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Gerät zum Zeichnen von Kurven Im übergeordneten Patent 513 964 ist
ein Gerät zum Zeichnen von Kurven, vorzugsweise zur mechanischen Abwandlung (Verzerrung)
einfacher Kurven, insbesondere zur mechanischen konformen Abbildung von Kegelschnitten
u. dgl. zwecks Zeichnung von Strömungsprofilen, angegeben, das im wesentlichen aus
der Verbindung eines die umzuformende Funktion (Kurve) verkörpernden Koppelgliedes,
das zwei gemäß Koordinatenrichtungen geführte Teile führt, und eines an diese Gleitstücke
angelenkken, der Abwandlungsbeziehung entsprechenden, umformenden und zeichnenden
Gestänges besteht.
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Als Ausführungsbeispiel ist dort ein Sondergerät beschrieben, das
es ermöglicht, die Abbildung einer Ebene auf eine zweite, und zwar vorzugsweise
gemäß der strömungstheoretisch wichtigen Abwandlungsbeziehung auszuführen, die durch
die rational gebrochene Funktion der komplexen Veränderlichen
gegeben ist. Zu diesem Zwecke besteht das den Schreibstift tragende Abwandlungsgestänge
storchschnabelartig aus einem zum Dreieck zusammengesetzten, an die Gleitstücke
angelenkten Hebelpaar mit zwei vorzugsweise in der Mitte dieser Hebel angesetzten
Schreibstiftlenkern, vorzugsweise halber Länge wie die Hebel, wobei die beiden an
die Gleitstücke angelenkten Gestängehebel der Beziehung genügen, daß dert'nterschied
ihrer Längenquadrate gleich der reellen positiven Konstante r 2 in der obigen Gleichung
ist.
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Als umzuformende Kurve ist bei dem beschriebenen Ausführungsbeispiel,
im Hinblick auf die besondere Verwendung der Vorrichtung zur Aufzeichnung von joukowskv-Strömungsprofilen,
der Kreis gewählt. Zu diesem Zwecke besteht das koppelnde Verbindungsglied der beiden
längs einem Achsenkreuz geführten Gleitstücke in einem an diese vorzugsweise unmittelbar
angelenkten, längsverstellbaren Lenker; dessen Länge gleich dem Halbmesser des abzuwandelnden
Kreises ist und dessen Gelenkpunktabstände von den Anschlußgelenkpunkten des Abwandlungsgestänges
gleich den Mittelpunktskoordinaten des Ausgangskreises eingestellt sind.
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Auf diese Weise wird erreicht, daß das eine
Gleitstück
in bezug auf das andere eineKreisbahn mit den jeweils gegebenen Parametern des Ausgangskreises
beschreibt und daß gleichzeitig die dieserKreislinie entsprechende komplexe Veränderliche
z auf das Abwandlungsgestänge übertragen wird, das seinerseits diese relative Kreisbewegung
kinematisch umformt und auf der Zeichenebene die der erwähnten Beziehung entsprechende
»Abbildung« des Kreises aufzeichnet.
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Will man nun an Stelle des einfachen Kreises allgemeinere Kurven umformen
(»abbilden«), so wird man dein koppelnden Verbindungsglied eine andere, im allgemeinen
verwickeltere Gestalt geben müssen, und der Gegenstand vorliegender Erfindung ist
ein Gerät, das sich in der Bauart im wesentlichen an das in der übergeordneten Erfindung
beschriebene anschließt, bei dein aber das Verbindungsglied der beiden Gleitstücke
mit diesen durch Gelenke in Verbindung steht, die ihrerseits, im allgemeinen, in
einer oder 1nehreren, auf den geführten Teilen angebrachten, gegebenenfalls einstellbaren
zusätzlichen Führungen geführt sind.
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Diese Anordnung soll insbesondere zur Abwandlung von beliebigen Ellipsen
dienen, und zu diesem Zweck ist das Verbindungsglied als ein längsverstellbarer
Lenker ausgebildet, der drei Gelenkpunkte besitzt, von denen der eine sich unmittelbar
auf einem der Gleitstücke befindet, die beiden anderen jedoch ihrerseits gemäß einem
zusätzlichen Achsenkreuz geführt sind, das auf dem zweiten Gleitstück, in der Winkellage
verstellbar, befestigt ist. Die Abstände der Gelenke voneinander und ihre Lage in
bezug auf die Gleitstücke sowie die Winkeleinstellung des zusätzlichen Achsenkreuzes
sind im allgemeinen einstellbar und entsprechen, wie unten ausführlich angegeben,
den Bestimmungsgrößen der abzuwandelnden Ellipse.
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Auf diese Weise wird erreicht, daß das eine, mit dem Lenker unmittelbar
gelenkig verbundene Gleitstück in bezug auf das andere, die zusätzlich geführten
Gelenke tragende Gleitstück eine durch die jeweils gegebenen Parameter bestimmte
Ellipsenbahn beschreibt, und daß gleichzeitig die dieser Ellipsenlinie entsprechende
komplexe Veränderliche z auf dasAbwandlungsgestänge übertragen wird, das seinerseits
diese relative Ellipsenbewegung umformt und auf der Zeichenebene die jeweilige gemäß
der im Gestänge verkörperten Beziehung geformte »Abbildung« der Ellipse aufzeichnet.
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Auf der Zeichnung ist die Erfindung beispielsweise in einer Sonderausführung
veranschaulicht, bei der das umformende Gestänge, ähnlich wie bei dem im übergeordneten
Patent beschriebenen Gerät, vorzugsweise gemäß der strömungstheoretisch wichtigen,
oben erläuterten Beziehung
ausgebildet ist, so däß die Vorrichtung sich insbesondere für Aufzeichnung von sogenannten
Müller-Strömungsprofilen eignet, die eine Verallgemeinerung der oben erwähnten Joukow
sky-Profile darstellen.
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In Abb. i bis 3 sind die geometrischen und kinematischen Grundlagen
der Erfindung dargestellt, in Abb. a und 5 das Gerät selbst und in Abb. 6 bis 8
einige Einzelteile: und zwar zeigt: Abb. i die beispielsweise zur Umformung bestimmte
Ellipse, Abb. a das Ergebnis der Umformung, Abb.3 das kinematische Gelenk und Gestängeschema
des Geräts, Abb.4 dessen tatsächliche Ausführung im Grundriß und Abb. 5 im Aufriß,
z. T. geschnitten, Abb.6 eine Sonderausführung eines Gelenks im Grundriß, Abb. 7
denselben Teil im Seitenriß und Abb. 8 ein verstellbares Gestänge.
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Die in Abb. i dargestellte Ausgangsellipse besitzt die Halbachsen
c und d, und ihre Lage in der komplexen z-Ebene, die durch die Koordinatenachsen
i, y mit dem -Nullpunkt o gegeben ist, ist bestimmt durch die Mittelpunktskoordinaten
a und b sowie den Winkel a, den die große Achse der Ellipse mit der
x-Achse bildet.
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Das in Abb. a eingezeichnete, durch konforme Abbildung der Ellipse
(nach Abb. i), gemäß der Beziehung
entstandene Profil ist im Koordinatensystem Y, Y der Z-Ebene mit dem -Nullpunkt
0 durch die Spitzenabszisse r orientiert (wobei vorausgesetzt wird, daß der Abstand
des Schnittpunktes A der Ellipse mit der x-Achse vom Koordinatenanfang o in Abb.
i gleich dieser Größer ist und mit der Konstanten r
der obigen Gleichung
übereinstimmt) und zeigt als Beispiel den Punkt Z, der dem Punkt z der Abb. i entspricht.
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Im geometrisch-kinematischen Schema des Geräts nach Abb.3 entspricht
der Z-Ebene das feste Koordinatenkreuz x, I' mit dein Anfangspunkt 0, während die
komplexe z-Ebene mit den beweglichen Koordinatenachsen x, y durch das längs der
Koordinate Y geführte Gleitptiick 5 verkörpert ist. Der dem ursprünglichen Koordinatenanfang
o e.ntsprechende
Nullpunkt des bewegten Systems befindet sich im
Punkt N des Gleitstücks 5.
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Die geometrisch-kinernatische Verkörperung der umzuformenden Ellipse
ist der Lenkerstrahl 6, der einerseits in Punkt K an das längs der Abszissenachse
X bewegliche Gleitstück 4. angelenkt ist, andererseits mit dem längs der Ordinatenachsel'
beweglichenGleitstück 5 durch die Vermittlung eines zusätzlichen Achsenkreuzes 1,
11 in Verbindung steht, das mit dem Gleitstück 5 fest verbunden ist und in bezug
auf die Hauptkoordinatenachsen ebenso orientiert ist wie Hauptachsen der Ellipse
in der ursprünglichen --Ebene (Abb. i).
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Die Kopplung des Lenkerstrahls 6 mit dem zusätzlichen Achsenkreuz
erfolgt durch zwei gemäß letzterem geführte zusätzliche Gleitstücke 24., 25, an
die der Lenkerstrahl 6 in Punkten S, P angelenkt ist. Der Abstand der Gelenkpunkte
S, K ist gleich der großen Halbachse c und der Abstand der Gelenkpunkte
P, K gleich der kleinen Halbachse der Ellipse. Der Abstand des KoordinatenanfangesJ
des zusätzlichen Achsenkreuzes I, II vom Nullpunkt N des bewegten Systems
x, y ist gleich der Ordinate h des Ellipsenmittelpunkts, während seine Abszisse
a durch den Abstand des Gelenkpunktes K des Lenkerstrahls 6 vom Gelenkpunkt .11,
der sich ebenfalls auf dem zweiten Gleitstück a. befindet, verkörpert ist.
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Es ist unschwer zu erkennen, daß auf diese Weise bei jeder beliebigen
gegenseitigen Stellung der Gleitstücke 5, d. die gegenseitige Lage der Punkte N,
M durch eine Verknüpfung der Koordinaten x, y des Punktes I12 im bewegten
Koordinatensystem und der Größen SIi, P7, ,jN, K112 sowie des Winkels
11, J, Y ausgedrückt werden kann, die vollständig der Ellipsengleichung in Bezug
auf die Koordinaten x" v der Abb. i entspricht, oder, mit anderen Worten, daß durch
die in Abb. 3 dargestellte Anordnung des Lenkers 6 tatsächlich die erstrebteVerkörperung
der umzuformenden Ausgangsfunktion erreicht ist.
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Die Funktion der Abwandlung selbst, die Beziehung
ist durch das rhomboidale Hebelsystem 1VE, EM, AD, DB verkörpert,
das in den Haupt-5 punkten N und M der Gleitstücke 5, d angelenkt ist, Die
Hebellängen NE, EM sind so gewählt, daß der Unterschied ihrer Quadrate gleich
ist der Konstanter-, während die Hebellängen _4D, DB die halben Längen
der o entsprechenden Hebel NE, ENI besitzen und in den Mitten dieser Hebel
angelenkt sind. Durch die angegebene Anordnung ist erreicht, daß bei beliebiger
gegenseitiger Stellung der Gleitstücke 5, .4 die Lage des Punktes D, in dem
die Hebel NE, EJVl zusammenlaufen, im Koordinatensystem 1, Y stets die Bedingung
der Gleichung
erfüllt, indem
wo X (die reelle Komponente von Z) gleich ist OF, Y (die imagin. Komponente
von 7; gleich ist OG, x (die reelle Komponente von z ) gleich ist Ölbl und
y (die imagin. Komponente von z) gleich ist ON. Die einfache Ableitung
dieser Beziehungen befindet sich in der übergeordneten Erfindung und soll hier nicht
wiederholt werden.
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Die Wirkungsweise der in Abb.3 dargestellten geometrisch-kinematischenAnordnung
ist folgende.
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Bei Bewegung des Lenkerstrahls 6 bewegen sich die Gleitstücke 5. 4.
längs den festen Koordinatenachsen X , l' und die Gelenkpunkte S, P des Lenkerstrahls
6 gemäß dem zusätzlichen Achsenkreuz I, 11. Dabei beschreibt der Punkt 11 des Gleitstücks
4. in Bezug auf den (ruhenden) Punkt 1' des Gleitstücks 5 (infolge der oben beschriebenen
besonderen Kopplung der beiden Schieber durch den Lenkerstrahl 6) eine relative
Ellipsenbahn, die der umzuformenden Ellipse in allen Bestimmungsgrößen entspricht.
Gleichzeitig durchläuft der Punkt D, dessen Lage im festen KOOrdinatenSyStemX,Y
zugleich durch die gegenseitige Stellung der Punkte N, 11
der Gleitstücke
5, .1 und die besondere Bewegung des Hebelsystems NE, EM, ÄD,
DB bestimmt wird, in Bezug auf das Koordinatensystem 1:, Y eine Bahn, die
der in Abb. 2 aufgezeichneten, die konforme Abbildung der Ausgangsellipse darstellenden
Kurve gleicht.
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Bei der wirklichen Ausführung des Geräts gemäß Abb..1 und 5 ist das
Koordinatenkreuz Y, Y durch ein Schlitzkreuz i gegeben, das mit Füßen ; auf die
Zeichenebene aufstellbar ist. In den Schlitzen 2, 3 des Kreuzes i befinden sich
Gleitstücke 4., 5. Auf dem letztgenannten Gleitstück ist eine Kreisplatte 2i befestigt,
die von einem konzentrischen Kreis 22 drehbar eingefaßt ist, dessen veränderbare
Winkellage in Bezug auf die Platte 21 (und somit auch in Bezug auf das Gleitstück
5 und das Schlitzkreuz i) mittels einer Kreisteilung
und einer
Marke 29 ablesbar und mittels einer Klemmschraube 28 feststellbar ist.
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Der Ring 21 trägt ein zusätzliches Schlitzkreuz 23 mit dem (stets
über der Mittellinie des Schlitzes 3 bleibenden) Mittelpunkt J und Schlitzen I,
II, die dem zusätzlichen Achsenkreuz I, TI der Abb. 3 entsprechen. In diesen Schlitzen
sind zwei Schieber 24., 25 gleitbar gelagert, an die der Lenker 6 angelenkt ist,
und zwar an den Schieber 24. unmittelbar durch ein Gelenk P und an den Schieber
z5 über einen Drehteil 26 mit Durchlaß für den Lenker 6 und Festspannschraube 27.
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Das andere Ende des Lenkers 6 ist an das Gleitstück 4. angelenkt,
und zwar ebenfalls über einen Drehteil 1.4 mit Durchlaß für den Lenker 6 und Festspannschraube
15. An den beiden äußersten Enden des Lenkers befinden sich Griffe 6'.
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Das umformende und zeichnende Gestänge besteht aus einem zum Dreieck
zusammengesetzten Hebelpaar 16, 17 mit zwei in den Mitten dieser Hebel angesetzten,
zum Schreibstift2o zusammengeführten Lenkern 18, i9 halber Länge wie die Hebel,
ähnlich der in der übergeordneten Erfindung beschriebenen Anordnung, jedoch mit
dem Unterschied, daß bei der vorliegenden Ausführung die Hebel 16, 17 an die Gleitstücke
q., 5 nicht unmittelbar und fest angelenkt sind, sondern indem die Gelenke 111,
N längsverschieblich und in verschiedenen Stellungen festklemmbar auf zwei Schlitten
11, 12 angeordnet sind, die auf Schwalbenschwanzführungen 9, io der Gleitstücke
q., 5 laufen und durch Klemmschrauben 13 festlegbar sind. Indessen kann das Gestänge
16, 17 an die Gleitstücke .4, 5 auch unmittelbar angelenkt sein, doch müssen
dann, zwecks Einstellbarkeit der Abstände KM, JN, sowohl das Gelenk :K
als auch die das zusätzliche Schlitzkreuz 23 tragende Platte 21 auf den Gleitstücken
4., 5 verschiebbar und in verschiedenen Stellungen festklemmbar angeordnet sein.
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Um eine weitergehende Verstellbarkeit des Gelenkpunktabstandes PS
auf dem Lenker 6 zu ermöglichen (bei der beschriebenen Ausführung nach Abb. q. ist
diese Verstellbarkeit behindert, so daß der genannte Abstand nicht beliebig verkleinert
werden kann, was unter Umständen erforderlich ist), kann das Gelenk P, wie es beispielsweise
auf Abb. 6, 7 dargestellt ist, durch ein Ringgelenk ersetzt werden, d. h. in zwei
gegeneinander drehbare, vorzugsweise in einer Ebene liegende konzentrische Kreisringe
30, 31 aufgelöst werden, indem der letztere mit dem Lenker 6 fest verbunden ist
und der erstere von zwei an entgegengesetzten Punkten des Ringes befestigten Schiebern
24 getragen ist, die das Ringgelenk im Schlitz I des zusätzlichen Achsenkreuzes
führen. Es ist ersichtlich, daß nunmehr der Abstand zwischen dem Gelenkpunkt S und
dem Gelenkpunkt P (jetzt Mittelpunkt der Ringe 30, 31) beliebig verkleinert werden
kann, unter Umständen bis auf den Wert Null.
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Eine weitere Verstellbarkeit der Vorr ichtun- ist durch" eine in Abb.
i; dargestellte, besondere Ausgestaltung des Gestänges ermöglicht, indem beispielsweise
die Längen der Hebel 17, ig veränderbar gemacht sind. Zu diesem Zweck ist einerseits
der Gelenkpunkt E auf der Hebelstange 17 längsverschieblich und in verschiedenen
Stellungen festkleinmbar angeordnet, indem er an einem Drehteil 32 mit Durchlaß
für die Stange 17 und Feststellschraube 35 befestigt ist; andererseits der Gelenkpunkt
A zugleich auf den Hebeln 17 und ig längsverschieblich und in verschiedenen Stellungen
festklemmbar angeordnet ist, indem das Gelenk A zwischen zwei Drehteile 33, 32 gelegt
ist, die beide mit Feststellschrauben 35 versehen sind, und von denen der eine einen
Durchlaß für die Stange 17 und der andere einen Durchlaß für die Stange i9 besitzt.
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Die Wirkungsweise der Erfindung ist grundsätzlich bereits oben bei
der Erläuterung des in Abb. 3 dargestellten geometrischkinematischen Schemas des
Geräts beschrieben, so daß im folgenden mehr auf die äußere Handhabung der Vorrichtung
eingegangen werden soll.
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Es sei beispielsweise ein Strömungsprofil aus einer Ellipse abzuleiten,
deren Halbachsen die Längen c, d und deren Mittelpunktskoordinaten die Längen
a, b besitzen und deren große Achsel mit der Abszissenachse x den
Winkel a bildet. Falls das Profil eine Spitze aufweisen soll, muß die Ellipse, wie
es die Theorie der konformen Abbildung von Strömungskurven zeigt, die x-Achse im
Punkt mit der Abszisse - r (oder auch --f- r) schneiden.
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Die genannten Bestimmungsgrößen werden nun auf dem Gerät eingestellt,
indem beispielsweise zuerst, entsprechend dem Winkel a, das sekundäre Schlitzkreuz
23 vermittels des drehbaren Ringes 22 in bezug auf das Haupt-Schlitzkreuz i orientiert
wird, wobei die Ablesung des einzustellenden Winkels mittels der auf Ring 22 befindlichen
Marke 29 und einer auf Platte 21 aufgetragenen Kreisteilung erfolgt. Darauf werden
auf dein Lenker 6 entsprechend der kleinen Halbachse d die Muffe 14 und entsprechend
der großen Halbachse c die Muffe 26 eingestellt und zum Schluß die Mittelpunktsordinaten
b mit Hilfe des Schlittens i2 und die Mittelpunktsabszisse a mit Hilfe des Schlittens
z i. Es sei hier eingeschaltet, daß die Wahl der
Parameter
a, b, c, d und ri. nicht ohne weiteres frei ist, insbesondere nicht, wenn
das Gestänge, wie in der Ausführung nach Abb. .4, 5, unveränderliche Hebellängen
und somit eine feste Kennziffer r = - NE= -E:17= besitzt. In diesem Falle sind die
einzelnen Parameter der Ellipse durch diese gegebene Größe r miteinander verknüpft,
so daß ein Parameter, vor der Einstellung des Geräts, aus den anderen und der Größer
berechnet werden muß.
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Um in dieser Hinsicht unabhängiger zu sein, kann das Gestänge, wie
es auf Abb.8 beispielsweise dargestellt ist, verstellbar eingerichtet sein. Auf
diese Weise kann das Verhältnis der beiden Hebellängen 17, 16 leicht geändert werden
und somit auch die für das Profil maßgebende Kennziffer rz. Natürlich muß dabei
(um die Abwandlungsbeziehung
nicht zu verzerren) darauf geachtet werden, daß das Gelenk A mittels der Muffe 33
in die Mitte des neuen Abstandes NE gebracht und daß die Länge des Hebels 19
mit Hilfe der Muffe 34. gleich dem neuen halben Abstand NA (bzw. AE) gemacht
wird.
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Abgesehen von der weitergehenden Einstellbarkeit des Geräts, hat ein
solches oder ähnlich verstellbares Gestänge den Vorteil, daß damit auch andere Abwandlungen
von beliebigen Ausgangskurven ausgeführt werden können als die oben beschriebenen,
die gegebenenfalls zu allgemeineren Strömungskurven führen, als es die joukowsky-
und Müller-Profile sind.
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Man kann bei der Einstellung des Geräts auf noch eine Schwierigkeit
stoßen, indem bei der Ausführung des Geräts nach Abb. 4, 5 es unmöglich ist, _den
Unterschied der beiden Lenkerabstände KP und ISS, d. h. den Abstand PS, beliebig
klein zu machen, was dann notwendig wird, wenn man Ellipsen mit kleiner Exzentrizität
umformen will, bei denen die Achsenlängen sich um weniges unterscheiden. Die oben
beschriebene Sonderausführung des Gelenks P nach Abb. 6, 7 beseitigt nicht nur diesen
Mißstand, sondern ermöglicht überdies, mit demselben Gerät auch Kreise umzuformen
und somit nicht nur Müller-Profile, sondern auch joukowsky-Profile zu zeichnen.
Zu diesem Zwecke wird der Gelenkpunkt S über dein KreismittelpunktP des Ringgelenks
30, 31 eingestellt, wodurch erreicht wird, daß die den Ellipsenhalbachsen entsprechenden
Lenkerabstände 1P und KS gleich werden.
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Nachdem sämtliche Einstellungen, wie beschrieben, ausgeführt sind,
wird der Lenker 6 mittels der Griffe 6' (beispielsweise linksherum) so bewegt, daß
er eine volle Drehung von 36o° vollführt. Dabei bewegt sich beispielsweise das Gleitstück
5 längs des Schlitzes 3 zunächst von oben nach unten zum Kreuzmittelpunkt, während
das Gleitstück 4 zu gleicher Zeit längs des rechten Kreuzarmes vom Kreuzmittelpunkt
nach rechts gleitet. In der äußersten Stellung rechts angelangt, kehrt dieses um
und geht zurück nach links zum Kreuzmittelpunkt, während das Gleitstück 5 gleichzeitig
seine Abwärtsbewegung, nun im unteren Kreuzarm, fortsetzt, bis es in die tiefste
Lage gelangt. Unterdessen hat der Schreibstift 2o auf dem unter dem Gerät aufgespannten
Zeichenblatt vorzugsweise diejenigen Teile der Profilkurve gezeichnet, die im I.
und IV. Quadranten der Z-Ebene liegen. Der fehlende, in den Quadranten III und II
liegende, spitze Teil der Kurve wird dann bei der weiteren Drehung des Lenkers 6
ergänzt, indem dabei das Gleitstück 5 aus der tiefsten in die oberste Stellung zurückkehrt
und das Gleitstück 4. gleichzeitig den linken Kreuzarm einmal hin und einmal zurück
bestreicht.
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Zum Schluß sei darauf hingewiesen, daß die Vorrichtung nicht nur zum
Zeichnen von Strömungsprofilen verwendet werden kann, sondern auch zur Lösung anderer
Aufgaben der praktischen Geometrie. Beispielsweise kann man das Gerät mit Vorteil
zum Zeichnen von Kreisbogen mit großem Halbmesser und unzugänglichem Mittelpunkt
gebrauchen. Um einen solchen Bogen, von dem die Sehne 2r und die Bogenhöhe b gegeben
sein müssen, zu zeichnen, macht man PK gleich SK und gleich (r= r- b") =, stellt
Gelenkpunkt N genau unter Punkt T (macht also a = 0), ändert die Hebellängen
des zeichnenden Gestänges so, daß 7E2 - Ti,-W? - r= wird, und verfährt
im übrigen wie oben angegeben.