JP2001056640A

JP2001056640A - 積和演算装置及びこれを用いた暗号・復号装置

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Publication number: JP2001056640A
Application number: JP11232822A
Authority: JP
Inventors: Koichi Sugimoto; 浩一杉本
Original assignee: Toyo Communication Equipment Co Ltd
Current assignee: Toyo Communication Equipment Co Ltd
Priority date: 1999-08-19
Filing date: 1999-08-19
Publication date: 2001-02-27
Anticipated expiration: 2019-08-19
Also published as: JP4472808B2

Abstract

(57)【要約】【課題】拡大体GF(2^m)上の演算において、拡大次数m
によって回路規模が拡大しない積和演算装置を提供す
る。【解決手段】本発明は、nを自然数としたとき、nビット
で表される２つのベクトルA=(a₀,・・・,a_n-1)、B=(b₀,
・・・,b_n-1)及び、2nビットで表されるベクトルC=(c₀,
・・・,c_2n-1)を、条件式【式５】に従って、互いに演算し、2nビットのベクトルD=(d₀,・
・・,d_2n-1)を得る積和演算装置である。本発明の積和
演算装置は、前記条件式に沿って演算を実行するため
の、論理積手段１１０〜１２５と、第１の排他的論理和
手段１３０〜１３８と、第２の排他的論理和手段１４０
〜１４６とを備える。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、符号・暗号装置等
に用いられるガロア体上の演算を実現するために必要な
積和演算装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】従来より、情報の符号・暗号の分野で
は、ガロア体上の演算が利用されている。ガロア体GF(2
^m)は、2^m個の元からなる集合であり、その表現方法とし
てベクトル表現がよく用いられる。前記ベクトル表現に
おいては、GF(2^m)上の元aはGF(2)の元a_i∈{0,1}を用い
て、m次元ベクトル a=(a₀，・・・，a_m-1) として表現する。ベクトル表現においては、元の表現は
ベクトル空間の基底によって決定される。特に、多項式
基底では、GF(2)上m次既約多項式fを生成多項式とし、f
の根である元αを用いて、(1，α，α²，・・・，
α^m-1)を基底とする。また、このとき、GF(2^m)上の元a
の多項式表現は、xを変数として、 a=a₀＋a₁x＋a₂x²＋・・・＋a_m-1x^m-1 となる。GF(2^m)上の元同士の演算は、前記多項式表現を
用いると理解しやすい。

【０００３】GF(2^m)上の２つの元を、 a=(a₀,・・・,a_m-1) b=(b₀,・・・,b_m-1) とする。このとき、２つの元の加算c=a＋bは、多項式表
現を用いて、 c=a＋b =a₀＋a₁x＋a₂x²＋・・・＋a_m-1x^m-1＋b₀＋b₁x＋b₂x²＋・・・＋b_m-1x^m-1 =(a₀＋b₀)＋(a₁＋b₁)x＋(a₂＋b₂)x²＋・・・＋(a_m-1＋b_m-1)x^m-1 となる。すなわち、 c=(c₀，・・・，c_m-1)=(a₀＋b₀，・・・，a_m-1＋b_m-1) である。ここに、＋はGF(2)上の演算であるから、排他
的論理和演算となる。また、２つの元の乗算d=abは、多
項式表現を用いて、まず、

【０００４】

【式２】と計算できる。さらに、xに関するm次以上の項を全て、
GF(2)上m次既約多項式 f(x)=h₀＋h₁x＋h₂x²＋・・・＋h_m-1x^m-1＋x^m によってm-1次以下の多項式とし、上式を変形する。す
なわち、f(x)を０とおき、 x^m=h₀＋h₁x＋h₂x²＋・・・＋h_m-1x^m-1 をm次以上の項に繰り返し適用し、m-１次以下にする。
最終的な結果を、 d=d₀＋d₁x＋d₂x²＋・・・＋d_m-1x^m-1 とすると、乗算結果のベクトル表現は、 d=(d₀,・・・,d_m-1) となる。

【０００５】図４に示すのは、乗算を実現する方法とし
て、従来からよく知られている、シフトレジスタを用い
たGF(2^m)乗算回路である。GF(2)上m次既約多項式を、 f(x)=h₀＋h₁x＋h₂x²＋・・・＋h_m-1x^m-1＋x^m とし、0＜m≦nを満たす任意のmに対して、GF(2^m)上の
元、 a=(a₀,・・・,a_m-1) b=(b₀,・・・,b_m-1) における乗算を計算するには、まず、

【０００６】

【式３】を設定しておく。端子４０７には、計算を開始するまで
は「０」を入カしておく。この状態では、Ｄフリップフ
ロップ４０１〜４０３には、x₀〜x_n-1の値が設定されて
いる。端子４０７に「１」を入力すると、計算が開始さ
れ、mクロック後のＤフリップフロップ４０４〜４０６
に結果が格納される。すなわち、乗算結果を d=(d₀,・・・,d_m-1) とすると、 d_m-i = Z_n-i, (1≦i≦m) として取り出せる。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】しかるに、図４に示し
た乗算回路は、拡大次数mが大きくなると、mに比例して
回路規模を大きくしなければならないという問題を有す
る。また、図４に示した回路は一度、回路を設計してし
まうと、n＜mとなる拡大次数の乗算が計算不可能である
ため、汎用性に乏しいといった欠点も有する。

【０００８】従って本発明の目的は、拡大次数mによっ
て回路規模が拡大しない積和演算装置を提供することに
ある。

【０００９】また、本発明の別の目的は、拡大次数mに
よる制限のない汎用的な積和演算装置を提供することに
ある。

【００１０】

【課題を解決するための手段】前記目的を達成するため
本発明は、nを自然数としたとき、nビットで表される２
つのベクトルA=(a₀,・・・,a_n-1)、B=(b₀,・・・,b_n-1)
及び、2nビットで表されるベクトルC=(c₀,・・・,
c_2n-1)を、条件式

【００１１】

【式４】に従って、互いに演算し、2nビットのベクトルD=(d₀,・
・・,d_2n-1)を得る積和演算装置であって、前記条件を
満たすa_i、b_jの各組み合せについて、論理積演算を実行
する論理積手段と、前記条件を満たす前記論理積手段の
演算結果の各組み合わせについて、排他的論理和演算を
実行し、又は前記条件を満たす該排他的論理和演算の結
果と前記論理積手段の演算結果の各組み合わせについ
て、排他的論理和演算を実行する第１の排他的論理和手
段と、前記条件を満たす前記論理積手段又は前記第１の
排他的論理和手段の演算結果と前記ベクトルCの各ビッ
トについて、排他的論理和演算を実行し、前記ベクトル
Dの各ビットを得る第２の排他的論理和手段とを備えて
構成される。

【００１２】また本発明は、前記積和演算装置を備え、
伝送する情報ビットをガロア体GF(2^m)上の演算を用いて
暗号化する暗号装置として構成することができる。

【００１３】更に本発明は、前記積和演算装置を備え、
前記暗号化装置によって暗号化された情報ビットを、ガ
ロア体GF(2^m)上の演算を用いて復号化する復号装置とし
て構成することができる。

【００１４】前述したように、GF(2^m)上の乗算は、多項
式表現された２つの元、すなわち、GF(2)上の多項式同
士の乗算の後に、結果をGF(2)上のm次既約多項式で除算
することで実現できる。本発明は、GF(2)上の多項式同
士の乗算を実現するために用いられる。乗算後の結果
を、GF(2)上のm次既約多項式で除算する場合、特殊な規
約多項式を用いると、単純な論理演算によって、除算が
実現できる場合がある。特に、 f(x)=１＋x＋x²＋・・・＋x^m がGF(2)上の規約多項式となる場合は、除算が排他的論
理和演算によって計算可能であることが知られている。
前記規約多項式によって生成されたGF(2^m)を円分体と呼
ぶ。

【００１５】GF(2^m)の多項式表現された２つの元同士を
GF(2)上の多項式として乗算した結果を、ｇ(x)=c₀＋c₁x＋c₂x²＋・・・＋c_2m-2x^2m-2 と表したとする。この時、前記２つの元のGF(2^m)上の乗
算結果の多項式表現dは、 d=(c₀＋c_m+1＋c_m)＋(c₁＋c_m+2＋c_m)x＋・・・＋(c_m-2＋
c_2m-2＋c_m)x^m-2＋(c_m- ₁＋c_m)x^m-1 となる。すなわち、GF(2^m)上の乗算結果は、 d=(c₀＋c_m+1＋c_m，c₁＋c_m+2＋c_m，・・・，c_m-2＋c_2m-2
＋c_m，c_m-1＋c_m) となり、排他的論埋和演算のみでGF(2)上の多項式の除
算が計算できたことになる。従って、本発明を用いて、
ガロア体GF(2^m)上の乗算を実現でき、目的が達成でき
る。

【００１６】

【発明の実施の形態】以下、図示した一実施形態に基い
て本発明を詳細に説明する。図１は、本発明に係るガロ
ア体GF(2^m)上の演算を実現する積和演算装置の回路構成
を示す図である。本実施形態では、前記条件式（１）に
おいてn=4とした場合の例を示す。なお、本発明の実施
に際し、前記回路構成は、ハードウェアのみによって実
現しても良いし、ソフトウェアとの組み合せによって実
現しても良い。

【００１７】積和演算装置１００は、図２に示す論理積
素子２０１と排他的論理和素子２０２を複数組合わせて
構成される。論理積素子２０１は、２つの入力ビットを
論理積した結果を出力する。排他的論理和素子２０２
は、２つの入力ビットを排他的論理和した結果を出力す
る。前記論理積素子２０１と排他的論理和素子２０２の
組合わせによって、積和演算装置１００は、前記条件式
１に従うガロア体GF(2^m)上の積和演算を実現する。すな
わち、積和演算装置１００は、１６個の論理積素子１１
０〜１２５、第１のグループに属する９個の排他的論理
和素子１３０〜１３８及び第２のグループに属する７個
の排他的論理和素子１４０〜１４６を含んで構成され
る。

【００１８】論理積素子１１０〜１２５は、条件式１を
満たすa_i、b_jの各組み合せについて、論理積演算を実行
するものである。本実施形態においては、n=4であるか
ら、条件式１中の 0≦k≦2n-2 の条件より、i+jは、０〜６の値を取り、各論理積素子
１１０〜１２５では、(a₀,a₁,a₂,a₃)と(b₀,b₁,b₂,b₃)の
各組み合わせについて論理積演算が実行される。

【００１９】第１のグループに属する排他的論理和素子
１３０〜１３８は、条件式１を満たす論理積素子１１０
〜１２５の演算結果の各組み合わせについて、排他的論
理和演算を実行し、又は他の排他的論理和素子によるこ
の排他的論理和演算の結果と論理積素子１１０〜１２５
の演算結果の各組み合わせについて、排他的論理和演算
を実行する。例えば、排他的論理和素子１３０は、論理
積素子１１１と１１４の演算結果の組み合せについて、
排他的論理和演算を実行し、その結果を出力する。ま
た、排他的論理和素子１３３は、論理積素子１１８と排
他的論理和素子１３１（これは、論理積素子１１２と１
１５の排他的論理和を出力する）の演算結果の組み合せ
について、排他的論理和演算を実行し、その結果を出力
する。

【００２０】第２のグループに属する排他的論理和素子
１４０〜１４６は、条件式１を満たす論理積素子１１０
〜１２５又は第１のグループに属する排他的論理和素子
１３０〜１３８の演算結果とベクトルCの各ビットにつ
いて、排他的論理和演算を実行して、ベクトルDの各ビ
ットを得る。

【００２１】次に、前記積和演算装置１００の動作につ
いて説明する。本演算装置の動作を、 D←AB＋C と表すものとする。また、C=(C_R，C_L)、すなわち、 C_R=(c₀，・・・，c_n-1)，C_L=(c_n，・・・，c_2n-1) と定義し、 D=(D_R，D_L) すなわち、 D_R=(d₀，・・・，d_n-1)，D_L=(d_n，・・・，d_2n-1) と定義する。

【００２２】まず、GF(2^m)上の２つの元 u=(u₀，・・・，u_m-1)、 v=(v₀，・・・，v_m-1) をnビット単位でブロック分割する。すなわち、 u=(U₀，U₁，・・・，U_M-1)、 v=(V₀，V₁，・・・，V_M-1) 但し、 U₀=(u₀，・・・，u_n-1)，U₁=(u_n，・・・，u_2n-1)，・
・・、 V₀=(v₀，・・・，v_n-1)，V₁=(v_n，・・・，v_2n-1)，・
・・であり、最終ブロックU_M-1の要素U_m-1以降、及びV_M-1の
要素v_m-1以降の部分は、「０」で埋めておく。 w=(W₀，W₁，・・・，W_2M-1) 但し、 W₀=(w₀，・・・，w_n-1)，W₁=(w_n，・・・w_2n-1)，・・
・とし、wに演算結果を格納するものとする。GF(2)上の多
項式同士の乗算w←uvは図３に示す手続きによって実現
される。

【００２３】すなわち、最初のステップ３０１でwが
「０」に設定され、ステップ３０２でi、jは「M-1」に
設定される。続くステップ３０３及び３０４で、A、B及
びCに最初の値が代入され、これらの値に従ってステッ
プ３０５で、積和演算が実行される。続くステップ３０
６で、該演算結果としてのD_L及びD_Rが、所定のw、Cにそ
れぞれ入力され、ステップ３０７でjが１デクリメント
される。そして、jが負になるまで、ステップ３０４〜
３０７を繰り返す（ステップ３０８）。ステップ３０８
でjが負になると、ステップ３０９で、所定のwにD_Rの値
が代入され、ステップ３１０でiは１デクリメントされ
ると共に、jは初期値に戻される。そして、iの値が負に
なるまで、ステップ３０３〜３１０が繰り返される（ス
テップ３１１）。ステップ３１１において、iが負にな
ると、全ての演算は終了し、処理が完了する。

【００２４】次に、本実施形態において、円分体GF
(2¹⁰)上の２元 u=(1,1,0,0,1,0,1,0,1,1)、 v=(1,0,1,0,1,1,1,0,1,0) を乗算する例を示す。u、vを４ビット単位でブロック分
割すると、 U₀=(1,1,0,0)、U₁=(1,0,1,0)、U₂=(1,1,0,0)、 V₀=(1,0,1,0)、V₁=(1,1,1,0)、V₂=(1,0,0,0) となる。図３の手続きでは、ステップ３０５演算の手続
を９回通過することになる。第１回目では、 C=(0,0,0,0,0,0,0,0)、A=U₂、B=V₂ であるから、図１において、 (a₀,a₁,a₂,a₃)=(1,1,0,0)、 (b₀,b₁,b₂,b₃)=(1,0,0,0)、 (c₀,c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆,c₇)=(0,0,0,0,0,0,0,0) が入力される。したがって、出力は、 (d₀,d₁,d₂,d₃,d₄,d₅,d₆,d₇)=(1,1,0,0,0,0,0,0) となる。同様に、２回目から９回目まで、図３の手続き
におけるステップ３０５では、図１における(d₀,d₁,d₂,
d₃,d₄,d₅,d₆,d₇)として、順番に、２回目：(1,0,0,1,1,1,0,0)、３回目：(1,1,1,1,1,0,0,1)、４回目：(0,0,1,1,1,1,0,0)、５回目：(0,0,1,0,1,0,1,1)、６回目：(1,0,0,0,1,0,1,0)、７回目：(0,1,1,0,1,0,1,1)、８回目：(0,0,0,1,0,1,1,0)、９回目：(1,1,1,1,0,0,0,1) が出力され、したがって、 W₀=(1,1,1,1)、 W₁=(0,0,0,1)、 W₂=(0,1,1,0)、 W₃=(1,0,1,1)、 W₄=(1,1,0,0)、 W₅=(0,0,0,0) となる。すなわち、 w=uv=(1,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0,0) である。wにおいて１１ビット目は１であるから、乗算
結果であるGF(2¹⁰)上の元は、円分体の性質を利用し
て、 (1+0+1,1+1+1,1+0+1,1+1+1,0+1+1,0+1+1,0+1+1,1+0+1,0
+0+1,1+1)＝（０，１，０，１，０，０，０，０，１，
０）となる。

【００２５】以上、本発明の一実施形態を図面に沿って
説明した。しかしながら本発明は前記実施形態に示した
事項に限定されず、特許請求の範囲の記載に基いてその
変更、改良等が可能であることは明らかである。本発明
では、例として、円分体を用いてその原理を説明した
が、本発明は円分体に限らず、一般のGF(2^m)上の乗算を
実現するために利用することができる。

【００２６】

【発明の効果】以上説明してきたように、本発明の積和
演算装置は、ガロア体GF(2^m)上の乗算を実現するために
利用でき、拡大次数mによる制限もなく、従って、汎用
的な回路を実現することができる。

【００２７】また、拡大次数mによって回路規模が決定
されないので、mが大きくなると回路規模が大きくなる
という問題も解決できる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施形態に係る積和演算装置の回路
構成図である。

【図２】図１の積和演算装置の回路構成に用いられる論
理素子を示した図である。

【図３】図１の積和演算装置における演算の手順を説明
するためのフローチャートである。

【図４】従来のガロア体上の乗算装置における回路構成
図である。

【符号の説明】

１００積和演算装置１１０〜１２５論理積素子１３０〜１３８第１の排他的論理和素子１４０〜１４６第２の排他的論理和素子

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】 nを自然数としたとき、nビットで表され
る２つのベクトル A=(a₀,・・・,a_n-1)、 B=(b₀,・・・,b_n-1) 及び、2nビットで表されるベクトル C=(c₀,・・・,c_2n-1) を、条件式【式１】に従って、互いに演算し、2nビットのベクトル D=(d₀,・・・,d_2n-1) を得る積和演算装置であって、前記条件を満たすa_i、b_jの各組み合せについて、論理積
演算を実行する論理積手段と、前記条件を満たす前記論理積手段の演算結果の各組み合
わせについて、排他的論理和演算を実行し、又は前記条
件を満たす該排他的論理和演算の結果と前記論理積手段
の演算結果の各組み合わせについて、排他的論理和演算
を実行する第１の排他的論理和手段と、前記条件を満たす前記論理積手段又は前記第１の排他的
論理和手段の演算結果と前記ベクトルCの各ビットにつ
いて、排他的論理和演算を実行し、前記ベクトルDの各
ビットを得る第２の排他的論理和手段と、を備えたこと
を特徴とする積和演算装置。
【請求項２】請求項１記載の積和演算装置を備え、伝
送する情報ビットをガロア体GF(2^m)上の演算を用いて暗
号化することを特徴とする暗号装置。
【請求項３】請求項１記載の積和演算装置を備え、請
求項２記載の暗号化装置によって暗号化された情報ビッ
トを、ガロア体GF(2^m)上の演算を用いて復号化すること
を特徴とする復号装置。