DE2813519C2

DE2813519C2 - Interpolationsverfahren für Farbsignale

Info

Publication number: DE2813519C2
Application number: DE19782813519
Authority: DE
Inventors: Akira Kyoto Itooka; Takashi Sakamoto
Original assignee: Dainippon Screen Manufacturing Co Ltd
Current assignee: Dainippon Screen Manufacturing Co Ltd
Priority date: 1977-04-01
Filing date: 1978-03-29
Publication date: 1982-05-27
Also published as: JPS5816180B2; JPS53123201A; GB1595122A; DE2813519A1

Description

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Die Erfindung betrifft ein Interpolationsverfahren für Farbsignale, insbesondere eines Scanners, zur Gewinnung von Zwischenwerten zu den von einem adressierbaren Speicher gelieferten Hauptwerten, dessen Adreßpunkte in gleichen Intervallen aufeinanderfolgen und somit einen in kubische Einheiten aufgeteilten Farbraum ergeben. to

Dieses Interpolationsverfahren wird auf Signale bzw. auf die Hauptwerte in dem adressierbaren Speicher angewendet, der seinerseits für die Farbkorrektur von Bildsignalen in einer Wiedergabe- bzw. Reproduziervo.-richtung verwendet wird, wie z. B. einem Farbabta- _b5 ster, einem Farbfaksimileerzeuger oder dergleichen, v/obei durch fotoelektrisches Abtasten Farbtrennfigurbilder erzeugt werden.

Bei der herkömmlichen Herstellung von fotoelektrischen Farbplatten erfolgt die Farbkorrektur häufig durch eine fotografische Maske oder durch fotografisches Abdecken. Dieses Verfahren hat jedoch viele Nachteile, z. B.: Beschränkung der Fähigkeit der Farbkorrektur, der Bedarf vieler erfahrener Ingenieure, unzuverlässige Ergebnisse der Farbseparation, unregelmäßige Qualität der Veredelung, Komplexität und dergleichen.

Um diese Nachteile zu überwinden wurde ein Farbkorrektur-Abdeckverfahren bei einer elektronischen Farbseparationsvorrichtung, wie z. B. einem Farbabtaster, entwickelt und erfreut sich derzeit großer Beliebtheit Die meisten der zur Zeit benutzten Farbabtaster verwenden eine Analog-Computeranlage für die Farbkorrekturberechnungen, um die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen.

Dieses Verfahren hat jedoch auch Nachteile, wie z. B. die Schwierigkeit der Einführung vieler Arten von Berechnungen, und zwar wegen der beschränkten Berechnungsmöglichkeit, unvermeidliche Wirkungen von Temperaturdrift und Rauschen Vervielfachung von Betriebsverstärkern usw. als elektrische Elemente, unbequemer Betrieb infolge zahlreicher Einstellungen von Potentiometern und Schaltern und hoher Herstellungskosten.

Wenn das Analog-Computersystem einfach durch ein Digital-Computersystem ersetzt wird, welches Vorteile hat, wie z. B. einen breiten, veränderlichen Korrekturbereich und bequeme Bedienung, nimmt die Berechnungsgeschwindigkeit der Farbkorrektur sehr ab, und die Verarbeitungsfähigkeit wird reduziert. Dementsprechend ist dieses System nicht praktisch.

Es ist auch schon ein direkter Abtaster für die Plattenherstellung beim Drucken entwickelt worden, der die Farbtrennung, Farbkorrektur, Maßstabsumwandlung des reproduzierten Bildes und Halbtonverarbeiten zur gleichen Zeit durchführt, so daß er das Bedürfnis nach einem Drucken mit hoher Qualität und schnellem Betrieb erfüllt. In diesem Falle besteht jedoch der Nachteil, daß ein Abdecken hinterher oder ein Handretuschieren nach der Farbtrennung nicht vorgesehen werden kann im Gegensatz zu dem herkömmlichen Farbabtasten mit dem Farbtrennen, Farbkorrigieren, Umwandeln des Maßstabes des reproduzierten Bildes und Halbtonverarbeitung.

Im allgemeinen wird ein farbiges Original-Vollbild oder eine Figur durch einen Farbabtaster derart abgetastet, daß drei (rot, grün und blau) Farbtrennsigna-Ie erhalten werden. Diese drei Farbseparationssignale werden zu einer Farbbetriebsschaltung geschickt, wodurch man letztlich Aufzeichnungssignale für die Dichte der Druckfarben erhält, wie z. B. Cyan, Magenta bzw. Fuchsin, Gelb und Schwarz.

Um die genauestmögliche Farbreproduktion vorzusehen, wird notwendigerweise eine Kombination der Mengen an Cyan-, Magenta- und Gelb-Farben (die schwarze Farbe bzw. Druckerschwärze usw. werden zwecks Verkürzung der Beschreibung weggelassen) entsprechend einer Kombination von roten, grünen und blauen farbigen Trennsignalen bestimmt.

Folglich werden zwecks Farbkorrektur durch Auswahl der Kombination von Cyan-, Magenta- und Gelbwerten entsprechend der Kombination von Rot-, Grün- und Blau-Werten die farbkorrigierten Kombinationen von Cyan-, Magenta- und Gelb-Werten entsprechend jeder Kombination von Rot-, Grün- und Blau-Werten zuvor in einem Speicher gespeichert, und

dann wird die farbkorrigierte Kombination von Cyan-, Magenta- und Gelb-Werten dadurch ausgelesen, daß der Speicher von der entsprechenden Kombination an Rot-, Grün- und Blau-Werten adressiert wird.

Wenn jeder Rot-, Grün- und Bliu-Bereich z. B. in -, zweihundert abgetönten oder Tonstufen aufgeteilt wird, müssen insgesamt 200³=8 000 000 Kombinationen von Cyan-, Magenta- und Gelb-Werten in dem Speicher gespeichert werden, wodurch ein Speicher großer Kapazität erforderlich ist. Dies bedeutet hohe Kosten, ι ο und d?s Ganze ist somit unpraktisch.

Um deshalb die Speicherkapazität die für den Speicher erforderlich ist, zu reduzieren, wird jeder Farbbereich von rot, grün und blau z. B. in sechszehn Tonstufen aufgeteilt, und dann sind 16³=4096 Kombina- \-, tionen von Cyan-, Magenta- und Gelb-Werten erforderlich. Somit ist die erforderliche Speicherkapazität des Speichers auf ein beherrschbares Niveau reduziert Auf der anderen Seite werden die abgetönten Stufen zu grob, und das Fehlen des Grades, der Dichte des 2« Ausganges wird bemerkenswert, so daß die Druckqualität leidet. Deshalb ist es in diesem Falle notwendig, zwischen jeweils zwei Tonstufen Zwischenwerte richtig zu interpolieren.

Die vorliegende Erfindung richtet sich auf ein 2ϊ verbessertes Verfahren der Interpolation im dreidimensionalen Raum, der im Speicher durch die drei Achsen von rot, grün und blau definiert ist. Damit das Verfahren besser verstanden wird, wird nunmehr eine Erläuterung bekannter Interpolationsverfahren angegeben. «>

In Fig. 1 ist ein Beispiel der Interpolation einer Funktion U von zwei Variablen gezeigt, wo das Intervall, über welches zu interpolieren ist, als eine Einheit angenommen ist.

Der Wert bzw. die Größe U(x.y), d. h. U(x, + Xf.yi+yr) i> an einer Stelle Pin einem Interpolationsbereich ABCD wird durch ein mathematisches Interpolationsverfahren gefunden, in welchem x, und y, die ganzzahligen oder Integralteile von χ und y und *yund jvdie Dezimal- bzw. Zehnerteile sind.

Für die Interpolation ist es notwendig, daß die Funktion an den Scheiteln A, B, C und D bekannte Größen

U(x„ y,), U(X₁+ \,yj. U(x,+ \,y_;+ 1) und 4-,

U(Xi, y, + 1) haben. Die interpolierte Größe
U(x,y) ist dann eine Funktion von X₁, y_t, U() U(x, + \,y,), U(x,+ \,y,+ \) und

dem Bereich jedes RecMeckes gegenüber dem Scheitel, wodurch man die folgende Gleichung (I) erhält:

Für den Grad der Dichte sollte die interpolierte Größe passend zu den bekannten Größen der originalen Funktion an den Ecken des Einheitsbereiches sein.

Ein eine solche Bedingung erfüllendes Interpolationsverfahren wird in der US-PS 38 93 166 beschrieben und lineare Interpolation genannt, weil es an den Kanten des Einheitsbereiches zu einer Reduzierung auf eine einfache lineare Interpolationsfunktion führt.

Um die Größe U(x,y) am Punkt P in dem Interpolationseinheitsquadrat ABCD aufzufinden, zieht man zuerst vier Senkrechte von der Stelle P zu jeder Seite AB, BC, CD und DA des Quadrates. Dann bezeichnet man die Fußpunkte dieser Senkrechten mit Qu Q2, Q3 und Q4, wie in Fig.2 gezeigt ist, und man summiert die erhaltenen Resultate durch Multiplizieren der bekannten Größe an den Scheiteln A. B. Cund D mit

U(x,y) = Ufx. + Xf.

= U(x„v,) (\- x,){\-_yi

+ U(x,+ 1,.V₁; x, il-y,)

+ U(x„ y, + \) (\-x,)y,

+ U(x,+ l,y,+ l) χ,)',

Das Interpolationsverfahren gemäß Formel (I) genügt den vorstehenden Grenzbedingungen an den Ecken des Einheitsquadrates und bringt eine Verringerung auf die lineare Interpolation entlang der Kanten d s Einheitsquadrates und ist mathematisch somit vernünftig. Außerdem kann dieses Verfahren auch auf den dreidimensionalen Fall angewendet werden.

In F i g. 3 ist ein Einheitswürfel als Interpolationseinheit mit acht Scheiteln gezeigt, mit den Koordinaten von

(X₁. y„ Z₁J. (χ, + 1, y„ z,). (x„ y, + \, zj.

(x„ y„ z, + 1 \ (x, + 1, y, + 1, Z₁). (x, + 1, y„ ζ, Λ 1), (x„ y, + 1, σ,+ 1) und (x, + 1,y,■+',:,+ 1),

einschließlich einer Stelle Pmit den Koordinaten (x_:+xr, yi-ryr, ζ,+ ζι), an welcher die Größe von U interpoliert werden soll. Der Würfel wird in acht rechteckige Parallelepipede durch drei Ebenen geteilt, welche den Punkt P aufweisen und parallel zu ihren Flächen sind. Die Größe U(x,y,z) an der Stelle P wird dadurch gefunden, daß man die Größen aufsummiert die erhalten sind durch Multiplizieren jeder bekannten Größe an jedem Scheitel des Einheitswürfels mit dem Volumen jedes rechteckigen Parallelepipedes, welches gegenüber diesem Scheitel angeordnet ist, wodurch man die folgende Formel (II) erhält:

U(x,y,z) = U(x, + x,,y_i+y_liz_l + z_l)

= U(x„ y„ ζJ (\ - X₁) (X-y,) (X-Z₁)

+ U(X₁+ l,y, z) X₁ (X-y,) (X-Z₁)

+ U(x„ y,+ \, ζ,) (X-X₁) y, (I-z,)

+ U(x„ y„ z,+ X) (1-x,; (1-.V,; z,

+ U(x„ y,+I, z,+X) (X-X₁) y, z,

+ U(x,+X, y„ z,+X) x, (X-y,) z,

+ U(X,+X^y₁+X), Z₁(X-Z₁) χ,y, (II)

Wieder erzeugt dieses Verfahren an den Scheiteln des Einheitswürfels übereinstimmende Ergebnisse. Außerdem findet längs der Kanten des Einheitswürfels eine Reduzierung auf eine einfache lineare Interpolation statt, und auf den Flächen des Einheitswürfels erfolgt eine Reduzierung auf das Verfahren der Gleichung (1). Weiterhin ist klar, daß die Größe, die in der Mitte jeder Fläche des Einheitswürfels erhalten wird, der Mittelwert der bekannten Größen an jedem Scheitel dieser Fläche ist und daß die Größe, die in der Mitte des

bo Einheitswürfels erhalten wird, die mittlere Größe der acht bekannten Größen an Jen Scheiteln des Gürtels ist. Infolgedessen erscheint dieses Verfahren mathematisch durchaus vernünftig.

Dieses bekannte Verfahren hat jedoch Nachteile. Es

tn erfordert, daß acht Produkte gebildet werden müssen, jedes von vier Größen und deren Aufsummierung. Infolgedessen ist es nicht immer das beste Verfahren für ein Berechnen mit hoher Geschwindigkeit.

Dieses Verfahren hat aber noch einen anderen Nachteil. Obwohl die interpolierten Größen von einem Einheitswürfel zum nächsten kontinuierlich sind, ist es ihre Ableitung nicht. Das heißt, die Steigung der interpolierten Größen ist von einem Einheitswürfel zum nächsten diskontinuierlich, d. h. die Linie der interpolierten Größen biegt scharf ab, wenn wir über die Grenze gehen. Somit erscheint in der Praxis eine scharfe Stufe von Farbgrößen in dem fertigen Vollbild, und der kubische Aufbau des Speichers zeigt nachteilige Qualität. Diese Wirkung kann recht ernst werden. F i g. 4 zeigt eine Verteilung der interpolierten Größen, die gemäß Formel (I) erhalten sind, welche eine Sattelforrn hat, wodurch klar die vorgenannten Nachteile gezeigt sind. Eine gleichförmige, kontinuierliche Linie interpolierter Größen indem Einheitsquadrat A\B] Q D\ wird erhalten, und auch in dem Einheitsquadrat A2B2C2D.] wird sie erhalten, aber zwischen diesen beiden Quadraten an der gemeinsamen Grenze ist die Ableitung der interpolierten Größen diskontinuierlich.

Die Hauptnachteile liegen also in der Komplexität der Formeln und in der Diskontinuität des Interpolationsergebnisses an den Kubusgrenzen.

Aufgabe der Erfindung ist daher die Schaffung eines Interpolationsverfahrens der eingangs genannten Art, um mit einfacheren mathematischen Beziehungen die gewünschte Interpolation durchführen zu können.

Bei einer ersten Ausführungsform wird die Aufgabe erfindungsgemäß dadurch gelöst, daß jede kubische Einheit in sechs kongruente Pyramiden und jede Pyramide ihrerseits in vier kongruente Tetraeder aufgeteilt und festgelegt wird, in welchem Tetraeder der Eingangswert liegt und daß für die Interpolation die vier Eckwerte dieses Tetraeders nach Maßgabe der Beziehung der Formel IH verwendet werden, wie nachfolgend noch dargelegt wird. Aus jedem Kubus wird also praktisch eine Vielzahl von Tetraedern gewonnen, die man sozusagen mittels Trennebenen erhält. Auf diese Weise ist es später leichter möglich aufzufinden, in welchem Tetraeder der Eingangswert bzw. derjenige Punkt liegt, an welchem der Wert oder die Größe interpoliert werden soll. Hierdurch wird ein sogenanntes lineares Interpolationsverfahren geschaffen, welches die Nachteile des bekannten Verfahrens nicht mehr hat. Erfindungsgemäß kann der Speicher schneller rechnen, indem er Interpolationsgrößen einer einfachen Formel verwendet, und es ergeben sich auch nicht mehr vergleichbar große Diskontinuitäten der Steigung der interpolierten Werte zwischen einer kubischer, Interpolationseinheit und der nächsten. Das heißt, die Kurve hat beim Übergang von einem Einheitskubus zum nächsten nicht mehr einen so starken Sprung.

In dem Speicher der erfindungsgemäßen Bildreproduktionsvorrichtung werden geeignete Werte von Farbbildausgangssignalen entsprechend abgestuften Farbgrößen-Eingangssignalen gespeichert Dieser Speicher wird in dreidimensionaler Weise adressiert An den zwischen den Adreßpunkten liegenden Stellen «folgt dann das Interpolieren von Größen von Farbausgangssignalen, d. h. der Hauptwerte. Die durch einen Schritt jedes Farbeingangssignals gebildete kubische Interpolationseinheit wird je nach der Ausführungsform, von denen nachfolgend drei besonders beschrieben werden, in eine Vielzahl von Tetraedern aufgeteilt deren Scheitel entweder Scheitel des Einheitskubus, Zentren ihrer Flächen oder ihr Mittelpunkt sind. An jedem Scheitel dieser Tetraeder wird dann das Farbausgangssignal berechnet. Dies erfolgt durch Mitteln der Werte des Farbausgangssignals an den vier Scheiteln, weiche Ecken der Fläche sind, und an der Zcnirumsstellc der kubischen Einheit. Dabei werden die Werte des ", Farbausgangssignals an allen acht Scheiteln der kubischen Einheit gemiuelt. Es wird dann bestimmt, welcher Tetraeder die Interpolationsstelle aufweist, d. h. wo der Eingangswert liegt. Dort soll die Größe des Farbausgangssignals interpoliert werden. Die nachfolgend erläuterte Formel III dient hierbei als Maßgabe. An der Interpolationsstelle wird der interpolierte Wert als eine gewichtete Summe der Werte an den vier Scheiteln des jeweiligen Tetraeders abgeleitet, wobei dem Wert an jedem Scheitel ein Gewicht gegeben wird,

r. und zwar entsprechend dem Verhältnis des Volumens eines zweiten Tetraeders zu dem Volumen des vorgenannten bestimmten Tetraeders. Dabei sind die Scheitel des zweiten Tetraeders die Interpolationsstelle sowie die anderen drei Scheitel bzw. Eckwerte des

:<> vorgenannten betreffenden Tetraeders.

Bei der oben erwähnten Interpolation wird die kubische Einheit in vierundzwanzig Tetraeder aufgeteilt.

Bei einer anderen Ausführungsform wird ein ein-

2") facheres Interpolationsverfahren verwendet, bei welchem die kubische Einheit in sechs Tetraeder aufgeteilt wird. Hierfür wird die Aufgabe für das eingangs bezeichnete Interpolationsverfahren dadurch gelöst, das jede kubische Einheit mittels einer diagonalen Trennebene in

in zwei kongruente Prismen und jedes Prisma seinerseits in drei Tetraeder aufgeteilt und festgestellt wird, in welchem Tetraeder der Eingangswert liegt, und daß für die Interpolation die vier Eckwerte dieses Tetraeders nach Maßgabe der Beziehung der Formel III verwendet

j-, werden. Dieses gröbere Interpolationsverfahren genügt in vielen Fällen durchaus, insbesondere wenn sich die Farbbildausgangssignale im Speicher gewöhnlich im Ton verändern.

Bei dem ersten beschriebenen Verfahren, bei welchem die kubische Einheit in vierundzwanzig Tetraeder aufgeteilt wird, ist der Scheitel jedes Tetraeders der Mittelpunkt der kubischen Einheit. Zwei Scheitel sind die Scheitel der kubischen Einheit, die durch eine Kante der kubischen Einheit verbunden sind.

4-, Der vierte Scheitel ist der Mittelpunkt einer quadratischen Fläche der kubischen Einheit und eine Kante dieser Fläche ist die Kante der kubischen Einheit. Dagegen wird nun bei der etwas vereinfachten Ausführungsform, bei welcher die kubische Einheit in nur sechs Tetraeder aufgeteilt wird, die Aufteilung durch drei Ebenen vorgenommen, die eine gemeinsame Linie haben. Diese Linie stellt eine lange Diagonale der kubischen Einheit dar. Jede Ebene enthält zwei Kanten und vier Scheitel der kubischen Einheit.

Eine weitere vorteilhafte andere Ausführungsform der Erfindung löst die vorstehend erwähnte Aufgabe bei dem eingangs bezeichneten Interpolationsverfahren dadurch, daß jede kubische Einheit in fünf Tetraeder aufgeteilt und festgestellt wird, in welchem Tetraeder

bo der Eingangswert liegt und daß für die Interpolation die vier Eckwerte dieses Tetraeders nach Maßgabe der Beziehung der Formel ΠΙ verwendet werden. Die Tetraeder unterscheiden sich voneinander im Gegensatz zu der erstgenannten Ausführungsform. Im Falle monotoner Funktionen sind die mit dieser Ausführungsform gewonnenen Ergebnisse bzw. Zwischenwerte vollständig ausreichend.
Die Aufteilung der kubischen Einheit in die fünf

Tetraeder erfolgt durch vier Ebenen. |ede dieser Ebenen enthüll genau drei Scheitel der kubischen Einheit. Die Ebenen schneiden einander längs Linien, welche die Diagonalen der Flächen der kubischen Einheit sind.

Bei allen drei Ausführungsformen wird die Vielzahl der Tetraeder mittels der Trennebenen gewonnen, wodurch es später leichter möglich ist, aufzufinden, in welchem Tetraeder der Einheitswert liegt, um dann die Beziehung der Formel III zur Interpolation anzuwenden.

Anstelle der Vielzahl von Multiplikationen bei den Formeln der bekannten Interpolationsverfahren wird jeweils nur eine Multiplikation durchgeführt, wodurch die zu verwendende Formel erheblich einfacher wird. Auch ist die Diskontinuität des Interpolationsergebnisses an den Kubusgrenzen beachtlich verringert.

Weitere Vorteile, Merkmale und Anwendungsmöglichkeiten der vorliegenden Erfindung ergeben sich aus der folgenden Beschreibung im Zusammenhang mit den Zeichnungen. Es zeigen:

F⁷ig. 1 eine schematische Ansicht eines herkömmlichen Interpolationsverfahrens über ein zweidimensionales Interpolations-Einheitsquadrat,

F i g. 2 und 3 schematische Ansichten eines quadratischen Interpolations-Einheitsbereiches und eines kubischen Interpolations-Einheitsbereiches der herkömmlichen zweidimensionalen und dreidimensionalen Interpolationsverfahren,

F i g. 4 eine schematische Ansicht einer Verteilung von Interpolationswerten oder Werten des herkömmlichen Verfahrens für die zweidimensional Interpolation,

F i g. 5 eine schematische Ansicht eines verbesserten zweidimendionalen Interpolationsverfahren,

F i g. 6 eine schematische Ansicht eines Verfahrens für die dreidimensionale Interpolation über einen Tetraeierbereich,

F i g. 7 eine schematische Ansicht einer kubischen Interpolationseinheit, die in vierundzwanzig Tetraeder unterteil, ist, und zwar gemäß einer Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens,

Fig.8 eine schematische Ansicht eines Tetraeders der Zerlegung nach F i g. 7,

Fig.9 eine schematische Ansicht einer anderen Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens, bei dem ein Einheitswürfel in sechs Tetraeder zerlegt ist,

Fig. 10 die schematische Ansicht eines Tetraeders, der durch die Zerlegung nach F i g. 9 erhalten ist,

Fig. 11 und 12 ein anderes Zerlegungsverfahren für den Einheitswürfel in fünf Tetraeder, wodurch eine andere Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens gegeben ist und

Fig. 13 und 14 analytische Darstellungen der Überlegungen, wie die letzten beiden Zeilen der Formel !II gebildet werden.

Die bekannten Interpolationsverfahren und ihre Nachteile sind oben schon beschrieben worden. Nachfolgend wird das erfindungsgemäße Verfahren erläutert.

In Fi g. 5 mit der Darstellung des zweidimensionalen Falles sind zwei benachbarte Interpolationsbereiche A)SiCiDi und A2B2C2D2 gezeigt. Die Zentren dieser Einheitsquadrate sind mit O\ und O₂ bezeichnet und die interpolierten Größen an diesen Stellen sind abgeleitet als Mittel der Funktionsgrößen an den vier Ecken der Quadrate. Dann wird die Interpolation linear in jedem der Dreiecke AiOißi. ßiOid, CiOiD,, DiOiAi, A₂O₂B₂, B₂O₂C₂, C₂O₂D₂ und D₂O₂A₂ durchgeführt. Das heißt, der durch den Eingangswort gebildete Punkt, an welchem die Größe interpoliert werden soll, wird zuerst geprüft, um festzustellen, in welches dieser Dreiecke er fällt, und dann wird die Größe an diesem Punkt durch -, Interpolation in dem Dreieck in analoger Form zu Fig. 2 bestimmt, indem man Linien von dem Punkt zu den Ecken des Dreiecks zieht und dann die Größe der Funktion an dem Punkt als gewichtete Summe der Größen an den Ecken des Dreieckes berechnet, in dem

κι man jedem Wert an einer Ecke ein Gewicht des Verhältnisses des Bereiches eines zweiten Dreieckes gibt, dessen Ecken der Punkt und die anderen zwei Ecken des Dreiecks sind, und des Bereiches des Dreieckes. Bei diesem Verfahren wird die Größe der

r, Diskontinuität oder Unstetigkeit in der Ableitung der interpolierten Größe von einem lnterpolationsbe^reich zum nächsten sehr reduziert.

Betrachtet man nun den dreidimensionalen Fall, dann wird das Grund-lnterpolationsverfahren in einem

.'(ι Tetraedervolumen in bezug auf F i g. 6 erläutert. A, B, C, D sei ein Tetraeder, von dem jeder Scheitel ein Punkt ist, an welchem die Größe der zu interpolierenden Funktion unbekannt ist. Die Größe an der Stelle P innerhalb des Tetraeders wird wie folgt berechnet:

.'■> Ziehe Linien von jedem Scheitel A, B, C und D durch den Punkt P, um die gegenüberliegenden Seilen des Tetraeders bei A', B'. Cund D'zu treffen. Dann ist die interpolierte Größe U(P).

"' U(A)x Verhältnis der Volumina

der Tetraeder PBCD und ABCD

+ U(B)X Verhältnis der Volumina

der Tetraeder PDAC und ABCD

j-, + U(c) x Verhältnis der Volumina

der Tetraeder PDAB und ABCD

+ U(d) X Verhältnis der Volumina

der Tetraeder PABC und ABCD.

Nun ist z. B. das Verhältnis der Volumina der

Tetraeder PBCD und ABCD dasselbe wie das Verhältnis der Höhen von P und A von der Ebene BCD.

In F i g. 7 ist ein Einheitswürfel oder Kubus als Interpolationsvolumen ABCDEFCH gezeigt, und die Größen der-Funktion U dreier Variabler werden als an den Scheiteln des Würfels bekannt angenommen. Alle drei Ausführungsformen des erfindungsgemäßen Verfahrens hängen vom Zerlegen dieses Würfels in Tetraeder ab, deren Scheitel entweder Scheitel des Würfels, Mittelpunkte der Flächen des Würfels oder Mittelpunkt des Würfeis sind. Dann wird eine Reihe von Vergleichen vorgenommen, um zu bestimmen, welcher dieser Tetraeder den Punkt enthält, an welchem die Größen der Funktion interpoliert werden solL Wenn dieser bestimmt ist, wird die Größe in diesem Tetraeder gemäß dem oben beschriebenen Verfahren unter Verwendung der analytischen Geometrie interpoliert. Man erkennt, daß es mathematisch vernünftig ist,

μ anfangs die Größen der Funktion an den Zentren der Flächen des Würfels zu interpolieren als Mittel der Größen an den vier Ecken der Flächen sowie die Größe der Funktion im Zentrum des Würfels als Mittel der Größen an allen acht Scheiteln des Würfels. Somit ist für

b5 jeden Scheitel jedes Tetraeders der Zerlegung nach Fig.7 die Größe der Funktion bekannt, und deshalb kann das in Fig.6 dargestellte Verfahren für die Interpolation angewendet werden.

Bei der Zerlegung nach F i g. 7 gibt es vierundzwan/.ig Tetraeder, und von jedem von diesen ist ein Scheitel das Zentrum der Würfeleinheit, zwei Scheitel sind Scheitel der Würfeleinheit, die durch eine Kante der Würfeleinheit verbunden sind, und der vierte Scheitel ist das Zentrum oder der Mittelpunkt einer quadratischen Fläche der Würfeleinheit, wobei eine Kante dieser Fläche die genannte Kante der Würfeleinheit ist. Die vierundzwanzig Tetraeder sind alle isomorph, haben also gleiche Form. Einer von ihnen ist in F i g. 8 gezeigt. Die Zentren der Flächen der Würfeleinheit sind mit Q_x ... Qb bezeichnet, und das Zentrum des Kubus als O. Der Tetraeder OABQ_x ist dargestellt. Die Ebenen OAB, QiAB, OQ\B und OQiA haben die Gleichung y_f-z_r=0, Zr=O, Xf+ yr— 1 =0, bzw. Xf-Xr=O. Deshalb versteht es sich, daß die Bedingung für den Punkt P, innerhalb des Tetraeders OABQi zu liegen, die folgende ist >γ— zr>0, Xf+yf- 1 5 0 und xr-yr> 0. (Selbstverständlich gilt z_f> 0 per definitionem). Setzt man voraus, daß diese Bedingungen alle erfüllt sind, dann kann die interpolierte Größe der Funktion wie nachfolgend erläutert errechnet werden. Somit ist

U(P) =

U(A) x Verhältnis der Volumina

von POQ_xB und OABQ_x

U(B) x Verhältnis der Volumina
von POQ_xA und OABQ_x U(Q_x)X Verhältnis der Volumina
von POAB und OABQ_x U(O)X Verhältnis der Volumina
PQ_xAB und OABQ_x

= U(A)V-X,-)',] + U(Qi)[Ky₁-Z,]

U(B) [X₁-y,] U(O)Iz₁]

(III)

Anhand der Fig. 13 und 14 wird nachfolgend noch erläutert, wie es aus dem Verhältnis der jeweiligen Volumina zu den Ausdrücken in den eckigen Klammern kommt.

Diese Formel III gilt, weil das Verhältnis der Volumina der vorgenannten Tetraeder, wie oben herausgestellt, dasselbe ist wie das Verhältnis ihrer Höhen, und die Gleichungen ihrer Flächen sind wie oben erwähnt.

Ähnliche Ergebnisse erhält man, wenn sich der Punkt P in den anderen Interpolationstetraedern befindet. Eine vollständige Tabelle der Bedingungen für die Unterscheidung, welcher Tetraeder den Punkt Penthäll, sowie der Faktoren, welcher für die Berechnung der interpolierten Größe in jedem Falle benutzt wird, ist in Tabelle 1 gezeigt.

11

12

I₁ I₁ ^ ^

I I >~ V"

ι ι U. Li

ι ι

+■ +

I I

+■

T T

ι + + ι i + i ±

L L L

ι ι+

C ι

^_- ÖD I =

•so Il

+ i ± ± ι ι ++ι 111++ ι illli+it + + ι ι ££++ ι ι + + 11Ii + + + + ι ΐΐΐ

i +

₀O^

α ο' t5 6' ^ ^ ö cä c5'

j O O O O

ν· ο P ö öl d

Tetraeder-lnterpolationstcilung

Berechnur.gstaktoren (F) (G)

(QiI

(Q₂)

(Qj)

(Q(J

I«)

ABQ₁O BCQ₁O CDQ_xO DAQ)O GFQ₂O FBQ₂O BCQ₂O CGQ₂O GHQyO HEQyO EFQyO FGQyO ADQ₄O DHQ₄O HEQ₄O EAQ₄O AEQsO EFQsO FBQsO BAQsO CGQ_t,0 CDQ,,0 DHQ_bO HGO.O

(Xf-yd (Xf-yß

(ζ,+χ-1)

(yj+z_r\) 6y+zrO

(Zf+Xf-\)

2Ov-'/)
-2(.-,+AV-I)
-2(v,+ -,-l)
-2(Z₁-X₁)

2(X-V₁)

-ix-yß

-2(.V-Z₁) 2(r,+A,-D 2(y,+ζ-1)

(ν,+ζ,-U 2(Z₁-X,)
-2CyH,-!)

2(AV-V/)
-20·,+:,-1

-2(V₁-Z₁)

(Z-X₁)

(Z₁-X₁) -2(X₁-V₁)

2(A-,+.r,

2 z,	ro
2 z,	00
2 z,	oo
2 z,
2(1 -a·,)	cn
211-A·,)
2(1-.-,)
2(1-.-,)
2(1-;,)
2(1-.-,)
2-ν,
2 A,
2 .ν,
2 a,
2.)·,
2.r,
2.r,
2 v,
2(l-i·,)
2(\|-r,)
2(l-i·,)

Unter Verwendung dieser Tabelle ist es durch prüfende Bedingungen, die nicht in Klammern stehen, möglich, den Tetraeder zu kennzeichnen, welcher den Punkt P enthält, und dementsprechend ist es nicht notwendig, die in Klammern stehenden Bedingungen zu prüfen. Es versteht sich leicht, daß die Berechnung in der Praxis weit einfacher ist als das Verfahren der vorstehend erwähnten Formel (11). Ferner sind bei diesem Verfahren die Unstetigkeiten über die Grenzen hinweg zwischen einer kubischen Einheit und der nächsten sehr reduziert, weil die Größen in der Nähe der Fläche der kubischen Einheit sehr viel mehr von den Größen an den vier Ecken der Fläche beherrscht werden als bei dem bekannten Verfahren gemäß (II).

Tatsächlich verändern sich die Farbbildausgangssignale im Speicher gewöhnlich monoton bzw. gleichförmig, und deshalb kann ein einfacheres und gröberes Interpolationsverfahren als das oben erläuterte in einem speziellen Falle durchaus genügen. Deshalb kann das Verfahren nach den Fig.9 und 10 durchaus akzeptiert werden, obwohl es nicht ganz so genau ist wie das Verfahren nach der Formel (Hl). In Fig.9 ist eine Zerlegung des Einheitskubus im Tetraeder gezeigt, dessen Scheitel die Scheitel des Einheitswürfels sind. Somit hat dieses Verfahren den Vorteil, daß kein Mitteln der Größen an den Scheiteln des Einheitskubus erforderlich ist, um Größen an den Zentren der Flächen des Einheitskubus und in seinem Zentrum zu bestimmen.

Der Einheitskubus ist in sechs Tetraeder durch drei Ebenen zerlegt, die eine gemeinsame Linie haben, welche die lange Diagonale des Einheitswürfels ist, und jede Ebene ist zu den anderen beiden um 60° geneigt und enthält zwei Kanten und vier Scheitel des Einheitswürfels. Ein typischer Tetraeder ist in Fig. 10 gezeigt. In diesem Falle sind die Bedingungen dafür, daß der Punkt Pin diesem Tetraeder liegt, daß xt>yr>.zi, wie leicht, wie vorstehend unter Benutzung der Stereometrie ausgearbeitet werden kann. In derselben Weise isi die interpolierte Größe

U(PJ =

U(A) [1 -χ,] + U(BJ [x,-y,]

+ U(C)Iv₁-Z,) + U(DJz₁

Ähnliche Unterscheidungsbedingungen und Berechnungsfaktoren können für die anderen fünf Tetraeder ausgearbeitet werden. Tabelle II zeigt die vollständige

in Gruppe. Es versteht sich, daß diese Ausführungsform des Verfahrens beim Rechnen leichter ist als das Verfahren der Formel (III), ungeachtet eines gewissen Genauigkeitsverlustes.

In den F i g. 11 und 12 ist ein anderes Verfahren für

ι ·-, das Zerlegen des Einheitskubus in Tetraeder gezeigt, die hier fünf an der Zahl sind. Der Einheitskubus ist durch vier Ebenen aufgeteilt, deren jede genau drei Scheitel des Kubus enthält und die dadurch gekennzeichnet sind, daß sie einander längs Linien schneiden, welche Diagonalen der Flächen des Kubus sind. Deshalb gibt es zwei mögliche Zerlegungen, die Spiegelbilder voneinander sind, und diese sind in den Figuren gezeigt. Auseinandergezogene Darstellungen zeigen auch, wie die Tetraeder zusammenpassen. Bei dieser Ausfüh-

2·-, rungsform sei bemerkt, daß die Tetraeder nicht alle isomorph sind, d. h. also nicht alle gleiche Form haben; sie sind voneinander verschieden. Wie oben wird unter Verwendung der Unterscheidungsbedingungen, die von der Sterometrie abgeleitet sind, festgestellt, in welchem

jo dieser Tetraeder der Interpolationspunkt liegt, und dann wird unter Verwendung der Berechnungsfaktoren, die auf die gleiche Weise wie oben abgeleitet sind, die interpolierte Größe errechnet. Dem Fachmann ist klar, wie in Abhängigkeit von der vorstehenden Beschrei-

j·) bung diese Unterscheidungsbedingungen und Berechnungsfaktoren zu errechnen sind, und deshalb wird zwecks Verkürzung der Beschreibung eine tabellarische Darstellung derselben hier weggelassen.

ι ■. 2813519	—	_	Bei den Verfahren, welche die Zerlegung in sechs und
I 17 18	=:		in fünf Tetraeder verwenden, die oben unter Bezugnah
ι	χ;		me auf die Fig. 9, 10, 11 und 12 erläutert sind, sind
	H	T	tatsächlich die interpolierten Größen in der Mitte der
			■-, Flächen des Einheitswürfels und in seinem Zentrum
-ΐ	7	etwas verschieden von denen, die durch einfache
U		Mittelung abgeleitet sind und in der ersten Ausführungs-
V		_ ^ form des Verfahrens gemäß Fig. 7 benutz; wurden.
		ί -. -. U < U Diese Variation ist jedoch nur im Falle monotoner
-";		in Funktion gering, so daß diese Ausführungsform
		tolerierbar ist.
	—	Die Fi g. 13 und 14 zeigen, wie es von der allgemeinen
if		Formel U(P) auf S. 20 zu der praktisch verwendeten
		Beziehung (III) kommt. In der Gleichung U(P) werden
	£	'· >* ι-, die Ergebnisse aus vier Interpolationstetraedern, in
		■^l_r F i g. 7 auf die Punkte A. B, Qi und O bezogen.
		aufsummiert. Hierbei wird für den betreffenden Punkt
	—	mit einem Volumenverhältnis multipliziert, d. h. mit dem
		Quotienten zweier Tetraedervolumina. In einfacher
		.'ιΐ Weise läßt sich dieses Verhältnis durch einen Klammet-
	_	ausdruck darstellen, wie in der Gleichung (JII) für die
	-γ	vier angegebenen Punkte dargestellt ist.
	£	·-. '- Fig. 13 zeigt den Nachweis für den Bezug auf den
		, > Punkt A, Fig. 14 gibt den Nachweis für den Bezug auf
		.>-, den Punkt B. und es ist damit eine analytisch
		geometrische Betrachtungsweise erörtert, die sich auch
	-	für den Bezug auf andere Punkte übertragen läßt, so daß
		hieraus der Übergang von dem angegebenen Volumen
		verhältnis zu dem Klammerausdruck klar wird.
	i-	in Betrachtet man Fig. 13, so liegt der in Rede stehende
	£	Punkt P in dem Tetraeder ABQiO. Dies gelingt bei
		i „ einem Einheitswürfel beispielsweise für x_t = 0,4, y, = 0,3
		und Zf= 0,2.
	-	Bezeichne einen Punkt, bei welchem eine Verlänge-
		',-, rung der Linie APd\e Fläche βζ)ιOschneidet, mit A'.
		Ziehe Senkrechte zur Fläche ABQi vom Punkt Pund
	—.	dem Punkt A'und bezeichne die Schnittpunkte dieser
		Senkrechten mit der Fläche 4SCDaIs H_x bzw. H₂. Dann
	■°	Ί' ι istdcr Winkel 4H,Pgleich dem Winkel/4H₂4'=90°.
		'■ '-■ ,ιΐ Bezeichne den Punkt, bei welchem die durch den
	-..	Punkt Hi hindurchgehende Linie die Seite /Ißschneidet,
	ι	mit R_x. Es gilt nun:
		4-, PH_x Il A¹H₁ und Folglich ist TA'I U'
		'' f = H_xH-, ZAH₁. Ferner gilt H_xR_x ist parallel zu
	•ρ.	'^{r ιΓ} H₁B und entsprechend gilt TT^H₁Z^-AW₂ =Έ_Χ~Β ZÜB.
	-.	-,» Da der Winkel AR_xH_x = dem Winkel ABQi =45°,
	ο 2	gilt IW_x = X₁+ V₁. Also Folgt:
	C ι T	_u- ,,- PA'ZAA' = H_xH₂ZAH₂ = R_xBZAB =
	ere	Dies ist der erste Faktor des ersten Summanden in
	αα —ι	f '"χ \^r Y f- f- der Gleichung (III).
		ho Auf ähnliche Weise läßt sich ebenso der zweite
		Summand erklären. Hierzu betrachtet man Fig. 14 wie
		folgt:
	•α F	Bezeichne den Punkt, bei welchem eine Verlängerung
	.Π C	der Linie durch die Punkte BP die Fläche AQiO
		Ali Λ ΑΪ Λ A^ Λ ^h- ^schneidel·^{mit β}·
		■- ί > ■- ι ν > Ziehe eine Senkrechte zur Fläche ABQ_x von dem
	All All Λ All Λ Λ Punkt B' aus und bezeichne dessen Fußpunkt als Hi.
> > .r μ ■-. ■- Dann gilt: Der Winkel SHiP= Winkel SHiP'=90^o.

19 20

!zeichne weiterhin einen Punkt, bei welchem eine Der Winkel BR_:h_t ist gleich dem Winkel

ängerung der Linie durch den Punkt Wi und parallel BAH, = 45°. und deshalb ist P-, A = x, - ι .

leite Q]A die Seite /tßschneidet, mit /?2- Dann gilt:

Das Verhältnis PB' BB' = H₁H, /BH,

= R₁A B~Ä~ = \x. - y.\. Dies aber ist die

PH₁ ist parallel zu ß'W, und folglich gilt eckige Klammer in dem zweiten Sum-

7ΫΓ BH' = TTJT: ßTÄ und entsprechend i™nd der Gleichung 111.

IJ₁R₁ ist_p_arallel_zu_W,.·! und folglich gill Ähnlich lassen su-h die beiden restlichen

H,II*>'BH; = P,A BA. eckiaen Klammern jbenl'alK ableiten.

Blau

Claims

Patentansprüche:

1. Interpolationsverfahren für Farbsignale, insbesondere eines Scanners, zur Gewinnung von Zwischenwerten zu den von einem adressierbaren Speicher gelieferten Hauptwerten, dessen Adreßpunkte in gleichen Intervallen aufeinanderfolgen und somit einen in kubische Einheiten aufgeteilten Farbraum ergeben, dadurch gekennzeichnet, daß jede kubische Einheit in sechs kongruente Pyramiden und jede Pyramide ihrerseits in vier kongruente Tetraeder aufgeteilt und festgestellt wird, in welchem Tetraeder der Eingangswert liegt, und daß für die Interpolation die vier Eckwerte dieses Tetraeders nach Maßgabe der Beziehung nach Gleichung III verwendet werden (F i g. 7 und 8).

2. Interpolationsverfahren für Farbsignale, insbesondere eines Scanners, zur Gewinnung von Zwischenwerten zu den von einem adressierbaren Speicher gelieferten Hauptwerten, dessen Adreßpunkte in gleichen Intervallen aufeinanderfolgen und somit einen in kubische Einheiten aufgeteilten Farbraum ergeben, dadurch gekennzeichnet, daß jede kubische Einheit mittels einer diagonalen Trennebene in zwei kongruente Prismen und jedes Prisma seinerseits in drei Tetraeder aufgeteilt und festgestellt wird, in welchem Tetraeder der Eingangswert liegt und daß für die Interpolation die vier Eckwerte dieses Tetraeders nach Maßgabe der jo Beziehung nach Formel III verwendet werden (F ig. 9 und 10).

3. Interpolalionsverfahren für Farbsignale, insbesondere eines Scannsrs, zur Gewinnung von Zwischenwerten zu den von einem adressierbaren Speicher gelieferten Hauptwerten, dessen Adreßpunkte in gleichen Intervallen aufeinanderfolgen und somit einen in kubischen Einheiten aufgeteilten Farbraum ergeben, dadurch gekennzeichnet, daß jede kubische Einheit in fünf Tetraeder aufgeteilt und festgestellt wird, in welchem Tetraeder der Eingangswert liegt und daß für die Interpolation die vier Eckwerte dieses Tetraeders nach Maßgabe der Beziehung der Formel III verwendet werden (Fig. 11 und 12).