CN105718722A - 基于定时截尾寿命试验数据的产品可靠度估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于可靠性评估领域，具体涉及基于定时截尾寿命试验数据的产品可靠度估计方法，包括以下步骤：(S1)获取产品试验数据，并根据试验数据求解产品可靠度的点估计；(S2)在产品可靠度的点估计的基础上，结合极大似然估计的性质和增量方法，求解产品的可靠度的置信区间估计；本发明提出的方法无需生成大量的自助样本，因此比现有的bootstrap方法时间消耗要少。另外，经过大量的实验验证，采用本发明提出的方法计算得到的结果比bootstrap方法更加准确。

Description

基于定时截尾寿命试验数据的产品可靠度估计方法

技术领域

本发明属于可靠性评估领域，特指一种针对收集到的定时截尾寿命试验数据，对产品的可靠度进行估计的方法。

背景技术

可靠性是指产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力(具体见参考文献1：郭波,武小悦.系统可靠性分析[M].长沙:国防科技大学出版社,2002:5-6.)，它是产品的固有属性，是衡量产品质量好坏的重要指标。可靠性的概率度量称为可靠度，有时也常用产品的寿命这一指标进行衡量。相应地，产品在规定的条件下丧失规定的功能，则称之为故障。随着现代科学技术的发展，构成产品的元器件越来越多，产品的规模越来越庞大，研制和生产费用越来越高，这使得产品的可靠性问题变得越来越重要。对产品的可靠度进行准确的估计，有助于我们及时了解产品的运行情况，做出正确的决策。

对可靠度的估计，通常是将产品的寿命视为随机变量，并认为产品的寿命服从某个特定分布，然后借助于数理统计理论进行分析。例如在理论分析和工程上，因为威布尔分布的良好特性，常用威布尔分布来拟合产品的寿命分布。威布尔分布的概率密度函数为：

$f(t;m,\mathrm{\η})=\frac{m}{\mathrm{\η}}{\left(\frac{t}{\mathrm{\η}}\right)}^{m-1}\exp \[-{\left(\frac{t}{\mathrm{\η}}\right)}^m\],t\≥0,m>0,\mathrm{\η}>0---\left(1\right)$

其中t为产品的寿命，m、η为威布尔分布参数，具体为m为威布尔分布的形状参数，η为威布尔分布的尺度参数；exp表示以自然对数e为底的指数函数；在时刻τ处的可靠度为：

$R\left(\mathrm{\τ}\right)=\exp \[-{\left(\frac{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\η}}\right)}^m\]---\left(2\right)$

由此可知，假如需要估计产品在τ时刻处的可靠度，只要知道分布参数m和η的估计值和借助于式(2)即可求得可靠度R(τ)的估计值因此对可靠度的估计，关键在于对分布参数m和η的估计。

在实际中，往往需要首先利用一批试验样品进行可靠性寿命试验，收集试验样品的试验数据，然后借助于统计分析理论，对分布参数和可靠度进行估计。假如试验中针对所有样品收集得到的试验数据全部为故障数据，则称这种试验数据为完全样本，否则称之为截尾样本。随着科学技术的发展，当前工业上生产出的往往是高可靠、长寿命产品，且产品的成本造价越来越昂贵。因为成本和时间的限制，对一批产品进行可靠性寿命试验时，试图收集到完全样本是不现实的，在实际中，经过寿命试验收集到的一般是截尾样本。根据试验方式的不同，截尾样本又可分为两种，一种是定时截尾样本，另一种是定数截尾样本。定时截尾样本是指在寿命试验中，当试验达到预先设定的终止时刻后立即终止试验而收集到的试验数据。定数截尾样本是指在寿命试验中，当试验样品的故障数目达到预先设定值后立即终止试验而收集到的试验数据。本发明考虑的主要是定时截尾样本，即针对寿命试验预先设定一个终止时刻。一旦试验达到该时刻，就立即终止所有试验样品的试验。当样品在终止时刻前发生故障，则针对该样品收集到的试验时间为故障数据，反之收集到的试验时间就是截尾数据。所有样品的试验时间混合起来就构成定时截尾样本。

工程上对产品的可靠度估计的要求，往往既包括可靠度的点估计，又包括可靠度的置信区间估计。对可靠度的点估计进行求解是相对容易的，相关研究也很充分，因此可直接利用已有的方法对可靠度的点估计进行求解，比如可靠度的极大似然估计。但是对可靠度的置信区间估计进行求解往往比较困难，相关研究相对较少。当产品的寿命服从威布尔分布时，鉴于威布尔分布的复杂性，对置信区间估计进行求解时更为困难，尤其是针对定时截尾样本。Joarder等(具体见参考文献2：Joarder,A.,H.Krishna,andD.Kundu.InferencesonWeibullparameterswithconventionaltype-Icensoring[J].ComputationalStatistics&DataAnalysis,2011,55(1):1-11.)利用自助法(bootstrap)对可靠度的置信区间进行求解，这也是求解置信区间估计的一种常见思路，但该方法从本质上而言是近似方法，且需要生成大量的自助样本，所以相对耗时。本发明要解决的关键技术问题在于当部件的寿命服从威布尔分布时，借鉴已有方法得到产品可靠度的点估计后，如何进一步对产品可靠度的置信区间估计进行求解。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明基于极大似然估计的相关性质及增量方法，通过对现有技术进行整合和改进，提出了一种更快速更准确的求解可靠度置信区间的方法，能够用于当产品寿命服从威布尔分布时，得到产品的可靠度的点估计，并求解可靠度的置信区间估计，具体技术方案如下。

基于定时截尾寿命试验数据的产品可靠度估计方法,包括以下步骤：

(S1)获取产品试验数据，并根据试验数据求解产品可靠度的点估计；

(S11)获取产品试验数据，并计算该试验数据构成的截尾样本的似然函数；

假定针对n个产品进行可靠性寿命试验，并在T时刻终止，收集到的截尾样本中有r个故障数据，记为t₁,t₂,…,t_r，r、n为整数且r≥1，n大于r，则截尾样本中剩余的(n-r)个样本值都为T；t₁,t₂,…,t_r与(n-r)个T混合起来构成截尾样本，得到该样本的似然函数为：

$L(t_1,t_2,...,t_r,T|m,\mathrm{\η})=\underset{i=1}{\overset{r}{\Π}}f(t_i;m,\mathrm{\η})\·{\[R(T;m,\mathrm{\η})\]}^{n-r}---\left(3\right)$

其中f(t_i；m,η)和R(T；m,η)分别为 $f(t_i;m,\mathrm{\η})=\frac{m}{\mathrm{\η}}{\left(\frac{t_i}{\mathrm{\η}}\right)}^{m-1}\exp \[-{\left(\frac{t_i}{\mathrm{\η}}\right)}^m\],t_i\≥0,m>0,\mathrm{\η}>0,$ i为自然数，i＝1,2,…,r；m、η为威布尔分布参数，具体为m为威布尔分布的形状参数，η为威布尔分布的尺度参数；

(S12)根据极大似然估计方法，求解分布参数的极大似然估计值；

当分布参数(m,η)的取值令式(3)的自然对数值最大时，对应的取值即为(m,η)的极大似然估计值，按下式求解(m,η)的极大似然估计值：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂\ln L}{\∂m}=0\\ \frac{\∂\ln L}{\∂\mathrm{\η}}=0\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中分别为式(3)的自然对数关于m和η的一阶偏导数；化简式(4)，得形状参数m的极大似然估计值是下式的根：

$\frac{1}{m}-\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{t}_i^m\ln t_i+(n-r)T^m\ln T}{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{t}_i^m+(n-r)T^m}+\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}\ln t_i}{r}=0---\left(5\right)$

其中r是样本中的故障数据个数；针对式(5)，借助于牛顿迭代公式求解，得到关于式(5)的求解，具体步骤如下：

1.利用下式m₀值作为迭代的初值：

$m_0=\frac{\mathrm{\π}}{\sqrt{6}}{\[\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^r{(\ln t_i-\stackrel{\‾}{\ln a})}^2+(n-r){(\ln T-\stackrel{\‾}{\ln a})}^2}{n-1}\]}^{-1/2}---\left(6\right)$

其中π为圆周率， $\stackrel{\‾}{\ln a}=\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}\ln t_i+(n-r)\ln T}{n},$ 令

$g\left(m\right)=\frac{1}{m}-\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{t}_i^m\ln t_i+(n-r)T^m\ln T}{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{t}_i^m+(n-r)T^m}+\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}\ln t_i}{r}---\left(7\right)$

2.根据牛顿迭代公式，利用下式获取迭代一步之后的迭代值

$m_1=m_0-\frac{g\left(m_0\right)}{g^{\′}\left(m_0\right)}---\left(8\right)$

其中g'(m₀)是函数(7)的一阶导数。

3.继续迭代，并获取每步的迭代值j为自然数，直到满足条件|m_j+1-m_j|≤ε后终止迭代，其中ε是预先设定的迭代终止的误差；最终，可得分布参数m的极大似然估计值是

对于尺度参数η的极大似然估计值为

$\widehat{\mathrm{\η}}={\[\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{t}_i^{\hat{m}}+(n-r)T^{\hat{m}}}{r})}^{1/\hat{m}}---\left(9\right)$

(S13)求解产品在时刻τ处的可靠度R(τ)的点估计为：

$\hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right)=\exp \[-{\left(\frac{\mathrm{\τ}}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\]---\left(10\right)$

(S2)求解产品的可靠度的置信区间估计；

(S21)Fisher信息矩阵是由样本内所蕴含的分布参数的信息量所构成的；在威布尔分布下，按照信息量的严格定义，信息矩阵内的元素是很难求解的。

用分布参数的极大似然估计值近似信息矩阵中的元素，将信息矩阵表示为：

${\mathrm{FI}}_{2\×2}=\left[\begin{array}{cc}\frac{r}{{\hat{m}}^2}+\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}{\left(\ln \frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^2+(n-r){\left(\frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}{\left(\ln \frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^2& I_{12}\\ I_{21}& \frac{\hat{m}(\hat{m}+1)}{{\widehat{\mathrm{\η}}}^2}\[\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}+(n-r){\left(\frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\]-\frac{\hat{m}r}{{\widehat{\mathrm{\η}}}^2}\end{array}\right]---\left(11\right)$

其中，

$I_{12}=I_{21}=\frac{r}{\widehat{\mathrm{\η}}}-\frac{1}{\widehat{\mathrm{\η}}}\[\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}+(n-r){\left(\frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\]-\frac{\hat{m}}{\widehat{\mathrm{\η}}}\[\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\left(\ln \frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)+(n-r){\left(\frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\left(\ln \frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)\]$

(S22)求解和的协方差矩阵C_2×2，即信息矩阵FI_2×2的逆

$C_{2\×2}={\mathrm{FI}}_{2\×2}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{var}\left(\hat{m}\right)& \mathrm{cov}(\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}})\\ \mathrm{cov}(\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}})& \mathrm{var}\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right)\end{array}\right]---\left(12\right)$

其中表示的方差，表示的方差；表示和的协方差；

(S23)运用增量方法求解得到的方差

$\mathrm{var}\left(\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)=\mathrm{var}\left(\hat{m}\right){\left(\frac{\∂R}{\∂m}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^2+2\mathrm{cov}(\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}})\left(\frac{\∂R}{\∂m}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)\left(\frac{\∂R}{\∂\mathrm{\η}}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)+\mathrm{var}\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right){\left(\frac{\∂R}{\∂\mathrm{\η}}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^2---\left(13\right)$

其中 $\left(\frac{\∂R}{\∂m}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)=\left(\ln \hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)\left(\ln \frac{\mathrm{\τ}}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)\hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right),\left(\frac{\∂R}{\∂\mathrm{\η}}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)=\frac{\hat{m}}{\widehat{\mathrm{\η}}}{\left(\frac{\mathrm{\τ}}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right);$

统计量的分布服从正态分布，即

$\frac{ln\hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right)-\ln R\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{var}\left(ln\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}}~N(0,1)---\left(14\right)$

其中

(S24)在置信水平(1-α)下，求解得到可靠度的双侧置信区间为：

$(\exp \[(\ln \hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right))-U_{1-\mathrm{\α}/2}\sqrt{\mathrm{var}\left(\ln \hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}\],\exp \[(\ln \hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right))-U_{\mathrm{\α}/2}\sqrt{\mathrm{var}\left(\ln \hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}\])---\left(15\right)$

单侧置信区间的置信下限为：

$R_L=\exp \[\left(ln\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)-U_{1-\mathrm{\α}}\sqrt{\mathrm{var}\left(ln\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}\]---\left(16\right)$

其中U_α/2，U_α和U_1-α/2分别是标准正态分布U(0,1)的α/2，α和(1-α/2)分位数；可以通过查正态分布分位数表获得；α为取置信水平时设置的常量。

采用本发明获得的有益效果：本发明提出的方法无需生成大量的自助样本，因此比参考文献2中运用的bootstrap方法时间消耗要少。另外，经过大量的实验验证，用本发明提出的方法计算得到的结果比bootstrap方法更准确。本发明通过上述步骤很好地解决了当产品寿命服从威布尔分布时，依据定时截尾样本，如何对产品的可靠度的点估计和置信区间估计进行求解的问题。

附图说明

图1是本发明的流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，为本发明的流程图，本发明基于试验数据样本的似然函数，得到了可靠度的极大似然估计，并作为可靠度的点估计。进一步基于可靠度的点估计，结合极大似然估计的性质和增量方法，求得了可靠度的置信区间估计。

本实施例中假定对8个样品进行可靠性寿命试验，在T＝36天处终止试验，则收集到7个故障数据，具体是4,5,8,11,20,29,35，数据的单位是天。剩余1个截尾数据为36天。7个故障数据和1个截尾数据构成的定时截尾样本即为本实施例中运用的数据。然后，按照本发明提出的技术方案，对该产品在时刻为1天处的可靠度进行估计。

根据本发明方法，求解产品可靠度的点估计。依据式(5)，求解分布参数m的极大似然估计值并求得接着按照式(9)求解分布参数η的极大似然估计值并求得进一步按照式(10)求得产品在τ＝1时的可靠度点估计为 $\hat{R}\left(1\right)=\mathrm{0.9820.}$

取置信水平为0.9，并求解置信水平为0.9下的可靠度单侧置信区间的置信下限估计。按照式(12)求得和的协方差矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}0.16& 0.46\\ 0.46& 42.01\end{array}\right],$ 进一步可依据式(13)得到的方差为最终可按照式(16)求得可靠度的置信下限为R_L＝0.9512。若按照参考文献2中提出的bootstrap法，则算得R'_L＝0.9429。类似地，若取置信水平为0.95，可求得置信水平为0.95时可靠度的置信下限为R_L＝0.9426。若按照参考文献2中提出的bootstrap法，则算得R'_L＝0.9180。可看出，根据本发明算得的置信下限结果与bootstrap法算得的结果相比，更接近于点估计值；由此可知，本发明算得的结果更准确。

尽管上面是对本发明具体实施方案的完整描述，但是可以采取各种修改、变体和替换方案。这些等同方案和替换方案被包括在本发明的范围内。因此，本发明的范围不应该被限于所描述的实施方案，而是应该由所附权利要求书限定。

Claims (1)

1.基于定时截尾寿命试验数据的产品可靠度估计方法，其特征在于,包括以下步骤：

(S1)获取产品试验数据，并根据试验数据求解产品可靠度的点估计；

(S11)获取产品试验数据，并计算该试验数据构成的截尾样本的似然函数；

假定针对n个产品进行可靠性寿命试验，并在T时刻终止，收集到的截尾样本中有r个故障数据，记为t₁,t₂,…,t_r，r、n为整数且r≥1，n大于r，则截尾样本中剩余的(n-r)个样本值都为T；t₁,t₂,…,t_r与(n-r)个T混合起来构成截尾样本，得到该样本的似然函数为：

$L(t_1,t_2,...,t_r,T|m,\mathrm{\η})=\underset{i=1}{\overset{r}{\Π}}f(t_i;m,\mathrm{\η})\·{\[R(T;m,\mathrm{\η})\]}^{n-r}---\left(1\right)$

其中f(t_i；m,η)和R(T；m,η)分别为t_i≥0,m＞0,η＞0,i＝1,2,…,r；m、η为威布尔分布参数，具体为m为威布尔分布的形状参数，η为威布尔分布的尺度参数；

(S12)根据极大似然估计方法，求解分布参数的极大似然估计值；

当分布参数(m,η)的取值令式(1)的自然对数值最大时，对应的取值即为(m,η)的极大似然估计值，按下式求解(m,η)的极大似然估计值：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂\ln L}{\∂m}=0\\ \frac{\∂\ln L}{\∂\mathrm{\η}}=0\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中分别为式(1)的自然对数关于m和η的一阶偏导数；化简式(2)，得形状参数m的极大似然估计值是下式的根：

$\frac{1}{m}-\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{t}_i^m{\mathrm{lnt}}_i+(n-r)T^m\ln T}{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{t}_i^m+(n-r)T^m}+\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\mathrm{lnt}}_i}{r}=0---\left(3\right)$

其中r是样本中的故障数据个数；针对式(3)，借助于牛顿迭代公式求解得到

对于尺度参数η的极大似然估计值为

$\widehat{\mathrm{\η}}={\left(\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{t}_i^{\hat{m}}+(n-r)T^{\hat{m}}}{r}\right)}^{1/\hat{m}}---\left(4\right)$

(S13)求解产品在时刻τ处的可靠度R(τ)的点估计为：

$\hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right)=\exp \[-{\left(\frac{\mathrm{\τ}}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\]---\left(5\right)$

(S2)求解产品的可靠度的置信区间估计；

(S21)用分布参数的极大似然估计值近似信息矩阵中的元素，将信息矩阵表示为：

${\mathrm{FI}}_{2\×2}=\left[\begin{array}{cc}\frac{r}{{\hat{m}}^2}+\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}{\left(\ln \frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^2+(n-r){\left(\frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}{\left(\ln \frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^2& I_{12}\\ I_{21}& \frac{\hat{m}(\hat{m}+1)}{{\widehat{\mathrm{\η}}}^2}\[\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}+(n-r){\left(\frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\]-\frac{\hat{m}r}{{\widehat{\mathrm{\η}}}^2}\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中，

$I_{12}=I_{21}=\frac{r}{\widehat{\mathrm{\η}}}-\frac{1}{\widehat{\mathrm{\η}}}\[\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}+(n-r){\left(\frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\]-\frac{\hat{m}}{\widehat{\mathrm{\η}}}\[\underset{i=1}{\overset{r}{\Σ}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\left(\ln \frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)+(n-r){\left(\frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\left(\ln \frac{T}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)\]$

(S22)求解和的协方差矩阵C_2×2，即信息矩阵FI_2×2的逆

$C_{2\×2}={\mathrm{FI}}_{2\×2}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{var}\left(\hat{m}\right)& \mathrm{cov}(\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}})\\ \mathrm{cov}(\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}})& \mathrm{var}\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中表示的方差，表示的方差；表示和的协方差；

(S23)运用增量方法求解得到的方差

$\mathrm{var}\left(\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)=\mathrm{var}\left(\hat{m}\right){\left(\frac{\∂R}{\∂m}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^2+2\mathrm{cov}(\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}})\left(\frac{\∂R}{\∂m}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)\left(\frac{\∂R}{\∂\mathrm{\η}}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)+\mathrm{var}\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right){\left(\frac{\∂R}{\∂\mathrm{\η}}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^2---\left(8\right)$

其中 $\left(\frac{\∂R}{\∂m}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)=\left(\ln \hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)\left(\ln \frac{\mathrm{\τ}}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)\hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right),\left(\frac{\∂R}{\∂\mathrm{\η}}{|}_{\hat{m},\widehat{\mathrm{\η}}}\right)=\frac{\hat{m}}{\widehat{\mathrm{\η}}}{\left(\frac{\mathrm{\τ}}{\widehat{\mathrm{\η}}}\right)}^{\hat{m}}\hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right);$

统计量的分布服从正态分布，即

$\frac{ln\hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right)-\ln R\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{var}\left(ln\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}}~N(0,1)---\left(9\right)$

其中 $\mathrm{var}\left(ln\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)=\frac{\mathrm{var}\left(\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}{{\left(\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}^2};$

(S24)在置信水平(1-α)下，求解得到可靠度的双侧置信区间为：

$(\exp \[(\ln \hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right))-U_{1-\mathrm{\α}/2}\sqrt{\mathrm{var}\left(\ln \hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}\],\exp \[(\ln \hat{R}\left(\mathrm{\τ}\right))-U_{\mathrm{\α}/2}\sqrt{\mathrm{var}\left(\ln \hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}\])---\left(10\right)$

单侧置信区间的置信下限为：

$R_L=\exp \[\left(ln\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)-U_{1-\mathrm{\α}}\sqrt{\mathrm{var}\left(ln\hat{R}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}\]---\left(11\right)$

其中U_α/2，U_α和U_1-α/2分别是标准正态分布U(0,1)的α/2，α和(1-α/2)分位数，α为取置信水平时设置的常量。