DE1260044B - Aktives Zweipol-Netzwerk in >>Sandberg<<-Schaltung - Google Patents

Description

BUNDESREPUBLIK DEUTSCHLAND

DEUTSCHES

PATENTAMT

AUSLEGESCHRIFT

Int. α.:

Nummer:
Aktenzeichen:
Anmeldetag:
Auslegetag:

H03h

Deutsche Kl.: 21 g - 34

1 260 044
A40735IXd/21
17. Juli 1962
1. Februar 1968

Die Erfindung bezieht sich auf aktive elektrische Zweipol-Netzwerke (sogenannte Zweipolschaltungen) der von I. W. S a η d b e r g in seiner Veröffentlichung »Synthesis of Driving-Point Impedances with active RC Networks«, veröffentlicht im »Bell System Technical Journal«, Bd. 39 (Juli 1960), S. 947 bis 962, beschriebenen Art. Diese aktiven Netzwerke werden im folgenden als Sandberg-Schaltung bezeichnet. Sie enthalten eine Brückenschaltung mit zwei passiven iiC-Zweipolschaltungen, die eine erste, im folgenden Z_v genannte Impedanz enthalten, wobei diese beiden Impedanzen in entgegengesetzten Zweigen der Brücke liegen. Ferner enthält die Anordnung zwei passive RC-Z weipolschaltungen mit einer zweiten, in den anderen beiden Zweigen liegenden Impedanz Z_w, wobei die beiden Anschlußpunkte des gesamten Netzwerks an gegenüberliegenden Ecken der Brücke liegen und eine aktive Drei-Klemmen-Vierpolschaltung vorgesehen ist, die durch einen negativen Impedanzwandler mit einem Wandlungsgrad (Ein-

gang-Ausgang) von —^- gebildet ist, wobei Z_x und Zy die Impedanzen passiver .RC'-Zweipolschaltungen sind und wobei der Wandlungsgrad ausdrückt, daß, wenn am Ausgang des Wandlers die Impedanz Z₀ liegt, die Impedanz an seinem Eingang Aktives Zweipol-Netzwerk
in »Sandberge-Schaltung

Anmelder:

Associated Electrical Industries Limited, London

Vertreter:

Dipl.-Ing. E. Schubert, Patentanwalt,

5900 Siegen, Eiserner Str. 227

Als Erfinder benannt:

WoIj a Saraga, Orpington, Kent (Großbritannien)

Beanspruchte Priorität:

Großbritannien vom 17. Juli 1961 (25 806)

Z₀ ist, oder umgekehrt, wenn am Eingang des Wandlers die Impedanz Z₀ liegt, die Impedanz

Z₀ ist.

Eine RC-Zweipolschaltung ist eine Schaltung, die nur aus Widerstandselementen (R) oder Kapazitätselementen (C) oder einer Kombination von Widerstands- und Kapazitätselementen, ohne Induktanzelemente, besteht. Eine Drei-Klemmen-Vierpolschaltung ist eine Schaltung, die eine Eingangsklemme, eine Ausgangsklemme und eine gemeinsame Klemme aufweist, wobei die Eingangsklemme und die gemeinsame Klemme zusammen den Eingang und die Ausgangsklemme und die gemeinsame Klemme zusammen den Ausgang bilden.

Ein aktives Netzwerk nach der Sandberg-Schaltung im hier verwendeten Sinne kann eine von zwei Formen verwenden. In der einen Form liegen die Zweipole Z_v und Z_w direkt zwischen nebeneinanderliegenden Ecken der Brücke, und die gemeinsame Klemme des negativen Drei-Klemmen-Impedanzwandlers liegt an einer der Klemmen des Netzwerkes, wobei sein Eingang am anliegenden Zweipol Z_w und sein Ausgang am anliegenden Zweipol Z_v liegt. Bei der anderen Form liegt einer der Zweipole Z_w zwischen einer der Klemmen des Netzwerkes und der Eingangsklemme des negativen Impedanzwandlers, wobei einer der Zweipole Z_v zwischen der anderen der Klemmen des Netzwerkes und der Ausgangsklemme des Wandlers liegt, und wobei die Brückenzweige, die diese beiden Zweipole enthalten, also auch teilweise den Wandler einschließen und wo ferner die gemeinsame Klemme des Wandlers an der Ecke der Brücke an der Verbindung der verbleibenden zwei Zweipole liegt. Diese beiden Formen eines aktiven i?C-Netzwerkes nach der Sandberg-Schaltung sind in den Zeichnungen F i g. 1 bzw. F i g. 2 dargestellt, in den die Punkte A und B die Klemmen des Netzwerkes und die Punkte /, O bzw. C die Eingangs-, Ausgangs- bzw. gemeinsame Klemme des negativen Impedanzwandlers NIC mit

einem Eingangs-Ausgangs-Wandlungsgrad von -—-^

sind. Zur Erleichterung des Vergleichs mit den in der obenerwähnten Veröffentlichung von Sandberg dargestellten Netzwerken ist zu erwähnen, daß die Impedanzen Z_v, Z_w, Z_x und Z_y den von Sandberg beschriebenen Impedanz Z₁, Z₂, Z₃ bzw. Z₄ bei der ersten Form seines Netzwerkes und den von Sandberg beschriebenen Impedanzen Z₆, Z₅, Z₈ bzw. Z₇ bei der zweiten Ausführungsform entsprechen.

Es ist möglich, zwischen den Klemmen des aktiven

Netzwerkes nach der Sandberg-Schaltung Impedan-

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zen Z(p), d. h. Impedanzen Z als Funktion einer komplexen Frequenzvariablen ρ, zu erhalten, die ohne Verwendung aktiver Elemente nur durch passive Netzwerke mit einem oder mehreren Induktanzelementen gebildet werden.

In dem von Sandberg für seine Netzwerkschaltung in der obenerwähnten Veröffentlichung vorgeschlagenen Syntheseverfahren ist eine erhebliche theoretische Beschränkung dadurch enthalten, daß die Impedanzfunktionen Z(p), die über die ganze negative reelle p-Achse nicht positiv sind, nicht ohne zusätzliche andere Schaltelemente außerhalb der Basisbrückenschaltung zu erhalten sind. So kann z. B., um eine im Bereich der ganzen negativen reellen p-Achse nicht positive Impedanzfunktion Z(p) zu erhalten, die Funktion Z'{p) = Z(p) —Z_s sein, in der

eines derartigen Netzwerkes aufweist, dadurch gekennzeichnet, daß das Netzwerk mit

Z_v =

k'

pz_a

= k'Z_n und

Z₆ und

■•x _

-Z_n

realisiert ist, wobei Z_n

von passiven jRC-Zweipolen sind,

/C(Z₀-;

die Impedanzen

für die erste Form und =

für die zweite

= — oder
P

pZ(p) Form des Netzwerkes ist und wobei k' = k für die

erste Form und k' = -r- für die zweite Form des

(P+ b)

ist und α und b positive Konstanten sind, durch das grundsätzliche Netzwerk nach der Sandberg-Schaltung gebildet werden — wobei Z'(p) nicht über die ganze negative reelle p-Achse nichtpositiv ist — und Netzwerkes gilt, wobei k eine reelle Konstante ist. Es kann mathematisch nachgewiesen werden, daß im allgemeinen für jede reelle rationale Impedanzfunktion Z"(p), die auf der ganzen negativen reellen p-Achse nichtpositive Funktionen einschließt, passive KC-Impedanzfunktionen Z₁, und Z₆ gefunden werden

i^~pZ_aZ_b)

Z(p) kann dann als die Reihenkombination von 25 können, die der Gleichung Z'(p) und einem zusätzlichen KC-Zweipol mit der

Impedanz Z_s realisiert werden. Es kann auch die Z"lp) =

Funktion —Z(p), die selbstverständlich in dem erwähnten Bereich nicht nichtpositiv ist, durch das

Netzwerk nach der Sandberg-Grundschaltung reali- 30 für jeden positiven oder negativen Wert von /c gesiert werden, und man erhält den Z(p) durch Ver- nügen. Dies gilt daher im vorliegenden Fall inswendung eines zusätzlichen negativen Impedanz- _Ηρςηη(4_{ΡΓΡ fi5r 7}»_(n\ _ _7(n\ _{nnd 7}»_{τλ - ¹ wandlers mit einem Wandlungsgrad von -1, an besondere tür Z (ρ)-Z(p) und Z (p) -

dem ein Brückennetzwerk mit der Impedanz —Z{p) liegt.

Es ist Aufgabe der Erfindung, ein aktives Zweipol-Netzwerk nach der Sandberg-Schaltung zu schaffen, in dem die durch unterschiedliche Syntheseverfahren bestimmten Impedanzverhältnisse so liegen, daß die obenerwähnte theoretische Beschränkung vermieden wird, so daß ohne Anfügung von äußeren Schaltelementen an die grundlegende Brückenschaltung Impedanzfunktionen von Z(p) erhalten werden, die Funktionen einschließen, welche im Bereich der Die Impedanzfunktionen Z_n und Z₆, die zur Bildung einer benötigten Impedanzfunktion Z"(p) erforderlich sind — und die für die vorliegenden Zwecke von Fall zu Fall Z(p) oder *

die Gleichungen
Z_n —

pZ(p)

sind — können durch

?(ÖJ_e

und

bestimmt werden. Dabei ist q = p-^ (QJ₁, und (QJ₀

bzw. ungeraden Teile von Q₆, während Q„ und Q₆ Polynome in q sind, definiert durch

= ^ln(q-qJ und Q_b = ','(er

gänzen negativen reellen p-Achse nicht positiv sind. 45 sind die entsprechenden geraden bzw. ungeraden Ein Netzwerk zur Bildung einer über die ganze Teile von Q₀, und (Q₆)_e und (Q₆)₀ sind die geraden negative reelle p-Achse nicht positiven Impedanzfunktion nach der Synthese gemäß der Erfindung hat den Vorteil, daß, im ganzen gesehen, weniger Komponenten als bei der Sandbergschen Synthese 50 benötigt werden, wobei für andere Impedanzfunktionen die Anzahl der Komponenten die gleiche sein kann. Es wird aber gezeigt werden, daß die Komponentenwerte unterschiedlich sind. Der Umstand, daß ein Netzwerk gemäß der Erfindung eine benö- 55 tigte Impedanzfunktion durch Verwendung unterschiedlicher Komponentenwerte bilden kann, ist an sich schon ein Vorteil, da es eine größere Anpassungsfähigkeit an den Aufbau eines derartigen Netzwerkes und einen größeren Bereich von Auswahlmöglich- 60 keiten für den Konstrukteur des Netzwerkes ergibt. Gemäß der Erfindung ist ein aktives Zweipol-Netzwerk in Sandberg-Schaltung, welches eine Impedanzfunktion Z (p) darstellt und Brückenimpedanzen Z_v und Z„

Q_b

wobei II ein Symbol ist, das ein alle Werte des Index (a oder b) übersteigendes Produkt bedeutet, und

q„ und q_b die Eins-Stellen von —.— (d. h. die Punkte

a Z" in der g-Ebene, an denen —.— = +1 ist) in der

rechten bzw. linken Hälfte der q-Ebene sind, wobei

in den Fällen, in denen -L₁ — , als rationale Funktion

von q betrachtet, einen gemeinsamen Faktor q in ihrem Zähler- und Nenner-Polynom aufweist, wobei der oben für Q„ oder, wenn gewünscht, der für Q₁, gegebene Ausdruck mit q multipliziert wird, um je :_w und einen negativen Impedanz-65 nach Fall q^lj (q-qj oder ql¹ (q—q_b) zu erhalten.

Das Verfahren zur Bestimmung von Z_n und Z₆ für eine benötigte Impedanzfunktion Z(p) kann dann wie folgt verlaufen: Je nach der verwendeten speziellen

in einer

wandler mit einem Wandlungsgrad —

jL· γ

Schaltung nach einer ersten und zweiten Anordnung

Form des Netzwerkes nach der Sandberg-Schaltung nimmt man Z" = Z(p) oder = - . legi einen

Wert für k fest und multipliziert Z" mit -f-, um ~-~ zu erhalten. Man findet die Eins-Stellen von ——, wobei gemeinsame Faktoren q im Zähler

und im Nenner gegeneinander aufgehoben werden, und trennt die in der rechten, durch q„ bezeichneten Hälfte der ςτ-Ebene liegenden Punkte von denen in der durch q_b bezeichneten linken Hälfte. Dann bildet man die Polynome

Komponenten oder der Kapazitäten vermindert wird, oder die Empfindlichkeit des Ansprechvermögens des Kreises auf Änderungen der Elementwerte im passiven oder im aktiven Teil des Netzwerkes vermindert wird, oder die Wirkung von parasitären Elementen vermindert wird, k ist kein reiner Skalieroder Normierfaktor, da die Eins-Stellen von -Ersieh in komplizierter Weise mit k ändern, so daß ίο Z_n und Z₆, die von diesen Eins-Stellen abhängen, sich ebenso ändern.
In den F i g. 1 und 2 ist die Realisierung von Z_v, Z_w

und -=£ in Ausdrücken von Z_n, Z₆, ρ und k gemäß der Erfindung in Klammern angegeben. Die komplexe Frequenzvariable ρ kann als -f-~ definiert werden,

JkI

wobei / die augenblickliche bzw. Ist-Frequenz und f_rel- eine beliebige, aber festliegende Bezugs- bzw. Sollfrequenz, gemessen in der gleichen Einheit wie f, ist. Wenn man Z_AB als Impedanz zwischen den Klemmen A und B des Netzwerkes annimmt, so ist, wie oben erläutert,

Q₁, = " (Q-Qa) und Q_b = IHq-q_b)

(wie erinnerlich, ist die rechte Seite von einer der Gleichungen mit q unter den obenerwähnten Umständen zu multiplizieren) und teilt diese in Übereinstimmung Q_n = (QX + (QX und Q_h = (QX + (QX, in ihre geraden Teile (QX, (QX und ungeraden Teile (QX, (QX- Damit bestimmt man Z_n und Z₆ aus den obengenannten Gleichungen.

Ein Alternativverfahren, um die für die Bestimmung von Z₁, und Z₆ benötigten Polynome Q_n und Q₁, zu

bestimmten, ist das folgende: Man drückt ~- als

/C

j- aus, wobei N und D Polynome sind, und berechnet r-.™

die Nullstellen von (N-D). Diese Nullstellen sind 30 Das Netzwerk nach F i g. 1 könnte durch Aus-

k(Z_a-Z

bl _ ₇

— £· AB

für F i g. 1 und =

für F i g. 2.

identisch mit den Eins-Stellen von -^₇₇- , außer

wenn N und D einen gemeinsamen Faktor q aufweisen, was eine Nullstelle von (N-D)' bei q = O mit sich bringt, was keine wirkliche Eins-Stelle

von ~~ ist. Wenn man die Nullstellen in der rechten

Halbebene mit q_a und die in der linken Halbebene mit q_b bezeichnet, dann ist eine Nullstelle bei q = O entweder den ^„-Nullstellen oder den ^,,-Nullstellen zugeordnet, wobei die Polynome Q₁, und Q₁,, wie oben, durch

45

bestimmt sind. In diesem Falle ist jedoch keine Multiplikation von Q₁, oder Q₆ erforderlich, wenn das

als rationale Funktion von q betrachtete i-— einen

gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner aufweist; dies deshalb, weil es bereits stillschweigend dadurch geschehen ist, daß die Nullstelle bei q = O entweder den ^„-Nullstellen oder den ^,-Nullstellen zugeordnet wurde.

Nach der Berechnung Z_n und Z₆ — die, worauf ausdrücklich hingewiesen wird, ebenso wie auch die anderen hier erwähnten Impedanzfunktionen normierte Impedanzfunktionen darstellen — können die Werte der ßC-Komponenten, die zur Realisierung

von ZcZ₁, und —=- für die in F i g. 1 dargestellte tausch der Impedanzfunktionen ZcZ₁, und

durch gleichzeitige Umkehrung des Wandlungsgrades des negativen Impedanzwandlers NIC von

auf

realisiert werden. Bei dieser Umkehrung

ergibt sich aber, daß, wenn das Klemmenpaar /-C, wie oben beschrieben, als Ausgang und das Klemmenpaar O-C als Eingang dient, der Eingang-Ausgang-

Umwandlungsgrad noch
über die

-Z_n

ist, wobei der Ein-

Form des Netzwerkes und -^- und

für die

k """ kpZ_a
in F i g. 2 dargestellte Form erforderlich sind, nach bekannten Methoden ermittelt werden. Der Faktor /c kann so gewählt werden, daß die Rechenarbeit für die Ermittlung von Z₁, und Z_b vereinfacht wird, die für das endgültige Netzwerk benötigte Anzahl der Z„

gang über die Impedanz kZ₁₁ verläuft. Die sich ergebende Schaltung kann daher als gleich der in F i g. 1 dargestellten Schaltung betrachtet werden, jedoch als anders dargestellt. Ähnliche Betrachtungen lassen sich in Verbindung mit F i g. 2 ί nstellen. Die Theorie und der Aufbau negativer Impedanzwandler mit einem Umwandlungsgrad —y^ sind in der obenerwähnten Sandbergschen Veröffentlichung diskutiert, und derartige Wandler können im allgemeinen einen (in verschiedenen Formen bekannten) negativen Impedanzwandler mit einem Wandlungsgrad von — 1 darstellen, der in einer Schaltung liegt, welche außerdem zwei passive RC-Zweipole mit der Impedanz Z_x bzw. Z_Y enthält. Wie z. B. in F i g. 3 in Blockform dargestellt, kann der negative Impedanzwandler NIC mit einem Umwandlungsgrad von-~ *-

ein mit Spannungsumkehr arbeitender negativer Impedanzwandler NIC mit einem Umwandlungsgrad von — 1 sein, wie er von L i η ν i 11 in seiner Abhandlung »Negative Impedance Converters«, veröffentlicht in »Proceedings of the Institute of Radio Engineers«, Bd. 41, Juni 1953, S. 725 u. f. beschrieben ist, der zusammen mit Impedanzfunktionen Z_x und Zy in der dargestellten Schaltung liegt.

Um einen gemäß der Erfindung benötigten Umwandlungsgrad von

wobei /c = 1 ist, erhält man:

-Z

x_ _

-Z_n

zu erhalten, kann Z_x und Z_Y = GZ₁₁ bzw. GZ_b

oder =

bzw.

gesetzt werden, wobei G eine

= bzw. = pZ_b pZ_a

beliebige positive reelle Konstante oder eine beliebige Funktion von ρ ist, die so gewählt wird, daß sie die Bedingung, daß Z_x und Z_Y passive ,RC-Impedanzfunktion sind, erfüllt.

Die Bestimmung von Q₁, und Q_b kann in einigen Fällen direkt durch Betrachtung der Gleichung qZ(p) = 1 erfolgen, anstatt die Werte, wie oben erläutert, von den einzelnen Werten q_a und q_b abzuleiten. Dies wird am folgenden Beispiel erläutert.

Nach einem speziellen Ausführungsbeispiel soll ein Netzwerk in der in F i g. 1 dargestellten Form mit einer normierten, über die ganze negative reelle /?-Achse nichtpositiven Impedanzfunktionen Z_AB = ρ realisiert werden.. Unter Anwendung des oben erläuterten Verfahrens und der Annahme, daß k = 1 ist, erhält man

qZ" k

= q³ (da ρ = q²).

Die Eins-Stellen davon sind

q_a = 1 und q_b = - -y ± j y | T,

woraus man, nach Bestimmung von Q_a und O₆ aus diesen Eins-Stellen

Z_n = 1 und Z_h =

35

erhält, was für Z_r = — und für Z_w = 1 ergibt.

P

Wenn man ferner wie oben Z_x = GZ_n und Z_Y = GZ_b setzt und G = 1 annimmt, erhält man:

= 1 und Z_Y =

45

Dieses Beispiel konnte ohne tatsächliche Bestimmung der Eins-Stellen erfolgen, da ^—1=0 (d. h.

-§' = q³ = D auch als (q-1) (q² + q + 1) = 0 geschrieben werden kann, woraus man Q₁₁ = (q—l) und Qi, = (q² + q + I) direkt erhält.

Das sich ergebende Netzwerk, das den negativen Impedanzwandler gemäß F i g. 3 verwendet, ist in F i g. 4 dargestellt, wobei diese Ausführungsform nur vier Widerstände und drei Kondensatoren erfordert, also wesentlich weniger als nach dem Ergebnis der bisherigen Art des Synthese für die gleiche Gesamtimpedanz Z_AB = p. Alternative Realisierungsmögliehkeiten für Z_x und Z_Y, die nach dem gleichen Beispiel dadurch erhalten werden, daß man (bei G = I)

C C

Z_x = —=- und Z₇ = -^- setzt, sind

pz_a Z_x = 1 +— (Fig. 4a) und Z_Y = — (Fi g. 4b).

Bei der Anwendung des gleichen Beispiels (Z_AB = p) für die in F i g. 2 dargestellte Form des Netzwerks,

kpZ

_AB

(man beachte den gemeinsamen Faktor) mit den Eins-Stellen

q_a = I und q_b = - y ± J-¹J-,

woraus, wenn Q_n anstatt Q_b mit q multipliziert wird, sich

Z_a = -j- und Z₆ =

25

30 ergibt, so daß Z_v = 1, Z_w = — ist und Alternativlösungen für Z_x und Z_Y gleich — und oder

—r- und 1 sind, wobei das sich ergebende, in F i g. 5

dargestellte Netzwerk die zweiten der Alternativen für Z_x und Z_Y verwendet.

Claims (3)

Patentansprüche:

1. Aktives Zweipol-Netzwerk in »Sandberg«- Schaltung, welches eine Impedanzfunktion Z(p) darstellt und Brückenimpedanz Z_F und Z_w und einen negativen Impedanzwandler mit einem

Wandlungsgrad in einer Schaltung nach einer ersten und zweiten Anordnung eines derartigen Netzwerkes aufweist, dadurch gekennzeichnet, daß das Netzwerk mit

Z₁- =

k'

und

-Z_n

realisiert ist, wobei Z₀, Z₆ und —y- die Impedanzen von passiven i?C-Zweipolen sind,

k(Z_a-Z_b)

für die erste Form und =

pZ(p)

für die zweite

Form des Netzwerkes ist und wobei k' = Ic für die erste Form und Ic' = η- für die zweite Form des Netzwerkes gilt, wobei Ic eine reelle Konstante ist.

2. Netzwerk nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die negative Impedanzwandleranordnung einen negativen Impedanzwandler mit einem Wandlungsgrad von —1 aufweist, mit dem zwei passive .RC-Zweipole mit einer Impedanz von Z_x = GZ_a bzw. Z_y = GZ_b derart verbunden sind, daß sich ein Gesamtwandlungsgrad von

-Z_x _ -Z_n

ergibt, wobei G eine beliebige positive reelle Konstante oder eine beliebige Funktion von ρ ist, die so gewählt wird, daß sie die Bedingung, daß Z_x und Z_Y passive ,RC-Impedanzfunktionen sind, erfüllt.

3. Netzwerk nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die negative Impedanzwandleran-

Ordnung einen negativen Impedanzwandler mit einem Umwandlungsgrad von —1 aufweist, der mit zwei passiven RC-Zweipolen mit einer Impedanz

₇ G . „ G

£ DZW. Zj γ —

pz_b

pz_a

derart verbunden ist, daß er einen Gesamtumwandlungsgrad von

-Zy -Z_n

aufweist, wobei G eine beliebige positive reelle Konstante oder eine beliebige Funktion von ρ ist, die so gewählt wird, daß sie die Bedingung, daß Z_x und Zγ passive .RC-Impedanzfunktionen sind, erfüllt.

In Betracht gezogene Druckschriften:
»Bell System Technical Journal«, Bd. 39 (Juli 1960),

S. 947 bis 962;
»Proceedings of the Institute of Radio Engineers«,

Bd. 41 (Juni 1953), S. 725.

Hierzu 1 Blatt Zeichnungen

709 747/451 1.68 O Bundesdruckerei Berlin