CN112784415A - 一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，通过如下步骤实现：步骤一：计算相邻加速应力之间的经验对数似然比；步骤二：检验产品在各应力水平下失效机理是否等同；步骤三：用两步估计法对产品的寿命分布模型进行参数估计；步骤四：选择最优寿命分布模型；步骤五：确定模型选择结果，外推计算常规应力下产品的可靠寿命。本发明实现了对产品定数截尾加速寿命数据的失效机理等同性检验，保证了外推预测常规应力下产品失效寿命的准确性和有效性；它适用范围广，检测精度较高，它无需求解超越方程，在保证精度的前提下计算量大大降低，可操作性较强；本发明所述方法科学，工艺性好，具有广阔推广应用价值。

Description

一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法

技术领域

本发明涉及一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，它是一种基于经验似然函数与估计方程的机理等同性检验方法和基于加速模型的寿命预测方法。它针对产品加速寿命试验得到的定数截尾失效数据，通过建立经验似然函数与估计方程，对数据的变异系数进行统计检验，判断在加速应力的作用下产品的失效机理是否发生了改变，并在失效机理等同的基础上，基于加速模型对产品的寿命分布模型进行参数估计，最终预测产品在常规应力下的可靠寿命。适用于加速试验失效机理检验与产品寿命评估等领域。

背景技术

加速试验技术用于评估高可靠、长寿命的产品，可以在节省时间和成本的情况下得到足够多的产品可靠性信息。根据失效数据类型的不同，通常将加速试验分为加速寿命试验(ALT)和加速退化试验(ADT)。合理的加速试验需要保证产品在不同应力水平下的失效机理不变，否则外推得到的结论无法真实反映产品在常规应力下的可靠性水平。因此，基于加速数据进行可靠性评估与寿命预测时，检验加速试验中产品在各应力水平下失效机理是否等同是十分重要的步骤，这会直接影响外推预测的有效性与准确性。

目前，针对ADT的失效机理等同性检验方法已经发展出了较为成熟的理论体系，但对于ALT的失效机理等同性检验缺少完整的方法。而基于经验似然函数与估计方程的非参数估计方法的不断完善，为ALT的失效机理等同性检验提供了一种思路。

基于此本发明提出了一种基于经验似然函数与估计方程的定数截尾加速寿命试验机理等同性检验方法，并在失效机理等同的基础上，基于加速模型给出产品寿命分布的参数估计以及外推预测常规应力下的可靠寿命。

发明内容

(1)本发明的目的：针对定数截尾加速寿命试验数据，提供一种失效机理等同性检验方法，即提供一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，在失效机理等同的基础上，基于加速模型对产品的寿命分布模型进行参数估计，最终预测产品在常规应力下的可靠寿命。

(2)技术方案：

本发明需建立如下基本设置(即基本假设)：

设置1产品加速寿命t服从威布尔分布、对数正态分布中的一种，各分布的累积失效函数分别为：

①威布尔分布：

其中，η和m分别为威布尔分布的尺度参数和形状参数；

②对数正态分布：

其中，θ和σ分别为对数正态分布的对数均值和对数标准差；

设置2若随机变量X的累积分布函数为：

F(x)＝exp(-e^-x) (3)

则称Ex_α为其分位点；其中，P{X≤Ex_α}＝α；

基于上述假设，本发明一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，通过如下步骤实现：

步骤一：计算相邻加速应力之间的经验对数似然比；

加速寿命试验共有k组应力水平，即s₁＜s₂＜…＜s_k，记第i组应力水平下观测得到的失效数据顺序统计量为：

其中，n_i为样本数，r_i为停止试验时的失效样品数；

定义第i组应力水平下产品寿命分布的变异系数为：

其中，μ_i和S_i分别为第i组应力水平下产品寿命分布的均值和标准差；

将第h组应力水平下产品的变异系数记为C_h＝C，第h+1组应力水平下产品的变异系数记为C_h+1＝C+δ，则零假设为：

H₀:δ＝0 (6)

备选假设为：

H₁:δ≠0 (7)

对于第h组与第h+1组失效数据，分别构建估计方程：

其中，μ_h为第h组应力水平下产品寿命分布的均值，X_h,i＝t_h,i,i＝1,2,…,r_h为第h组应力水平下样本失效数据的顺序统计量；μ_h+1为第h+1组应力水平下产品寿命分布的均值，Y_h+1,j＝t_h+1,j,j＝1,2,…,r_h+1为第h+1组应力水平下样本失效数据的顺序统计量；

令p_i＝P(X＝X_i),i＝1,2,…,r_h与q_j＝P(Y＝Y_j),j＝1,2,…,r_h+1为经验似然概率值，则经验对数似然比为：

其中，

且：

记

则：

其中，h＝1,2,…,k-1；

步骤二：检验产品在各应力水平下失效机理是否等同；

由步骤一得到相邻加速应力之间的经验对数似然比之后，令：

当k→∞时，有：

其中，A(x)＝(2lnx)^1/2，u(k)＝k²-k+1，

则失效机理等同性的检验统计量定义为：

对于给定的置信水平1-α，若T_k＜Ex_1-α，则认为在各组加速应力水平下产品的失效机理没有发生改变；否则，失效机理发生了变化，并且，失效机理发生改变的位置h为：

步骤三：用两步估计法对产品的寿命分布模型进行参数估计；

Ⅰ.由最佳线性无偏估计法计算各组应力下产品寿命分布模型的参数估计值；

对于第i组应力水平下的失效数据顺序统计量t_i1,t_i2,…,

i＝1,2,…,k，由最佳线性无偏估计法计算产品寿命分布模型的参数估计值；

对于威布尔分布，有：

其中，C(n_i,r_i,j)和D(n_i,r_i,j)为威布尔分布的最佳线性无偏估计系数，

为修偏系数，均可通过查表获得；

对于对数正态分布，有：

其中，C′(n_i,r_i,j)和D′(n_i,r_i,j)为对数正态分布的最佳线性无偏估计系数，可通过查表获得；

Ⅱ.确定产品寿命分布模型的参数估计结果；

根据失效机理等同性条件，在各组应力水平下，对于威布尔分布，形状参数的估计值

应统计相等，对于对数正态分布，对数标准差的估计值

应统计相等；由于样本原材料、制造过程中存在多种不确定性因素，上述参数的估计值并非完全相等，故采用加权平均的方法确定其估计值；

对于威布尔分布，有：

其中，r_i为定数截尾试验停止时的失效样品数，

为各组应力水平下威布尔分布形状参数的估计值，i＝1,2,…,k；

对于对数正态分布，有：

其中，r_j为定数截尾试验停止时的失效样品数，

为各组应力水平下对数正态分布对数标准差的估计值，j＝1,2,…,k；

Ⅲ.结合加速模型，由最小二乘估计法计算加速模型中参数的估计值；

威布尔分布和对数正态分布的加速模型分别为：

①威布尔分布：

lnη_i＝c₀+cρ_i (24)

其中，c₀,c为待估的模型参数，ρ_i＝ρ(s_i)为加速应力的函数；

②对数正态分布：

θ_i＝b₀+bρ_i (25)

其中，b₀,b为待估的模型参数，ρ_i＝ρ(s_i)为加速应力的函数；

确定加速模型后，通过最小二乘估计法计算加速模型中参数的估计值；

步骤四：选择最优寿命分布模型；

由步骤三得到产品不同寿命分布模型的参数估计值，分别计算其对数似然函数值与AIC值，选择AIC值最小的模型作为该加速寿命试验的最优寿命分布模型；

定数截尾数据的对数似然函数为：

其中，n_i为样本数，r_i为停止试验时的失效样品数，t_i,j为第i组应力水平下失效数据的第j个顺序统计量，i＝1,2,…,k，f(·)为产品寿命分布模型的概率密度函数，F(·)为累积分布函数；

AIC值的计算公式为：

AIC＝-2lnL+2N (27)

其中，N为模型中未知参数的个数；

步骤五：确定模型选择结果，外推计算常规应力下产品的可靠寿命；

由步骤四确定最优的产品寿命分布模型后，对于给定的可靠度R，将常规应力条件代入加速模型，外推计算常规应力下产品的可靠寿命t_R；

威布尔分布和对数正态分布的可靠寿命分别为：

①威布尔分布：

其中，η₀为由加速模型得出的常规应力下产品的特征寿命；

②对数正态分布：

t_R＝exp(σZ_1-R+θ₀) (29)

其中，θ₀为由加速模型得出的常规应力下产品寿命的对数均值，Z_1-R为标准正态分布的下分位点。

其中，在步骤三中所述的“最佳线性无偏估计法”，是指：

设θ为p×1维未知参数，设

是参数θ的估计值，若

满足：

(1)

是θ的线性估计量，即

是观测量的线性函数；

(2)

是θ的无偏估计量，即

(3)对θ的任意一个线性无偏估计量θ^*，有：

则称

是θ的最佳线性无偏估计量；

设X为位置-尺度分布族随机变量，其分布函数可以表示为：

其中，ν为位置参数，

为尺度参数，分布函数可以完全由位置参数和尺度参数确定；

若样本的分布函数为

容量为n，X₁,X₂,…,X_r是一组样本观测量，按照从小到大的顺序排列，依次为X₍₁₎,X₍₂₎,…,X_(r)，则ν和

的最佳线性无偏估计分别为：

其中，C(n,r,j)称为

的最佳线性无偏估计系数，D(n,r,j)称为ν的最佳线性无偏估计系数；

C(n,r,j)、D(n,r,j)可查表获得，对于不同的标准分布，将有不同的数值；

①威布尔分布的最佳线性无偏估计：

其中，g_r,n为修偏系数，可通过查表获得；

②对数正态分布的最佳线性无偏估计：

其中，在步骤三中所述的“最小二乘估计法”，是指：

设因变量y与自变量x＝(1,x₁,x₂,…,x_p-1)^T具有线性关系，即：

y＝x^Tθ

其中，θ＝(θ₀,θ₁,…,θ_p-1)^T；

设一共进行n次试验，在第i组自变量x_i＝(1,x_i1,x_i2,…,x_i,p-1)^T下的观测值为y_i，i＝1,2,…,n；所有自变量x_i构成矩阵X＝(x₁,x₂,…,x_n)，所有y_i构成向量Y＝(y₁,y₂,…,y_n)^T；由于受随机干扰因素的影响，Y与X不严格呈线性关系，Y-Xθ代表误差；

设

是参数θ的估计值，若

满足：

则称

是参数θ的最小二乘估计；其中，Q(θ)＝(Y-Xθ)^T(Y-Xθ)代表观测值与预测值的误差平方和。

(3)优点和功效：本发明一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，其优点是：

①本发明基于经验似然函数与估计方程实现了对产品定数截尾加速寿命数据的失效机理等同性检验，保证了外推预测常规应力下产品失效寿命的准确性和有效性；

②本发明的失效机理等同性检验方法并不针对特定的寿命分布模型，适用范围广，检测精度较高；

③本发明的参数估计方法无需求解超越方程，在保证精度的前提下计算量大大降低，可操作性较强；

④本发明所述方法科学，工艺性好，具有广阔推广应用价值。

附图说明

图1本发明所述方法流程图。

具体实施方式

下面将结合实施例对本发明做进一步详细说明。

某种电路板产品，在正常环境条件下工作时的温度和相对湿度分别为298K和45％。共取88个样品分为4组，每组22个，分别对其按表1所示的加速应力进行加速寿命试验。

表1某电路板加速寿命试验应力水平

序号	温度/K	相对湿度/％
			试验1	348	70
试验2	358	85
			试验3	348	90
试验4	368	90

收集的定数截尾数据如表2所示：

表2电路板加速试验寿命数据

注：失效寿命数据的单位为小时。

本发明一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，见图1所示，通过如下步骤实现：

步骤一：计算相邻加速应力之间的经验对数似然比；

根据式(13)计算各组相邻加速应力之间的经验对数似然比-2lnΛ_h,h＝1,2,3，计算结果如表3所示：

表3相邻加速应力之间的经验对数似然比

-2lnΛ<sub>1</sub>	-2lnΛ<sub>2</sub>	-2lnΛ<sub>3</sub>
			0.0594	0.6835	0.6159

步骤二：检验产品在各应力水平下失效机理是否等同；

取显著性水平α＝0.1，根据式(16)可得，T_k＝-0.1469＜Ex_1-0.1＝2.2504。因此，可判定在四组加速应力水平下该电路板的失效机理没有发生变化。

步骤三：用两步估计法对产品的寿命分布模型进行参数估计；

常见的加速应力中温度应力(T)和湿度应力(RH)符合阿伦尼斯模型的情况；

对于威布尔分布，有：

其中，c₀,c₁,c₂为待估参数，T_i和RH_i为第i组加速寿命试验中的加速应力，i＝1,2,3,4；对于对数正态分布，有：

其中，b₀,b₁,b₂为待估参数，T_j和RH_j为第j组加速寿命试验中的加速应力，j＝1,2,3,4；

①威布尔分布的参数估计结果

各应力水平下参数的最佳线性无偏估计结果如表4所示：

表4威布尔分布参数线性估计结果

由式(22)得，

加速模型为：

由最小二乘法可得，

②对数正态分布的参数估计结果

各应力水平下参数的最佳线性无偏估计结果如表5所示：

表5对数正态分布参数线性估计结果

由式(23)得，

加速模型为：

由最小二乘法可得，

步骤四：选择最优寿命分布模型；

根据式(26)，分别计算威布尔分布和对数正态分布的对数似然函数值，再根据式(27)，计算其AIC值，结果如下；

①威布尔分布：

对数似然函数值：log L＝-238.73；AIC值：AIC＝485.46；

②对数正态分布：

对数似然函数值：log L＝-234.72；AIC值：AIC＝477.43；

由以上结果可见，对数正态分布的AIC值小于威布尔分布的AIC值；

步骤五：确定模型选择结果，外推计算常规应力下产品的可靠寿命；

根据步骤四，选择对数正态分布作为产品的寿命分布模型；当给定可靠度R＝0.95时，根据式(29)可得，产品的可靠寿命为t_R＝18378.26h＝2.10y；

所以基于前面所述计算评估得产品在正常应力下的95％的可靠寿命为2.10年。

综上所述，本发明涉及一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，它是一种基于经验似然函数与估计方程的机理等同性检验方法和基于加速模型的寿命预测方法。该方法的具体步骤是：一、计算各组相邻加速应力之间的经验对数似然比；二、检验产品在各应力水平下失效机理是否等同；三、用两步估计法对产品的寿命分布模型进行参数估计；四、选择最优寿命分布模型；五、确定模型选择结果，外推计算常规应力下产品的可靠寿命。本发明适用于加速试验失效机理检验与产品寿命评估等领域，具有较强的可操作性。

Claims (3)

1.一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，需要设置如下：

设置1：产品加速寿命t服从威布尔分布、对数正态分布中的一种，各分布的累积失效函数分别为：

①威布尔分布：

其中，η和m分别为威布尔分布的尺度参数和形状参数；

②对数正态分布：

其中，θ和σ分别为对数正态分布的对数均值和对数标准差；

设置2：若随机变量X的累积分布函数为：

F(x)＝exp(-e^-x) (3)

则称Ex_α为其分位点；其中，P{X≤Ex_α}＝α；

其特征在于，通过如下步骤实现：

步骤一：计算相邻加速应力之间的经验对数似然比；

加速寿命试验共有k组应力水平，即s₁＜s₂＜…＜s_k，记第i组应力水平下观测得到的失效数据顺序统计量为：

其中，n_i为样本数，r_i为停止试验时的失效样品数；

定义第i组应力水平下产品寿命分布的变异系数为：

其中，μ_i和S_i分别为第i组应力水平下产品寿命分布的均值和标准差；

将第h组应力水平下产品的变异系数记为C_h＝C，第h+1组应力水平下产品的变异系数记为C_h+1＝C+δ，则为：

H₀:δ＝0 (6)

备选为：

H₁:δ≠0 (7)

对于第h组与第h+1组失效数据，分别构建估计方程：

其中，μ_h为第h组应力水平下产品寿命分布的均值，X_h,i＝t_h,i,i＝1,2,…,r_h为第h组应力水平下样本失效数据的顺序统计量；μ_h+1为第h+1组应力水平下产品寿命分布的均值，Y_h+1,j＝t_h+1,j,j＝1,2,…,r_h+1为第h+1组应力水平下样本失效数据的顺序统计量；

令p_i＝P(X＝X_i),i＝1,2,…,r_h与q_j＝P(Y＝Y_j),j＝1,2,…,r_h+1为经验似然概率值，则经验对数似然比为：

其中，

且：

记

则：

其中，h＝1,2,…,k-1；

步骤二：检验产品在各应力水平下失效机理是否等同；

由步骤一得到相邻加速应力之间的经验对数似然比之后，令：

当k→∞时，有：

其中，A(x)＝(2lnx)^1/2，u(k)＝k²-k+1，

则失效机理等同性的检验统计量定义为：

对于给定的置信水平1-α，若T_k＜Ex_1-α，则认为在各组加速应力水平下产品的失效机理没有发生改变；否则，失效机理发生了变化，并且，失效机理发生改变的位置h为：

步骤三：用两步估计法对产品的寿命分布模型进行参数估计；

3.1由最佳线性无偏估计法计算各组应力下产品寿命分布模型的参数估计值；

对于第i组应力水平下的失效数据顺序统计量

由最佳线性无偏估计法计算产品寿命分布模型的参数估计值；

对于威布尔分布，有：

其中，C(n_i,r_i,j)和D(n_i,r_i,j)为威布尔分布的最佳线性无偏估计系数，

为修偏系数，均可通过查表获得；

对于对数正态分布，有：

其中，C′(n_i,r_i,j)和D′(n_i,r_i,j)为对数正态分布的最佳线性无偏估计系数，可通过查表获得；

3.2确定产品寿命分布模型的参数估计结果；

根据失效机理等同性条件，在各组应力水平下，对于威布尔分布，形状参数的估计值

应统计相等，对于对数正态分布，对数标准差的估计值

应统计相等；由于样本原材料、制造过程中存在多种不确定性因素，上述参数的估计值并非完全相等，故采用加权平均的方法确定其估计值；

对于威布尔分布，有：

其中，r_i为定数截尾试验停止时的失效样品数，

为各组应力水平下威布尔分布形状参数的估计值，i＝1,2,…,k；

对于对数正态分布，有：

其中，r_j为定数截尾试验停止时的失效样品数，

为各组应力水平下对数正态分布对数标准差的估计值，j＝1,2,…,k；

3.3结合加速模型，由最小二乘估计法计算加速模型中参数的估计值；

威布尔分布和对数正态分布的加速模型分别为：

①威布尔分布：

lnη_i＝c₀+cρ_i (24)

其中，c₀,c为待估的模型参数，ρ_i＝ρ(s_i)为加速应力的函数；

②对数正态分布：

θ_i＝b₀+bρ_i (25)

其中，b₀,b为待估的模型参数，ρ_i＝ρ(s_i)为加速应力的函数；

确定加速模型后，通过最小二乘估计法计算加速模型中参数的估计值；

步骤四：选择最优寿命分布模型；

由步骤三得到产品不同寿命分布模型的参数估计值，分别计算其对数似然函数值与AIC值，选择AIC值最小的模型作为该加速寿命试验的最优寿命分布模型；

定数截尾数据的对数似然函数为：

其中，n_i为样本数，r_i为停止试验时的失效样品数，t_i,j为第i组应力水平下失效数据的第j个顺序统计量，i＝1,2,…,k，f(·)为产品寿命分布模型的概率密度函数，F(·)为累积分布函数；

AIC值的计算公式为：

AIC＝-2lnL+2N (27)

其中，N为模型中未知参数的个数；

步骤五：确定模型选择结果，外推计算常规应力下产品的可靠寿命；

由步骤四确定最优的产品寿命分布模型后，对于给定的可靠度R，将应力条件代入加速模型，外推计算常规应力下产品的可靠寿命t_R；

威布尔分布和对数正态分布的可靠寿命分别为：

①威布尔分布：

其中，η₀为由加速模型得出的常规应力下产品的特征寿命；

②对数正态分布：

t_R＝exp(σZ_1-R+θ₀) (29)

其中，θ₀为由加速模型得出的常规应力下产品寿命的对数均值，Z_1-R为标准正态分布的下分位点。

2.根据权利要求1所述的一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，其特征在于：在步骤三中所述的“最佳线性无偏估计法”，是指：

设θ为p×1维未知参数，设

是参数θ的估计值，若

满足：

(1)

是θ的线性估计量，即

是观测量的线性函数；

(2)

是θ的无偏估计量，即

(3)对θ的任意一个线性无偏估计量θ^*，有：

则称

是θ的最佳线性无偏估计量；

设X为位置-尺度分布族随机变量，其分布函数可以表示为：

其中，ν为位置参数，

为尺度参数，分布函数可以完全由位置参数和尺度参数确定；

若样本的分布函数为

容量为n，X₁,X₂,…,X_r是一组样本观测量，按照从小到大的顺序排列，依次为X₍₁₎,X₍₂₎,…,X_(r)，则ν和

的最佳线性无偏估计分别为：

其中，C(n,r,j)称为

的最佳线性无偏估计系数，D(n,r,j)称为ν的最佳线性无偏估计系数；C(n,r,j)、D(n,r,j)可查表获得，对于不同的标准分布，将有不同的数值；

①威布尔分布的最佳线性无偏估计：

其中，g_r,n为修偏系数，通过查表获得；

②对数正态分布的最佳线性无偏估计：

3.根据权利要求1所述的一种定数截尾加速寿命试验机理等同性检验与寿命预测方法，其特征在于：在步骤三中所述的“最小二乘估计法”，是指：

设因变量y与自变量x＝(1,x₁,x₂,…,x_p-1)^T具有线性关系，即：

y＝x^Tθ

其中，θ＝(θ₀,θ₁,…,θ_p-1)^T；

设一共进行n次试验，在第i组自变量x_i＝(1,x_i1,x_i2,…,x_i,p-1)^T下的观测值为y_i，i＝1,2,…,n；所有自变量x_i构成矩阵X＝(x₁,x₂,…,x_n)，所有y_i构成向量Y＝(y₁,y₂,…,y_n)^T；由于受随机干扰因素的影响，Y与X不严格呈线性关系，Y-Xθ代表误差；

设

是参数θ的估计值，若

满足：

则称

是参数θ的最小二乘估计；其中，Q(θ)＝(Y-Xθ)^T(Y-Xθ)代表观测值与预测值的误差平方和。

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