CN108241790A - 基于恒加试验数据的Weibull型产品可靠性估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于恒加试验数据的Weibull型产品可靠性估计方法。本发明首先建立Weibull场合下恒加试验数据的可靠性统计模型，获得待估参数，然后采用极大似然估计法估计待估参数，其中对建立的对数似然函数进行了简化，通过获取信息矩阵和协方差矩阵对对Weibull型产品可靠寿命进行估计。本发明的有益效果为，本发明采用简化的极大似然法来对二参数Weibull分布的恒加试验数据进行统计推断，提高了计算效率和Weibull可靠性统计模型的可行性。

Description

基于恒加试验数据的Weibull型产品可靠性估计方法

技术领域

本发明涉及一种基于恒加试验数据的Weibull型产品可靠性估计方法。

背景技术

加速寿命试验(Accelerated life test,ALT)是在保持失效机理不变的条件下,通过加大试验应力来缩短试验周期的一种寿命试验方法。对于高可靠度长寿命产品,通常使用ALT方法来使其加速失效，然后通过外推加速应力下的试验数据来获得正常应力水平下的各种可靠性指标的估计。加速寿命试验分为恒定应力ALT(简称恒加试验),步进应力ALT(简称步加试验)和序进应力ALT(简称序加试验)。目前关于加速寿命试验的研究可以概括为:ALT中加速模型的研究；加速寿命试验方案的优化设计和试验数据的统计分析。其中加速寿命试验数据的统计推断方法有两大类:经典统计推断方法和贝叶斯(Bayes)统计推断方法。在经典统计推断方法中,应用最广泛的是大似然估计(MLE)法。

在ALT中，恒加试验具有试验方法简单,数据处理方法较为成熟和试验数据的统计精度高的优点。针对二参数Weibull分布参数的估计精度而言,采用MLE法推断加速寿命试验数据时参数的估计精度较高,这是MLE的优点；但运用传统的MLE法求解模型参数的估计值时,参数估计解析困难,计算冗繁,通常需要借助数值计算方法。

发明内容

本发明的目的，就是针对上述问题，提出了一种高效的基于恒加试验数据的Weibull型产品可靠性估计方法。

本发明的技术方案为：

基于恒加试验数据的Weibull型产品可靠性估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

a、建立Weibull场合下恒加试验数据的可靠性统计模型为：

在应力水平S_i下,产品寿命服从威布尔分布W(m_i,η_i),i＝0,1,…,k.其分布函数F_i(t)为：

其中，m_i>0,η_i>0分别为形状参数和特征寿命，i＝0,1,…,k；并设定在分布中的形状参数m_i相等,即产品的特征寿命η_i与应力水平S_i间满足对数线性关系：

lnη_i＝γ₀+γ₁·S_i，i＝0,1,…,k (2)

其中，γ₀,γ₁为待估参数；

b、采用极大似然估计法估计待估参数γ₀,γ₁：

设定试验的加速应力水平为S₁<S₂<…<S_k，在加速应力水平S_i下投入n_i个样品进行定时截尾寿命试验,试验的截止时间为τ_i，在[0,τ_i]内观测到r_i个样品发生失效，失效时间依次为：

且认为其余n_i-r_i个样品将在(τ_i,∞)内发生失效；

则k个加速应力水平S₁<S₂<…<S_k下的全部失效样品数据为：

由Weibull分布的概率密度函数：

可得第i个应力水平S_i下的似然函数为：

则第i个应力水平S_i下的对数似然函数为：

从而,k个加速应力水平S₁<S₂<…<S_k下的全部试验样品数据的对数似然函数为：

式(6)中：

定义非负整数a和b,即a,b≥0.，由于

和

根据Q_a,b可求得对数似然函数lnL的一阶偏导数：

令：可得：

将式(11)代入式(6)可得简化的对数似然函数：

lnL^*(m,γ₁)＝D₀lnm+(m-1)Q_e-mγ₁D₁-D₀lnQ_0,0(12)

通过简化的对数似然函数lnL^*可获得m,γ₁的极大似然估计值和然后再将和代入式(11)即可获得γ₀的极大似然估计

c、获取信息矩阵和协方差矩阵：

根据极大似然估计理论，模型参数的极大似然估计值和的方差和协方差矩阵为：

其中，协方差矩阵∑是信息矩阵F的逆矩阵,而信息矩阵F是对数似然函数lnL的负二阶偏导数的数学期望，信息矩阵F为：

当产品的寿命分布服从Weibull分布时,信息矩阵F的元素可用对数似然函数lnL的负二阶偏导数值来近似,其计算公式为：

d、模型参数的区间估计：

根据MLE的理论，的分布可用正态分布近似，即

其中，

方差与协方差是协方差矩阵∑的元素；

由此得到η₀的置信度为1-α的置信区间为：

同理，根据MLE理论，形状参数m和加速模型系数γ_i的置信区间分别为：

其中，方差和是协方差矩阵∑的元素，u_1-α/2是标准正态分布的1-α/2分位数；

根据获得的置信区间结合恒加试验数据即可完成Weibull型产品的可靠性估计。

本发明的有益效果为，本发明采用简化的极大似然法来对二参数Weibull分布的恒加试验数据进行统计推断，提高了计算效率和Weibull可靠性统计模型的可行性。

附图说明

图1为实施例在正常应力水平S₀下可靠度曲线；

图2为实施例中对数特征寿命对温度应力的散点图；

具体实施方式

下面结合附图和实施例进一步详细描述本发明的技术方案：

实施例

本例根据文献【Nelson W B.Accelerated testing:statistical models,testplans,and data analysis[M].John Wiley&Sons,2009.】所列举的H级绝缘材料在5个加速应力(温度)水平下的试验数据,其中包括寿终数据和右截尾数据,具体数据见表1，基于表1列举的恒加试验数据,来评估H级绝缘材料在正常温度应力下的可靠性水平。

表1 H级绝缘材料的恒加试验数据

首先,检验上述H级绝缘材料在各温度应力下的寿命是否服从Weibull分布W(m,η),其检验结果见表2.

表2 Weibull分布拟合优度检验结果

由表2可知,给定显著性水平α＝0.05,在230℃下范·蒙特福特检验统计量的值4.5满足F_0.05(4,6)＝0.16<4.5<6.16＝F_0.95(4,6),在245℃下范·蒙特福特检验统计量的值2.034满足F_0.05(8,10)＝0.29<2.034<3.35＝F_0.95(8,10),因此可以接受原假设H₀,即可认为上述H级绝缘材料的寿命服从Weibull分布。

其次,在显著性水平α＝0.05下,巴特利特检验统计量的值B²/C＝5.879,它小于临界值χ²(0.95,2)＝5.991,故可接受失效机理一致性的原假设H₀,即可认为在各温度应力水平下Weibull分布的形状参数相等,即m₁＝m₂＝…＝m₅.

Weibull分布可靠性统计模型的参数估计：

采用牛顿迭代算法求解模型参数的极大似然估计值,由于在S₁＝200℃和S₂＝215℃下产品的失效数据太少,因此采用极大似然估计法分别对温度应力水平S₃＝230℃,S₄＝245℃,S₅＝260℃下试验数据进行分析,分析结果表明γ₁和m的初值定为m＝3.5,γ₁＝-0.045较为合适.表3列出了每一步牛顿迭代运算下m,γ₁的极大似然估计值和简化的似然函数值及似然函数偏导数的值,经过8次迭代后m和γ₁收敛到稳定值:

表3 牛顿迭代过程模型参数和相应似然函数值

获得后,利用(11)可得γ₀的MLE值为

已知和后即可得加速模型的估计

μ_i＝21.9087-0.0563S_i，i＝0,1,… (13)

进一步，根据本发明中参数的区间估计方法可知，Weibull可靠性统计模型参数和正常工作条件下η₀的区间估计，其结果如表4所示。

表4 参数的MLE值和置信区间

正常应力水平S₀下寿命分布及可靠性指标的估计：

正常温度应力水平S₀下Weibull分布中:

lnη_i＝21.9087-0.0563S_i,i＝1,2,3,4,5

因此,特征寿命η₀的估计为

可靠度函数R₀(t)的估计为

其相应的可靠度曲线见图1。

另外,由于对数特征寿命与试验应力间的样本相关系数的绝对值|r^*|＝1,大于α＝0.01显著性水平下的绝对值故可认为对数特征寿命lnη_i与试验应力S_i呈高度线性相关关系,其散点图见图2。

加速系数的估计：

加速系数又称加速因子,它是正常应力下某种特征寿命与加速应力下相应特征寿命之比,其具体定义为:

设某产品在正常应力水平S₀下的失效分布函数为F₀(t),记t_R,0为其可靠度为R的可靠寿命,即1-F₀(t_R,0)＝R.又设此产品在加速应力水平S_i下的失效分布函数为F_i(t),记t_R,i为其可靠度为R的可靠寿命,则两个可靠寿命之比

称为加速应力水平x_i对正常应力水平S₀下可靠寿命的加速系数,简称S_i对S₀的加速系数或加速因子.具体地,下面给出Weibull分布下的加速系数。

对Weibull分布而言,由于特征寿命η_i就是可靠度为R＝e^-1＝0.368的可靠寿命,因此常用两个特征寿命之比来作为Weibull分布场合的加速系数.

本例S_i对S₀的加速系数的估计分别为:

这表明,温度从200℃提高到215℃时,平均寿命可缩短3倍；若温度提高到215℃,平均寿命可缩短7倍；若温度提高到230℃,平均寿命可缩短17倍；其它可类似解释。

综上所述：

采用简化的极大似然估计(S-MLE)方法对某产品在5个加速应力水平下的恒加试验数据进行统计推断,主要结论如下:

(1)与普通的MLE相比,S-MLE减小了计算的复杂度且提高了参数的估计精度；

(2)不同温度水平下Weibull分布的形状参数相同,且Weibull分布的对数特征寿命与温度应力间呈高度线性相关关系；

(3)得出了Weibull分布的可靠度为0.5,0.6,0.7,0.8和0.9的点估计和渐近置信区间；

(4)估计出了不同温度水平对正常温度水平的加速因子。

Claims (1)

1.基于恒加试验数据的Weibull型产品可靠性估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

a、建立Weibull场合下恒加试验数据的可靠性统计模型为：

在应力水平S_i下,产品寿命服从威布尔分布W(m_i,η_i),i＝0,1,…,k.其分布函数F_i(t)为：

其中，m_i>0,η_i>0分别为形状参数和特征寿命，i＝0,1,…,k；并设定在分布中的形状参数m_i相等,即产品的特征寿命η_i与应力水平S_i间满足对数线性关系：

lnη_i＝γ₀+γ₁·S_i，i＝0,1,…,k (2)

其中，γ₀,γ₁为待估参数；

b、采用极大似然估计法估计待估参数γ₀,γ₁：

设定试验的加速应力水平为S₁<S₂<…<S_k，在加速应力水平S_i下投入n_i个样品进行定时截尾寿命试验,试验的截止时间为τ_i，在[0,τ_i]内观测到r_i个样品发生失效，失效时间依次为：

且认为其余n_i-r_i个样品将在(τ_i,∞)内发生失效；

则k个加速应力水平S₁<S₂<…<S_k下的全部失效样品数据为：

由Weibull分布的概率密度函数：

可得第i个应力水平S_i下的似然函数为：

则第i个应力水平S_i下的对数似然函数为：

从而,k个加速应力水平S₁<S₂<…<S_k下的全部试验样品数据的对数似然函数为：

式(6)中：

定义非负整数a和b,即a,b≥0，由于

和

根据Q_a,b可求得对数似然函数lnL的一阶偏导数：

令：可得：

将式(11)代入式(6)可得简化的对数似然函数：

lnL^*(m,γ₁)＝D₀lnm+(m-1)Q_e-mγ₁D₁-D₀lnQ_0,0 (12)

通过简化的对数似然函数lnL^*可获得m,γ₁的极大似然估计值和然后再将和代入式(11)即可获得γ₀的极大似然估计

c、获取信息矩阵和协方差矩阵：

根据极大似然估计理论，模型参数的极大似然估计值和的方差和协方差矩阵为：

其中，协方差矩阵∑是信息矩阵F的逆矩阵,而信息矩阵F是对数似然函数lnL的负二阶偏导数的数学期望，信息矩阵F为：

当产品的寿命分布服从Weibull分布时,信息矩阵F的元素可用对数似然函数lnL的负二阶偏导数值来近似,其计算公式为：

d、模型参数的区间估计：

根据MLE的理论，的分布可用正态分布近似，即

其中，

方差与协方差是协方差矩阵∑的元素；

由此得到η₀的置信度为1-α的置信区间为：

同理，根据MLE理论，形状参数m和加速模型系数γ_i的置信区间分别为：

其中，方差和是协方差矩阵∑的元素，u_1-α/2是标准正态分布的1-α/2分位数；

根据获得的置信区间即可完成Weibull型产品的可靠性估计。