JP3739017B2

JP3739017B2 - 非干渉広域かみ合い歯形を有する撓みかみ合い式歯車装置

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Publication number: JP3739017B2
Application number: JP32684895A
Authority: JP
Inventors: 昌一石川
Original assignee: Harmonic Drive Systems Inc
Current assignee: Harmonic Drive Systems Inc
Priority date: 1995-12-15
Filing date: 1995-12-15
Publication date: 2006-01-25
Anticipated expiration: 2015-12-15
Also published as: EP0810390A1; EP0810390A4; WO1997022818A1; JPH09166186A; US5918508A; EP0810390B1; DE69630021T2; DE69630021D1

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、撓みかみ合い式歯車装置に関し、特に当該装置に用いられる剛性内歯歯車と可撓性外歯歯車の歯の形状に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
代表的な撓みかみ合い式歯車装置は、剛性円形内歯歯車と、この内歯歯車の内側でこれと例えば２カ所でかみ合うように楕円状に撓まされ、内歯歯車より２ｎ枚だけ少ない歯数を有する可撓性外歯歯車と、該外歯歯車の内側に嵌められて該外歯歯車を楕円状に撓ませるウェーブ・ジェネレータとからなっている。
【０００３】
撓みかみ合い式歯車装置の初期の歯形は直線であったが（米国特許第２，９０６，１４３号明細書）、本発明者はインボリュート歯形も可能なことを提案した（特公昭４５−４１１７１号公報）。さらに、負荷能力を高める目的で、本発明者は両歯車の歯末の歯形を、内歯歯車に対する外歯歯車の歯のラック近似による移動軌跡上のかみ合い限界点から、当該軌跡の所要の範囲を縮小比１／２で相似変換して得られる曲線とする方法を提案した（特開昭６３−１１５９４３号公報）。これは両歯車の歯末歯形同士が連続的に接触し得るようにした方式である。
【０００４】
本発明者は、さらに、楕円状のウェーブ・ジェネレータを挿入することによってコップ状あるいはシルクハット状可撓性外歯歯車のダイヤフラム側から開口端に掛けて、ダイヤフラムからの距離にほぼ比例して撓み量（楕円の長半径と短半径との差の半分の量）が漸増する、いわゆるコーニングという３次元の現象を考慮することにより、コップ状可撓性外歯歯車の全歯筋に渡って、干渉が無く、広範囲のかみ合いを可能とする撓みかみ合い式歯車装置を提案している。例えば、特願平５−１７２１９５号公報、特願平５−１７２１９６号公報、特願平５−２０９６５５号公報等において提案している。
【０００５】
なお、上記以外においても、例えば、特開昭６２−７５１５３号、特開平２−６２４６１号、特開平７−１６７２２８号の各公報においても歯形の改良が提案されている。特に、特開平７−１６７２２８号公報においては、歯の傾きによる歯形干渉の除去を図るための提案がなされている。
【０００６】
【発明が解決しようとする課題】
現在、撓みかみ合い式歯車装置の性能に対する要求は益々高度化している。このために、これに応えるべく、その強度、剛性および耐摩耗性の一層の向上が望まれている。
【０００７】
この要望に応えるためには、歯形の構成について一層の配慮が必要であり、ラック近似の移動軌跡から誘導された基本歯形についても、有限歯車の場合に生ずる若干の歯の傾きと歯の移動軌跡の変化を考慮しなければならない。上記の特開平７−１６７２２８号公報に記載の発明は、このうちの歯の傾きに着目して歯の干渉を除くという改良を目指したものである。
【０００８】
しかし、上記の発明では、歯の傾きの解析が不十分であり、また、歯の移動軌跡の変化を考慮していない。このため、歯の干渉は回避できるものの、前記の基本歯形が目指した広範囲のかみ合いが可能になるという特徴が失われている。この理由は、可撓性外歯歯車の歯底リムの、ほぼ中央に位置する撓みに対して伸び縮みしない中立曲線の法線と見なした、可撓性外歯歯車の歯の歯山中心線（本願発明を説明するための図３における線ｅに相当する線）が半径線（本願発明を説明するための図４、５における撓み噛み合い歯車装置の中心と可撓性外歯歯車の歯に設定した座標原点Ｎとを結ぶ線）となす角（図３における角ε）は考慮しているが、この法線が剛性内歯歯車の歯溝中心線となす角（真実の歯の傾き角）は考慮せず、また、運動解析の座標の原点である歯山中心線と中立曲線の交点の運動軌跡がラックの場合とは異なる点を考慮しなかったためである。すなわち、撓み噛み合い式歯車装置の歯の噛み合いを剛性内歯歯車と可撓性外歯歯車の歯数を共に無限大としたラックの噛み合いであると近似した手法に対して、上記の発明では、両歯車がともに有限の実際の歯数を持つとして、剛性内歯歯車の歯溝に対して可撓性外歯歯車の一歯がかみ合っていくに連れて次第に傾いていくことは考慮しているが、可撓性外歯歯車の一歯に固定した座標系が、剛性内歯歯車の歯溝に対して画く移動軌跡はラック近似のままにしておき、有限歯数の場合における詳細な解析は行っていない。
【０００９】
本発明の課題は、撓みかみ合い式歯車装置において、ラック近似の歯形に対し、上記の歯の傾きと歯形座標原点の運動軌跡の変化を考慮して、歯の正しい広域かみ合いを実現することの可能な歯形を提案することにある。
【００１０】
【課題を解決するための手段】
上記の課題を達成するために、本発明では、撓みかみ合い式歯車装置において、歯形に根本的な改良を加えた。すなわち、剛性内歯歯車と可撓性外歯歯車の両者の歯末歯形をラック近似の移動軌跡に相似の凸曲線を基本として、これに有限歯数の場合の、可撓性外歯歯車の歯山中心線の剛性内歯歯車の歯溝中心線に対する傾きと、歯の実際の移動軌跡を考慮した修正を加えることによって、干渉の無い広域接触を可能とした歯形を導くようにしている。
【００１１】
詳細に説明すると、本発明は、内周に内歯が形成された剛性内歯歯車と、その内側に配置され、開口端の外周に外歯が形成された筒状の胴部および当該胴部の他端側を封鎖しているダイヤフラムを備えた可撓性外歯歯車と、当該外歯歯車の前記胴部の軸直角断面をそのダイヤフラム側から反対側の開口部にかけて前記ダイヤフラムからの距離にほぼ比例した撓み量を生ずるように楕円状に撓ませて、その形状を回転させるウェーブ・ジェネレータとを有し、当該ウェーブ・ジェネレータの回転により前記剛性内歯歯車および前記可撓性外歯歯車に相対回転を生じさせる撓みかみ合い式歯車装置において、
（ａ）剛性内歯歯車および可撓性外歯歯車の基本を共に平歯車として、前記可撓性外歯歯車の歯数を剛性内歯歯車の歯数よりも２ｎ（ｎは正の整数）枚少なくし、
（ｂ）可撓性外歯歯車の歯筋方向の一つの軸直角断面を主断面として選び、当該主断面の半径方向の撓み量を、正規の撓み量（可撓性外歯歯車のピッチ円直径を剛性内歯歯車を固定した場合の減速比で除した値）とし、
（ｃ）可撓性外歯歯車と剛性内歯歯車のかみ合いをラックで近似し、ラック同士の歯の移動軌跡を相似変換した曲線を両歯車の基本の歯末歯形とし、
（ｄ）実際のかみ合いで生ずるラック近似歯形からの変位を、可撓性外歯歯車の歯山中心線が剛性内歯歯車の歯溝中心線に対する傾きによる変形と、可撓性外歯歯車の歯の移動軌跡のラックの移動軌跡からのずれによる変形とに分解し、それぞれの変位を相殺するように、予め両歯車の基本の歯末歯形を修正することにより、これら両歯車の歯末歯形を決定したことを特徴としている。ここで、可撓性外歯歯車の歯の移動軌跡のラックの移動軌跡からのずれとは、ラックの場合は移動軌跡が併進運動であり、どこまでも直線に沿った運動であるのに対し、有限歯数の場合は、剛性内歯歯車の歯に沿った運動であり、移動軌跡は次第に傾いていく、その違いを指している。
【００１２】
本発明は、上記の構成に加えて、
（ｅ）剛性内歯歯車および可撓性外歯歯車の双方の歯元歯形を、相手歯形とほぼ一致あるいは若干の逃げを与えた形に形成したことを特徴としている。
【００１３】
さらに、本発明は、上記の各構成に加えて、
（ｆ）可撓性外歯歯車の前記主断面より開口端と封鎖端に掛けて、当該可撓性外歯歯車の外歯にレリービングを施すことにより、可撓性外歯歯車の前記主断面で広域の連続接触かみ合いをなし、前記主断面から開口端と封鎖端にかけて歯筋に沿った連続接触噛み合いをなすことを特徴としている。
【００１４】
ここで、双方の歯の歯末歯形の基本形は、次のように決定することができる。
【００１５】
歯のモジュールをｍ、剛性内歯歯車の歯数をＺｃ、可撓性外歯歯車の歯数、歯元のたけ、歯底のリム厚およびリムの中立円の半径をそれぞれＺ_F、ｈ_fF、ｔおよびｒ_n、剛性内歯歯車の歯厚増加係数と可撓性外歯歯車の歯厚減少係数を共にτとし、ηを補助の角変数として、以下の（１）、（２）式により決定することができる。なお、これらの式は、それぞれデータム線をｘ軸、歯山中心線をｙ軸に取り、（１）式の中の複合の符号は、可撓性外歯歯車のとき（＋）、剛性内歯歯車のときは（−）を採用するものとする。
【００１６】
【数１】

【００１７】
このように双方の歯の歯末歯形の基本形を決定した場合には、剛性内歯歯車および可撓性外歯歯車の双方の歯元歯形を相手歯車の歯末歯形とほぼ一致あるいは若干の逃げを与えた形に形成すればよい。
【００１８】
さらに、前記主断面より開口端と封鎖端にかけて外歯にレリービングを施すようにすればよい。
【００１９】
【発明の実施の形態】
以下に、図面を参照して、本発明による歯形形成方法について説明する。以下の例は、可撓性外歯歯車と剛性内歯歯車の歯数差が２ｎ（ｎは正の整数）で、ウェーブ・ジェネレータの中立線の形状を、半径がｒ_nの真円に全振幅が２ｍｎ（ｍはモジュール）、波長が半円周に等しい正弦波を重畳して、近似の楕円形状とした実施例である。
【００２０】
図１は、一般的に知られている歯数差が２枚（ｎ＝１）の場合の撓みかみ合い式歯車装置の正面図である。この図に示すように、撓みかみ合い式歯車装置１は、内周に内歯２ａが形成された剛性内歯歯車２と、その内側に配置され、外周に外歯３ａが形成された可撓性外歯歯車３と、当該外歯歯車３を近似の楕円形状に撓ませて、当該楕円形状の長軸両端の位置において外歯３ａを内歯２ａに対して部分的に噛み合わせ、これらの２か所のかみ合わせ位置を円周方向に移動させるウェーブ・ジェネータ４とを有している。ウェーブ・ジェネレータ４の回転により、剛性内歯歯車２および可撓性外歯歯車３に相対回転が発生する。
【００２１】
図２には、可撓性外歯歯車３を含軸断面で示してある。図において実線で示すコップ状の可撓性外歯歯車３は、一端側が開口端３１ａとなっている筒状の胴部３１と、当該胴部３１の他端（封鎖端）側を封鎖しているダイヤフラム３２と、当該ダイヤフラム３２の中心に一体形成されているボス３３とを備えたコップ状をしており、胴部３１の開口端３１ａの側の外周に外歯３ａが形成されている。
【００２２】
この形状の可撓性外歯歯車３は、前述したようにコーニングによって、その胴部３１の軸直角断面をそのダイヤフラム３２の側から反対側の開口端３１ａにかけてダイヤフラム３２からの距離にほぼ比例した撓み量を生ずるように、ウェーブ・ジェネレータ４によって楕円形に撓まされる。
【００２３】
ここで、図２においては、破線によってシルクハット形の可撓性外歯歯車の形状を示してある。シルクハット形の可撓性外歯歯車３００の場合には、筒状の胴部３１の一端側に連続して半径方向の外側に向けて延びる環状のダイヤフラム３２０が形成され、さらに、このダイヤフラム３２０の外周縁に連続して環状のボス３３０が一体形成された断面形状となっている。この形状の可撓性外歯歯車３００を備えた撓みかみ合い式歯車装置に対して本発明を同様に適用することができる。
【００２４】
図２（ａ）は、コーニングによる撓みが発生する前の可撓性外歯歯車３の含軸断面である。図２（ｂ）は、ウェーブ・ジェネレータ４の長軸を含む断面におけるコーニングによる撓み状況を示す含軸断面である。図２（ｃ）は、ウェーブ・ジェネレータ４の短軸を含む断面におけるコーニングによる撓み状況を示す含軸断面である。ここで、図に示す直線ｌは、主要な噛み合いを受け持つ主断面の位置を示すものである。例えば、ウェーブ・ジェネレータ４による支持中心を通る断面を主断面とする。
【００２５】
本発明の撓みかみ合い式歯車装置の歯形誘導法においては、まず、歯のかみ合いをラックで近似し、ラック同士の歯の移動軌跡から、相似変換によって土台となる歯形を導き、次に実際の有限の歯数に対する修正を加えるという手法を取っている。
【００２６】
図３は、本発明の歯形形成の基となる、可撓性外歯歯車３の歯山中心線ｅと剛性内歯歯車の歯溝中心線ｃの相互位置関係を示す説明図である。両中心線のなす各εは、歯形の接触点の位置に関する補助の角変数ηと、ウェーブ・ジェネレータ４の長軸の位置に関する補助の角変数θを使い、剛性内歯歯車２の歯数をＺｃ、可撓性外歯歯車３の歯数をＺ_Fとして、（３）式で与えられる。
【００２７】
【数２】

【００２８】
可撓性外歯歯車３の歯山中心線ｅ（歯底リムの中立曲線の法線と一致すると見る）と半径線ｇ（図３、４に示すように、撓みかみ合い式歯車装置の中心と可撓性外歯歯車の歯に設定した座標原点Ｎとを結ぶ線）のなす角μは（５）式で与えられる。
【００２９】
【数３】

【００３０】
したがって、可撓性外歯歯車３の歯山中心線ｅと剛性内歯歯車２の歯溝中心線ｃのなす角ξは（６）式であたえらえる。
【００３１】
【数４】

【００３２】
図４は、ラック近似で導かれた基礎となる歯形の、上記の角ξによる歯の傾斜と歯の移動軌跡の変化による干渉を除去して、正しい接触を行い得る可撓性外歯歯車３の歯末歯形を導く手法の説明図である。そのためには、まずξによる接触点の移動量に相当する長さだけ予め歯厚を修正する。その量ｇ₁は、可撓性外歯歯車のリム厚をｔ、歯元のたけをｈ_fF、歯厚減少係数をτとして、（７）式で与えらえる。
【００３３】
【数５】

【００３４】
前出の特開平７−１６７２２８号公報に開示の発明では、ξを与える（６）式において、μのみを考慮し、εを無視しており、正しくない。この修正量ｇ１は、図４において、無偏位のラック近似の場合の、可撓性外歯歯車３の歯末歯形の仮想の座標原点Ｍから（すなわち、可撓性外歯歯車と剛性内歯歯車の噛み合いを仮に両歯車とも歯数が無限大としたラックで近似したとき、可撓性外歯歯車３の一歯に設けた歯山中心線とリム厚中央のリム中立曲線の接線からなる直交座標系の原点Ｍから）、その場合の仮想の接触点Ｐで、歯形に立てた法線ｎと歯山中心線ｅとの交点Ｆまでの距離にξを乗じた値、即ち図の線分ＦＡ乃至ＰＢである。ここで、ラック近似の仮想的な歯の噛み合いの移動軌跡は図４に曲線ｉで示されている。前出の特開平７−１６７２２８号公報に開示の発明では、上記のｆを与える（８）式の右辺大括弧内の第２項を考慮に入れておらず、それだけ誤差を生ずることになる。点Ｍ回りの角ξによる点Ｐの変位（（すなわち、上記の点Ｍ回りの剛性内歯歯車の歯溝中心線と可撓性外歯歯車の歯山中心線のなす角ξによる点Ｐの変位）を、変位を小さいとして、点Ｍ回りの角ξによる点Ｆの歯山中心線ｅに直角な方向の変位と、点Ｆ回りの角ξによる点Ｐの歯形方向の変位（すなわち、点Ｆ回りの角ξにより、可撓性外歯歯車の当該一歯の歯形上の点Ｐの歯形に沿った方向の変位（直線ＰＦは点Ｐにおける歯形法線である））に分解して考えたとき、後者の変位は歯厚の変化を来さないという事情があるからである。
【００３５】
次に、座標原点Ｎの移動軌跡ｊの、ラックとしたときの無偏位の移動軌跡ｉとの違いを考慮しなければならない（換言すると、実際の可撓性外歯歯車と剛性内歯歯車の噛み合いでの、可撓性外歯歯車の一歯の剛性内歯歯車に対する移動軌跡（図４の曲線ｊ）と両歯車をラックで近似したときの移動軌跡ｉとの違いを考慮しなければならない。）。即ち、剛性内歯歯車２の歯溝に対する可撓性外歯歯車３の歯の原点Ｎの位置を示す座標（ｘ_n，ｙ_N）の、ラックとしたときに仮想の原点位置Ｍの座標との差を考慮した修正を行なう。その際に、ｙ方向（歯たけ方向）の差はＮ点での移動軌跡の勾配を利用して、ｘ方向の差（歯厚の差）に換算し、それをｘ方向の差に加算して歯厚をその分だけ増すように修正する。図４のＭＬ乃至ＢＱがその補正量ｇ₂であり、その値は（９）式で与えられる。
【００３６】
【数６】

【００３７】
以上のことに加えて、更に可撓性外歯歯車の変形を容易にし、かつ歯元の応力集中を軽減するための歯厚減少係数τ（剛性内歯歯車２では歯厚増加係数となる。）を導入する。本発明の次の両歯車の歯末歯形の式（１）、（２）は、上で導いた歯厚方向の修正量を、図４のＱＲとＰＲのように等量に振り分けるとした上で、得られるものである。
【００３８】
【数７】

【００３９】
（１）式の中において、τの符号は、可撓性外歯歯車の時に（＋）、剛性内歯歯車のときに（−）を採用する。また、両歯車の歯元の歯形は相手歯車の歯末歯形にほぼ合わせるか、若干の逃げを与えたものとする。
【００４０】
図５の符号（ａ）は、歯数差２（ｎ＝１）の場合について、本願の方式による可撓性外歯歯車の歯形を示す例であり、同図の符号（ｂ）は特開平７−１６７２２８号公報に開示されている発明によって形成した歯形を示す例である。
【００４１】
図６（ａ）は、歯数差２（ｎ＝１）の場合について、本発明の歯形のかみ合いを、主断面について、剛性内歯歯車の一つの歯溝に相対的に可撓性外歯歯車の一歯が移動する形として、時間の経過を追って描いた一例である。図６（ｂ）は、特開平７−１６７２２８号公報に開示されている発明によって形成した図５（ｂ）に示す歯形の場合に得られる同様な移動軌跡である。
【００４２】
図７は、歯数差２（ｎ＝１）の場合について、本発明の両歯車の主断面におけるかみ合いを、歯の全数に渡って空間的に描いた他の一例である。
【００４３】
また、本発明では可撓性外歯歯車の主断面以外の断面における歯形の干渉を避けるために、図８に示すように歯の公知の手法であるレリービングを施し、その量を加減することによって、この部分では歯筋方向にかみ合いを進める。
【００４４】
以上、本発明について説明したが、本発明の内容は、コップ状、シルクハット状のいずれの形状をした可撓性外歯歯車のコーニングの任意の角度で成立するものであり、当該可撓性外歯歯車の胴長の短いタイプのものにも、本発明は適用できる。
【００４５】
また、本発明はコーニングの無い環状の可撓性外歯歯車の場合も、その特殊ケースとして含むものである。
【００４６】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、両歯車の歯末歯形同士の正しい広域かみ合いによって歯面の面圧を軽減して、許容伝達トルクを増すことができ、また、かみ合いの剛性を高めることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】一般的な撓みかみ合い式歯車装置の例を示す概略正面図である。
【図２】コーニングによるコップ状あるいはシルクハット状可撓性外歯歯車の撓み状態を含軸断面で示す説明図であり、（ａ）はその変形前の姿を示す含軸断面図、（ｂ）はウェーブ・ジェネレータの長軸を含む断面で切断した場合の含軸断面図、（ｃ）はウェーブ・ジェネレータの短軸を含む断面で切断した場合の含軸断面図である。
【図３】本発明の歯形形成の基となる可撓性外歯歯車の歯山中心線と剛性内歯歯車の歯溝中心線の位置関係を示す説明図である。
【図４】ラック近似により導かれた基礎となる歯形の干渉を除去して、正しい接触を行い得る歯形を導く手法の説明図である。
【図５】本願の方式による可撓性外歯歯車の歯形を符号（ａ）で示す曲線により示し、参考までに示した特開平７−１６７２２８号公報に開示の発明にしたがって形成した歯形を符号（ｂ）で示す曲線により示している説明図である。
【図６】（ａ）は本願発明の歯形の主断面におけるかみ合いの説明図であり、（ｂ）は参考までに示した特開平７−１６７２２８号公報に開示の発明による歯形の場合の同様な図である。
【図７】本発明の両歯車の主断面におけるかみ合いを、歯の全数に渡って空間的に描いた例を示す説明図である。
【図８】歯に施す公知のレリービングの説明図である。
【符号の説明】
１撓みかみ合い式歯車装置
２剛性内歯歯車
２ａ内歯
３、３００可撓性外歯歯車
３１胴部
３２、３２０ダイヤフラム
３３、３３０ボス
３ａ外歯
４ウェーブ・ジェネレータ

Claims

内周に内歯が形成された剛性内歯歯車と、その内側に配置され、開口端の外周に外歯が形成された筒状の胴部および当該胴部の他端を封鎖しているダイヤフラムを備えた可撓性外歯歯車と、当該外歯歯車の前記胴部の軸直角断面をそのダイヤフラム側から反対側の開口部にかけて前記ダイヤフラムからの距離にほぼ比例した撓み量を生ずるように楕円状に撓ませて、その形状を回転させるウェーブ・ジェネレータとを有し、当該ウェーブ・ジェネレータの回転により前記剛性内歯歯車および前記可撓性外歯歯車に相対回転を生じさせる撓みかみ合い式歯車装置において、
（ａ）剛性内歯歯車および可撓性外歯歯車の基本を共に平歯車として、前記可撓性外歯歯車の歯数を剛性内歯歯車の歯数よりも２ｎ（ｎは正の整数）枚少なくし、
（ｂ）可撓性外歯歯車の歯筋方向における一つの軸直角断面を主断面に選び、当該主断面の半径方向の撓み量を、正規の撓み量（可撓性外歯歯車のピッチ円直径を剛性内歯歯車を固定した場合の減速比で除した値）とし、
（ｃ）可撓性外歯歯車と剛性内歯歯車のかみ合いをラックで近似し、ラック同士の歯の移動軌跡を相似変換した曲線を両歯車の基本の歯末歯形とし、
（ｄ）実際のかみ合いで生ずるラック近似歯形からの変位を、可撓性外歯歯車の歯山中心線が剛性内歯歯車の歯溝中心線に対する傾きによる変形と、可撓性外歯歯車の歯の移動軌跡のラックの移動軌跡からのずれによる変形とに分解し、それぞれの変位を相殺するように、両歯車の前記の基本の歯末歯形を修正することにより、これら両歯車の歯末歯形を決定することを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓みかみ合い式歯車装置。
請求項１において、更に、
（ｅ）剛性内歯歯車および可撓性外歯歯車の双方の歯元歯形を、相手歯形とほぼ一致あるいは若干の逃げを与えた形に形成したことを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓み噛み合い式歯車装置。
請求項２において、更に、
（ｆ）可撓性外歯歯車の前記主断面より開口端と封鎖端に掛けて、当該可撓性外歯歯車の外歯にレリービングを施すことにより、可撓性外歯歯車の前記主断面で広域の連続接触かみ合いをなし、前記主断面から開口端と封鎖端にかけて歯筋に沿った連続接触噛み合いをなすことを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓みかみ合い式歯車装置。
請求項１において、
歯のモジュールをｍ、剛性内歯歯車の歯数をＺｃ、可撓性外歯歯車の歯数、歯元のたけ、歯底のリム厚およびリムの中立円（可撓性外歯歯車の楕円状に変形する前の歯底リムの厚みの中央部を通る円）の半径をそれぞれＺ_F、ｈ_fF、ｔおよびｒ_n、剛性内歯歯車の歯厚増加係数と可撓性外歯歯車の歯厚減少係数を共にτとし、ηを補助の角変数として、双方の歯末歯形の基本を、それぞれデータム線をｘ軸、歯山中心線をｙ軸に取り、下記の（１）式の中の複合の符号は、可撓性外歯歯車のとき（＋）、剛性内歯歯車のときは（−）を採用して、これら（１）式および（２）式によって形成することを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓みかみ合い式歯車装置。
請求項４において、
剛性内歯歯車および可撓性外歯歯車の双方の歯元歯形を相手歯車の歯末歯形とほぼ一致あるいは若干の逃げを与えた形に形成することを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓みかみ合い式歯車装置。
請求項５において、
前記主断面より開口端と封鎖端にかけて外歯にレリービングを施すことにより、可撓性外歯歯車の前記主断面で広域の連続接触かみ合いをなし、前記主断面から開口端と封鎖端にかけて歯筋に沿った連続接触噛み合いをなすことを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓みかみ合い式歯車装置。
内周に内歯が形成された剛性内歯歯車と、その内側に配置された環状の可撓性外歯歯車と、当該外歯歯車を楕円状に撓ませて、その形状を回転させるウェーブ・ジェネレータとを有し、当該ウェーブ・ジェネレータの回転により前記剛性内歯歯車および前記可撓性外歯歯車に相対回転を生じさせる撓みかみ合い式歯車装置において、
（ａ）剛性内歯歯車および可撓性外歯歯車の基本を共に平歯車として、前記可撓性外歯歯車の歯数を剛性内歯歯車の歯数よりも２ｎ（ｎは正の整数）枚少なくし、
（ｂ）可撓性外歯歯車の軸直角断面の半径方向の撓み量を、正規の撓み量（可撓性外歯歯車のピッチ円直径を剛性内歯歯車を固定した場合の減速比で除した値）とし、
（ｃ）可撓性外歯歯車と剛性内歯歯車のかみ合いをラックで近似し、ラック同士の歯の移動軌跡を相似変換した曲線を両歯車の基本の歯末歯形とし、
（ｄ）実際のかみ合いで生ずるラック近似歯形からの変位を、可撓性外歯歯車の歯山中心線が剛性内歯歯車の歯溝中心線に対する傾きによる変形と、可撓性外歯歯車の歯の移動軌跡のラックの移動軌跡からのずれによる変形とに分解し、それぞれの変位を相殺するように、両歯車の前記の基本の歯末歯形を修正することにより、これら両歯車の歯末歯形を決定することを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓みかみ合い式歯車装置。
請求項７において、更に、
（ｅ）剛性内歯歯車および可撓性外歯歯車の双方の歯元歯形を、相手歯形とほぼ一致あるいは若干の逃げを与えた形に形成したことを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓み噛み合い式歯車装置。
請求項７または８において、
歯のモジュールをｍ、剛性内歯歯車の歯数をＺｃ、可撓性外歯歯車の歯数、歯元のたけ、歯底のリム厚およびリムの中立円（可撓性外歯歯車の楕円状に変形する前の歯底リムの厚みの中央部を通る円）の半径をそれぞれＺ_F、ｈ_fF、ｔおよびｒ_n、剛性内歯歯車の歯厚増加係数と可撓性外歯歯車の歯厚減少係数を共にτとし、ηを補助の角変数として、双方の歯末歯形の基本を、それぞれデータム線をｘ軸、歯山中心線をｙ軸に取り、下記の（１）式の中の複合の符号は、可撓性外歯歯車のとき（＋）、剛性内歯歯車のときは（−）を採用して、これら（１）式および（２）式によって形成することを特徴とする非干渉広域かみ合い歯形を有する撓みかみ合い式歯車装置。