DE25834C - Neuerungen an dem AMSLER'schen Polarplanimeter - Google Patents

Description

KAISERLICHES

PATENTAMT

KLASSE 42: Instrumente.

Die beiliegenden Zeichnungen stellen verschiedene Formen von Planimetern dar, welche sämmtlich durch Specialisirung aus der nämlichen Grundform abgeleitet sind. Alle dienen dazu, den Flächeninhalt einer Figur durch Umfahren ihrer Contour mittelst eines am Instrument angebrachten Fahrstiftes zu bestimmen. Der Inhalt ergiebt sich aus der Umdrehung einer Laufrolle des Instruments mittelst Ablesung ihrer Theilung am Anfang und Ende der Operation. Sei u die Differenz der beiden Ablesungen, a und b zwei von den Constructionsverhältnissen des Instruments abhängige Constanten, so ist der gesuchte Flächeninhalt

/= au -f- b.

Hat der Arm, an welchem der Fahrstift angebracht ist, während der Operation keine ganze Umdrehung gemacht, so ist b = o, genau wie bei meinen Polarplanimetern, die ich als bekannt voraussetzen darf.

Die umfahrene Figur kann auch eine sphärische sein, und die zu beschreibenden Instrumente . geben den Inhalt der davon begrenzten krummen Fläche an.

Das dem Instrument zu Grunde liegende Princip habe ich in meiner Beschreibung in der Vierteljahresschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich vom Jahre 1856 zuerst veröffentlicht; es ist dasselbe in folgenden Sätzen enthalten:

I. Umschreibt der eine Endpunkt F, Fig. 1, einer beweglichen Geraden CF von unveränderlicher Länge α eine geschlossene, ebene Figur vom Flächeninhalt/, während der andere Endpunkt C sich auf einer beliebigen festen Curve L (der Leitlinie) bewegt, so ist

/== αf sin ψ ds -}- b.

φ bedeutet den Winkel, welchen die Gerade FC mit der im Punkt C an die Leitlinie gezogenen Tangente bildet; ds das Bogenelement des von C durchlaufenen Weges; b ist eine Constante; das Integral erstreckt sich über den ganzen von C durchlaufenen Weg.

II. Der Werth des obigen Integrals kann mechanisch erhalten werden, am einfachsten, indem man mit den Geraden FC eine Rolle D verbindet, Fig. 1, welche auf der Zeichnungsebene läuft, und zwar so, dafs ihre Achse beständig parallel zu F C bleibt. Der während der Bewegung von F C von der Rolle abgewickelte Bogen ist gleich dem in Rede stehenden Integral.

III. Statt der einfachen, mit FC verbundenen Rolle kann jeder andere Mechanismus dienen, welcher das Integral /sin φ ds giebt. In der citirten Abhandlung habe ich beiläufig eine solche Vorrichtung angedeutet, indem ich schrieb:

»Eine mit Achse versehene Halbkugel K rollt auf einer Bahn und wird durch einen Wagen geführt. Mit dem Wagen ist ein Stab CF verbunden, welcher sich um eine verticale, verlängert durch den Kugelmittelpunkt gehende Achse C drehen kann. Der Stab trägt bei F einen Fahrstift, bei C eine auf der Kugelfläche laufende Rolle D, deren Achse parallel zu CF ist und deren Mittelebene erweitert durch den Kugelmittelpunkt geht. Umschreibt der Fahrstift eine geschlossene Figur, so ist deren Inhalt

proportional dem von der Rolle D abgewickelten Bogen.«

Diese Sätze gelten auch dann noch, wenn die umfahrene Figur eine sphärische statt ebene ist; nur mufs dann dem Satz II die Beschränkung hinzugefügt werden, dafs der Berührungspunkt der Laufrolle D mit der Kugeloberfläche in den durch F C gelegten gröfsten Kreisbogen fallen mufs und dafs φ den Winkel bedeutet, welchen dieser Bogen im Berührungspunkt von D mit der von diesem beschriebenen Bahn bildet, und dafs endlich ds das Bogenelement dieser Bahn bezeichnet.

Satz III lautet in der Verallgemeinerung für die Kugeloberfläche so:

III a. Eine Kugel O, Fig. 2, vom Radius ρ wird so geführt, dafs ihr Mittelpunkt eine beliebige feste Bahn XX durchläuft, welche parallel zur Oberfläche eines Globus vom Radius S ist. Die Kugel dreht sich proportional mit dem von ihrem Centrum durchlaufenen Wege (vor- und rückwärts) um eine Achse MM\ welche eine beliebige constante Neigung ψ gegen die Globusoberfläche hat; die Ebene, welche durch die Achse MM¹ und das Centrum des Globus geht, bildet mit der Bahn im Schnittpunkt den constanten Winkel ^. Eine Gerade, welche vom Mittelpunkte des Globus durch den Mittelpunkt der Kugel O geht, treffe die Oberfläche des Globus in C, die Oberfläche der Kugel O in C² und C¹. Auf der Kugeloberfläche O läuft eine Laufrolle D, deren Mittelebene durch CC geht (oder wenigstens den gröfsten Kreis berührt, der durch C¹ C¹ und den Berührungspunkt der Rolle D geht) und mit dem Fahrarm CF (einem gröfsten Kreisbogen des Globus von constanter Länge) einen constanten AVmkel £■ bildet, gleich demjenigen, unter welchem die Leitlinie X X die Ebene M M¹ C schneidet. Wird nun vom Punkt F eine geschlossene Figur auf dem Globus umfahren, so führt die Kugel O eine bald vorwärts-, bald rückwärtsdrehende Bewegung, die darauf laufende Rolle D eine bald rollende, theils gleitende Bewegung aus. Sei u der mittelst Theilung und Zählwerkes abzulesende ganze, während der Bewegung von F von der Rolle abgewickelte Bogen, so ist der sphärische Flächeninhalt der umfahrenen Figur

= au -f- b,

wo α und b Constanten bezeichnen. Wickelt die Rolle D einen Bogen η ab, wenn das Centrum der Kugel O den Weg 1 zurücklegt, während beständig φ = 90° ist, und ist λ die Länge des gröfsten Kreisbogens CF, so ist

~R

b = ο oder = i?² I 1 — cos — I -j- J, \ ^Rl

wo ί den Flächeninhalt der von der Projection

sm

(aus dem Centrum des Globus) der Leitlinie auf dem Globus begrenzten Figur bezeichnet.

Es ist hervorzuheben, dafs die Entfernung des Berührungspunktes der Rolle D vom Punkt C¹ ganz beliebig sein kann, und dafs eine kleine constante Parallelverschiebung der Rolle D in der Richtung ihrer Achse nur einen Fehler zweiter Ordnung im Resultat herbeiführt. Dagegen ändert sich die der Einheit der Rollenablesung entsprechende Flächeneinheit mit der Länge ' des Fahrarmes, weshalb dieselbe veränderlich gemacht wird.

Da die Anwendung des Planimeters zur Berechnung sphärischer Figuren nur eine untergeordnete Bedeutung hat, so sollen zunächst nur die Constructionen zur Berechnung ebener Figuren vorgeführt werden.

Als Leitlinie eignet sich in der Ebene vorzugsweise der Kreis und die Gerade; der Radius der Kugel O kann eine beliebige endliche Gröfse haben, aber auch unendlich grofs werden. In diesem Falle geht die Kugel in eine Scheibe O über (im allgemeinen mit beliebig gerichteter Achse). Endlich kann die Entfernung CM unendlich werden, während DM endlich bleibt; d. h. die Führung der Rolle kann längs einer Geraden statt längs eines Kreisbogens relativ zum Apparat stattfinden. Je nachdem man diese Verhältnisse wählt, erhält man aus dem allgemeinen Satze IIIa folgende Hauptformen für das Planimeter:

A. Kugelplanimeter,

bei welchem die Laufrolle D auf einer Kugelfläche (bezw. Kugelcalotte) läuft.

1. Fig. 6, 6 a und 6 b zeigen ein solches Instrument, bei welchem die Leitlinie ein Kreis mit dem Centrum Z ist. Die Lage dieses Kreises ist durch ein auf der Zeichnungsfläche liegendes Gewicht fixirt. Die Kugel O wird im Kreise herumgeführt durch den Fahrarm CF und in Drehung versetzt entweder mittelst eines konischen Antriebes direct von dem mit dem festen Centrum verbundenen Konus Q aus, oder durch Zwischenlage einer mit Friction auf der Zeichnungsebene laufenden Rolle, welche einen Konus Q' antreibt. Die Uebertragung der Bewegung von dem Konus Q oder Q¹ aus auf einen mit der Kugelachse verbundenen Konus kann durch blofse Friction, besser mit ganz flacher Verzahnung bewerkstelligt werden. Der Winkel Jr wird in der Regel =90° gesetzt werden, um eine hyperbolische Zahnung oder die Anwendung eines Zwischenrades zu vermeiden.

2. In den Fig. 7, 7 a und 7 b ist eine Modification dieses Apparates dargestellt, bei welcher die Laufrolle D durch einen Cylinder D ersetzt ist. Dieser Cylinder ist nicht fest mit dem Fahrarm CF verbunden, sondern der denselben tragende Rahmen ist mit Führungsrollen h h

versehen, die in einer horizontalen, zu CF parallelen Nuth laufen. Während beim Umschreiben einer Figur mit dem Apparat, Fig. 6, 6a und 6b, die Laufrolle eine theils rollende, theils gleitende Bewegung ausführt, macht der Cylinder D bei dem Apparat, Fig. 7, 7a und 7b, eine blos rollende Bewegung. Wenn nämlich der Fahrstift F einen Kreisbogen um C beschreibt, wälzt sich der Cylinder D auf der Kugel nach seiner Längenrichtung, indem die Leitrollen h h zu laufen beginnen.

' Der Cylinder trägt an einem Ende Theilung oder Zeiger und ein Zählwerk irgend einer Art, um die Drehung des Cylinders ablesen zu können.

Bei dieser Construction wird man in der Regel ψ = 90°, £r = 90⁰ machen und die Achsen der Kugel O und des Cylinders annähernd in gleiche Höhe legen.

Selbstverständlich kann die Leitlinie auch eine gerade (bezw. Zahnstange) sein, in welchem Falle die Kugel auf einen Wagen montirt werden mufs.

B. Scheibenplanimeter.
Aus der schematischen Figur, Fig. 2, leitet man die allgemeinste Form des Scheibenplanimeters ab, indem man ρ = OO setzt. Die Kugel Q geht dann in eine Scheibe über mit beliebig geneigter Achse. Für praktische Zwecke eignet sich nur die Scheibe mit verticaler Achse (ψ = 90°). Je nach dem Werth, den man dem Winkel £r giebt, erhält man eine der in den Fig. 3, 4 und s dargestellten Grundformen, die für praktische Zwecke sich nicht wesentlich von einander unterscheiden. Als brauchbare Constructionen sind hervorzuheben die folgenden:

3. Das in den Fig. 8, 8 a und 8 b dargestellte Planimeter entspricht dem Typus Fig. 4. Der Druck auf den Fahrstift kann entweder durch einen daneben angebrachten Fufs abgenommen (wie ich einen solchen seit 1855 vielfach bei meinem Polarplanimeter anwandte), oder durch das Gewicht u regulirt werden, indem man seinem Träger eine angemessene Stellung giebt (durch horizontale Drehung). Der Fufs J ist mit einer konischen Oeffhung versehen, in welche das kugelförmig abgerundete Ende des Centrumbolzens eingesetzt wird, der die Achse des Führungskreises bildet. Die Zuspitzung des Konus ist derart, dafs sich das Instrument frei auf der Zeichnungsebene einstellen, aber bei unvorhergesehener Behandlung nicht ausfallen kann. Die Achse der auf dem Papier laufenden Rolle L ist so geneigt, dafs sie verlängert die Zeichnungsebene im Centrum des Fufsesy trifft, wodurch ein sicheres Spiel der Rolle L ermöglicht wird. Die beiden Konen K und L sind mit einer ganz flachen Verzahnung versehen; die Scheibe und der sie führende Konus K sind, zur Vermeidung des todten Ganges, nur durch den Konus L gestützt.

Das Instrument, Fig. 8, 8 a und 8b, entspricht dem Werthe £r = 90°. Für £r = 90° erhält man das gleiche Instrument, nur dafs der Drehpunkt des Fahrarmes von C nach C¹ verlegt ist. Das dargestellte Instrument ist für beide Combinationen eingerichtet. Für die nämliche Figur ist die Ablesung der Laufrolle doppelt so grofs bei Anwendung des Drehpunktes C¹ als bei C, indem C gerade in der Mitte zwischen C und dem Centrumzapfen liegt.

4. Ersetzt man den Leitkreis durch eine Gerade, so kommt man auf die in den F'ig. 9, 9 a und 9 b dargestellte Construction. Das obere von den beiden Linealen N und P ist mit einer Nuth versehen, in welcher die Führungsrollen h h eines kleinen Wagens laufen, der die Scheibe O trägt, auf welcher die Laufrolle spielt. Unterhalb der Scheibe ist auf ihre Achse eine flach gezahnte Scheibe aufgesteckt, die sich an das untere Lineal N anlehnt und in dessen Verzahnung eingreift. Umfährt man mit dem Fahrstift F eine Figur, so läuft der Wagen parallel zu den beiden Linealen. Die Verzahnung setzt die Scheibe O und damit die Laufrolle D in Bewegung.

Die in den Fig. 8, 8a, 8b, 9, 9a und 9b dargestellten Instrumente haben die Eigenschaft, dafs man die Laufrolle D beliebig parallel zu sich selbst verlegen kann, ohne dafs das Ablesungsresultat beim Umfahren einer geschlossenen Figur sich ändert, wenn die Lage der Achse C und die Länge CF dieselbe bleibt. Dagegen kann sich der Werth der Constante b ändern. Beim Justiren des Instrumentes ist nur die eine Bedingung wesentlich, dafs die Mittelebene der Laufrolle parallel der vom Mittelpunkt der Scheibe O durch die Achse C gezogenen Geraden parallel ist, wenn der Fahrarm CF in die Bewegungsrichtung des Scheibenmittelpunktes fällt.

5. Läfst man sich in Fig. 3 £■ der Grenze 0 nähern, während man den Fahrstift nach F¹ verlegt (da dieser irgendwo auf der Geraden CF oder deren Verlängerung über C hinaus liegen kann), und läfst man C nach F hinaus ins Unendliche fallen, während F¹ innerhalb des Endlichen verbleibt, so geht die Bewegung der Rolle D in eine geradlinige über und man erhält die Grundform der Planimeter von Gonella & Wethli.

6. Läfst man den Drehpunkt der Scheibe bei konusförmiger Leitlinie mit dem Centrum des Seitenkreises zusammenfallen und ertheilt ihr eine Drehung, welche der Drehung des ganzen Apparates numerisch gleich, aber entgegengesetzt gerichtet ist, so steht, die Scheibe relativ gegen die Zeichnungsebene still und die Laufrolle D allein wird auf derselben fortgeschoben. Läfst man die dadurch überflüssig

gewordene Scheibe weg und läfst die Rolle geradezu auf der Zeichnungsebene laufen, so erhält man mein bekanntes Polarplanimeter in seiner einfachsten Form.

7. Wie oben schon bemerkt, können alle diese Planimeterformen auch auf den Globus übertragen werden; an Stelle der Geradführung tritt hierbei die Führung längs eines gröfsten Kreises ein. Das Polarplanimeter und das in Fig. 8, 8 a und 8 b dargestellte Instrument sind nur so zu modificiren, dafs die Drehachse C nach dem Centrum des Globus gerichtet sein mufs. Das wird erreicht, wenn man die Schenkel CP und CF, Fig. 8, 8 a und 8 b, angemessen biegt. Zu diesem Zweck kann man in der Mitte dieser Schenkel Scharniere anbringen, welche senkrecht zu ihnen und der Achse C stehen.

Beim gewöhnlichen Polarplanimeter ist aufserdem erforderlich, dafs der Punkt D, in welchem die Laufrolle den Globus berührt, in die Ebene falle, welche durch die Achse C, den Fahrstift F und das Centrum des Globus geht. Für das Polarplanimeter werden in diesem Falle die Constanten

. DC . DF a = R sin —— 1- R sin ,

b~{DC'ⁱ — DF* + CE²-+ 2 CD- R) π oder = o, je nachdem CF während des Umschreibens einer Figur eine ganze Drehung ausführt oder nicht. Für das in Fig. 8, 8 a und 8 b dargestellte Instrument gelten ähnliche Formeln, deren Aufstellung keinen Zweck hat, indem man in praxi zu experimenteller Bestimmung seine Zuflucht nehmen wird, indem man eine Figur von bekanntem Inhalt umfährt, einmal, indem der Pol P innerhalb derselben, und das zweite Mal, wenn er aufserhalb derselben aufgestellt ist. Hat die Laufrolle im ersten Fall die Drehung V₁, im zweiten die von V₂ ausgeführt, und ist der bekannte Inhalt der umfahrenen Figur =/i so ist

V₂

V₂

Claims (4)

1. Patent-Ansprüche:

   Die beschriebene Einrichtung eines Planimeters:

   i. In der in den Fig. 6, 6 a und 6 b dargestellten Form, welche gekennzeichnet ist durch

   a) die als Unterlage für die Laufrolle D dienende Kugelcalotte O, welche durch den Fahrarm CF im Kreise herumgeführt und in Drehung versetzt werden kann, mittelst eines in das mit dem Centrum verbundene Kegelrad Q eingreifenden konischen Triebes oder durch eine zwischengelegte, auf der Zeichnungsebene laufende Rolle, welche einen Konus Q¹ antreibt;
   b) die bei der Bewegung des Fahrstiftes auf der Kugeloberfläche O theils rollende, theils gleitende, das Resultat der Mefsoperation angebende Rolle D, deren Achse parallel zu CF ist und deren Mittelebene durch den Kugelmittelpunkt geht.
2. 2. In der in den Fig. 7, 7 a und 7 b dargestellten Form, welche gekennzeichnet ist durch die Combination der unter 1. erwähnten Kugelcalotte O mit dem als Ersatz der Rolle D, Fig. 6, dienenden Cylinder D, Fig. 7, welcher in einem Rahmen angebracht ist, dessen Führungsrollen in einer horizontalen, zu CF parallelen Nuth laufen, wodurch jede gleitende Bewegung des integrirenden Theiles vermieden wird.
3. 3. In der in den Fig. 8, 8 a und 8 b darge-• stellten Form, deren charakteristische Theile sind:

   a) das Gewicht U, dessen Träger horizontal drehbar ist, so dafs hierdurch der Druck auf den Fahrstift regulirt werden kann;

   b) die auf der Zeichnungsebene laufende konische, zum Antrieb des Scheiben-Polarplanimeters dienende Scheibe L, deren Drehachse verlängert durch die Projection des Centrums P des Leitkreises (des Gewichtes J) auf die Zeichnungsebene geht;

   c) der die Scheibe O führende Konus K, welcher mittelst ganz flacher Verzahnung in den Konus Z eingreift, so dafs die Scheibe nebst dem Konus K nur durch den Konus L gestützt ist, wodurch der todte Gang vermieden wird.
4. 4. In der in den Fig. 9, 9 a und 9 b dargestellten Form, welche charakterisirt ist durch:

   a) die beiden Lineale N und P₁ von denen das obere mit einer Nuth versehen ist zur Aufnahme der Führungsrollen h h eines kleinen Wagens, der die Scheibe O trägt, auf welcher die Laufrolle spielt;

   b) die auf die Achse von O aufgesteckte, flach gezahnte Scheibe, welche in die Zahnstange des unteren Lineals N eingreift, wodurch die . Drehscheibe in Rotation versetzt wird.

   Hierzu 4 Blatt Zeichnungen.