CN108959178A - 无失效数据的可靠性置信限统计评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种无失效数据的可靠性置信限统计评估方法。本发明针对可靠性试验中无失效数据的可靠性评估问题，首先采用结果概率置信下限统计推断法，给出了指数分布型产品无失效数据的可靠性评估方法，并获得了产品的平均寿命、可靠度和可靠寿命的单侧置信下限；其次通过分布函数变换给出了形状参数已知时Weibull分布型产品特征寿命的单侧置信下限，又利用单调特征参数函数映射关系获得了其它可靠性指标的单侧置信下限；再次提出了形状参数未知时Weibull分布型产品无失效数据的可靠性评估方法；最后通过2个算例分析说明了所给的无失效数据可靠性评估方法是可行的。

Description

无失效数据的可靠性置信限统计评估方法

技术领域

本发明涉及可靠性试验中无失效数据的可靠性评估问题，具体说是无失效数据的可靠性置信限统计评估方法。

背景技术

随着科学的发展及技术的进步，产品的服役时间不断延长并且可靠性水平日益提高，在可靠性试验中能收集到的失效数据极少，甚至有时无法获得失效数据。使用传统寿命试验数据分析方法处理无失效数据时，得到的试验结果很可能偏差较大，无法实现对高可靠长寿命产品可靠性的准确评估。因此，如何根据无失效数据(Zero-failure data)对高可靠长寿命产品进行可靠性分析与评估具有重要的理论价值与实际意义。

近年来，国内外学者针对无失效数据的产品可靠性问题研究有了一定的进展。Waller和Martz以指数分布为失效时间分布且以伽玛分布作为先验分布，提出了一种Bayes无失效可靠性试验验证方法。Tummada、Tsoko等学者采用Bayesian方法研究对Weibull分布下无失效数据的可靠性问题进行研究，并给出了Weibull分布参数和可靠度的Bayesian置信区间。陈家鼎等提出了无失效数据情形下可靠性参数最优置信下限的估计方法，并分别给出了指数分布、对数正态分布和Weibull分布可靠性参数的最优置信下限。翟艳敏等针对双参数指数分布中位置参数已知和未知两种情况，讨论了无失效数据情形下可靠性参数的置信区间估计问题。傅惠民等提出了一种Weibull分布定时截尾无失效数据的可靠性分析与评估方法，给出了可靠性参数的单侧置信下限，并通过大量Monte Carlo模拟试验说明了所提方法不仅有效可行，且能提高预测精度。近年来，Bayes方法在无失效数据的处理上也有了一些进展。

韩明针对无失效数据的可靠性估计问题，基于Bayes方法先后提出了多层Bayes估计方法、综合新Bayes估计法、双侧M-Bayes可信限估计法，分别对不同类型的先验分布进行可靠性参数估计。蔡国梁等在多层Bayes方法基础上进行改进，提出了无失效数据指数分布失效率和可靠性参数的多级Bayes估计法。贾祥针对现有的无失效数据处理方法不能同时得到可靠性参数的点估计和区间估计问题，在Weibull下对配分布曲线法加以改进，提出了使得计算结果同时包含点估计和区间估计的新算法，并通过算例分析说明了所提方法的有效性与合理性。

虽然Bayes估计法在利用样本信息的同时充分考虑了先验信息，但用Bayes方法处理无失效数据一般都要涉及多重数值积分,要借助计算机才能实现计算,在实际应用中还是不方便，可操作性不强。

发明内容

本发明的目的，就是针对上述问题，基于单调特征参数函数映射关系，根据结果概率置信下限统计推断法，给出无失效数据下不同寿命分布可靠性参数的最优置信下限，从而实现对高可靠长寿命产品可靠性水平的准确评估。本发明在Weibull分布的形状参数未知时，通过对可靠度函数的倒数进行双对数变换，可得简单线性模型，再利用最小二乘法给出线性模型参数的估计，从而获得Weibull分布形状参数的估计。

本发明的技术方案为：

无失效数据的可靠性置信限统计评估方法，该方法用于根据无失效数据对高可靠长寿命产品进行可靠性分析与评估；其特征在于，包括以下步骤：

a、无失效数据模型：

设定在可靠性试验中，从总体中随机抽取n个样品并将其分为k组，各组试验样本量分别为n₁,n₂,…,n_k，且满足然后对各组试验样品都从0时刻开始进行定时截尾试验，各组试验的截尾时间依次为t₁,t₂,…,t_k(t₁<t₂<…<t_k)，设定整个试验过程无一样品发生失效，则称(t_i,n_i)为无失效数据；针对无失效数据，获得：

(1)k个试验截尾时刻均大于0且依次递增，即0<t₁<t₂<…<t_k；

(2)记S_i＝n_i+n_i+1+…+n_k，因整个试验过程无一样品发生失效，故在截尾时刻t_i还有S_i个样品在进行试验，即有S_i个样品的寿命大于t_i，i＝1,2,…,k；

b、根据产品的寿命分布类型是否已知，分别进行可靠性分析，若产品的寿命分布类型是已知的，则进入步骤c，若产品的寿命分布类型是未知的，则进入步骤d；

c、若产品的寿命分布类型已知，或可以采用统计推断方法能确定产品的寿命分布类型，且用t₁,t₂,…,t_k分别表示各组试验的截尾时间，设定产品的寿命X₁,X₂,…,X_n是一组服从同一寿命分布的随机变量且相互独立，则根据结果概率置信下限统计推断法给出参数θ的单侧置信下限，即：

令结果似然函数为

设寿命与参数θ正向单调，则由L(t_i；θ)＝α可得θ的结果最大似然函数估计单侧置信下限θ_L为

d、在有些情况下，很难确定产品的寿命分布类型，有时虽然分布类型已知，但获得的数据仅仅是失效个数，而无精确的失效时间，这时可借助非参数方法获得可靠度的估计；

设某产品的寿命分布类型未知，从该产品中随机抽取n个样品进行定时截尾试验，若在截尾时间段内有X个样品失效，且产品的失效与否相互独立，则X是一个服从二项分布的随机变量，有：

P(X＝r)＝C_n ^rR^n-r(1-R)^r，r＝0,1,…,n

其中R为可靠度，即将可靠度的非参数估计问题转化为二项分布中可靠度参数R的估计问题；

可靠度R的置信水平为1-α的置信区间为(R_L,R_U)，其中R_L、R_U分别由：

确定，其中r为试验期间所投入的n个产品的失效数；可靠度R的置信度为1-α的置信下限R_L由下式确定：

当r＝0时，即无失效数据的情况，可得可靠度R在置信水平1-α下的置信下限为：

R_L＝α^1/n。

进一步的，所述步骤c还包括：

当产品的寿命分布为指数分布时，其累积失效分布函数为

F(t；θ)＝1-e^-t/θ，t≥0，θ>0 (2)

式(2)中，参数θ为平均寿命；

(1)平均寿命θ的置信度为1-α的单侧置信下限

设指数分布的可靠度为函数为R(t)＝e^-t/θ，根据式(1)即可得

即有

通过对式(3)两边取对数并进行相应变换，即可得到θ在置信度1-α下θ的单侧置信下限为

(2)可靠度R(t)的置信度为1-α的单侧置信下限

可靠度R(t)是关于θ的单调递增函数，因此由θ的单侧置信下限θ_L得出R(t)在置信度1-α下的单侧置信下限为

(3)可靠寿命t_R的置信度为1-α的单侧置信下限

可靠寿命t_R＝θln(1/R)是θ的单调递增函数，由θ的单侧置信下限θ_L，可得R在置信度1-α下可靠寿命t_R的单侧置信下限为

进一步的，所述步骤c还包括：

当产品的寿命服从双参数威布尔分布W(m,η)时，其累积失效分布函数为

式(7)中，m为形状参数，η为尺度参数；

(1)形状参数m已知时的可靠性评估

形状参数m已知，将n个试验样品分为k组后进行定时截尾试验，整个试验过程无一样品发生失效，试验结束时仅获得无失效数据t₁,t₂,…,t_k，令

l_i＝t_i ^m，θ＝η^m，i＝1,2,…,k

则Weibull分布函数表示为

F(l；θ)＝1-e^-l/θ，θ>0

此即为指数分布的分布函数，根据平均寿命θ的置信度为1-α单侧置信下限θ_L为

将l_i＝t_i ^m，θ＝η^m代入上式然后化简，即可得在置信度1-α下η的单侧置信下限η_L为

当m已知时，可靠度R(t)＝exp{-(t/η)^m}是关于η的单调递增函数，因此在置信度1-α下，由η的单侧置信下限η_L得出R(t)的单侧置信下限为

当m已知时，可靠度为R的可靠寿命t_R＝η(lnR)^1/m是关于η的单调递增函数，在置信度1-α下，由η的单侧置信下限η_L可得出t_R的单侧置信下限为

(2)形状参数m未知时的可靠性评估

形状参数m未知时，根据可靠度函数

R(t)＝exp[-(t/η)^m]

得无失效数据情形下的似然函数为

寻找和使得似然函数L(m,η)达到最大，即

虽然通过最大化对数似然函数L(m,η)可获得m的估计，但要使用数值方法，如Netwon迭代法。而Netwon迭代法的收敛速度对参数初值的要求较高，当我们无法掌握参数的先验信息时，则很难获得参数的较为准确的估计；本发明采用最小二乘估计法估计未知参数m，具体为：

若产品寿命服从双参数Weibull分布，则根据对1-F(t)，即对

1-F(t)＝exp[-(t/η)^m]

两边进行双对数变换可得：

ln[-ln(1-F(t))]＝mlnt-mlnη (11)

令

则方程(11)化为线性方程，即

y＝mx+b (13)

式(13)中：b＝-mlnη；

根据无失效数据t₁,t₂,…,t_k，时刻t_i的产品失效概率F(t_i)用经验值估计，即采用中位秩公式(13)进行估计：

从而获得样本数据：

根据式(12)，无失效数据t₁,t₂,…,t_k转化到新的坐标系(x,y)下，即式(15)转化为

其中，新坐标系下的样本数据(x_i,y_i)，i＝1,2,…,k，满足如下回归方程：

y_i＝mx_i+b+ε_i，i＝1,2,…,k (16)

根据最小二乘估计原理^[，可获得参数m的估计值即

其中：

获得m的估计值后，即按m已知时的方法给出特征寿命η、可靠度R(t)、可靠寿命t_R的置信下限。

本发明的有益效果为，本发明的方法简单，操作性强，适应面更广。

附图说明

图1为实施例1中可靠度R(t)的单侧置信下限曲线图；

图2为实施例1中可靠寿命t_R的单侧置信下限曲线图；

图3为实施例2中可靠度R(t)的单侧置信下限曲线图；

图4为实施例2中可靠寿命t_R的单侧置信下限曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例进一步详细描述本发明的技术方案：

实施例1

本例的试验数据来自文献“赵海兵,程依明.指数分布场合下无失效数据的统计分析[J].应用概率统计,2004,20(1):59-65.”在某产品的可靠性试验中，从总体中随机抽取51个样品进行定时截尾试验，整个试验过程无一样品发生失效，试验结束后得到一组无失效数据如表1所示。已知产品的寿命服从指数分布，i是试验分组号，t_i是第i组试验的截尾时间，S_i是在t_i时刻还未失效的样品数：

表1某产品的无失效数据

采用本发明的方法，对这组无失效数据进行处理。在置信度1-α＝0.9时，得平均寿命θ的单侧置信下限θ_L为

θ_L＝4376.87(h)

在置信度1-α＝0.9时，不同时刻的可靠度R(t)和不同可靠度下可靠寿命t_R的单侧置信下限R_L(t)和t_R,L如表2所示：

表2可靠度和可靠寿命的单侧置信下限

在置信度1-α＝0.9时，可靠度与可靠寿命的单侧置信下限R_L(t)和t_R,L曲线图如图1和图2所示。

实施例2

本例参考文献“宁江凡,鄢小清,张士峰.液体火箭发动机无失效条件下可靠性分析方法[J].国防科技大学学报,2006,28(5):22-25.”采用Monte Carlo方法产生服从Weibull分布的随机数(随机数样本量为1000)，产生该随机数的参数真值为m＝1.6和η＝360，得到某疲劳材料的一组无失效数据如表3所示。

表3疲劳材料的无失效数据

对产生的随机数按从小到大的顺序进行排序，然后以每组10个数据对这组随机数进行分组，并取分组后的前14组随机数进行统计分析。对选取的14组随机数中的每一组数据，选取一个略小于该组数据中最小值的数据作为该组的截尾时间t_i，则可以认为在时间点t_i内试验样品都没有发生失效。现假定从总体中随机抽取105件产品进行定时截尾试验，在每个截尾时间点内进行试验的样本量为n_i且依次递减，试验进行到每个截尾时间点时尚未发生失效的产品的样品量为S_i。

利用本发明的方法，对表3中疲劳材料的无失效数据进行处理。在置信度1-α＝0.9时，不同时刻的可靠度R(t)和不同可靠度R下可靠寿命t_R的单侧置信下限R_L(t)和t_R,L如表4所示。

表4可靠度和可靠寿命的单侧置信下限

在置信度1-α＝0.9时，疲劳材料的可靠度R_L(t)与可靠寿命的单侧置信下限t_R,L的曲线图如图3和图4所示。

通过上述实施例说明了本发明所提出的无失效数据可靠性评估方法是可行的。

Claims (3)

1.无失效数据的可靠性置信限统计评估方法，该方法用于根据无失效数据对高可靠长寿命产品进行可靠性分析与评估；其特征在于，包括以下步骤：

a、无失效数据模型：

设定在可靠性试验中，从总体中随机抽取n个样品并将其分为k组，各组试验样本量分别为n₁,n₂,…,n_k，且满足然后对各组试验样品都从0时刻开始进行定时截尾试验，各组试验的截尾时间依次为t₁,t₂,…,t_k(t₁<t₂<…<t_k)，设定整个试验过程无一样品发生失效，则称(t_i,n_i)为无失效数据；针对无失效数据，获得：

(1)k个试验截尾时刻均大于0且依次递增，即0<t₁<t₂<…<t_k；

(2)记S_i＝n_i+n_i+1+…+n_k，因整个试验过程无一样品发生失效，故在截尾时刻t_i还有S_i个样品在进行试验，即有S_i个样品的寿命大于t_i，i＝1,2,…,k；

b、根据产品的寿命分布类型是否已知，分别进行可靠性评估，若产品的寿命分布类型是已知的，则进入步骤c，若产品的寿命分布类型是未知的，则进入步骤d；

c、设定产品的寿命X₁,X₂,…,X_n是一组服从同一寿命分布的随机变量且相互独立，则根据结果概率置信下限统计推断法给出参数θ的单侧置信下限，即：

P(·)表示某一事件发生的概率，R(t_i；θ)是可靠度函数，表示在t_i时刻产品还未失效的概率，即产品的寿命不小于t_i的概率，F(t_i；θ)是累积分布函数，表示产品的寿命不超过t_i的概率；

令结果似然函数为

α，是显著性水平；设寿命与参数θ正向单调，则由L(t_i；θ)＝α可得θ的结果最大似然函数估计单侧置信下限θ_L为

d、从产品中随机抽取n个样品进行定时截尾试验，若在截尾时间段内有X个样品失效，且产品的失效与否相互独立，则X是一个服从二项分布的随机变量，有：

P(X＝r)＝C_n ^rR^n-r(1-R)^r，r＝0,1,…,n

其中R为可靠度，即将可靠度的非参数估计问题转化为二项分布中可靠度参数R的估计问题；

可靠度R的置信水平为1-α的置信区间为(R_L,R_U)，R_L、R_U是可靠度的单侧置信下限和上限，其中R_L、R_U分别由：

确定，其中r为试验期间所投入的n个产品的失效数；可靠度R的置信度为1-α的置信下限R_L由下式确定：

当r＝0时，即无失效数据的情况，可得可靠度R在置信水平1-α下的置信下限为：

R_L＝α^1/n。

2.根据权利要求1所述的无失效数据的可靠性置信限统计评估方法，其特征在于，所述步骤c还包括：

当产品的寿命分布为指数分布时，其累积失效分布函数为

F(t；θ)＝1-e^-t/θ，t≥0，θ>0 (2)

式(2)中，参数θ为平均寿命；

(1)平均寿命θ的置信度为1-α的单侧置信下限

设指数分布的可靠度为函数为R(t)＝e^-t/θ，根据式(1)即可得

即有

通过对式(3)两边取对数并进行相应变换，即可得到θ在置信度1-α下θ的单侧置信下限为

(2)可靠度R(t)的置信度为1-α的单侧置信下限

可靠度R(t)是关于θ的单调递增函数，因此由θ的单侧置信下限θ_L得出R(t)在置信度1-α下的单侧置信下限为

(3)可靠寿命t_R的置信度为1-α的单侧置信下限

可靠寿命t_R＝θln(1/R)是θ的单调递增函数，由θ的单侧置信下限θ_L，可得R在置信度1-α下可靠寿命t_R的单侧置信下限为

3.根据权利要求1所述的无失效数据的可靠性置信限统计评估方法，其特征在于，所述步骤c还包括：

当产品的寿命服从双参数威布尔分布W(m,η)时，其累积失效分布函数为

式(7)中，m为形状参数，η为尺度参数；

(1)形状参数m已知时的可靠性评估

形状参数m已知，将n个试验样品分为k组后进行定时截尾试验，整个试验过程无一样品发生失效，试验结束时仅获得无失效数据t₁,t₂,…,t_k，令

l_i＝t_i ^m，θ＝η^m，i＝1,2,…,k

则Weibull分布函数表示为

F(l；θ)＝1-e-^l/θ，θ>0

此即为指数分布的分布函数，根据平均寿命θ的置信度为1-α单侧置信下限θ_L为

将l_i＝t_i ^m，θ＝η^m代入上式然后化简，即可得在置信度1-α下η的单侧置信下限η_L为

当m已知时，可靠度R(t)＝exp{-(t/η)^m}是关于η的单调递增函数，因此在置信度1-α下，由η的单侧置信下限η_L得出R(t)的单侧置信下限为

当m已知时，可靠度为R的可靠寿命t_R＝η(lnR)^1/m是关于η的单调递增函数，在置信度1-α下，由η的单侧置信下限η_L可得出t_R的单侧置信下限为

(2)形状参数m未知时的可靠性评估

形状参数m未知时，根据可靠度函数

R(t)＝exp[-(t/η)^m]

得无失效数据情形下的似然函数为

寻找和使得似然函数L(m,η)达到最大，即

采用最小二乘估计法估计未知参数m，具体为：

若产品寿命服从双参数Weibull分布，则根据对1-F(t)，即对

1-F(t)＝exp[-(t/η)^m]

两边进行双对数变换可得：

ln[-ln(1-F(t))]＝mlnt-mlnη (11)

令

则方程(11)化为线性方程，即

y＝mx+b (13)

式(13)中：b＝-mlnη；

根据无失效数据t₁,t₂,…,t_k，时刻t_i的产品失效概率F(t_i)用经验值估计，即采用中位秩公式(13)进行估计：

从而获得样本数据：

根据式(12)，无失效数据t₁,t₂,…,t_k转化到新的坐标系(x,y)下，即式(15)转化为

其中，新坐标系下的样本数据(x_i,y_i)，i＝1,2,…,k，满足如下回归方程：

y_i＝mx_i+b+ε_i，i＝1,2,…,k (16)

根据最小二乘估计原理[，可获得参数m的估计值即

其中：

获得m的估计值后，即按m已知时的方法给出特征寿命η、可靠度R(t)、可靠寿命t_R的置信下限。