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"Vorrichtung zur Vermittlung von Zahlenbegriffen
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und mathematischen Prinzipien" Die Erfindung bezieht sich auf eine
Vorrichtung zur anschaulichen Vermittlung des Zahlenbegriffs bzw. der damit zusammenhängenden
Vorstellungen über die Zahlen und mathematischer Prinzipien. Demgemäß ist die erfinderische
Vorrichtung in Ausbildungsprogrammen verwendbar.
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Es sind bereits derartige einfache Vorrichtungen bekannt, beispielsweise
das bekannte (Abacus)-Rechenbrett bzw. die Rechentafel. Diese Vorrichtung hat aber
den Nachteil, daß mit ihr nur relativ wenige den Zahlen innewohnende Begriffsinhalte
und mathematische Verfahren veranschaulicht werden können.
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Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, eine sehr einfache Vorrichtung,
mit der ein weiter Bereich der mit den Zahlen verknüpften Begriffe und Verfahren
veranschaulicht werden kann, zu entwickeln.
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Ausgehend von einer Vorrichtung zur anschaulichen Vermittlung von
Zahlenbegriffen und mathematischer Prinzipien mit einem Grundteil, dessen Oberflächein
einhundert einander gleiche, im Zehn-zu-Zehn-Format angeordnete Einheitsquadrate
aufgeteilt ist, und mehreren zum Gebrauch mit dem Grundteil ausgelegten bzw. ausgebildeten
Zahlenelementen,zeichnet sich die Erfindung dadurch aus, daß jedes Zahlenelement
so bemessen ist, daß es in Größe und Form einer ganzen Zahl von Einheitsquadraten
des Grundteiles genau entspricht, und daß jedes Zahlenelement die den Einheitsquadraten,
die es jeweils auf dem Grundteil überdeckt, entsprechenden Einheitsquadrate anzeigt
und jeweils mit der Zahl markiert ist, die es - ausgedrückt in Einheitsquadraten
- repräsentiert.
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Gemäß einer bevorzugten Ausführungsform der Erfindung sind zumindest
einige Zahlenelemente hinreichend transparent, daß man die Einheitsquadrate des
Grundteils auch dann durch sie hindurchsehen kann, wenn sie auf dem Grundteil angeordnet
sind.
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Wenn stattdessen einige Zahlenelemente trübe oder gar undurchsichtig
sind, sind zumindest einige Zahlenelemente mit Einheitsquadraten markiert, die in
ihrer Größe denen auf dem Grundteil identisch sind.
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Zumindest einige der Zahlenelemente können farbig sein. In diesem
Fall haben vorzugsweise alle gleich großen Zahlenelemente die gleiche Farbe und
unterscheiden sich farblich von den Zahlenelementen, die diesen in der mathematischen
Reihe der Zahlenelemente unmittelbar benachbart sind. Nach einer weiteren
bevorzugten
Ausführungsform der Erfindung haben zumindest einige Zahlenelemente dunkle Kanten,
so daß die einzelnen Zahlenelemente auch dann voneinander unterschieden werden können,
wenn zwei oder mehrere Stoß an Stoß aneinandergrenzend auf dem Grundteil angeordnet
sind. Zumindest einige der Zahlenelemente können ein räumlich körperliches Unterscheidungsmerkmal
haben, beispielsweise einen Zapfen oder ein Loch, welches den Begriffsinhalt der
diesem Zahlenelement zugeordneten Zahl ausdrückt.
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Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform der Erfindung haben
das Grundteil und die Zahlenelemente eine Einrichtung zur Halterung der Zahlenelemente
auf dem Grundteil. Beispielsweise kann das Grundteil einen von jedem Einheitsquadrat
nach oben abstehenden Zapfen und jedes Zahlenelement ein in jedem seiner Einheitsquadrate
ausgeformtes korrespondierendes Loch haben. Die Zapfen können hierbei von den Löchern
aufgenommen werden und die Zahlenelemente auf dem Grundteil befestigt werden. Zur
Halterung der Zahlenelemente auf dem Grundteil können stattdessen auch magnetische
Halteelemente verwendet werden.
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Eine weitere vorteilhafte Ausführungsform der Erfindung umfaßt ein
Kontingent von Zahlenelementen, das einem einzigen Grundteil zugeordnet ist, mit
jeweils zehn Zahlenelementen für die Zahlen 1 bis 10 (im folgenden Zahlenelement
1 ), fünf Zahlenelanenten 20, drei Zahlenelementen 30, jeweils zwei Zahlenelementen
40 und 50, und jeweils ein Zahlenelement 60, 70, 80, 90 und 100. Bei einer weiteren
vorteilhaften Ausführungsform des erfinderischen Lehrmittels ist ein Kasten vorgesehen,
der so lang ist, daß er ein 10 Einheitsquadrate langes Zahlenelement aufnehmen kann.
Dieser Kasten ist außerdem so ausgelegt,
daß er die Zahlenelemente
paarweise aufnehmen kann, die zusammen 10 Einheitsquadrate lang sind, beispielsweise
die Zahlenelemente 9 und 1, 8 und 2, 7 und 3, 6 und 4, 5 und 5.
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Die erfinderische Vorrichtung kann außerdem mit einem weiteren Kasten
bestückt sein, der Ausformungen zur Aufnahme der mit den Zahlen 20, 30, 40, 50,
60, 70, 80, 90 und 100 benannten Zahlenelemente hat, derart, daß diese Zahlenelemente
in Verhältnissen zueinander dargestellt werden.
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Ein Ausführungsbeispiel der Erfindung wird nun anhand der beigefügten
schematischen Darstellungen näher erläutert: In den Zeichnungen zeigen: Fig. 1 eine
Draufsicht auf ein Grundteil; Fig. 2 eine perspektivische Ansicht des in Fig. 1
dargestellten Grundteils; und Fig. 3 bis 8 eine die Zahlen 1, 2, 3, 10, 20 und 30
repräsentierende Reihe von Zahlenelementen.
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Das in den Fig. 1 und 2 dargestellte Basisteil ist brett- bzw.
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tafelartig ausgebildet und zeigt einhundert untereinander gleiche
Quadrate im Zehn-zu-Zehn-Format. Ein kurzer runder Zapfen p steht von der Mitte
jedes Quadrates nach oben ab. Das hier dargestellte Ausführungsbeispiel der erfinderischen
Vorrichtung bzw. des Lehrmittels umfaßt auch ein Kontingent von Zahlenelementen,
beispielsweise die in den Fig. 3 bis 8 dargestellten Zahlenelemente. Jedes Zahlenelement
besteht aus durchsichtigem Kunststoff und ist so ausgeformt und so groß, daß es
genau eine ganze Zahl der auf dem Grundteil aufgezeichneten Quadrate überdeckt.
Beispielsweise ist das in Fig. 3 dargestellte
Zahlenelement ein
einziges Einheitsquadrat. Dementsprechend ist es so dimensioniert, daß es genau
mit einem Einheitsquadrat des Grundteils korrespondiert. Dieses Zahlenelement weist
ein mittig ausgeformtes Loch h auf, welches einen Zapfen p des Grundteils aufnehmen
kann. Dadurch kann das Zahlenelement über einem der auf dem Grundteil eingezeichneten
Einheitsquadrate angeordnet werden. Darüber hinaus dient dieses eine Loch h des
in Fig. 3 dargestellten Zahlenelements als räumlich körperliches Unterscheidungsmerkmal,
welches den Begriffsinhalt der dieser Einheit bzw. "1" zugeordneten Zahl anschaulich
ausdrückt. Außerdem ist auch noch die Zahl "1" in die obere Oberfläche des Zahlenelements
eingeprägt.
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Das in Fig. 4 dargestellte Zahlenelement ist so groß, daß es genau
über zwei Einheitsquadrate des Grundteils paßt. Zu diesem Zweck hat es zwei Löcher
h, mit denen es genau über zwei Einheitsquadraten des Grundteils angeorndet werden
kann. Außerdem ist die Zahl "2" in dessen obere Oberfläche eingeprägt.
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In ähnlicher Weise paßt das in Fig. 5 dargestellte Zahlenelement genau
über drei und das in Fig. 6 dargestellte Zahlenelement genau über zehn Einheitsquadrate.
Alle in den Fig. 3 bis 6 dargestellten Zahlenelemente sind so ausgebildet, daß sie
über die in einer einzigen Reihe des Grundteils angeordneten Einheitsquadrate passen.
Das in Fig. 7 dargestellte Zahlenelement ist so ausgebildet, daß es zwanzig, im
Zehn-zu-Zwei-Format angeordnete Einheitsquadrate des Grundteils überdeckt.
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Das in Fig. 8 abgebildete Zahlenelement ist so ausgelegt, daß es über
dreißig, im Zehn-zu-Drei-Format angeordnete Einheitsquadrate paßt. Jedes Zahlenelement
hat dunkle Kanten, so daß zwei derartige Zahlenelemente auch dann leicht voneinander
unterschieden werden können, wenn sie auf dem Grundteil Stoß
an
Stoß aneinandergrenzend angeordnet sind.
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Zum vollständigen Lehrmittel gemäß dieser Ausführungsform gehören
die mit den Bezeichnungen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70,
80, 90, 100 bezeichneten Zahlenelemente. Das gesamte Kontingent umfaßt jeweils zehn
Zahlenelemente 1 bis 10 einschließlich, fünf Zahlenelemente 20, drei Zahlenelemente
30, jeweils zwei Zahlenelemente 40 und 50 und jeweils ein Zahlenelement 60, 70,
80, 90, 100.
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Ein erster Kasten (nicht gezeigt) für die mit den Bezeichnungen 1
bis 10 versehenen Zahlenelemente nimmt diese Elemente, jeweils auf ihren Kanten
aufgestapelt, auf. Die lichte Tiefe dieses Kastens entspricht der Breite des Zahlenelements.
Die lichte Länge des Kastens ist gleich der Länge des Zahlenelements 10 und gestattet
demnach die Zahlenelemente so sichtbar im Kasten zu lagern, daß zwei Elemente zusammen
die Länge des Zahlenelementes 10 haben, d.h., daß die Zahlenelemente 9 und 1, 8
und 2, 7 und 3, 6 und 4, 5 und 5 aneinandergrenzend aufgenommen werden. Die lichte
Breite des Kastens ist gleich der gesamten Dicke der so angeordneten Zahlenelemente.
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Ein zweiter Kasten (ebenfalls nicht dargestellt) dient zur Aufnahme
der mit den Bezeichnungen 20 bis 100 versehenen Zahlenelemente, wobei diese flach
gelagert werden. Die Innen- bzw.
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lichten Maße dieses Kastens entsprechen der Fläche des Zahlenelementes
100 und der Gesamtdicke der Zahlenelemente.
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Das der bestimmungsgemäßen Verwendung des Lehrmittels zugrundeliegende
Prinzip ist von der fotografischen Negativ- und Positivabbildung unter Verwendung
von Montage- und Superpositionstechniken entnommen, wobei auf ein(e) "empfindliche(s)
Papier bzw. Unterlage" eine "Projektion" der Zahlenkonzepte, der Beziehungen
zwischen
diesen und der zugrundeliegenden mathmatischen Prinzipien dargestellt wird.
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Bei der folgenden Beschreibung eines speziellen Ausführungsbeispiels
für einige gewisse bestimmungsgemäße Verwendungsarten des Lehrmittels werden die
in den Fig. 3 bis 8 dargestellten Zahlengrundelemente als Schablonen bezeichnet.
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(1) Jedes mathematische Verständnis hängt davon ab, daß einem zu Beginn
bewußt wird, daß es Zahlen gibt. Dieses Bewußtsein wird durch Verwendung der Schablonen
1 bis 10 erweckt, wobei: (a) mehrere Muster einen sich wiederholenden Eindruck bewirken;
(b) eine Unterscheidung zwischen diesen durch mehrere Muster gefördert wird; (c)
die Bemessung und Auslegung jedes Kastens eine Differenzierung erfordert, wenn er
diese Schablonen aufnehmen soll.
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(2) Was mit den Ausdrücken 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 gemeint ist,
wird durch konstante psychologische Assoziierung der bildlichen Schablonen-Beschriftungen,
-längen und -flächen eingeprägt. Ein Erkennen der sich steigernden Abstufungen von
Längen und Flächen zeigt die Zahlen wie auf einer Skala angeordnet.
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Einfache Additionen und Subtraktionen werden durch seitliches Aneinanderlegen
und Vergleichen der Zahlenelemente veranschaulicht. Eine Fortsetzung der Zahlen
läßt sich durch Additionen veranschaulichen, welche über das Grundteil hinausragen.
Von diesen werden die den Zahlen 10 und 1, 10 und 2, etc., und in ähnlicher Weise
der Zahlen 20 und 2, 30 und 4, etc., weiterer Zehner und Einer im Zeilenformat des
Grundteils, der den Ausgang der Zahlenskala bildet, zugrundeliegenden Begriffe veranschaulicht.
Die 20 - 100 Zahlenelemente stellen ein aufsteigendes Zahlenmuster dar, so daß der
Begriff des Stellenwertes verständlich wird. Auch wird damit veranschaulicht, daß
mit 100 eine neue Zahlengruppe und eine weitere Fortsetzung beginnt.
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Das Zusammenstellen von Zahlenelementen gleichen Typs, d.h.
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der 9'en, 8'en, etc. ist dem der Multiplikation innewohnenden Klassifizieren
gleichzusetzen und wird demgemäß vom Schüler als eine Erweiterung der Addition verstanden.
Multiplikationsbeispiele können veranschaulicht werden, einschließlich des bei langen
Multiplikationen notwendigen Zerlegens in Dezimalstellen. Von den Produkten her
lassen sich die Begriffe der Teilbarkeit und der Faktorisierung veranschaulichen.
Sowohl kurze als auch lange Divisionen können dargestellt werden. Weiterhin kann
veranschaulicht werden, daß Zahlen, mit Ausnahme der Primzahlen, in Faktoren zerlegt
werden können. Auch die Begriffe des "kleinsten gemeinsamen Vielfachen" und des
"größten gemeinsamen Faktors" können verständlich gemacht werden.
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Das metrische System ist wie die übliche Zahlenskala ein Zehnersystem.
Demgemäß können Geldwerte und Währungssysteme, soweit sie auf einer Einheit aufgebaut
sind, die sich aus 100 kleineren Einheiten zusammensetzt, eingeprägt werden. Mit
dem Lehrmittel kann auch die Flächenmessung, welche ein Anwendungsfall der Multiplikation
darstellt, veranschaulicht werden.
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Da ein Bruch bzw. Bruchteil das Ergebnis der Teilung einer ganzen
Zahl in eine Anzahl gleicher Teile ist, läßt sich darstellen, daß sämtliche Zahlenelemente
des Lehrmittels Bruchteile von anderen oder des Grundteils sind. Mit unterschiedlichen
Beispielen kann bildlich dargestellt werden, was unter der Hälfte, einem Drittel,
einem Viertel, etc. zu verstehen ist. Daraus wird die Vorstellung erweckt, daß ein
Bruch bzw. Bruchteil sowohl Teil einer anderen Größe als auch ein Verhältnis darstellt.
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Es wird auch eingeprägt, was unter dem Nenner und Zähler zu verstehen
ist; unmittelbar einsichtig ist mit Hilfe des Lehrmittels auch, daß eine Addition
oder Subtraktion den Nenner
unverändert läßt, und das "Kürzen"
den Bruch selbst nicht ändert.
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Es kann gezeigt werden, was gleichwertige Brüche sind, und daß ein
neuer Nenner, welcher der kleinste gemeinsame Faktor unterschiedlicher Brüche bzw.
Nenner ist, eine Addition oder Subtraktion mehrerer Brüche erleichtert. Auch gemischte
Glieder können dargestellt werden. Gleichzeitig wird verständlich, wie diese gemischten
Glieder in ungeeignete Brüche zerlegt werden können. Mit dem Lehrmittel kann verständlich
gemacht werden, was eine Multiplikation und eine Division von Brüchen ist.
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Da Dezimalstellen Brüche mit Nennern darstellen, welche die Werte
10, 100, 1000 etc. haben, haben sämtliche Zahlenelemente Dezimalwerte. Dadurch kann
gezeigt werden, daß diese in gleicher Weise wie die gewöhnlichen Zahlen ausgedrückt
werden, jedoch mit einem Punkt oder Komma. Verwendet man das Grundteil oder das
Zahlenelement 100 als Ganzes, können die Zahlen 0,01, 0,02, etc., dargestellt werden
und außerdem veranschaulicht werden, daß diese Zahlenreihe parallel zur Zahlenreihe
0,1, 0,2, etc., verläuft. Mit Hilfe des Lehrmittels wird es auch verständlich, daß
eine Null rechts der Dezimalzahl den Wert nicht ändert.
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Aus den mit den Dezimalstellen korrespondierenden Brüchen erkennt
man die Umwandlungsregeln zwischen den Brüchen und den Dezimalstellen. Es wird verständlich,
daß eine dritte und weitere Dezimalstelle eine Erweiterung der gewöhnlichen Zahlenreihe
im Hinblick auf Dezimalstellen darstellt. Außerdem ist auch einsichtig, daß mit
wachsender Zahl der Dezimalstellen auch die Genauigkeit wächst. Ersichtlich wird
auch, daß eine Addition oder eine Subtraktion das Komma unberührt läßt und welche
Anpassungen vorgenommen werden müssen, wenn man Brüche miteinander multipliziert
oder durcheinander dividiert. Es kann auch gezeigt werden, wie Kurswerte in Dezimalausdrücken
dargestellt werden können.
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Das Verhältnis der Zahlenelemente zum Grundteil entspricht dem Ausdruck
"Prozent". Demzufolge stellen die Zahlenelemente Prozente des Grundteils dar; dies
bedeutet, daß der Begriff "Prozent" klar wird, auch wenn er beim Lehrmittel als
solcher nicht genannt wird. Es ist unmittelbar ersichtlich, was die Verhältnis-
und Dezimal-Äquivalente sind; das gleiche gilt für den Prozentsatz eines Kurswertes.
Die Zahlenelemente können auch als Einkaufs- und Verkaufspreis, Kapital und Zinsen,
Grundkapital und Geschäftsanteil verwendet und entsprechende Transaktionen mit ihnen
durchgeführt werden.
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Die dem "Verhältnis" zugrundeliegende Idee wird dadurch veranschaulicht,
daß die Zahlenelemente 20 - 100 flach übereinanderliegen und dabei so angeordnet
sind, daß das kleinste Zahlenelement oben aufliegt. Daraus ergibt sich, daß ein
Verhältnis eine Vergleichsbeziehung auf Bruchbasis darstellt. Mit vielen Beispielen
kann dargstellt werden, daß eine gleichförmige Stufenfolge in gleicher Weise wie
ein Bruch gekürzt werden kann. Es wird auch einsichtig, daß Größen in dieser Weise
ausgedrückt werden können.
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Das Verfahren, bei dem man auf die Einheit zurückgeht, das sogenannte
Vereinheitlichungsverfahren, ist eine Anwendung der Bruchrechnung. Es beinhaltet
Verhältnisse und Proportionen.
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Dies läßt sich ohne weiteres für bestimmte Ausführungsbeispiele, wie
das Füllen einer Badewanne mit einem Wasserhahn oder Leistungsfragen zeigen.
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Mehrere Beispiele von Quadraten und Quadratwurzeln, aus denen sich
die Natur dieser Begriffe ergibt, werden verständlich.
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Auch das Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel, bei welchem paarweise
die Zahlen von rechts her abgeschnitten werden, zeigt sich als ein genaues Verfahren.
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Der Begriff des "quadriert" bzw. "Quadrat" ist in der Algebra wichtig.
An Beispielen kann veranschaulicht werden, beispielsweise für das Beispiel (x+1),
daß (x+1) (x+1) gleich x2 + 2x + 1 ist. Dieses Beispiel kann in ähnlicher Weise
auf den Ausdruck (x+2) erweitert werden, bei welchem das Zwischenglied in gleicher
Weise aufgebaut ist. Derartige Beispiele erleichtern die Einsicht dessen, was man
unter umgekehrter Faktorisierung bzw.
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Zusammenfassen versteht. Es ist möglich, den Ausdruck x2 + y2 2 und
die Differenz dieses Ausdrucks zum Ausdruck (x + y) zu 2 zeigen. Das gleiche gilt
für (2x + y) und weitere Binominalausdrücke. Aus Vergleichen kann gezeigt werden,
daß zwei Minuszeichen ein Pluszeichen ergeben, und daß ein vor einer Klammer angeordnetes
Minuszeichen die Vorzeichen innerhalb der Klammer ändert.
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Das Lehrmittel kann mit Vorteil dort angewendet werden, wo eine Vorstellung
von einer Skala und von ähnlichen Dreiecken, bei welchen trigonometrische Gesichtspunkte
eine Rolle spielen, vermittelt werden soll. Es kann auch zur Einführung in grafische
Darstellungen und Koordinaten-Geometrie bzw. -systeme verwendet werden.
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