CN112163729A - 基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法 - Google Patents

基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法 Download PDF

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CN112163729A CN202010860986.5A CN202010860986A CN112163729A CN 112163729 A CN112163729 A CN 112163729A CN 202010860986 A CN202010860986 A CN 202010860986A CN 112163729 A CN112163729 A CN 112163729A
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孔雪峰
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Abstract

本发明提供一种基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法，步骤如下：步骤1：设定用户测量的截断质量特征；步骤2：基于极大似然估计的参数点估计；步骤3：基于数据填充计算方法得到伪完全数据；步骤4：计算过程能力指数Cpk的置信下限；本发明基于供货产品的截断质量数据进行过程能力分析，所得的过程能力分析结果比供应商提供的过程能力结论更为可信；本发明基于分位数填充和广义置信区间进行过程能力分析，不仅给出了过程能力的点估计，而且给出了过程能力置信下限，可以更精确地指导进行过程能力评价和复核，更好指导供应商管理决策；本发明所述方法科学，工艺性好，具有广阔推广应用价值。

Description

基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法
技术领域
本发明提出一种基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法。鉴于供货产品质量数据呈现截断正态分布的突出特点，该方法综合运用截断正态分布的极大似然估计、数据填充算法和广义枢轴量的方法，对有偏移过程能力指数Cpk进行估计。它可以根据顾客测量的供货产品质量数据(数据被规格限截断)，准确给出过程能力指数置信下限估计，客观评价供货产品生产线的过程能力水平，对供应商所宣称过程能力水平进行有效复核，有效支撑供应商过程能力评价和优选。其属于过程能力分析、供应商选择与质量管理等相关技术领域。
背景技术
有偏移过程能力指数Cpk是衡量工序能力满足产品规格程度的量值，是过程能力评价的主要技术指标。其定义为
Figure BDA0002648120410000011
其中，LSL和USL分别为产品质量特征的上下规格限，并假定产品质量特征服从正态分布，μ和σ分别表示该正态分布的均值和标准差。过程能力指数Cpk越大，表明过程能力越强；过程能力指数Cpk越小，表明过程能力越差。
通常根据完全观测质量数据进行过程能力分析，同时，在完全数据的条件下，过程能力指数Cpk的点估计、区间估计方法已经非常成熟。然而，在实际生产中，供应商为确保产品质量，通过质量检验，剔除不合格产品，然后再进行销售。因此，顾客获得的供货产品，其质量数据是被规格限截断的数据，即其质量特征数据全部落在产品质量特征上、下规格限以内。而传统的过程能力分析方法无法利用截断的质量特征数据，进行过程能力分析，特别是无法给出过程能力指数置信下限估计，从而无法根据供货产品的客观质量数据，进行过程能力分析和评价，难以有效支撑过程能力复核与供应商选择。
为此，本发明提出一种基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法。所提出方法能够使用顾客测量的供货产品截断质量数据，客观准确进行过程能力评价。
发明内容
1.本发明的目的：
本发明的目的是提供一种基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法，以适应过程能力复核与供应商选择的实际需求，基于用户测量的供货产品截断正态分布质量数据，综合运用极大似然估计、数据填充算法和广义置信区间方法，提出一种实用的过程能力指数Cpk置信下限估计方法。根据所给出的过程能力指数Cpk置信下限估计，可以客观准确进行过程能力评价，有效支撑过程能力复核复验与供应商优选决策。
2.技术方案：
基于上述理论和思路，本发明提供一种基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法，具体的实施步骤如下：
步骤1：设定用户测量的截断质量特征
对于一个生产过程，假设产品质量特征X服从正态分布N(μ,σ)，其中μ和σ分别表示正态分布的均值和标准差；由于要求供货产品符合规格限(LSL,USL)，因此，客户测量的供应商产品质量数据被规格限(LSL,USL)截断；
供货生产线的完整产品集由三个不同的子集构成：(i)所有质量特征X小于LSL 的产品；(ii)所有质量特征X大于USL的产品；(iii)质量特征X在(LSL,USL)范围内的产品；前两个子集被认为是不合格品，不能销售给顾客，而最后一个子集是销售给顾客的产品；设
Figure BDA0002648120410000021
和
Figure BDA0002648120410000022
分别表示上述三种产品特征的子集，其中nl，nr和nm分别代表三个子集的产品数量；则完整的产品集表示为
Figure BDA0002648120410000023
其中，n＝nl+nm+nr为完整产品集的样本量；综合以上叙述，产品质量特征可以表示为：
Figure BDA0002648120410000031
步骤2：基于极大似然估计的参数点估计
基于用户测量的截断质量特征数据
Figure 1
和截断正态分布的密度函数f(x；μ,σ,LSL,USL)，写出待估参数μ和σ的对数似然函数lnL(μ,σ|XT)，从而得到参数μ和σ的极大似然估计值
Figure BDA0002648120410000032
和
Figure BDA0002648120410000033
具体过程如下：
(1)给定基于截断正态分布的似然函数
对用户得到的产品，其质量特征X满足条件LSL＜X＜USL；此时，质量特征X 服从截断正态分布，其概率密度函数为
Figure BDA0002648120410000034
其中，φ(·)和Φ(·)分别为标准正态分布的概率密度函数和分布函数；基于截断正态分布的密度函数和截断质量数据XT，可写出关于参数μ和σ的似然函数：
Figure BDA0002648120410000035
其对数似然函数为
Figure BDA0002648120410000036
式中nm表示质量特征X在规格限(LSL,USL)内的产品数量；
(2)对似然函数求偏导，给出参数的点估计
对公式(4)，关于参数μ和σ求偏导并令其等于0，可以得到
Figure BDA0002648120410000037
求解方程(5)，即得到参数μ和σ的点估计值
Figure BDA0002648120410000038
由于方程(5)没有解析解，所以可采用牛顿法等数值计算方法得到参数估计的数值解；
步骤3：基于数据填充计算方法得到伪完全数据
将步骤2得到的参数估计值
Figure BDA0002648120410000041
作为数据填充计算方法的初值代入，即令
Figure BDA0002648120410000042
通过多次循环来生成伪完全数据；假设μ,σ第k次迭代结果分别记为
Figure BDA0002648120410000043
具体步骤如下：
(1)计算所需填充的样本量
对第k次循环(k＝1,2,...)，利用公式(6)和(7)分别计算拟填充样本量
Figure BDA0002648120410000044
和
Figure BDA0002648120410000045
Figure BDA0002648120410000046
Figure BDA0002648120410000047
其中，
Figure BDA00026481204100000417
和
Figure BDA00026481204100000418
分别为第k次循环中小于下规格限LSL和大于上规格限USL所需要填充的样本量；
Figure BDA00026481204100000419
为第(k-1)次循环中，参数为
Figure BDA0002648120410000048
的截断正态分布的分布函数；
(2)填充数据
利用等分位数方法对规格限(LSL,USL)以外的数据进行填充；定义集合
Figure BDA0002648120410000049
和
Figure BDA00026481204100000410
分别为集合XL和XR的伪数据集；则第k次循环后，规格限(LSL,USL)以外的伪数据集通过下列公式(8)和(9)生成：
Figure BDA00026481204100000411
Figure BDA00026481204100000412
其中，
Figure BDA00026481204100000420
为截断分布函数
Figure BDA00026481204100000421
的反函数；因此，第k次循环后得到的伪完全数据为
Figure BDA00026481204100000413
式中
Figure BDA00026481204100000414
表示规格限(LSL,USL)左侧填充的数据集，
Figure BDA00026481204100000415
表示规格限中的数据集，
Figure BDA00026481204100000416
表示规格限右侧填充的数据集；
(3)利用填充后的参数进行估计，直到满足设定精度条件停止
利用公式(10)得到的伪完全数据，利用公式(11)和(12)计算第k步的参数估计：
Figure BDA0002648120410000051
Figure BDA0002648120410000052
式中
Figure BDA0002648120410000053
和
Figure BDA0002648120410000054
分别表示第k次迭代后的参数估计结果；
设定精度ε，当前后两次的估计值满足条件：
Figure BDA0002648120410000055
时，停止循环，其中k0表示循环停止时的迭代次数。此时，得到参数估计值为：
Figure BDA0002648120410000056
与公式(10)同理，进而，得到的伪完全数据集为：
Figure BDA0002648120410000057
步骤4：计算过程能力指数Cpk的置信下限
根据正态分布N(μ,σ2)生成样本X＝{x1,x2,...,xn}，则参数μ的广义枢轴量为：
Figure BDA0002648120410000058
式中随机变量W服从标准正态分布N(0,1)，随机变量V2服从自由度为(n-1)的卡方分布
Figure BDA0002648120410000059
参数σ的广义枢轴量为：
Figure BDA00026481204100000510
其中，
Figure BDA00026481204100000511
为样本均值，
Figure BDA00026481204100000512
为样本标准差；进而基于公式(17)，得到过程能力指数Cpk的广义枢轴量为：
Figure BDA00026481204100000513
定义
Figure BDA00026481204100000514
为广义枢轴量GCpk的置信下限，则其计算步骤如下：
(1)对于每个i＝1,2,...,B，生成第i组随机变量集合(W,V2)，其中B＝50000；
(2)对于每组生成的样本(W,V2)，计算
Figure BDA0002648120410000061
(3)重复(1)和(2)B次，得到
Figure BDA0002648120410000062
(4)按照升序排列样本集合
Figure BDA0002648120410000063
得到排列后的集合为
Figure BDA0002648120410000064
则给定置信水平1-α，过程能力指数Cpk的置信下限
Figure BDA0002648120410000065
3.优点与功效：
本文提出的过程能力指数Cpk置信下限计算方法的优点如下：
(1)本发明基于供货产品的截断质量数据进行过程能力分析，所得的过程能力分析结果比供应商提供的过程能力结论更为可信；
(2)本发明基于分位数填充和广义置信区间进行过程能力分析，不仅给出了过程能力的点估计，而且给出了过程能力置信下限，可以更精确地指导进行过程能力评价和复核，更好指导供应商管理决策；
(3)本发明所述方法科学，工艺性好，具有广阔推广应用价值。
附图说明
图1是本发明所述方法流程图。
图2是线轴和套筒之间的径向间隙长度数据。
具体实施方式
下面以电液伺服阀为例，结合图1，对本发明做进一步详细说明。
问题背景：
电液伺服阀作为伺服系统的核心部件，在航空航天飞行器的控制和调整中得到了广泛的应用。滑阀和套筒是伺服阀的两个关键部件，必须成对使用。根据工程经验，阀芯和套筒之间的间隙过大可以减少液体泄漏，但间隙过小会影响滑阀的滑动速度。因此，阀芯和套筒之间的间隙长度是伺服阀的一个关键质量特征。根据公司技术要求，间隙长度的规格限值为(LSL,USL)＝(30μm,50μm)。这意味着，滑阀和套筒之间的所有间隙都应在技术规格限制范围内。为了检验产品质量，评估供应商的实际加工能力，公司对一批样本量为1150产品的阀芯和套筒间隙大小进行测量，数据的直方图如图 2。从图2中可以看到，由于在制造过程中经过了全面的检验，剔除掉了超出上下规格限的产品，所以所有样本的间隙大小都能满足客户的技术要求。因此，观测到的质量数据具有双重截断特性。显然，传统的基于完整数据的PCIs估计方法不适用于这种情况。为此，本发明提出一种基于顾客测量质量数据与截断正态分布极大似然估计的过程能力分析方法，操作流程见附图1所示，其具体步骤如下：
步骤1：设定用户测量的截断质量特征
电液伺服阀质量特征为阀芯和套筒之间的间隙长度，用户测得的质量特征数据服从截断正态分布，且质量特征的规格限值为(LSL,USL)＝(30μm,50μm)。
公司对一批样本量为1150产品的阀芯和套筒间隙大小进行测量，数据的直方图如图2。
步骤2：利用极大似然估计得出点估计值
(1)给定基于截断正态分布的似然函数
对于收集到的1150个用户测量的截断质量数据，根据公式(3)和(4)写出截断正态分布条件下的对数似然函数：
Figure BDA0002648120410000071
式中μ和σ分别表示截断正态分布的两个待估参数均值和标准差；
(2)关于对似然函数求偏导，并解得到参数的点估计值
关于参数μ和σ求偏导并令其等于0，可以得到：
Figure BDA0002648120410000081
用牛顿法求解上述似然方程组,得到参数点估计的数值解为
Figure BDA0002648120410000082
步骤3：利用数据填充计算方法得到伪完全数据
(1)计算所需填充的样本量
将1150个截断质量数据和上部得到的数值解
Figure BDA0002648120410000083
作为初值代入数据公式(6)和(7),计算所需填充的样本量
Figure BDA0002648120410000084
和
Figure BDA0002648120410000085
第k次迭代后拟填充样本量为
Figure BDA0002648120410000086
和
Figure BDA0002648120410000087
(2)填充数据
将上述得到的拟填充样本量
Figure BDA0002648120410000088
和
Figure BDA0002648120410000089
代入公式(8)-(10),计算得到第k次循环后的伪完全数据集
Figure BDA00026481204100000810
式中
Figure BDA00026481204100000811
表示规格限左侧填充的数据集，
Figure BDA00026481204100000812
表示规格限中的数据集，
Figure BDA00026481204100000813
表示规格限右侧填充的数据集；
(3)利用填充后的参数进行估计
将上述的伪完全数据集Xf代入公式(11)-(15)，设定精度ε＝0.001，即当
Figure BDA00026481204100000814
时，停止循环，得到伪完全数据集：
Figure BDA00026481204100000815
式中k0表示精度满足要求时的迭代次数；
步骤4：基于伪完全数据，利用广义置信区间计算过程能力指数Cpk的置信下限给定置信度α＝0.95，按照以下步骤计算过程能力指数Cpk置信下限的估计值：
(1)对于每个i＝1,2,...,B，生成第i组随机变量集合(W,V2)，B＝50000；
(2)对于每组生成的样本(W,V2)，计算
Figure RE-GDA0002797376980000091
(3)重复(1)和(2)B次，得到
Figure BDA0002648120410000092
(4)按照升序排列样本集合
Figure BDA0002648120410000093
得到排列后的集合为
Figure BDA0002648120410000094
给定置信水平1-α＝0.05，得到过程能力指数Cpk置信下限
Figure BDA0002648120410000095
可见该批产品有95％的概率，其过程能力达到了0.6330，即Cpk置信下限显著小于1，因为可以断定该过程能力较低，迫切需要进行过程改进，有效提高其过程能力水平；从供应商选择决策来看，应该不建议将其作为该产品的优选供应商。
综上所述，本发明涉及一种基于顾客测量质量特征数据的过程能力分析方法，它针对顾客测量供货产品质量数据具有双重截断的特点，利用截断正态分布的极大似然估计，数据填充算法和广义置信区间的方法进行过程能力指数Cpk置信下限估计。所给出的方法具有较高的精度，能够为消费者对于厂商供货产品的过程能力进行评估、复核，有效支持供应商管理决策。

Claims (1)

1.一种基于供货产品截断正态分布质量数据的过程能力分析方法，其特征在于：步骤如下：
步骤1：设定用户测量的截断质量特征
对于一个生产过程，设产品质量特征X服从正态分布N(μ,σ)，其中μ和σ分别表示正态分布的均值和标准差；由于要求供货产品符合规格限(LSL,USL)，因此，客户测量的供应商产品质量数据被规格限(LSL,USL)截断；
供货生产线的完整产品集由三个不同的子集构成：(i)所有质量特征X小于LSL的产品；(ii)所有质量特征X大于USL的产品；(iii)质量特征X在(LSL,USL)范围内的产品；前两个子集被认为是不合格品，不能销售给顾客，而最后一个子集是销售给顾客的产品；设
Figure FDA0002648120400000011
和
Figure FDA0002648120400000012
分别表示上述三种产品特征的子集，其中nl，nr和nm分别代表三个子集的产品数量；则完整的产品集表示为：
Figure FDA0002648120400000013
其中，n＝nl+nm+nr为完整产品集的样本量；产品质量特征表示为：
Figure FDA0002648120400000014
步骤2：基于极大似然估计的参数点估计
基于用户测量的截断质量特征数据
Figure FDA0002648120400000015
和截断正态分布的密度函数f(x；μ,σ,LSL,USL)，写出待估参数μ和σ的对数似然函数lnL(μ,σ|XT)，从而得到参数μ和σ的极大似然估计值
Figure FDA0002648120400000016
和
Figure FDA0002648120400000017
具体过程如下：
(1)给定基于截断正态分布的似然函数
对用户得到的产品，其质量特征X满足条件LSL＜X＜USL；此时，质量特征X服从截断正态分布，其概率密度函数为：
Figure FDA0002648120400000021
其中，φ(·)和Φ(·)分别为标准正态分布的概率密度函数和分布函数；基于截断正态分布的密度函数和截断质量数据XT，写出关于参数μ和σ的似然函数：
Figure FDA0002648120400000022
对数似然函数为：
Figure FDA0002648120400000023
式中nm表示质量特征X在规格限(LSL,USL)内的产品数量；
(2)对似然函数求偏导，给出参数的点估计
对公式(4)，关于参数μ和σ求偏导并令其等于0，得到：
Figure FDA0002648120400000024
求解方程(5)，即得到参数μ和σ的点估计值
Figure FDA0002648120400000025
由于方程(5)没有解析解，采用牛顿法等数值计算方法得到参数估计的数值解；
步骤3：基于数据填充计算方法得到伪完全数据
将步骤2得到的参数估计值
Figure FDA0002648120400000026
作为数据填充计算方法的初值代入，即令
Figure FDA0002648120400000027
通过多次循环来生成伪完全数据；设μ,σ第k次迭代结果分别记为
Figure FDA0002648120400000028
具体步骤如下：
(1)计算所需填充的样本量
对第k次循环，k＝1,2,...，利用公式(6)和(7)分别计算拟填充样本量
Figure FDA0002648120400000029
和
Figure FDA00026481204000000210
Figure FDA00026481204000000211
Figure FDA0002648120400000031
其中，
Figure FDA0002648120400000032
和
Figure FDA0002648120400000033
分别为第k次循环中小于下规格限LSL和大于上规格限USL所需要填充的样本量；
Figure FDA0002648120400000034
为第(k-1)次循环中，参数为
Figure FDA0002648120400000035
的截断正态分布的分布函数；
(2)填充数据
利用等分位数方法对规格限(LSL,USL)以外的数据进行填充；定义集合
Figure FDA0002648120400000036
和
Figure FDA0002648120400000037
分别为集合XL和XR的伪数据集；则第k次循环后，规格限(LSL,USL)以外的伪数据集通过下列公式(8)和(9)生成：
Figure FDA0002648120400000038
Figure FDA0002648120400000039
其中，
Figure FDA00026481204000000318
为截断分布函数
Figure FDA00026481204000000317
的反函数；因此，第k次循环后得到的伪完全数据为：
Figure FDA00026481204000000312
式中
Figure FDA00026481204000000313
表示规格限(LSL,USL)左侧填充的数据集，
Figure FDA00026481204000000314
表示规格限中的数据集，
Figure FDA00026481204000000315
表示规格限右侧填充的数据集；
(3)利用填充后的参数进行估计，直到满足设定精度条件停止
利用公式(10)得到的伪完全数据，利用公式(11)和(12)计算第k步的参数估计：
Figure FDA00026481204000000316
Figure FDA0002648120400000041
式中
Figure FDA0002648120400000042
和
Figure FDA0002648120400000043
分别表示第k次迭代后的参数估计结果；
设定精度ε，当前后两次的估计值满足条件：
Figure FDA0002648120400000044
时，停止循环，其中k0表示循环停止时的迭代次数；此时，得到参数估计值为：
Figure FDA0002648120400000045
与公式(10)同理，进而，得到的伪完全数据集为：
Figure FDA0002648120400000046
步骤4：计算过程能力指数Cpk的置信下限
根据正态分布N(μ,σ2)生成样本X＝{x1,x2,...,xn}，则参数μ的广义枢轴量为：
Figure FDA0002648120400000047
式中随机变量W服从标准正态分布N(0,1)，随机变量V2服从自由度为(n-1)的卡方分布
Figure FDA0002648120400000048
参数σ的广义枢轴量为：
Figure FDA0002648120400000049
其中，
Figure FDA00026481204000000410
为样本均值，
Figure FDA00026481204000000411
为样本标准差；进而基于公式(17)，得到过程能力指数Cpk的广义枢轴量为：
Figure FDA00026481204000000412
定义
Figure FDA00026481204000000413
为广义枢轴量GCpk的置信下限，则其计算步骤如下：
(1)对于每个i＝1,2,...,B，生成第i组随机变量集合(W,V2)，其中B＝50000；
(2)对于每组生成的样本(W,V2)，计算
Figure FDA0002648120400000051
(3)重复(1)和(2)B次，得到
Figure FDA0002648120400000052
(4)按照升序排列样本集合
Figure FDA0002648120400000053
得到排列后的集合为
Figure FDA0002648120400000054
则给定置信水平1-α，过程能力指数Cpk的置信下限
Figure FDA0002648120400000055
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