CN109492192A - 基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于专门适用于特定应用的数字计算或数据处理的设备或方法技术领域，公开了一种基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法，用部件寿命的累积分布函数和系统signature向量求出系统寿命的生存函数；分别使用极大似然估计和回归估计两种方法来得到系统生存函数参数估计结果并构造参数的置信区间。本发明运用了基于极大似然的估计，基于回归的估计，并使用次序统计量减少删失数据的影响。两种方法相互补充，使得部件的参数估计在点估计和区间估计上都可以达到较好的效果。本发明能够有效的处理系统部件寿命分布参数在II型双边删失进行估计的问题；相比现有技术，本发明的估计精度更高，适用范围更广。

Description

基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估 计方法

技术领域

本发明属于专门适用于特定应用的数字计算或数据处理的设备或方法技术领域，尤其涉及一种基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法。

背景技术

目前，业内常用的现有技术是这样的：1985年，Samaniego首次提出了系统signature的概念并给出了计算signature向量的基本方法，并可应用于系统可靠性研究；1999年，Kocha等研究出系统的寿命分布函数可以表示为signature 向量与部件寿命分布函数的混合表达；2001年，Boland给出基于系统路集数的关联系统signature计算方法。以上使得系统signature的概念被人们广泛地应用到系统可靠性研究的各分支中。然而，由于现有的基于signature向量计算得出的系统寿命结构函数往往比较复杂，不利于参数的估计和计算，使得系统部件寿命分布的参数估计成为一个热点和难点问题。而针对结构函数求解未知参数的估计方法往往因系统寿命的删失类型、系统部件数目、样本数据大小而表现出不同的有效性。研究至今，学者们已经研究出了很多算法，例如针对系统单边删失的最优线性无偏估计，矩估计方法，贝叶斯估计方法等。通过研究，现有技术一“基于最优线性无偏估计在系统部件寿命分布的参数估计方法”中讨论了部件寿命的分布和线性推断，该算法导出了一般尺度参数族和位置-尺度参数族中参数的最优线性无偏估计，并给出了其方差和协方差的准确计算公式。但该方法只考虑了一种部件寿命分布参数，对于部件寿命分布族不确定的系统难以进行估计。现有技术二“基于矩估计在系统部件寿命分布的参数估计方法”的计算方法原理简单，相比其他算法没有繁琐的计算，但只有在样本容量较大时才能获得较为准确的估计，实际的估计中，常因样本数不足导致估计精度不高。现有技术三“基于贝叶斯在系统部件寿命分布的参数估计方法”，该方法解决了非单调失效率分布情况的参数估计，但是损失函数的选取对估计量的优良性有很大的影响，该技术使用的平方损失函数只适用于对称损失的情况，没有考虑到高估计和过低估计的差异，使该技术在非对称损失情况下难以获得精度较高的估计结果。

综上所述，现有技术存在的问题是：

(1)现有技术一基于最优线性无偏估计在系统部件寿命分布的参数估计方法只考虑了一种部件寿命分布参数，对于部件寿命分布族不确定的系统难以进行估计。

(2)现有技术二基于矩估计在系统部件寿命分布的参数估计方法只有在样本容量较大时才能获得较为准确的估计，对样本数量有着较高的要求。

(3)现有技术三基于贝叶斯在系统部件寿命分布的参数估计方法损失函数的选取对估计量的优良性有很大的影响，在非对称的损失函数上进行贝叶斯分析得到的估计结果精度不高。

解决上述技术问题的难度和意义：现有基于signature方法计算出的系统寿命分布函数与部件寿命分布函数的混合表达式复杂，进一步对系统部件寿命分布的参数估计的过程更为困难。现有的估计方法均考虑的是II型右删失系统寿命数据，对II型双边删失系统寿命数据的研究较少。由于II型双边删失的情况数据缺失多，当样本数较少时估计难以达到较高的精确度。现有的几种基于估计方法都只适用于特定情况，难以在点估计和区间估计都达到较好的效果。

在对系统部件寿命分布的参数估计中，II型双边删失情况广泛存在，只有解决了这一情况的参数估计，才能使系统部件参数估计适用于更多删失情况。双边删失数据的缺失会导致部件参数的估计难度加大，同时估计的精确程度也会降低。部件寿命分布的参数估计的优良会影响到对系统寿命的预测精度。只有对部件寿命的参数分布进行精确的估计，才能进一步对系统寿命做出准确的预测。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法。

本发明是这样实现的，一种基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法，所述基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法用部件寿命的累积分布函数和系统signature向量求出系统寿命的生存函数；分别使用极大似然估计和回归估计两种方法来得到系统生存函数参数估计结果并构造参数的置信区间。

进一步，所述基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法具体包括以下步骤：

步骤一，计算系统signature向量S_Γ(s₁,s₂…s_n)；第i个部件失效导致系统失效的排列有ω个，则得出系统的signature向量的第i个分量为：

步骤二，构建系统寿命的生存函数，对n个独立同分布部件系统，以X来表示部件寿命的随机变量，以T来表示系统寿命的随机变量；用部件寿命的累积分布函数F_X和系统signature向量S_Γ表示系统寿命的生存函数

步骤三，建立两种对部件参数进行估计的方法，基于极大似然的估计方法，基于回归的估计方法；

步骤四，构造置信区间并用两种方法分别估计参数。部件分布参数μ和σ的双边100(1-α)％置信区间可构造如下：

进一步，所述步骤三基于极大似然的估计方法包括：

(1)通过生存函数和次序统计量得出系统寿命数据θ(令θ＝(μ,σ)'为参数向量)的似然函数为：

估计θ：

(2)用牛顿法来对上式进行求解，先计算出似然函数的一、二阶偏导为：

对观测Fisher信息矩阵矩阵求逆来最终获得MLE的渐进方差-协方差矩阵的一个局部估计：

进一步，所述步骤三的基于回归的估计方法包括：

(1)对系统寿命分布函数进行形式上转换。将系统寿命分布表示为：

再通过概率积分转换后得到：

其中h^-1(·)为h(·)的逆函数，U_k：m是来自(0,1)均匀分布的随机样本的第k个次序统计量，得到：

T_k:m＝F_X ^-1[h^-1(U_k:m)]＝μ+σF^*-1(h^-1(U_k:m))；

其中F^*-1(·)为标准位置尺度分布的累积分布函数的逆函数；

(2)令W＝F^*-1(h^-1(U))，P＝h^-1(U)，由(U_1:m,U_2:m,…,U_m:m)'的期望和方差协方差矩阵近似得到(W_1:m,W_2:m,…,W_m:m)'的期望和方差协方差矩阵；通过Taylor级数展开，并令π_k:m＝E(U_k:m)有：

基于来自(0,1)上正态分布的次序统计量的已知结果，将次序系统寿命 T_k:m，k＝1，2，...，m的期望、方差、协方差分别表示为：

(3)使用加权最小二乘法对μ和σ进行估计，即将μ和σ的广义的方差最小化：

给出方程：

因为σ²是一个未知的常数，最小化等价于将下式对于μ和σ最小化：

得到μ和σ的基于回归的估计：

估计的方差协方差矩阵为：

本发明的另一目的在于提供一种应用所述基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法的机械电子产品可靠性分析系统。

综上所述，本发明的优点及积极效果为：本发明在考虑了部件寿命分布参数估计在II型双边删失下的情况，在实际的部件寿命分布参数估计中是不可缺少的一种情况，相比于其他几种估计方法，应用范围更广。本发明运用了两种估计方法，基于极大似然的估计，基于回归的估计，并使用次序统计量减少删失数据的影响。两种方法相互补充，使得部件的参数估计在点估计和区间估计上都可以达到较好的效果。本发明能够有效的处理系统部件寿命分布参数在II 型双边删失进行估计的问题；相比现有技术，本发明的估计精度更高，适用范围更广。

附图说明

图1是本发明实施例提供的基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法流程图。

图2是本发明实施例提供的在系统数m＝10，删失率为q＝0％-90％时对MLE 方法仿真的四项数据图。

图3是本发明实施例提供的在系统数m＝10，删失率为q＝0％-90％时对REG 方法仿真的四项数据图。

图4是本发明实施例提供的在系统数m＝10，删失率为q＝0％-50％时对MLE1 方法仿真的四项数据图。

图5是本发明实施例提供的在系统数m＝10，删失率为q＝0％-50％时对MLE2 方法仿真的四项数据图。

图6是本发明实施例提供的在系统数m＝10，删失率为q＝0％-50％时对REG 方法仿真的四项数据图。

图7是本发明实施例提供的在系统数m＝50删失率为q＝0％-90％时对MLE1 方法仿真的四项数据图。

图8是本发明实施例提供的在系统数m＝50删失率为q＝0％-90％时对MLE2 方法仿真的四项数据图。

图9是本发明实施例提供的在系统数m＝50删失率为q＝0％-90％时对REG方法仿真的四项数据图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

针对现有技术一只考虑了一种部件寿命分布参数，有一定局限性；对样本数量有着较高的要求；在对称的损失函数上进行贝叶斯分析有很大的局限性的问题。本发明基于signature的系统寿命分布函数与部件寿命分布函数的混合表达式复杂，进而对系统部件寿命分布的参数的统计推断更加困难。

下面结合附图对本发明的应用原理作详细的描述。

如图1所示，本发明实施例提供的基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法包括以下步骤：

S101：用部件寿命的累积分布函数和系统signature向量求出系统寿命的生存函数；

S102：分别使用极大似然估计和回归估计两种方法来得到系统生存函数参数估计结果并构造参数的置信区间。

本发明实例提供的基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法具体包括以下步骤：

步骤一，计算系统signature向量S_Γ(s₁,s₂…s_n)。假定第i个部件失效导致系统失效的排列有ω个，则得出系统的signature向量的第i个分量为：

步骤二，构建系统寿命的生存函数。对n个独立同分布部件系统，以X来表示部件寿命的随机变量，以T来表示系统寿命的随机变量。用部件寿命的累积分布函数F_X和系统signature向量S_Γ表示系统寿命的生存函数

步骤三，建立两种对部件参数进行估计的方法，基于极大似然的估计方法，基于回归的估计方法。

步骤四，构造置信区间并用两种方法分别估计参数。部件分布参数μ和σ的双边100(1-α)％置信区间可构造如下

根据步骤三所建立的两种估计方法，用测量得到的II型双边删失数据对部件参数进行估计。

在本发明的优选实施例中，步骤三具体包括：

A、基于极大似然的估计方法

(1)通过生存函数和次序统计量得出系统寿命数据θ(令θ＝(μ,σ)'为参数向量)的似然函数为：

为了估计θ，对公式(5)取最大值，或等价对(6)取最大值

(2)用牛顿法来对上式进行求解，先计算出似然函数的一、二阶偏导为：

对观测Fisher信息矩阵矩阵求逆来最终获得MLE的渐进方差-协方差矩阵的一个局部估计：

B、基于回归的估计方法

(1)对系统寿命分布函数进行形式上转换。将系统寿命分布可以表示为：

再通过概率积分转换后得到：

其中h^-1(·)为h(·)的逆函数，U_k：m是来自(0,1)均匀分布的随机样本的第k个次序统计量，于是得到：

T_k:m＝F_X ^-1[h^-1(U_k:m)]＝μ+σF^*-1(h^-1(U_k:m)) (13)

其中F^*-1(·)为标准位置尺度分布的累积分布函数的逆函数。

(2)令W＝F^*-1(h^-1(U))，P＝h^-1(U)，由(U_1:m,U_2:m,…,U_m:m)'的期望和方差协方差矩阵近似得到(W_1:m,W_2:m,…,W_m:m)'的期望和方差协方差矩阵。通过Taylor级数展开，并令π_k:m＝E(U_k:m)有：

结合公式(14)，基于来自(0,1)上正态分布的次序统计量的已知结果，可将次序系统寿命T_k:m，k＝1，2，...，m的期望、方差、协方差分别表示为：

(3)使用加权最小二乘法对μ和σ进行估计，即将μ和σ的广义的方差最小化：

给出方程：

因为σ²是一个未知的常数，最小化等价于将公式(44)对于μ和σ最小化：

得到μ和σ的基于回归的估计：

这一估计的方差协方差矩阵为：

下面结合基于蒙特卡洛仿真实验对本发明的应用效果作详细的描述：

1.仿真条件

仿真研究中考虑了一个4部件并串联系统，系统signature为(1/4,1/4,1/2,0)，结构函数为Ψ(X)＝min{X₁,max{X₂,X₃,X₄}}。

结构函数仿真实验中，考虑了基于极大似然的估计(MLE)和基于回归的估计(Reg)两种方法。在MLE的数值求解过程中采用了两种方法，牛顿法记为MLE1，单纯形法记为MLE2。

假定部件寿命服从一个Weibull分布，对数寿命函数服从最小极值分布。不失一般性，令位置参数尺度对每一种设定，产生II型删失样本，MLE、基于回归的估计。相应的计算了和的95％置信区间。分别对两种方法进行了蒙特卡洛的大小样本的实验，仿真过程重复10000次，基于这10000次仿真给出了点估计的偏差和均方误差、覆盖率、置信区间预期的宽度，根据所得出这几组给出的数据，来比较和评估不同方法和它们之间的优劣，这些结果通过如下公式计算：

估计偏差：

均方误差:

覆盖率：

置信区间平均宽度：

理想结果：估计偏差、均方误差、置信区间平均宽度越小越好，而覆盖率则是越大越好。

2.小样本仿真

对于小样本仿真，考虑在一次寿命测试实验中有m＝10个系统，删失率为 90％以上的情况，为从第l个系统失效开始记录，到第r个系统失效停止，得到一个II型双边删失样本数据。其中l和r由删失率q决定，如公式(27)，(28)。

对该小样本不同的点估计、区间估计的仿真在下图中给出总结。仿真结果在覆盖率90％以上结果如图2和图3。

仿真时可以发现，当删失率大于50％时，均方误差和覆盖率都不能保证在合理范围内，因此此删失率下的仿真不可取，分析可知小样本数量较少，当删失率大于50％后，可以利用的数据只有几个，参数估计的偏差会大大增加。因此在小样本中，只考虑删失率在0％-50％的情况。因此将条件改为0％-50％的删失率。运行结果如图4-图6：

3.中等至大样本仿真

对于中至大样本仿真，考虑在一次寿命测试实验中有m＝50个系统，删失率为q＝90％-0％的情况，与小样本类似，同样为从第l个系统失效开始记录，到第 r个系统失效停止，得到一个II型双边删失样本数据。其中l和r与删失率q的关系同上，如公式(27)(28)所示。将中等至大样本的估计偏差、均方误差、置信区间的覆盖率和期望宽度计算如图7-图9：

下面针对以上仿真结果做出的对比图详细分析两个方法的优劣并得出结论和分析。

(1)对于小样本分析

估计偏差方面：发现MLE1,MLE2，Reg的估计偏差都趋于零，但是不同方法作出的正负偏差不同。MLE1对μ偏差为负，σ偏差为正。MLE2对μσ偏差均为正，REG对μ偏差为负，σ偏差为正。

在均方误差方面：三种方法都可以将均方误差控制在0.1以内，不同方法在对μ和σ的均方误差上各有优劣，对于μ均方误差REG<MLE1<MLE2，对于σ， MLE1<MLE2<REG。

在覆盖率方面：除了MLE2外，其他几种方法可以保证合理的覆盖率 (>90％)，覆盖率对于μ，REG<MLE2<MLE1，而对于σ，MLE2<MLE1<REG。

在置信区间的平均宽度上：对μ的置信区间REG<MLE1<MLE2,对σ的置信区间MLE1<REG<MLE2。

因此在点估计时，MLE1对σ的估计更为合适；在区间估计上，MLE1方法对μ的估计更好，REG对σ的估计更为合适。

(2)对于大样本分析

估计偏差方面：大样本的估计偏差也都趋于零，且正负偏差与小样本表现一致，仍为MLE1对μ偏差为负，σ偏差为正。MLE2对μ、σ偏差均为正，REG 对μ偏差为负,σ偏差为正。

均方误差方面：大样本的均方误差要明显小于小样本，可以将均方误差控制在小于0.005的范围内，不同方法在对μ和σ的均方误差上各有优劣表现也与小样本仿真相似，对于μ均方误差REG<MLE1<MLE2，对于σ的均方误差 MLE2<MLE1<Reg。

覆盖率方面：大样本可以得到更高的覆盖率，所有方法都可以保证合理的覆盖率(>90％)，覆盖率对于μ，REG<MLE2<MLE1，而对于σ， REG<MLE1<MLE2。

置信区间的平均宽度上：对μ的置信区间MLE2<MLE1<Reg,对σ的置信区间 MLE1<MLE2<Reg。

因此在点估计时，REG方法对μ的估计更好，MLE对σ的估计更为合适；在区间估计上,MLE方法对μ和σ的估计都要优于REG方法。

(3)总体分析

在仿真中，增大删失率会使得点估计和区间估计的表现都变差，具体表现为随删失率增加，方差估计MSE增大，覆盖率CR减小，置信区间WCI变得更长。

通过小样本和大样本的比较可以发现，估计偏差在小样本和大样本时偏差都逐渐趋于零，且正负偏差在大小偏差表现一致。在均方误差、覆盖率和置信区间上，可以发现大样本的估计效果要远好于小样本。说明数据样本数在估计上起了很大作用，样本数越多估计越准确。在覆盖率上由于小样本数据过少，当删失率大于50％，覆盖率便不能达到合理范围，因此在对小样本进行参数估计时，所需数据的删失率不能太大。

在点估计和区间估计上，几种方法的优劣性在小样本和大样本上也有所不同。小样本为MLE1对σ的估计更为合适；在区间估计上，MLE1方法对μ的估计更好，Reg对σ的估计更为合适。而大样本为，在点估计时，REG方法对μ的估计更好，MLE1对σ的估计更为合适；在区间估计上,MLE方法对μ和σ的估计都要优于REG方法。

下面结合具体实施例对本发明的应用原理作进一步的描述。

本发明实施例提供的基于signature向量在Ⅱ型双边删失系统下对系统部件寿命分布参数估计的方法的原理

(1)基于极大似然估计方法的原理

(i)似然函数构造

以X来表示部件寿命的随机变量，以T来表示系统寿命的随机变量。X的累积分布函数(cdf)、概率密度函数(pdf)、生存函数(sf)分别表示为 T的累积分布函数(cdf)、概率密度函数(pdf)、生存函数(sf)分别表示为对n个独立同分布部件系统，用部件寿命的累积分布函数表示系统寿命的生存函数：

其中s_i为n部件系统signature向量的第i个元素，s_i＝Pr(T＝X_i：n)，因为n个独立同分布部件的失效序列有n！种可能的设定，每一种设定下部件失效都有特定的顺序。于是假定第i次系统失效的排列有ω个，则最终得出系统的 signature向量的第i个分量为s_i＝ω/n！。

通过对次序统计量(X(l),X(2),…,X(r))的联合密度，利用系统各个部件的假定累计寿命分布函数(威布尔分布)推导出系统寿命的生存函数：

令θ＝(μσ)′为参数向量。通过生存函数得出基于II型双边删失系统寿命数据的θ的似然函数为：

为了估计θ，对(25)取最大值，或等价的公式(26)取最大值

(ii)牛顿法求解

对(i)中极大似然函数对数形式的第一、第二阶偏导结果如下。通过令一阶偏导为0来估计θ，并使二阶偏导是正定的。在大多数情况下，令一阶偏导式为 0往往产生一个非线性等式系统，这为求解增加了一定难度，为了解决求解问题，用牛顿数值方法来求解。

为了分别计算系统寿命分布的第一、二阶偏导。需要系统寿命分布的概率密度函数、生存函数对相应参数的局部偏导。对于一个给定的位置尺度分布族中的标准分布f^*(z)，可以找到一阶、二阶偏导项和由此计算所有未知变量。

对μ和σ的极大似然估计的局部观测Fisher信息矩阵为

观测Fisher信息矩阵，对该矩阵求逆来最终获得MLE的渐进方差-协方差矩阵的一个局部估计：

(2)基于回归的估计方法的原理

(i)寿命分布的积分转换

为了简化计算，对系统寿命分布函数进行形式上转换，具体步骤如下：

系统寿命分布可以表示为：

有系数列d₁，d₂...，d_n，其中h(·)为F_X(t)的多项式幂函数，F_X(t)在(0,1)是单调递减且有唯一的解,向量d＝(d₁，d₂，...，d_n)被称为控制向量。事实上F_T(t)是t的一个连续函数，定义：其中U是(0,1)上的均匀分布随机变量，通过概率积分转换后得到：

其中h^-1(·)为h(·)的逆函数，U_k：m是来自(0,1)均匀分布的随机样本的第k个次序统计量，于是得到：

T_k:m＝F_X ^-1[h^-1(U_k:m)]＝μ+σF^*-1(h^-1(U_k:m)) (40)

其中F^*-1(·)为标准位置尺度分布的累积分布函数的逆函数。

上面的联系可以看作s-相关变量T_k：m构成的回归模型，因此参数μ和σ可以由s-相关的非正态误差来估计。在这一过程中，需要T_k：m的期望、方差和协方差矩阵，令W＝F^*-1(h^-1(U))，P＝h^-1(U)，则有关系：

因此(W_1：m，W_2：m，...，W_m：m)′的期望和方差协方差矩阵可以近似从 (U_1：m，U_2：m，...，U_m：m)′的期望和方差协方差矩阵得到。通过Taylor级数展开，有公式 (42)，其中π_k：m＝E(U_k：m).

通过链式法则(复合函数求导法则)，上式中最后一项可以表达为：

可以得到P_k：m的估计，表示为p_k：m，通过处理h(P_k：m)＝π_k：m，或者p_k：m＝h^-1(π_k：m)， W_k：m的估计，由ω_k：m表示，表达为ω_k：m＝F^*-1(p_k：m)。因此有(44)，其中d_i为h(x)关于x偏导的系数。

基于来自(0,1)上正态分布的次序统计量的已知结果，有：

接着，从(42)可以得到期望、方差的近似值、W_k：m，k＝1，2，...，m，的协方差；因此次序系统寿命T_k：m，k＝1，2，...，m的期望、方差、协方差可以分别表示为：

若∑为W＝(W_1：m，W_2：m，...，W_m：m)′的方差协方差矩阵，则σ²∑为T＝(T_1：m，T_2：m，...，T_m：m)′的方差协方差矩阵。

(ii)μ和σ非正态误差估计

为了得到μ和σ基于回归的估计，分别由和表示，使用一加权最小二乘法，对于μ和σ，将广义的方差最小化：

给出方程：

因为σ²是一个未知的常数，最小化等价于将下列式子对于μ和σ最小化

作为结果，μ和σ的基于回归的估计由下式给出：

这一估计的方差协方差矩阵为：

其中X＝[1，Ψ]，σ可由对实际值的近似代替。这个基于回归的方法可以看作对位置和尺度参数的最小线性无偏估计的近似。

(3)问题描述

即假定寿命测试中放置了n部件的m个系统，每个系统的signature都为 (s₁,s₂…s_n)。在寿命测试中，从第l个系统失效实验开始，当第r个系统失效时实验终止，其中l,r是被实验者实现确定的1＜l＜r＜m。观测得到的序列系统失效时间为T_l:m＜T_l+1:m＜…＜T_r:m，即得到一个II型双边删失系统寿命样本。本发明主要是研究由观测到系统寿命数据对部件寿命分布的参数进行估计，因此前提假设是所有寿命测试数据已经得到。

如何对系统的部件寿命分布进行精确的参数估计是要解决的首要任务。部件寿命分布的参数估计不准确主要是由于观测样本会出现数据删失的情况。在实际的寿命试验中，所有系统失效的时间往往不能完整的记录下来，存在超出寿命测试时间而仍有系统未失效，导致观测数据右截尾删失，也存在前几个系统失效时间太短难以记录或丢失，导致观测数据左截尾删失。这些删失的数据会使部件寿命分布的参数估计变得不准确。因而在对系统部件寿命分布的参数估计中，需要考虑到不同删失情况的影响，保证对部件寿命分布的参数进行准确的估计。另外，删失数据的多少也会对部件寿命分布的参数估计产生影响，删失数据越多，则估计越不准确。另一方面，要考虑算法自身产生的影响，不同算法产生的点估计和区间估计准确程度有差异，估计偏差正负也不相同。以下举例说明在系统部件寿命分布的参数估计中存在的主要问题以及修正的方法。假设在寿命测试中，观测得到的序列系统失效时间为T_l:m＜T_l+1:m＜…＜T_r:m，若直接将这些数据当作完整数据进行参数估计，则忽略了双边删失的数据对部件参数的影响。因此需要根据次序统计量对获得的寿命数据进行修正。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法，其特征在于，所述基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法用部件寿命的累积分布函数和系统signature向量求出系统寿命的生存函数；分别使用极大似然估计和回归估计两种方法来得到系统生存函数参数估计结果并构造参数的置信区间。

2.如权利要求1所述的基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法，其特征在于，所述基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法具体包括以下步骤：

步骤一，计算系统signature向量S_Γ(s₁,s₂…s_n)；第i个部件失效导致系统失效的排列有ω个，则得出系统的signature向量的第i个分量为：

步骤二，构建系统寿命的生存函数，对n个独立同分布部件系统，以X来表示部件寿命的随机变量，以T来表示系统寿命的随机变量；用部件寿命的累积分布函数F_X和系统signature向量S_Γ表示系统寿命的生存函数

步骤三，建立两种对部件参数进行估计的方法，基于极大似然的估计方法，基于回归的估计方法；

步骤四，构造置信区间并用两种方法分别估计参数；部件分布参数μ和σ的双边100(1-α)％置信区间可构造如下：

3.如权利要求2所述的基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法，其特征在于，所述步骤三基于极大似然的估计方法包括：

(1)通过生存函数和次序统计量得出系统寿命数据θ(令θ＝(μ,σ)'为参数向量)的似然函数为：

估计θ：

(2)用牛顿法来对上式进行求解，先计算出似然函数的一、二阶偏导为：

对观测Fisher信息矩阵矩阵求逆来最终获得MLE的渐进方差-协方差矩阵的一个局部估计：

4.如权利要求2所述的基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法，其特征在于，所述步骤三的基于回归的估计方法包括：

(1)对系统寿命分布函数进行形式上转换。将系统寿命分布表示为：

再通过概率积分转换后得到：

其中h^-1(·)为h(·)的逆函数，U_k：m是来自(0,1)均匀分布的随机样本的第k个次序统计量，得到：

T_k:m＝F_X ^-1[h^-1(U_k:m)]＝μ+σF^*-1(h^-1(U_k:m))；

其中F^*-1(·)为标准位置尺度分布的累积分布函数的逆函数。

(2)令W＝F^*-1(h^-1(U))，P＝h^-1(U)，由(U_1:m,U_2:m,…,U_m:m)'的期望和方差协方差矩阵近似得到(W_1:m,W_2:m,…,W_m:m)'的期望和方差协方差矩阵；通过Taylor级数展开，并令π_k:m＝E(U_k:m)有：

基于来自(0,1)上正态分布的次序统计量的已知结果，将次序系统寿命T_k：m，k＝1，2，...，m的期望、方差、协方差分别表示为：

(3)使用加权最小二乘法对μ和σ进行估计，即将μ和σ的广义的方差最小化：

给出方程：

因为σ²是一个未知的常数，最小化等价于将下式对于μ和σ最小化：

得到μ和σ的基于回归的估计：

估计的方差协方差矩阵为：

5.一种应用权利要求1～4任意一项所述基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法的机械电子产品可靠性分析系统。

6.一种应用权利要求1～4任意一项所述基于signature向量对Ⅱ型双边删失系统寿命数据的参数估计方法的石油化工装备可靠性分析系统。