相関係数が０．９５以上となる次数の多項式で前記関数化を行う請求項４に記載のウェーハ形状データ化方法。
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