JP2002318603A - 制御系の限界ゲインの同定方法およびその装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】フィ−ドバック制御系において、限界ゲインを
高精度に同定し、制御系の性能を高度に発揮させる。 【解決手段】 制御系に可変ゲイン要素１０と飽和要素
３０を挿入して自励振動を生じさせる。適応的にゲイン
を調整して、出力信号の振幅と周期を同定し限界ゲイン
・限界周期を得る。さらに、位相を適応的に調整する機
能を付加することによって任意位相における対象の限界
ゲインを得ることによって、伝達特性を同定することも
できる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、制御系のゲインの
同定方法および同定装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】ＰＩＤ制御器を用いたフィ−ドバック制
御系の制御パラメ−タを適性値に設定するためにジ−グ
ラ・ニコルスの限界感度法が知られている。この方法
は、実稼動状態にある系で比例ゲインを少しずつ増加し
ていくと系の振動が始まるので、このときのゲインと位
相を元に制御系の制御パラメ−タを調整する。閉ル−プ
系を安定限界にする比例ゲインが限界ゲインであり、そ
の時の振動周期が限界周期である。ジ−グラ・ニコルス
の限界感度法を用いてパラメ−タの設定を自動的に行な
う技術としては、特開平９−３４５０３号公報「ＰＩＤ
コントロ−ラの調整法」（明電舎）などがある。しか
し、これらの方法は限界ゲインよりもかなり大きなゲイ
ンにならないと、振動が観測されないので、求められる
限界ゲインの精度が悪い。また、特開平９−１０６３０
３号公報「制御系のゲインの自動決定法」（ファナッ
ク）では、速度偏差によるゲイン調整系により自励振動
を起こし、非線形領域での近似ゲインを求めているの
で、正確な限界ゲインが同定できない。米国特許明細書
第４，５４９，１２３号には、ル−プ内にリレ−要素を
挿入して自励振動を起こし、記述関数法の考え方を導入
して、精度のより高い限界ゲインを求める方法が示され
ている。しかし、この方法は、制御対象が１入力１出力
系に限られる。また、外乱やノイズによる限界ゲイン同
定精度の低下が見られる点で課題がある。

【０００３】発明者らは、制御ル−プ内に飽和要素を導
入し、その入出力信号の偏差を用いて適応的にル−プゲ
インを調整することで、精度良く限界ゲインを求めるこ
とが理論的に可能であることを提案した（「限界ゲイン
の高精度適応同定法の提案」計測自動制御学会第１８回
適応制御シンポジウム１９９８年１月）。この方法は、
記述関数による近似が不要である、振幅を測定せずに限
界ゲインを陽に与えることができる、多変数系に適用で
きる、などの利点がある。しかし、これを実現する具体
的な方法はいまだ提示されていないし、求められるゲイ
ン値は細かな振動を示し、限界ゲインの一定値に収束し
ないという課題もある。また、限界ゲイン・限界周期が
同じでも、特性が異なる制御系があり、このときは、限
界ゲインを与える位相（−１８０°）以外の他の位相に
おけるゲインを知ることが、系の調整上で重要である
が、上記の文献にはその方法が示されていない。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】本発明は、フィ−ドバ
ック制御系における限界ゲインや限界周期を、プロセス
の運転状態で精度良く同定する方法と装置を提供するこ
とを目的とする。また、位相交点以外の位相における伝
達関数点を、同様に同定する方法・装置を提供すること
を目的とする。

【０００５】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
に、本発明は、制御対象の伝達関数を含むフィ−ドバッ
ク制御系に対する限界ゲイン同定方法であって、前記フ
ィードバック制御系は、可変ゲイン要素と飽和要素とを
有しており、前記可変ゲイン要素の入力からの振幅を計
測しながら、下記の式によって前記可変ゲイン要素のゲ
インを十分に大きなゲインから漸減させ、自励振動が一
定振幅に収束するときのゲインを限界ゲインとするフィ
−ドバック制御系の限界ゲインの同定方法である。

【数５】 ここで、 ｋ：可変ゲイン要素の値 バ−ｅ：ｅ（ｔ）の振幅 ｕ_０：飽和要素の飽和値 β_１＞０、β_２≧０：定数 前記フィードバック制御系は、さらに位相を設定できる
一次遅れ要素を有しており、また、前記可変ゲイン要素
の入力から振幅と周波数を計測し、 計測された振幅と周波数から、前記可変ゲイン要素のゲ
インを漸減するとともに、前記一次遅れ要素に対して位
相を下記の式によって所定位相に十分小さなＴ（Ｔ＞
０）から適応的に調整することにより、所定の位相にお
ける前記フィードバック制御系における前記伝達関数を
同定することもできる。

【数６】 ここで Ｔ：一次遅れ要素の時定数 ω：周波数 θ_ｃ：位相の指定値 α＞０：定数 また、本発明は、制御対象の伝達関数を含むフィ−ドバ
ック制御系に対する限界ゲイン同定装置であって、前記
フィードバック制御系は、可変ゲイン要素と飽和要素と
を有し、さらに、前記ゲイン要素の入力から振幅を計測
する手段と、下記の式によって前記ゲイン要素のゲイン
を十分大きなゲインから漸減させる調整手段とを有し、
自励振動が一定振幅に収束するときのゲインを計測する
と、そのゲインを前記フィードバック制御系の限界ゲイ
ンとするフィ−ドバック制御系の限界ゲインの同定装置
である。

【数７】 ここで、 ｋ：可変ゲイン要素のゲイン バ−ｅ：ｅ（ｔ）の振幅 ｕ_０：飽和要素の飽和値 β_１＞０、β_２≧０：定数 前記フィードバック制御系は、さらに位相を設定できる
一次遅れ要素を有しており、前記ゲイン要素の入力から
振幅を計測する手段は、周波数も計測し、前記調整手段
は、前記一次遅れ要素を所定位相に設定することもで
き、前記調整手段は、計測された振幅と周波数から、前
記可変ゲイン要素のゲインとともに、前記一次遅れ要素
に対して位相を、下記の式によって十分小さなＴ（Ｔ＞
０）から所定位相に適応的に調整することにより、所定
の位相における前記フィードバック制御系における前記
伝達関数を同定することもできる。

【数８】 ここで Ｔ：一次遅れ要素の時定数 ω：周波数 θ_ｃ：位相の指定値 α＞０：定数

【０００６】

【発明の実施の形態】本発明の実施形態を、図面を参照
して詳細に説明する。本発明は、系に自励信号を発生さ
せて、適応的にゲインを調整して、限界ゲインを求めて
いる。以下に、この方法により限界ゲインが求まること
をまず説明し、また、このときのゲインの調整の方法を
説明する。さて、図１に示すゲイン要素１０および関数
要素２０で構成されたフィ−ドバック系を例に、限界ゲ
インの求め方を説明する。図１において、関数要素２０
のＧ（ｓ）は周波数特性を同定したいプラントの伝達関
数であり、ゲイン要素１０のゲインｋはｋ∈Ｒである。
図１に示したこのフィ−ドバック系は、０＜ｋ＜Ｋ_ｃｒ
で安定であり、ｋ＞Ｋ_ｃｒで不安定になるとする。この
場合、ｋ＝Ｋ_ｃｒにおいては自励振動が持続する。この
とき、Ｋ_{ｃ ｒ}を限界ゲインと呼び、自励振動の周期を限
界周期ω_ｃｒと呼ぶ。Ｋ_ｃｒとω_{ｃ ｒ}は、次式のよう
に、図１のフィ−ドバック系の特性方程式を満たす。

【数９】 １＋Ｋ_ｃｒＧ（ｊω_ｃｒ）＝０ （１） この特定方程式により、Ｋ_ｃｒとω_ｃｒを同定すること
で、周波数特性が

【数１０】 Ｇ（ｊω_ｃｒ）＝−１／Ｋ_ｃｒ （２） により同定できる。

【０００７】（Ｋ_ｃｒとω_ｃｒの同定の考え方）図２の
非線形フィ−ドバック系を考える。図２で示したフィー
ドバック系は、図１のフィードバック系に飽和要素３０
を挿入した構成を有している。ここに飽和要素３０のφ
は、図３に示すような、飽和値ｕ_０で飽和する関数出力
を有している。ゲイン要素の値（ゲイン）ｋが無限大に
近づくとき、飽和要素の出力関数φ（ｋσ）の極限はリ
レ−要素の特性をもつので、この系は、十分大きなｋに
対して、リレ−制御系と同様に振舞う。すなわち、ｋが
十分大きいとき、不安定モ−ドの振幅が急速に増大し、
しばらくして振幅一定な自励振動状態に落ち着く。この
とき、ゲインｋが大きいので、この定常状態におけるゲ
イン要素１０の出力ｖの振幅ｖ_Ｅ（バーｖと示す場合も
ある）は、飽和値ｕ_０に比べて十分大きい。そこで、ゲ
インｋを漸減させることにより、振幅ｖ_Ｅを飽和値ｕ_０
に近づける。すなわち、自励振動を維持しながら飽和状
態から非飽和状態に近づけ、最終的に、振幅ｖ_Ｅ＝ｕ_０
で振動を保つようにする。このとき、非飽和状態での振
動が生じているので、そのときのゲインｋと振動周波数
ωが、限界ゲインＫ_ｃｒと限界周期ω_ｃｒを与える。こ
れを達成するために、ｖ_Ｅ＞ｕ_０であればｋを減少さ
せ、ｖ _Ｅ＜ｕ_０であればｋを増加させる調整則：

【数１１】 を用いる。ただし、β_１＞０、β_２≧０であり、初期値
は十分に大きな値とする。右辺第２項は飽和値の変化速
度を微調整に利用するために用いるので、β_２はゼロで
も良い。また、（３）式では、ゲイン要素１０の入力ｅ
（ｔ）の振幅ｅ_Ｅ（バーｅ（ｔ）とも記載）を推定し、
ｖ_Ｅ＝ｋｅ_Ｅにより、ゲイン要素１０の出力ｖ_Ｅを求め
ることとし、その有用性は後述する。

【０００８】＜ゲイン調整則の特性＞ （ｋ（ｔ）の過渡応答特性）図４のグラフは、調整則を
適用した場合のｅ（ｔ）の過渡応答例を示す。点線がゲ
イン要素１０の入力ｅ（ｔ）であり、実線がその振幅の
周波数推定器（後述）による推定値ｅ_Ｅ（ｔ）である。
このように、ｅ_Ｅ（ｔ）はゼロから急速に増加し一定値
に落ち着くので、適当な正数ｅ_１、ｅ_２に対し、ｅ_１≧
ｅ（ｔ）≧ｅ _２が満たされる。この性質から、式（３）
を満たすゲインｋ（ｔ）は、β_２＝０のとき、つぎの区
間内に存在することが保証される。

【数１２】 ｋ_２（ｔ）≧ｋ（ｔ）≧ｋ_１（ｔ） （４） ここに、

【数１３】 このことの重要性を次に述べる。（３）式では、振幅ｅ
_Ｅ（ｔ）を用いて、ゲイン要素の出力の振幅ｖ_Ｅ＝ｋｅ
_Ｅ（ｔ）を求めたが、直接に、ゲイン要素の出力ｖ
（ｔ）から周波数推定器を用いてｖ_Ｅを推定する方法：

【数１４】 が考えられる。しかし、式（７）を用いた調整では、ｋ
（ｔ）が負になることで非振動的な不安定現象が生じ、
同定が失敗する場合があった。これに対し、（３）式を
用いた調整では、（４）式から分かるようにｋ（ｔ）を
正に保てるので、そのような欠点はない。このため、周
波数推定器のパラメ−タの設定が、（３）式のほうが遥
かに容易である。

【０００９】（平衡状態の安定性）上記の過渡特性に従
い、ｋ（ｔ）を十分大きな初期値ｋ（０）から漸減させ
ている。ｋ＝Ｋ_ｃｒが同定できるには、（３）式により
振幅ｖ_Ｅ＝ｕ_０の自励振動が安定に保たれることが必要
であり、以下ではその条件を求める。図１のフィ−ドバ
ック系の１＋ｋＧ（ｓ）＝０の主要極ｓはｋ＝Ｋ_ｃｒの
ときｓ＝−ｊω_ｃｒであるので、ｋ＝Ｋ_ｃｒの付近にお
ける主要極の近似式は

【数１５】 で与えられる。これに対する振動モ−ドの振幅は

【数１６】 で与えられるので、つぎのモデルを得る。

【数１７】 ただし、ｋ＞Ｋ_ｃｒではｅ_Ｅが増加し、逆にｋ＜Ｋ_ｃｒ
ではｅ_Ｅが減少するので、ａ＞０である。このモデルと
（３）式の調整則からなる系

【数１８】 の平衡点は、ｋ＝Ｋ_ｃｒ、ｅ_Ｅ＝ｅ_Ｅ０（＝ｕ_０／Ｋ
_ｃｒ）で与えられる。そこで、新たに、変数をｘ_１＝ｋ
−Ｋ_ｃｒ、ｘ_２＝ｅ_Ｅ−ｅ_Ｅ０とおいて、平衡点まわり
の線形近似式を求めると

【数１９】 である。この特性方程式は

【数２０】 であるので、β_１、β_２により任意に極配置でき、安定
化のためには、β_１＞０、β_２＝０で十分である。以上
より、この条件を満たすようにβ_１、β_２を選ぶこと
で、安定な自励振動が保たれ、ｋ＝Ｋ_ｃｒが高精度に同
定できる。

【００１０】（自励振動の周期と振幅の同定法）式
（３）のアルゴリズムを実現するためには、自励振動の
振幅の包絡線であるｅ_Ｅ（ｔ）を測定する必要がある。
ここでは、適応ノッチ・フィルタを伴った周波数推定器
を用いて、振動周期と共に、新たに、振幅の包絡線ｅ_Ｅ
（ｔ）をオンラインで同定する方法を与える。周波数推
定器への入力信号が正弦波信号

【数２１】 であるとする。このとき、周波数推定器が次式で与えら
れる。

【数２２】 ここで、

【数２３】 および、振動周波数ωは推定された周波数、ζ＞０はダ
ンピング係数、γは可変パラメ−タである。また、ε＞
０、Ｎ＞０、μ＞０、α_２≧１である。入力信号ｎ
（ｔ）に対する定常応答は、次式で表される周期解とな
る。

【数２４】 このとき、

【数２５】 の関係が成り立つので、過渡時における振幅ｖ＞０と変
化率ｄｖ／ｄｔの推定値が次式で与えられる。

【数２６】 以上のように作用するので、系に自励振動を発生させ
て、適応的にゲインを調整して、限界ゲインを求めるこ
とができる。

【００１１】＜任意の位相角における伝達関数の同定＞
次に、フィ−ドバック系に、ゲイン要素と一次遅れ要素
（位相設定器と同じ意味である）を挿入し、限界ゲイン
を求める方法によって、任意の位相角における伝達関数
を同定する方法について説明する。図５のフィ−ドバッ
ク系を考える。図５は、図１のフィードバック系に一次
遅れ要素４０を挿入した構成である。ここで、図１と同
様に、Ｇ（ｓ）は周波数応答を求めたいプラントの伝達
関数であり、ゲインｋはｋ∈Ｒである。図中の一次遅れ
要素４０は、一次遅れ要素の時定数Ｔを用いて

【数２７】 で表され、これによる位相遅れθは、一次遅れ要素の時
定数Ｔにより、

【数２８】 で与えられ、０＜θ＜π／２である。この系において、

【数２９】 を満たすゲインｋ、一次遅れ要素の時定数Ｔ、ω＝ω_ｃ
が与えられたとする。このとき、

【数３０】 であるから、

【数３１】 である。したがって、Ｇ（ｊω_ｃ）は位相が−π＋θ_ｃ
となる周波数の伝達関数である。そこで、θ_ｃを与え
て、

【数３２】 を満たす一次遅れ要素の時定数Ｔを求める方法を検討す
る。この一次遅れ要素の時定数Ｔに対し、系が安定限界
にあれば式（２６）を満足するので、ω＝ω_ｃの自励振
動を生じるように、上述した適応同定法によりゲインｋ
を調整する。これは、図６に示すように、θ_ｃだけ回転
させた座標系で見た限界ゲインを求めることと考えられ
る。

【００１２】（調整則）式（２９）を満たすＴを求める
方法のための、一次遅れ要素の時定数Ｔの調整則を以下
に説明する。まず、

【数３３】 とおく。このとき、

【数３４】 が成り立てば、ωＴとｔａｎθ_ｃの偏差が減少する。こ
の条件と

【数３５】 より、

【数３６】 を得る。したがって、一次遅れ要素の時定数Ｔの調整則
として

【数３７】 を用いる。ところで、式（３１）より、

【数３８】 Ｖ（ｔ）＝Ｖ（０）ｅ^−２αｔ （35） であるから

【数３９】 ゆえに、初期偏差がｅ^−αｔで減衰する。ゲインｋの調
整には、これまでの調整則を用いる。したがって、

【数４０】 の両式を調整則とする。ここで、ｅ_Ｅとωは自励振動の
振幅と周期であり、ｅ_Ｅ、ｄｅ_Ｅ／ｄｔ、ω、ｄω／ｄ
ｔは周波数推定器により推定する。初期値としてＴ＝Ｔ
（０）を正で十分小さく、また、ｋ＝Ｋ（０）を十分大
きく与える。この条件の下で実験し、ｋとＴが収束すれ
ば、ω_ｃにおける伝達関数が

【数４１】 で与えられる。以上のように作用するので、フィ−ドバ
ック系に、図５に示すように、ゲイン要素１０と一次遅
れ要素４０を挿入し、限界ゲインを求める方法によっ
て、任意の位相角における伝達関数を同定することがで
きる。

【００１３】

【実施例】（数値シミュレ−ション）本発明の限界ゲイ
ンを同定する上述のアルゴリズムを実施するために、図
７に示すシミュレーション・システムを構成した。図７
において、このシステムは、周波数推定器５０、上述の
式（３）に示した調整を行う適応アルゴリズムを内蔵し
たゲイン調整器６０、可変ゲイン要素１０、飽和要素７
０、対象制御系の一巡伝達関数器２０で構成されてい
る。本発明を実施するために挿入される周波数推定器５
０、調整器６０、可変ゲイン要素１０、飽和要素７０
は、プロセスで一般的に使用されているデジタル制御シ
ステムの機能の一部として限界ゲインを同定するときに
挿入されるものである。あるいは、別のデジタル制御装
置として構成し、既存の制御系に限界ゲインを同定する
ときに挿入してもよい。周波数推定器５０は、（１６）
〜（１９）式で与えられるアルゴリズムが組み込まれて
おり、（２２）式と（２３）式に従いｅ_Ｅ、ｄｅ_Ｅ／ｄ
ｔの推定値を出力する（ただし、ｖがｅ_Ｅに対応す
る）。また、周波数推定器の機能により振動の周期ωを
観測する。調整器６０は、（３）式で与えられる調整則
を内臓して、可変ゲイン要素１０のゲインｋを調整す
る。飽和要素７０は、同定中に出力が異常とならないよ
う、安全のために挿入している。限界ゲインの同定時
は、自励振動の信号ｅ（ｔ）を周波数推定器５０に入力
し、自励振動の振幅ｅ_Ｅ（ｔ）を推定する。この推定さ
れた振幅をもとに、調整器６０の調整則により可変ゲイ
ン要素６０のゲインｋを適応的に変化させる。これによ
り、限界ゲインＫ_ｃｒを同定する。このとき、限界周期
ω_ｃｒも同時に同定される。以下に、上記図７で示され
たシステムに対して、具体的に一巡伝達関数Ｇ（ｓ）の
限界ゲイン等を特定した場合を以下に説明する。

【００１４】（数値例 １）一巡伝達関数が（４０）式
で表されるプラントを考える。

【数４２】 パラメ−タは次のようにする。 調整則： β_１＝０．２、β_２＝０、ｋ（０）＝１０、
ｕ_０＝１ 適応ノッチフィルタ（ＡＮＦ）：ε＝０．６、ζ＝０．
６、μ＝０．２、Ｎ＝１、α_２＝２ そして、外乱として、大きさ０．００１のステップ入力
を時刻０に加えたときの結果を図８〜図１０に示す。ナ
イキストの安定条件より計算される真値、ｋ_ｃｒ＝０．
１５０７とω_ｃｒ＝１．０３２に速やかに収束してい
る。これにより、本発明の方法によって、理論的に求め
られる限界ゲインが高精度に求められていることが示さ
れている。

【００１５】（第２の実施例）本発明の第２の実施例を
図１１に示す。本発明の所定位相における伝達関数点を
同定するアルゴリズムを実施するために、図１１のシス
テムを構成する。図１１に示すように、システムは、周
波数推定器５２、調整器６２、可変ゲイン８０、一次遅
れ要素９０、飽和要素７０、対象制御系の伝達関数２０
で構成されている。本発明を実施するために挿入される
周波数推定器５２、調整器６２、可変ゲイン８０、一次
遅れ要素９０、飽和要素７０は、プロセスで一般的に使
用されているデジタル制御システムの機能の一部として
限界ゲインを同定するときに挿入されるものである。周
波数推定器５２は、振動の周期の推定値を出力する。ま
た、（１６）〜（１９）式で与えられるアルゴリズムが
組み込まれており、（２２）式と（２３）式に従い推定
値ｅ_Ｅ、ｄｅ_Ｅ／ｄｔを出力し（ただし、ｖがｅ_Ｅに対
応する）、（１８）式に従いｄω／ｄｔを出力する。調
整器６２は、（３７）および（３８）式で与えられる調
整則を内臓して、可変ゲイン８０、一次遅れ要素９０の
ゲインおよび一次遅れ要素部分（位相角）を調整する。
また、飽和要素７０は、実施例１と同様に、同定中に出
力が異常とならないよう、安全の目的で挿入したもので
ある。

【００１６】（数値例 ２）次のプラントに対し、φ_ｃ
＝４０°となるときの伝達関数点を求める。パラメ−タ
は次のようにする。 適応則：β_１＝０．３、β_２＝０、ｕ_０＝１、α＝５．
０ 初期値：ｋ（０）＝１０、ω（０）＝１０、Ｔ（０）＝
０．００１ 外乱として、大きさ０．００１のステップ入力を時刻０
に加えたときの結果を図１２〜図１５に示す。同様に、
φ_ｃ＝２０°、６０°、８０°においてもシミュレ−シ
ョンを行い、定常状態におけるゲインｋ、遅れ時間Ｔ、
周波数ωの値から計算される伝達関数点を図１６に示
す。実線がナイキスト線図であり、＊で示した点が本実
施の形態により推定された伝達関数点である。図１６か
ら、それぞれの位相において、高精度に同定されている
のが確認できる。上述で説明したように、限界ゲインの
適応同定法を用いて指定した位相のゲインと周波数を求
める方法をシミュレ−ションした。これにより、位相交
点以外の周波数においても、ゲインと周波数を高精度に
同定することができることが分かる。 （応用ができる技術・製品）加熱・蒸留・合成・などの
化学プロセスなどフィ−ドバック制御系を用いているプ
ロセス一般に適用可能。

【００１７】

【発明の効果】（１）運転中の実機において制御系の精
度のよい限界ゲイン・限界周期の同定ができる。また、
これは、１変数１出力系のみならず、多変数系多出力系
においても適用できる。これにより、制御系のパラメ−
タの最適な値が設定でき、性能のよいプロセスの制御が
可能となる。 （２）位相が９０度〜１８０度遅れる時の系の伝達関数
点を同定することができる。これによって、対象制御系
のゲインを適切に調整することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】ゲイン要素を持つフィ−ドバック系の定義を説
明する図である。

【図２】非線型フィ−ドバック系を説明する図である。

【図３】飽和要素の特性を示す図である。

【図４】振幅の包絡線の変化を示す図である。

【図５】位相遅れ要素を持つフィ−ドバック制御系を説
明する図である。

【図６】位相回転の意味を説明する図である。

【図７】限界ゲインの同定装置を示す図である。

【図８】出力と包絡線の変化を示す図である。

【図９】ゲインの変化を示す図である。

【図１０】周期の変化を示す図である。

【図１１】所定位相における限界ゲインの同定装置を示
す図である。

【図１２】ゲインの変化を示す図である。

【図１３】周期の変化を示す図である。

【図１４】出力と包絡線の変化を示す図である。

【図１５】遅れ時間の変化を示す図である。

【図１６】ナイキスト線図と同定点を示す図である。

Claims (4)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 制御対象の伝達関数を含むフィ−ドバッ
   ク制御系に対する限界ゲイン同定方法であって、 前記フィードバック制御系は、可変ゲイン要素と飽和要
   素とを有しており、 前記可変ゲイン要素の入力からの振幅を計測しながら、
   下記の式によって前記可変ゲイン要素のゲインを十分に
   大きなゲインから漸減させ、 自励振動が一定振幅に収束するときのゲインを限界ゲイ
   ンとすることを特徴とするフィ−ドバック制御系の限界
   ゲインの同定方法。 【数１】 ここで、 ｋ：可変ゲイン要素の値 バ−ｅ：ｅ（ｔ）の振幅 ｕ_０：飽和要素の飽和値 β_１＞０、β_２≧０：定数
2. 【請求項２】 前記フィードバック制御系は、さらに位
   相を設定できる一次遅れ要素を有しており、また、前記
   可変ゲイン要素の入力から振幅と周波数を計測し、 計測された振幅と周波数から、前記可変ゲイン要素のゲ
   インを漸減するとともに、前記一次遅れ要素に対して位
   相を下記の式によって所定位相に十分小さなＴ（Ｔ＞
   ０）から適応的に調整することにより、所定の位相にお
   ける前記フィードバック制御系における前記伝達関数を
   同定することを特徴とする請求項１記載の限界ゲインの
   同定方法。 【数２】 ここで Ｔ：一次遅れ要素の時定数 ω：周波数 θ_ｃ：位相の指定値 α＞０：定数
3. 【請求項３】 制御対象の伝達関数を含むフィ−ドバッ
   ク制御系に対する限界ゲイン同定装置であって、 前記フィードバック制御系は、可変ゲイン要素と飽和要
   素とを有し、 さらに、前記ゲイン要素の入力から振幅を計測する手段
   と、 下記の式によって前記ゲイン要素のゲインを十分大きな
   ゲインから漸減させる調整手段とを有し、 自励振動が一定振幅に収束するときのゲインを計測する
   と、そのゲインを前記フィードバック制御系の限界ゲイ
   ンとすることを特徴とするフィ−ドバック制御系の限界
   ゲインの同定装置。 【数３】 ここで、 ｋ：可変ゲイン要素のゲイン バ−ｅ：ｅ（ｔ）の振幅 ｕ_０：飽和要素の飽和値 β_１＞０、β_２≧０：定数
4. 【請求項４】 前記フィードバック制御系は、さらに位
   相を設定できる一次遅れ要素を有しており、 前記ゲイン要素の入力から振幅を計測する手段は、周波
   数も計測し、 前記調整手段は、前記一次遅れ要素を所定位相に設定す
   ることもでき、前記調整手段は、計測された振幅と周波
   数から、前記可変ゲイン要素のゲインとともに、前記一
   次遅れ要素に対して位相を、下記の式によって十分小さ
   なＴ（Ｔ＞０）から所定位相に適応的に調整することに
   より、所定の位相における前記フィードバック制御系に
   おける前記伝達関数を同定することを特徴とする請求項
   ３記載の限界ゲインの同定装置。 【数４】 ここで Ｔ：一次遅れ要素の時定数 ω：周波数 θ_ｃ：位相の指定値 α＞０：定数