CN108804806B - Weibull分布综合应力恒加试验中参数的简化MLE方法 - Google Patents

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CN108804806B CN201810577377.1A CN201810577377A CN108804806B CN 108804806 B CN108804806 B CN 108804806B CN 201810577377 A CN201810577377 A CN 201810577377A CN 108804806 B CN108804806 B CN 108804806B
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Abstract

本发明属于加速寿命试验技术领域，具体是涉及Weibull分布综合应力恒加试验中参数的简化MLE方法。本发明针对单应力ALT的试验周期较长和Weibull分布参数的最大似然估计难以求解问题，给出了Weibull分布综合应力恒加试验数据的简化MLE方法，并通过对航天电连接器综合应力恒加试验的Monte Carlo仿真失效时间进行统计分析，验证所给Weibull分布综合应力恒加试验数据的简化MLE方法与可靠性评估的可行性和有效性。

Description

Weibull分布综合应力恒加试验中参数的简化MLE方法
技术领域
本发明属于加速寿命试验技术领域，具体是涉及Weibull分布综合应力恒加试验中参数的简化MLE方法。
背景技术
加速寿命试验(Accelerated life test，ALT)是在保持失效机理不变的条件下，通过加大试验应力来加速产品失效的一种寿命试验方法；其目的是运用加速模型外推加速应力下的试验数据，对产品在正常应力水平下的各种可靠性指标进行统计推断。ALT可缩短试验周期、提高试验效率、降低试验成本，ALT技术的引入为解决高可靠度长寿命产品的寿命与可靠性评估提供了新途径。ALT分为恒定应力ALT(简称恒加试验，CSALT)，步进应力ALT(简称步加试验，SSALT)和序进应力ALT(简称序加试验)；ALT的研究主要集中在加速模型、ALT的优化设计和ALT数据的统计分析三个方面。ALT数据的统计分析方法主要有经典统计推断方法和贝叶斯(Bayesian)统计推断方法，其中经典统计推断方法中MLE方法应用最为广泛。目前，不少学者在ALT数据的统计分析方面方面已作了大量研究工作。
NELSON(1990)最先对ALT进行了全面性研究，提出了Weibull分布、正态分布和对数正态分布下完全样本和截尾样本情形ALT数据的MLE方法和最小二乘估计方法，且给出模型参数的置信区间；WATKINS(1994)研究了Weibull分布下恒加试验的精简MLE理论，并采用所提出的精简MLE方法刻画了Weibull分布的尺度参数与试验应力间的对数线性关系，算例分析结果表明所提方法是有效可行的；WANG等(2000)采用MLE方法研究了恒加试验Weibull分布对数线性模型的参数估计问题，提出了恒加试验Weibull分布对数线性模型参数的MLE方法，真实试验数据分析结果表明所给方法是有效可行的；王炳兴等(2002)提出了定数截尾恒加试验Weibull分布参数的渐进无偏估计及渐进置信区间估计的估计理论；WATKINS等(2008)提出了Weibull分布下定数截尾恒加试验的精简MLE理论，给出了与似然函数相关的Fisher信息矩阵的精确计算方法，算例分析表明所提精简MLE方法较传统MLE提高了计算效率且降低了参数MLE值的标准偏差；汤银才等(2009)提出了三参数Weibull分布Bayesian估计的Laplace数值积分方法和Gibbs抽样模拟方法，模拟算例说明了所提方法的可行性和有效性；XU等(2012)研究了相依指数分布竞争失效情形下恒加试验的MLE方法，真实试验数据分析结果表明所提MLE方法是可行的；陈文华等(2012)在Weibull分布失效下，利用MLE理论以产品中位寿命MLE值渐进方差的均值和标准离差分别作为估计精度和稳定性的考核指标，提出了航天电连接器步加试验的模拟评价理论与方法，算例分析表明基于MLE理论的模拟评价方法具有可行性；武东等(2013)研究了Weibull分布下步加试验的Bayesian估计方法，Monte Carlo仿真算例说明了所提Bayesian估计方法的有效性；ZHENG等(2013)采用EM算法和最小二乘法对两参数广义指数分布逐步定数混合截尾恒加试验数据进行了统计分析研究，获得了参数的渐进无偏估计和用于构造参数置信区间的Fisher信息矩阵；张详坡(2014)研究了三参数Weibull分布竞争失效场合序加试验的MLE方法，实例分析结果表明MLE方法是正确可行的且具有很好的估计效果。这些研究基本上都集中在单应力ALT方面。
然而，在单应力ALT中，为使产品在试验过程中失效机理保持不变，试验应力水平不宜过高，这样势必会造成试验周期较长；另一方面，运用传统的MLE法对Weibull分布的ALT数据进行统计分析时，参数估计往往解析困难、计算冗繁，通常需要借助数值计算方法。因此，有必要在单应力ALT数据统计分析方法的基础上，研究综合应力ALT数据的统计分析方法。
发明内容
本发明的目的，就是针对上述问题，以航天电连接器为研究对象，针对单应力ALT的试验周期较长和Weibull分布的最大似然估计难以求解问题，提出Weibull分布下综合应力恒加试验的优化MLE方法，并通过对航天电连接器综合应力恒加试验的Monte Carlo仿真失效时间进行统计分析，验证所提Weibull分布下综合应力恒加试验优化MLE方法的可行性和有效性。
本发明的技术方案为：
Weibull分布综合应力恒加试验中参数的简化MLE方法，该方法用于加速寿命试验中，Weibull分布参数的极大似然估计；其特征在于，包括以下步骤：
a、采用热应力(温度)和非热应力(如电压、电流、湿度、振动等)同时作为加速应力进行试验，则建立产品寿命特征与试验应力间关系的广义艾林(Eyring)模型为：
Figure GDA0003350816860000021
其中，η为特征寿命；T为热应力(绝对温度)，S为非热应力；A、B均为待定常数，E为激活能(eV)，K＝8.617×10-5eV/℃为波耳兹曼常数；
并设定：
(1)在各应力水平组合(Ti,Sj)下，产品的寿命tij服从双参数Weibull分布W(mij,ηij)，即tij～W(mij,ηij)，i＝0,1,2,…,k，j＝0,1,2,…,l，其累积分布函数为：
Figure GDA0003350816860000031
其中，mij>0为形状参数，ηij>0为特征寿命或尺度参数；
设定寿命tij～W(mij,ηij)，则对数
Figure GDA0003350816860000032
服从极值分布G(μij,σij)，即yij～G(μij,σij)，其累积分布函数为：
Figure GDA0003350816860000033
其中，μij＝lnηij为极值分布G(μij,σij)的位置参数，σij＝1/mij为极值分布G(μij,σij)的尺度参数；
(2)在各应力水平组合(Ti,Sj)下,产品的失效机理保持不变，即所有应力水平组合下Weibull分布的形状参数mij相同：
Figure GDA0003350816860000034
这等价于极值分布G(μij,σij)的尺度参数σij相同：
Figure GDA0003350816860000035
i＝0,1,2,…,k，j＝0,1,2,…,l；
(3)在各应力水平组合(Ti,Sj)下，Weibull分布的特征寿命ηij与应力水平组合(Ti,Sj)间满足对数线性广义艾林加速模型：
Figure GDA0003350816860000036
其中，γ0＝lnA，γ1＝E/103K和γ2＝-B均为待估参数；
Figure GDA0003350816860000037
φ(Sj)＝lnSj均为转化应力水平，记
Figure GDA0003350816860000038
b、根据步骤a设定的条件，对产品进行定时截尾综合应力恒加试验：
设定试验总样本量为n，在应力水平组合(Ti,Sj)下，投入nij个样品进行定时截尾寿命试验，试验截止时间为τij，在[0,τij]内观测到rij个样品发生失效，失效时间依次为：
tij1≤tij2≤…≤tijrij≤τij，i,j＝1,2,…,k
同时设定其余nij-rij个样品将在(τij,∞)内发生失效；
c、获取样本数据的对数似然函数：
根据产品的失效机理保持不变，和Weibull分布的概率密度函数：
Figure GDA0003350816860000041
可得应力水平组合(Ti,Sj)下样本数据的似然函数为：
Figure GDA0003350816860000042
从而应力水平组合(Ti,Sj)下样本数据的对数似然函数为：
Figure GDA0003350816860000043
可得所有应力水平组合下全部样本数据的对数似然函数为：
Figure GDA0003350816860000047
其中：
Figure GDA0003350816860000044
Figure GDA0003350816860000045
d、获得全部样本数据的优化对数似然函数：
定义非负整数a、b和c，即a,b,c>0，由于
Figure GDA0003350816860000046
Figure GDA0003350816860000051
Figure GDA0003350816860000052
利用Qa,b,c可求得对数似然函数lnL的一阶偏导数
Figure GDA0003350816860000053
令：
Figure GDA0003350816860000054
可得：
Figure GDA0003350816860000055
将(9)式代入(8)可得全部样本数据的优化对数似然函数为：
lnL*＝D0,0lnm+(m-1)Qe-m(γ1D1,0+γ2D0,1)-D0,0lnQ0,0,0 (10)
e、获得Weibull分布尺度参数的极大似然估计：
根据步骤d，获得公式(10)的一阶偏导数分别为：
Figure GDA0003350816860000056
Figure GDA0003350816860000057
Figure GDA0003350816860000058
lnL*的二阶偏导数分别为：
Figure GDA0003350816860000059
Figure GDA00033508168600000510
Figure GDA0003350816860000061
lnL*的二阶混合偏导数分别为：
Figure GDA0003350816860000062
Figure GDA0003350816860000063
Figure GDA0003350816860000064
通过令对数似然函数lnL*的一阶偏导数为零，然后再解方程组，即可获得m、γ1和γ2的极大似然估计值
Figure GDA0003350816860000065
和
Figure GDA0003350816860000066
然后再将
Figure GDA0003350816860000067
和
Figure GDA0003350816860000068
代入式(9)即可得γ0的极大似然估计值
Figure GDA0003350816860000069
根据极大似然估计的不变性，即可得公式(1)的极大似然估计为：
Figure GDA00033508168600000610
在应力水平组合(T0,S0)下，Weibull分布尺度参数的极大似然估计为：
Figure GDA00033508168600000611
其中，
Figure GDA00033508168600000612
可靠度为R的可靠寿命tR,00的极大似然估计为
Figure GDA00033508168600000613
可靠度R00(t)的极大似然估计值为
Figure GDA00033508168600000614
失效率λ00(t)的极大似然估计值为
Figure GDA0003350816860000071
平均寿命tE的极大似然估计值为
Figure GDA0003350816860000072
上述方案中，根据MLE理论，参数MLE值
Figure GDA0003350816860000073
和
Figure GDA0003350816860000074
的协方差矩阵为
Figure GDA0003350816860000075
式(12)中：协方差矩阵∑用Fisher信息矩阵F来估计，而Fisher信息矩阵F是对数似然函数lnL的负二阶偏导数的数学期望，即
Figure GDA0003350816860000076
当对数似然函数二阶偏导数的数学期望的精确分布难以确定时，Fisher信息阵F的元素可用对数似然函数lnL的负二阶偏导数值来近似，其计算公式为
Figure GDA0003350816860000077
Figure GDA0003350816860000078
Figure GDA0003350816860000079
Figure GDA00033508168600000710
Figure GDA0003350816860000081
Figure GDA0003350816860000082
Figure GDA0003350816860000083
Figure GDA0003350816860000084
Figure GDA0003350816860000085
Figure GDA0003350816860000086
可靠性统计模型参数的渐进置信区间：
(1)特征寿命η00的置信区间
根据MLE的渐进正态性，统计量
Figure GDA0003350816860000087
的分布可以采用正态分布
Figure GDA0003350816860000088
近似，即
Figure GDA0003350816860000089
其中，
Figure GDA00033508168600000810
方差
Figure GDA00033508168600000811
与协方差
Figure GDA00033508168600000812
可通过Fisher信息矩阵F的逆矩阵，即协方差矩阵∑得到。
由此得到μ00的置信度为1-α的双侧置信线为
Figure GDA00033508168600000813
从而由μ00＝lnη00得到η00的置信度为1-α的双侧置信线为
Figure GDA0003350816860000091
与
Figure GDA0003350816860000092
(2)形状参数m的置信区间
根据MLE理论，统计量
Figure GDA0003350816860000093
的分布亦可用正态分布
Figure GDA0003350816860000094
近似，即
Figure GDA0003350816860000095
因此，在置信水平为1-α时，形状参数m的双侧置信线为
Figure GDA0003350816860000096
与
Figure GDA0003350816860000097
其中，
Figure GDA0003350816860000098
的方差
Figure GDA0003350816860000099
是协方差矩阵∑的元素，u1-α/2是标准正态分布的1-α/2分位数。
(3)加速模型系数γi的置信区间
根据MLE理论，统计量
Figure GDA00033508168600000910
的分布亦可用正态分布
Figure GDA00033508168600000911
近似，即
Figure GDA00033508168600000912
给定置信水平1-α，对数线性加速模型系数γi的双侧置信线为
Figure GDA00033508168600000913
与
Figure GDA00033508168600000914
其中，
Figure GDA00033508168600000915
的方差
Figure GDA00033508168600000916
由协方差矩阵∑给出。
本发明的方案中，与现有技术最直接的差异为，现有技术求解参数是通过令对数似然函数lnL的4个一阶偏导数为零，然后采用Newton法解对数似然方程组求得参数的MLE值
Figure GDA00033508168600000917
Figure GDA00033508168600000918
和
Figure GDA00033508168600000919
这种直接求解对数似然方程组的方法，计算效率十分低下。
本发明的有益效果为，通过对对数似然函数的优化，极大的提高了参数估计的效率，因此提高了加速寿命试验的效率，有利于产品的快速测试。
附图说明
图1为实施例在各应力水平组合下的Weibull分布直线；
图2为实施例在正常应力水平组合下产品的可靠度曲线；
具体实施方式
下面结合附图和实施例进一步详细描述本发明的技术方案：
实施例
本例为仿真Y11X系列航天电连接器的失效过程，以环境温度和振动为加速寿命试验的加速应力，并采用广义艾林(Eyring)模型为加速模型。有关Y11X系列航天电连接器加速试验的研究表明，在环境温度和振动应力综合作用下，Y11X系列航天电连接器失效机理的改变点为(158℃，1.0g2/Hz)，此即Y11X系列航天电连接器的最高应力水平组合点。另一方面，根据国标GJB101A—1997，Y11X系列航天电连接器的正常应力水平组合可选取为(85℃，0.06g2/Hz)。
通过大量摸底试验数据的统计分析，以及参考现有参考文献在Y11X系列航天电连接器加速试验与可靠性方面的研究，选取
Figure GDA0003350816860000101
作为广义艾林(Eyring)—Weibull可靠性统计模型参数的真值。
当加速应力水平数k＝l＝4时，采用均匀设计表U4(42)来进行试验，当给定最高试验应力水平组合后，试验方案的设计变量为
Figure GDA0003350816860000105
和φ2，即设计变量水平组合为
Figure GDA0003350816860000106
若温度与振动应力的转化应力水平取为等间隔水平，即
Figure GDA0003350816860000102
Figure GDA0003350816860000103
则温度与振动应力均为4水平数时的均匀设计方案如表1所示：
表1综合应力恒加试验均匀设计方案
Figure GDA0003350816860000104
若各应力水平组合下试验的截尾时间均为50h，则均匀设计方案下航天电连接器的Monte Carlo仿真失效时间如表2所示：
表2均匀设计方案的Monte Carlo仿真失效时间
Figure GDA0003350816860000111
可靠性统计模型的检验
表2列举的仿真失效时间是否满足可靠性统计模型的基本假设，需要进行检验。首先，Weibull分布的拟合优度检验和失效机理一致性的检验，可采用Weibull概率纸法：
采用中位秩公式：
F(tijh)＝(h-0.3)/(nij+0.4)，h＝1,2,…,rij
估计产品的失效概率F(tijh)，并将各应力水平组合下的试验数据[tijh，F(tijh)]画在同一张Weibull概率纸上，如图1所示。由图1容易发现，各应力水平组合下试验数据点的趋势均为直线，且数据点的趋势大致平行。因此可以认为在各温度与振动综合应力作用下，航天电连接器的Monte Carlo仿真失效时间均服从Weibull分布，且形状参数m保持不变，即失效机理具有一致性。
Weibull分布的拟合优度检验亦可采用范·蒙特福特检验法，其检验结果如表3所示：
表3 Weibull分布的拟合优度检验结果
Figure GDA0003350816860000112
由表3的结果可知，范·蒙特福特统计量F值均介于F分布的0.05分位点F0.05(f1,f2)与0.95分位点F0.95(f1,f2)之间，这表明表2列举的航天电连接器的仿真失效时间均服从Weibull分布。
其次，失效机理一致性的检验可采用巴特利特检验法；在显著性水平α＝0.05下，巴特利特检验统计量的值B2/C＝2.5508，它小于卡方分布临界值χ2(0.95,3)＝7.8147。因此可以接受失效机理一致性的原假设，即可以认为在各温度与振动应力水平组合下Weibull分布的形状参数相等。
模型参数的MLE和渐进置信区间：
采用本发明的优化MLE方法，并运用Newton算法来估计可靠性统计模型的未知参数，γ1、γ2和m的初值为
Figure GDA0003350816860000121
和
Figure GDA0003350816860000122
Newton方法迭代运算过程中，参数γ1、γ2和m，对数似然函数lnL*，以及lnL*的所有一、二阶偏导数值的收敛过程如表4所示：
表4 Newton方法迭代运算过程
Figure GDA0003350816860000123
由表4的结果可知，经过7步迭代运算后，lnL*的一阶偏导数
Figure GDA0003350816860000124
和
Figure GDA0003350816860000125
均收敛到零，且参数γ1、γ2和m收敛到稳定值，由此可得γ1、γ2和m的MLE值为
Figure GDA0003350816860000126
再将MLE值
Figure GDA0003350816860000127
和
Figure GDA0003350816860000128
代入式(9)可得γ0的MLE值为
Figure GDA0003350816860000129
从而可得加速模型的估计为
Figure GDA00033508168600001210
而采用传统MLE方法，Netwon算法经过39步迭代后，参数γ0、γ1、γ2和m才能收敛到稳定值
Figure GDA00033508168600001211
和
Figure GDA00033508168600001212
由此可得本发明的方法相对于传统方法极大的提高了效率。
已知MLE值
Figure GDA00033508168600001213
和
Figure GDA00033508168600001214
后，根据式(13)可获得与似然函数相关的Fisher信息矩阵
Figure GDA0003350816860000131
再由式(12)可得
Figure GDA0003350816860000132
与
Figure GDA0003350816860000133
的协方差矩阵
Figure GDA0003350816860000134
估计出协方差矩阵∑后，根据第4部分介绍的渐进置信区间理论，可容易获得参数的渐进置信区间。在置信水平1-α＝90％下，参数γ0、γ1、γ2、m和正常应力水平组合下Weibull分布特征寿命η00的MLE值，渐进置信区间如表5所示：
表5模型参数的MLE和90％置信区间
Figure GDA0003350816860000135
正常应力水平组合下可靠性指标的MLE：
利用加速模型(15)式可得正常应力水平组合下特征寿命η00的MLE值为
Figure GDA0003350816860000136
可靠度R00(t)的MLE值为
Figure GDA0003350816860000137
失效率λ00(t)的MLE值为
Figure GDA0003350816860000138
可靠度为R的可靠寿命tR,00的MLE为
Figure GDA0003350816860000139
平均寿命tE的MLE值为
Figure GDA0003350816860000141
可靠度估计
Figure GDA0003350816860000142
的可靠度曲线如图2所示。

Claims (1)

1.Weibull分布综合应力恒加试验中参数的简化MLE方法，该方法用于加速寿命试验中，Weibull分布参数的极大似然估计；其特征在于，包括以下步骤：
a、采用热应力和非热应力同时作为加速应力进行试验，则建立产品寿命特征与试验应力间关系的模型为：
Figure FDA0003350816850000011
其中，η为特征寿命；T为热应力，S为非热应力；A、B均为待定常数，E为激活能，K＝8.617×10-5eV/℃为波耳兹曼常数；
并设定：
(1)在各应力水平组合(Ti,Sj)下，产品的寿命tij服从双参数Weibull分布W(mij,ηij)，即tij～W(mij,ηij)，i＝0,1,2,…,k，j＝0,1,2,…,l，其累积分布函数为：
Figure FDA0003350816850000012
其中，mij>0为形状参数，ηij>0为特征寿命或尺度参数；
设定寿命tij～W(mij,ηij)，则对数
Figure FDA0003350816850000013
服从极值分布G(μij,σij)，即yij～G(μij,σij)，其累积分布函数为：
Figure FDA0003350816850000014
其中，μij＝lnηij为极值分布G(μij,σij)的位置参数，σij＝1/mij为极值分布G(μij,σij)的尺度参数；
(2)在各应力水平组合(Ti,Sj)下,产品的失效机理保持不变，即所有应力水平组合下Weibull分布的形状参数mij相同：
Figure FDA0003350816850000015
这等价于极值分布G(μij,σij)的尺度参数σij相同：
Figure FDA0003350816850000016
(3)在各应力水平组合(Ti,Sj)下，Weibull分布的特征寿命ηij与应力水平组合(Ti,Sj)间满足对数线性广义艾林加速模型：
Figure FDA0003350816850000021
其中，γ0＝lnA，γ1＝E/103K和γ2＝-B均为待估参数；
Figure FDA0003350816850000022
φ(Sj)＝lnSj均为转化应力水平，记
Figure FDA0003350816850000023
b、根据步骤a设定的条件，对产品进行定时截尾综合应力恒加试验：
设定试验总样本量为n，在应力水平组合(Ti,Sj)下，投入nij个样品进行定时截尾寿命试验，试验截止时间为τij，在[0,τij]内观测到rij个样品发生失效，失效时间依次为：
Figure FDA0003350816850000024
同时设定其余nij-rij个样品将在(τij,∞)内发生失效；
c、获取样本数据的对数似然函数：
根据产品的失效机理保持不变，和Weibull分布的概率密度函数：
Figure FDA0003350816850000025
可得应力水平组合(Ti,Sj)下样本数据的似然函数为：
Figure FDA0003350816850000026
从而应力水平组合(Ti,Sj)下样本数据的对数似然函数为：
Figure FDA0003350816850000027
可得所有应力水平组合下全部样本数据的对数似然函数为：
Figure FDA0003350816850000028
其中：
Figure FDA0003350816850000031
Figure FDA0003350816850000032
d、获得全部样本数据的优化对数似然函数：
定义非负整数a、b和c，即a,b,c>0，由于
Figure FDA0003350816850000033
Figure FDA0003350816850000034
Figure FDA0003350816850000035
利用Qa,b,c可求得对数似然函数lnL的一阶偏导数
Figure FDA0003350816850000036
令：
Figure FDA0003350816850000037
可得：
Figure FDA0003350816850000038
将(9)式代入(8)可得全部样本数据的优化对数似然函数为：
lnL*＝D0,0lnm+(m-1)Qe-m(γ1D1,0+γ2D0,1)-D0,0lnQ0,0,0 (10)
e、获得Weibull分布尺度参数的极大似然估计：
根据步骤d，获得公式(10)的一阶偏导数分别为：
Figure FDA0003350816850000039
Figure FDA00033508168500000310
Figure FDA0003350816850000041
lnL*的二阶偏导数分别为：
Figure FDA0003350816850000042
Figure FDA0003350816850000043
Figure FDA0003350816850000044
Figure FDA0003350816850000045
lnL*的二阶混合偏导数分别为：
Figure FDA0003350816850000046
Figure FDA0003350816850000047
Figure FDA0003350816850000048
通过令对数似然函数lnL*的一阶偏导数为零，然后再解方程组，即可获得m、γ1和γ2的极大似然估计值
Figure FDA0003350816850000049
和
Figure FDA00033508168500000410
然后再将
Figure FDA00033508168500000411
和
Figure FDA00033508168500000412
代入式(9)即可得γ0的极大似然估计值
Figure FDA00033508168500000413
根据极大似然估计的不变性，即可得公式(1)的极大似然估计为：
Figure FDA00033508168500000414
在应力水平组合(T0,S0)下，Weibull分布尺度参数的极大似然估计为：
Figure FDA00033508168500000415
其中，
Figure FDA0003350816850000051
可靠度为R的可靠寿命tR,00的极大似然估计为
Figure FDA0003350816850000052
可靠度R00(t)的极大似然估计值为
Figure FDA0003350816850000053
失效率λ00(t)的极大似然估计值为
Figure FDA0003350816850000054
平均寿命tE的极大似然估计值为
Figure FDA0003350816850000055
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