CN107657145A - Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法 - Google Patents

Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法 Download PDF

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CN107657145A CN201710833274.2A CN201710833274A CN107657145A CN 107657145 A CN107657145 A CN 107657145A CN 201710833274 A CN201710833274 A CN 201710833274A CN 107657145 A CN107657145 A CN 107657145A
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黄洪钟
张凯延
李彦锋
黄鹏
殷毅超
任彬
胡均铭
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Abstract

本发明针对在无失效数据条件下合理解决产品可靠性指标的估计问题，公开了一种Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法；利用Weibull分布特性，确定各检测时刻失效概率的先验分布；根据步骤S1确定的各先验分布，对各检测时刻失效概率进行贝叶斯估计；根据各失效概率的贝叶斯估计值，拟合一条Weibull分布曲线，得到产品的各可靠性指标。本申请方法充分利用Weibull分布的特征，减少了对先验信息的依赖性。

Description

Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法
技术领域
本发明属于可靠性领域，特别涉及一种Weibull分布无失效数据可靠性指标估计技术。
背景技术
在可靠性寿命试验中，为控制试验时间，常采用定时截尾寿命试验方法对产品进行可靠性试验。当产品的失效数大于零时，对所得数据进行统计分析已有比较成熟的方法。但随着科技的进步，高可靠性产品越来越多，在定时截尾可靠性试验中，有时遇到的是无失效数据(zero-failure data)，即在规定时间内没有产品失效。近年来，如何在无失效数据条件下合理解决产品可靠性指标的估计问题，受到学者们越来越多的关注。对这类无失效问题进行可靠性研究具有重要的理论和实际实用价值。
发明内容
为解决上述技术问题，本申请提出一种Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，在Bayes点估计的基础上，利用秩分布理论给出了可靠性指标的区间估计。
本发明采用的技术方案为:Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，包括：
S1、利用Weibull分布特性，确定各检测时刻失效概率的先验分布；
S2、根据步骤S1确定的各先验分布，对各检测时刻失效概率进行贝叶斯估计；
S3、根据各失效概率的贝叶斯估计值，拟合一条Weibull分布曲线，得到产品的各可靠性指标。
进一步地，步骤S1包括：
S11、由产品寿命T服从Weibull分布，得到故障函数为：
其中，η和m分别是Weibull分布模型的尺度参数与形状参数；F(t)表示产品失效概率分布函数，F′(t)表示对产品失效概率分布函数F(t)求导数；
S12、根据步骤S11得到的故障函数，得到产品可靠度函数为R(t)＝1-F(t)；对R(t)作函数变换，得到凹函数G(t)；
其中，表示定义，t为时间变量，m为形状参数，η为尺度参数；
S13、根据凹函数性质以及lnR(t0)＝0，得到产品失效概率；
S14、根据Bayes假设，可取[0,λk]上的均匀分布作为pk的先验分布，即：
S15、根据得到各检测时刻失效概率pi的先验分布为：
其中，λk为失效概率pk的上界，λi为失效概率pi的上界，tk表示第k组数据的截尾时刻，ti表示第i组数据的截尾时刻。
进一步地，步骤S2中计算得到的各检测时刻失效概率的贝叶斯估计为：
其中，为形状参数m的点估计，为尺度参数η的点估计，ri＝si+tk/ti-1，si表示到ti时刻参加试验的样品数，tk表示第k组数据的截尾时刻，ti表示第i组数据的截尾时刻。
进一步地，步骤S3具体为：
S31、根据步骤S2的失效概率的贝叶斯估计，得到产品可靠度估计为：
其中，为形状参数m的点估计，为尺度参数η的点估计；
S32、根据秩分布理论，得到在截尾时刻t0处的可靠度R0的置信水平为γ的单侧置信下限R0low为：
其中，n表示试验样品数变量；
S33、令将Weibull分布模型转化为指数分布形式：
F(t)＝1-exp(-λTm)
其中，η和m分别是Weibull分布模型的尺度参数与形状参数；
S34、根据步骤S33得到的F(t)＝1-exp(-λTm)，当m已知时，求得可靠寿命tR的置信水平为γ的单侧置信下限为：
其中，t0为规定时间；
可靠度R的置信水平为γ的单侧置信下限为：
S35、根据步骤S33得到的F(t)＝1-exp(-λTm)，当已知m的下限m0时，若满足条件：
则可靠寿命tR的置信水平为γ的单侧置信下限为：
可靠度R的置信水平为γ的单侧置信下限为：
本发明的有益效果：本发明的Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，充分利用Weibull分布的特征，减少了对先验信息的依赖性，给出相应先验分布，并进行Bayes估计，得出在平方损失下的Bayes估计值；利用加权最小二乘法拟合Weibull分布形状参数、尺度参数的Bayes点估计值以及可靠度点估计值；通过本发明方法可以得到Weibull分布下无失效数据可靠性分析，求出Weibull分布形状参数、尺度参数和可靠度的点估计，并通过Weibull分布形状参数的点估计值计算得出可靠寿命和可靠度区间估计。且通过数据计算得到本申请方法可靠性指标点估计值在可靠性指标置信区间内，说明本申请的方法是可行有效的。
附图说明
图1为本申请的方案流程图。
具体实施方式
为便于本领域技术人员理解本发明的技术内容，下面结合附图对本发明内容进一步阐释。
本申请的Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，使用凹凸性特征确定了失效概率的先验分布信息，然后通过Bayes原理对失效概率进行估计，得出在平方损失下的Bayes估计值。最后，利用加权最小二乘法拟合Weibull分布形状参数、尺度参数的Bayes点估计值以及可靠度点估计值。本申请基于先验信息的凹凸性方法，充分利用Weibull分布的特征，减少了对先验信息的依赖性，给出相应先验分布进行Bayes估计。
本发明的方法在Bayes点估计的基础上，利用秩分布理论给出了可靠性指标的区间估计。先通过秩分布理论的方法得到的指数分布下无失效数据的可靠寿命置信下限以及可靠度置信下限，将Weibull分布通过转换变量法得到似指数分布模型，得出Weibull分布下无失效数据的可靠寿命置信下限和可靠度置信下限。
如图1所示为本申请的方案流程图，本申请的技术方案为：Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，包括：
S1、利用Weibull分布特性，确定各检测时刻失效概率的先验分布；
S2、根据步骤S1确定的各先验分布，对各检测时刻失效概率进行贝叶斯估计；
S3、根据各失效概率的贝叶斯估计值，拟合一条Weibull分布曲线，得到产品的各可靠性指标。
无失效数据统计模型具体为：设产品的寿命为T，T服从分布函数为：
其中，m为形状参数，m＞0，η为尺度参数，η＞0。
在k次定时截尾寿命试验中，设截尾时刻分别为t1,t2,t3…,tk(t1＜t2＜…＜tk)，相应的试验样品数为n1，n2，…，nk，结果所有样品无一失效，称(ti,ni)i＝1,2,…,k为无失效数据。
通过对上述模型的简单分析，可获得如下信息：
1、产品寿命T服从分布函数F(t,m,η)，简记为F(t)；
2、记pi＝P(T＜ti)＝F(ti),i＝1,2,…,k，则可知p1≤p2≤…≤pk，且当nk较大时，pi都很小；
3、当t＝0时，其产品失效概率p0＝P(T＝0)＝0；
4、记si＝ni+ni+1+…+nk，则它表示到ti时刻，共有si个样品参加试验，且全部没有失效，因此无失效数据也可记为(ti,si)，i＝1,2,…,k。
步骤S1具体为：设产品的寿命为T，T服从Weibull分布，故其故障率函数为：
其中，F′(t)表示对产品失效概率分布函数F(t)求导数；
由于对实际中许多产品而言，其故障率总是随着工作时间的增加而增大的，即λ(t)为增函数。
定理1对任意时刻ti，产品在不同时刻的失效概率pi满足关系式：
其中，tk表示第k组数据的截尾时刻；
产品可靠度函数为R(t)＝1-F(t)，对R(t)作函数变换，并记：
其中，表示定义；
当m＞0，所以即G(t)为凹函数。因此，由凹函数性质及lnR(t0)＝0有
R(ti)、R(tk)分别是时刻ti、tk各自对应的可靠度；
代入pi得到，
式(6)即为产品失效概率pi所具有的性质，也是接下来对pi进行Bayes估计时所要利用的先验信息。
对许多产品而言，一般可根据实际工程经验，判断产品在某特定时刻的失效概率不会超过某一范围。例如对给定时刻tk，其失效概率pk的上界λk可由专家依据工程经验给出。这也是在处理无失效数据时所能够利用的先验信息。
在实际数据处理过程中，若无其它信息，根据Bayes(贝叶斯)假设，可取[0,λk]上的均匀分布作为pk的先验分布，即：
有了失效概率pk的先验分布，就可以确定pi(1≤i≤k-1)的先验分布。由定理1知道：
出于工程实际使用的考虑，可建立失效概率pi与pk的如下关系：
显然，失效概率pi与pk的关系式是较为保守的，由此所得结论也将偏于保守，但易于被工程人员所接受。利用式(10)，得到pi的先验分布为：
从式(10)可以看出，失效概率pi的先验分布为递减函数。
步骤S2具体为：
在得到各检测时刻失效概率pi的先验分布之后，就可以对pi进行Bayes估计。
由于有si个产品进行到ti时刻均未出现失效，因此，在ti时刻试验数据的似然函数为：
对i＝1,2,…,k，令：
由pi的先验分布为式(10)，所以pi的后验分布为：
记si＝ni+ni+1+…+nk，则它表示到ti时刻，共有si个样品参加试验，且全部没有失效，因此无失效数据也可记为(ti,si)，i＝1,2,…,k。
所以在平方损失下，pi的Bayes估计为：
步骤S3具体为：在求得pi的Bayes估计之后，即可通过各点拟合一条Weibull分布曲线，进而获得产品的各可靠性指标，具体过程为：
由利用加权最小二乘法进行参数拟合，令：
其中，为权系数，以满足
其中，和作为m和η的点估计。由此即得产品可靠度的估计为：
设一批产品中任取n个进行定时截尾试验，在规定时间t0内所有产品均为失效，且产品寿命服从指数分布，依据傅惠民的文章《不完全数据秩分布理论》中的内容，根据秩分布理论，如果ti-1＜ti，则第i个无失效数据的置信度为γ(γ≥50％)的下百分位秩，定义为：
代入第i个无失效数据的秩统计量的概率密度函数，可得到第i个无失效数据ti对应的可靠度R＝1-P的置信度为γ的单侧置信下限由下式给出：
则本申请在截尾时刻t0处的可靠度R0的置信水平为γ的单侧置信下限R0low：
再根据两参数威布尔分布模型：
式中：η和m分别是威布尔分布模型的尺度参数与形状参数。
令可将式(20)转化为以下指数分布形式：
F(t)＝1-exp(-λTm) (21)
当m已知时，由上式可以进一步求得可靠寿命tR的置信水平为γ的单侧置信下限为：
可靠度R(R的表达式为R(t)＝1-F(t))的置信水平为γ的单侧置信下限为：
当只知道形状参数m的下限m0时，即m≥m0，对于给定的可靠度R，若满足条件
则可靠寿命tR的置信水平为γ的单侧置信下限可由下式给出：
可靠度R的置信水平为γ的单侧置信下限为：
以下通过具体例子对本申请的方法进行说明：
在某产品的可靠性寿命试验中，获得一组无失效数据，经整理如下表1所示，其中试验时间ti单位为小时。该产品属于机械液压设备，依据工程经验，认为该产品的寿命服从威布尔分布。经过调查，专家们认为该产品工作到800小时的故障率最大值在[0.07,0.15]范围内。由于没有其它先验信息，将上述信息用作检验估计好坏的一个方法。
表1 无失效数据先验信息
处理上述无失效数据，需要确定检测时刻tk＝782处的失效概率的上限值。在使用专家所提供的先验信息时，从保守的角度出发，可选用失效概率pk的上界为λk＝0.15。利用本文方法进行处理，其计算结果列于表2。
表2 λk＝0.15下pi的估计值
由利用加权最小二乘法进行参数拟合，满足式(15)的m，η值分别为
应用该方法计算800小时的可靠度估计值：
该产品寿命服从两参数Weibull分布，根据前面对其形状参数作的点估计，可取m0＝1.1013，不同组试验时间ti、t＝20，满足式(20)条件t＝20≤ti，因此，根据式(26)可求得该产品对应可靠性寿命为20小时的置信水平为0.9的可靠度置信下限为：
根据不同组数据所得计算结果如表3所示：
表3 置信水平为0.9的可靠度置信下限值
本申请在Weibull分布场合下，利用Bayes分析方法，求得了产品可靠性指标的估计。在实际工程中，工程人员对产品质量的经验信息常常是十分丰富的，特别是对产品在某些特定时刻的失效概率(可靠度)具有较多的经验认识。因此，本文以此先验信息为出发点,首先得到了产品在时刻tk失效概率的先验分布。对于其它时刻失效概率的先验分布，则通过这些失效概率之间的约束关系直接推导得到，不需要补充其他假设或其他先验信息，从而使所确定的先验分布更具客观性。
在Weibull分布形状参数下限值m0已知的情况下，提出一种定时无失效数据可靠性分析方法，给出了产品使用寿命和可靠度的单侧置信下限。
本申请方法既能充分利用定时截尾试验无失效数据的寿命信息，又能发挥Weibull分布无失效数据可以累加的优点。且本申请方法计算简单，便于工程应用。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims (4)

1.Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，其特征在于，包括：
S1、利用Weibull分布特性，确定各检测时刻失效概率的先验分布；
S2、根据步骤S1确定的各先验分布，对各检测时刻失效概率进行贝叶斯估计；
S3、根据各失效概率的贝叶斯估计值，拟合一条Weibull分布曲线，得到产品的各可靠性指标。
2.根据权利要求1所述的Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，其特征在于，步骤S1包括：
S11、由产品寿命T服从Weibull分布，得到故障函数为：
<mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>F</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>m</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>t</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow>
其中，η和m分别是Weibull分布模型的尺度参数与形状参数；F(t)表示产品失效概率分布函数，F′(t)表示对产品失效概率分布函数F(t)求导数；
S12、根据步骤S11得到的故障函数，得到产品可靠度函数为R(t)＝1-F(t)；对R(t)作函数变换，得到凹函数G(t)；
<mrow> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mo>-</mo> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>t</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> </mrow>
其中，表示定义，t为时间变量，m为形状参数，η为尺度参数；
S13、根据凹函数性质以及lnR(t0)＝0，得到产品失效概率；
S14、根据Bayes假设，可取[0,λk]上的均匀分布作为pk的先验分布，即：
<mrow> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
S15、根据得到各检测时刻失效概率pi的先验分布为：
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其中，λk为失效概率pk的上界，λi为失效概率pi的上界，tk表示第k组数据的截尾时刻，ti表示第i组数据的截尾时刻。
3.根据权利要求1所述的Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，其特征在于，步骤S2中计算得到的各检测时刻失效概率的贝叶斯估计为：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>p</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> </msubsup> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>dp</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中，为形状参数m的点估计，为尺度参数η的点估计，ri＝si+tk/ti-1，si表示到ti时刻参加试验的样品数，tk表示第k组数据的截尾时刻，ti表示第i组数据的截尾时刻。
4.根据权利要求1所述的Weibull分布无失效数据可靠性指标估计方法，其特征在于，步骤S3具体为：
S31、根据步骤S2的失效概率的贝叶斯估计，得到产品可靠度估计为：
<mrow> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>t</mi> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>^</mo> </mover> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为形状参数m的点估计，为尺度参数η的点估计；
S32、根据秩分布理论，得到在结尾时刻t0处的可靠度R0的置信水平为γ的单侧置信下限R0low为：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </msup> <mo>;</mo> </mrow>
其中，n表示试验样品数变量；
S33、令将Weibull分布模型转化为指数分布形式：
F(t)＝1-exp(-λTm)
其中，η和m分别是Weibull分布模型的尺度参数与形状参数；
S34、根据步骤S33得到的F(t)＝1-exp(-λTm)，当m已知时，求得可靠寿命tR的置信水平为γ的单侧置信下限为：
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mrow>
其中，t0为规定时间；
可靠度R的置信水平为γ的单侧置信下限为：
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S35、根据步骤S33得到的F(t)＝1-exp(-λTm)，当已知m的下限m0时，若满足条件：
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则可靠寿命tR的置信水平为γ的单侧置信下限为：
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可靠度R的置信水平为γ的单侧置信下限为：
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