CN109684713A - 基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法，包括依次进行的如下步骤：首先将复杂系统描述为由子系统和组件构成的事件树图；其次建立系统可靠性的似然函数；然后建立先验分布，整合多个专家给出的有精确工程判断的、有组件分组信息的以及无精确工程判断的三类组件的先验分布，得到该系统组件的先验分布；最后再利用马可夫链蒙特卡罗方法融合复杂系统的先验分布、系统测试数据、子系统测试数据，获得该复杂系统以及组件的可靠性。本发明能大大提高复杂系统可靠性的预测和估计精度。本发明适用于可靠性工程技术领域。

Description

基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法

技术领域

本发明属于系统分析领域，涉及可靠性工程技术，具体的说是一种基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法。

背景技术

随着一些系统的日益复杂，成本越来越高，对系统的全面测试逐渐变的不可行，如果用传统方法来预测和评估系统的可靠性，其精度将会大大降低。比如军队通常会储备大量武器、弹药和备件，如何评估和分析这种复杂系统可靠性不仅关乎这些武器系统的管理和维护，还会对训练和作战使用产生影响，但是随着武器越来越先进，成本越来越高，破坏性的全系统测试变得非常不可行，其次，为了满足作战需求，现代武器通常具有高可靠性，使得不可能获得大量破坏性的全系统测试结果，如果用传统频率方法则会因为样本数据少导致分析和预测的可靠性精度很低。更进一步的说，传统方法只利用了全系统测试数据，并未利用到复杂系统的其它来源的可靠性信息，例如，复杂系统通常可以由相关的子系统和组件来描述，组件和子系统测试的数据可能是可用的，还包括与组件、子系统和/或全系统相关的工程知识，目视检查和其他无损检测，如何将这些数据利用到复杂系统可靠性分析中是一个重要的课题。

发明内容

为解决现有技术中存在的上述缺陷，本发明旨在提供一种基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法，该方法可以融合各种来源(包括专家工程判断和测试数据)的信息，在系统测试数据有限的情况下或没有系统测试数据的情况下可以一致性地预测复杂系统及其组件的可靠性，提高了预测复杂系统及其组件可靠性的精度。

本发明为实现上述目的，所采用的技术方案如下：

一种基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法，包括依次进行的如下步骤：

a.将待分析系统划分为嵌套的子系统和组件，并用事件树图进行描述；

b.建立组件可靠性的似然函数，并依据事件树图确定的系统、子系统与组件的关系，建立系统和子系统关于组件可靠性的似然函数；

c.将各组件划分为有精确工程判断的、有组件分组信息的以及无精确工程判断的三类；针对有精确工程判断的,专家m给出组件可靠性服从β分布，整合所有专家给出的β分布，得到该组件可靠性的先验分布；有组件分组信息的，专家m给出组件可靠性服从β分布，整合所有专家给出的β分布，得到该组件可靠性的先验分布；针对无精确工程判断的，组件可靠性先验分布服从β分布；系统、子系统的先验分布是相应组件先验分布的函数；

d.系统可靠性分析：基于贝叶斯理论，后验分布正比于先验分布与似然函数的乘积，利用马可夫链蒙特卡罗方法融合似然函数、先验分布以及系统、子系统测试数据，得到该系统、子系统以及组件的可靠性。

作为限定，所述步骤b中，组件可靠性的似然函数为二项分布，表达式如下：

式中，n_i表示组件i的测试次数，x_i表示n_i次测试中组件i成功的可能次数，p_i表示组件i的可靠性。

作为进一步限定，所述步骤c中：

①针对有精确工程判断的组件，专家m给出组件可靠性服从β分布，具体表达式如下：

式中，σ_i,m代表专家m对p_i的点估计，σ_i,m服从参数μ_i,m和ν_i,m的β分布，如下所示：

N_m表示专家m的估计精度，N_m服从参数α_i,m和β_i,m的γ分布，如下所示：

1≤m≤M，M表示所有专家的人数；

然后对M个专家给出的β分布求平均得到该组件可靠性的先验分布；

②针对有组件分组信息的，专家m给出组件可靠性服从β分布如下所示:

式中，S₂表示i和m构成的组合(i,m)，表明专家m对组件i进行了组件分组的工程判断；参数K_m服从参数为ζ_m和η_m的γ分布；ρ_m,g表示专家m分配给第g组内的组件的可靠性概率，服从参数δ_g,m和ξ_g,m的β分布；然后对M个专家给出的β分布求平均得到该组件可靠性的先验分布；

③针对无精确工程判断的组件可靠性的先验分布服从的β分布如下所示：

式中，参数J服从参数为τ和φ的γ分布，参数γ服从参数为ψ和ω的β分布。

作为更进一步限定，当该系统描述为事件树图的各节点关系为串联时，所述步骤d中，该系统可靠性的后验分布如下所示：

式中，S₀表示事件树图的终端节点即组件的集合，S₁表示专家m给出p_i的精确工程判断可用。

本发明由于采用了上述方法，其与现有技术相比，所取得的技术进步在于：

本发明将整个系统表示为子系统和组件构成的事件树图，解决了在可靠性图不同层次上(即全系统、子系统和组件不同级别上)融合数据和先验信息可靠性低的问题；并综合多个专家提供的信息，提高了预测的精确性；最后基于贝叶斯理论，利用马可夫链蒙特卡罗方法融合似然函数和先验分布以及系统、子系统测试数据，分析和评估系统、子系统以及组件的可靠性，本发明解决了系统数据样本少的问题，大大提高了复杂系统可靠性的预测和估计精度。

综上，本发明能大大提高复杂系统可靠性的预测和估计精度，适用于可靠性工程技术领域。

附图说明

附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例一起用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。

在附图中：

图1为本实施例所描述的复杂系统的事件树图；

图2为本实施例各组件的盒图；

图3为本发明实施例中系统C₁的可靠性p₁的密度曲线；

图4为本发明实施例中子系统C₂的可靠性p₂的密度曲线；

图5为本发明实施例中组件C₃的可靠性p₃的密度曲线；

图6为本发明实施例中子系统C₄的可靠性p₄的密度曲线。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的优选实施例进行说明。应当理解，此处所描述的优选实施例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例 基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法

采用本实施例研究复杂系统C₁的可靠性，包括依次进行的如下步骤：

a.将该复杂系统C₁依据该系统的结构图划分为四级嵌套的子系统和组件，如图1所示采用事件树图来描述C₁，该复杂系统C₁由C₂、C₃、C₄组成；C₂由C₅、C₆、C₇(由C₁₀到C₁₇组成)组成，C₄由C₈、C₉组成，组件与子系统串联构成整个复杂系统C₁，即为了使整个系统C₁运行工作，需要所有组件和子系统都运行工作。例如子系统C₇正常工作的概率p₇等于概率p₁₀到p₁₇的乘积，C₁₀到C₁₇每个组件全部正常工作。从而，

类似地，子系统C₄正常的概率为p₄＝p₈×p₉。这种方法利用了系统可靠性的边际分布，为获得所有组件和子系统可靠性的联合分布提供了一个明智的解决方法。

本实施例中C₁～C₁₇各测试次数分别为1276、163、182、26、183、127、20、56、110、192、193、32、195、192、98、161、29，成功次数分别为1260、161、181、25、180、121、19、55、108、190、191、31、191、190、97、160、28。

b、建立组件可靠性的似然函数，为二项分布如公式(2)所示：

式(2)中，n_i表示相应组件的测试次数，x_i表示n_i次试验中成功次数；

其中，

根据图1所示的事件树图的系统、子系统、组件的串联关系，建立全系统、子系统的似然函数。

c.建立系统可靠性的先验分布：将各组件划分为有精确工程判断的、有组件分组信息的以及无精确工程判断的三类；即将C₁的所有组件划分如下：有精确工程判断的组件：C₅、C₆，有组件分组信息的：C₁₀～C₁₇，无精确工程判断的组件：C₃、C₈和C₉；

①针对有精确工程判断的组件C₅、C₆，专家m给出组件可靠性服从β分布，具体表达式如公式(4)所示：

式(4)中，σ_i,m代表专家m对p_i的点估计，σ_i,m服从参数μ_i,m和ν_i,m已知的β分布如公式(5)所示：

N_m表示专家m的估计精度，N_m服从参数α_i,m和β_i,m已知的γ分布，如公式(6)所示：

p_i表示组件i的可靠性，1≤m≤M，M表示所有专家的人数，本实施例选取M＝3，即有3名专家给出分别给出组件C₅、C₆的β分布；

公式(5)、(6)中，本实施例中3名专家(即m＝3)给出组件C₅的参数α、β、μ、ν分别为(4,3,2)、(0.4,0.2,0.1)、(20,15,10)、(1,1,1)；3名专家给出的组件C₆的参数α、β、μ、ν分别为(4,2,3)、(0.2,0.1,0.4)、(15,10,20)、(1,1,1)；

然后整合3名专家给出的组件可靠性的β分布公式(4)，可采用几何平均(对数的算术平均)和对数分布的5％和9％的分位点法，本实施例采用求平均的方法整合这3名专家给出的信息，分别得到C₅、C₆的可靠性p₅、p₆的先验分布。

②针对有组件分组信息的，专家通常有可能将组件分配到“可靠性类似”的第g组组件组，该分组并不要求组件在物理上是相似的，只是它们的可靠性是相似的。例如，所有高可靠性部件可能被判断为相似。在本实施例中C₁₀～C₁₇有分组信息，即它们有相同的先验分布，专家m给出组件C₁₀～C₁₇可靠性服从β分布如公式(7)所示：

式(7)中，S₂表示i和m构成的组合(i,m)，表明专家m对组件i进行了组件分组的工程判断，参数K_m先验分布服从参数为ζ_m和η_m的γ分布，ρ_m,g表示由专家m分配给第g组的组件的可靠性概率，其先验分布服从参数δ_g,m和ξ_g,m已知的β分布；本实施例中3名专家给出组件C₁₀～C₁₇的先验分布参数ζ、η、δ、ε分别为(2,3,4)、(0.1,0.2,0.4)、(9,10,11)、(1,1,1)，再整合3名专家给出的组件可靠性的β分布公式(7)，可采用几何平均(对数的算术平均)和对数分布的5％和9％的分位点。本实施例采用求平均的方法整合这3名专家给出的信息，得到C₁₀～C₁₇的可靠性p₁₀-p₁₇的先验分布。

③针对有测试数据而无精确工程判断的组件C₃、C₈和C₉，专家对组件可靠性没有太多先验知识，但是仍然可以通过提供组件的可靠性先验分布来描述组件可靠性信息不足的情况。

组件C₃、C₈和C₉服从β分布，如公式(8)所示：

式中，参数J服从参数为τ和φ的γ分布，并假设参数γ服从参数为ψ和ω的β分布；

利用事件树图的确定性关系，可知本实施例子系统C₇的可靠性p₇的先验分布如下：p₇＝p₁₀×p₁₁×p₁₂×p₁₃×p₁₄×p₁₅×p₁₆×p₁₇

同理，子系统C₂的可靠性的先验分布：p₂＝p₅×p₆×p₇；

子系统C₄的可靠性的先验分布：p₄＝p₈×p₉；

复杂系统C₁的可靠性的先验分布：p₁＝p₂×p₃×p₄。

d.系统可靠性分析：基于贝叶斯理论可知，某参数的后验分布等于该参数的先验分布乘以似然函数并与该参数所有可能取值的积分的比值，其中该参数所有可能取值的积分是一个与该参数取值无关的概率或密度函数。因此本复杂系统C₁的后验分布正比于复杂系统的先验分布与似然函数的乘积，如公式(9)所示：

式中，S₀表示事件数图的终端节点即组件的集合，S₁表示专家m给出p_i的精确工程判断可用，S₂表示表示专家m对组件i进行可靠性组件分组的工程判断。

利用马可夫链蒙特卡罗方法融合似然函数、先验分布、系统测试数据、子系统测试数据以及组件的测试数据，获得该复杂系统、子系统以及组件的可靠性。

本实施例采用OpenBUGS来进行仿真计算。表1给出各组件的可靠性统计值，该复杂系统的可靠性均值、标准差、仿真误差、2.5％分位数、中位数、97.5％分位数分别为0.9051、0.1082、0.006084、0.4816、0.9589、0.9703。图2给出了各组件的盒图，使我们对各组件的可靠性范围有了直观的认识，系统可靠性偏差范围较大。图3给出了系统C₁的可靠性p₁的密度曲线，图4给出了子系统C₂的可靠性p₂的密度曲线，图5为组件C₃的可靠性p₃的密度曲线，图6为子系统C₄的可靠性p₄的密度曲线。

表1给出各组件的可靠性统计值

在利用事件数图来描述系统时，系统、子系统以及组件的关系可能是并联或混联，本发明首先将各组件的可靠性似然函数和先验分布求出来，然后利用事件树图的确定性关系将系统、子系统的似然函数和先验分布用相应组件的似然函数和先验分布表达出来，再运用马可夫链蒙特卡罗方法融合全系统测试数据以及子系统测试数据，分析组件及系统的可靠性。

最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法，其特征在于：它包括依次进行的如下步骤：

a.将待分析系统划分为嵌套的子系统和组件，并用事件树图进行描述；

b.建立组件可靠性的似然函数，并依据事件树图确定的系统、子系统与组件的关系，建立系统和子系统关于组件可靠性的似然函数；

c.将各组件划分为有精确工程判断的、有组件分组信息的以及无精确工程判断的三类；针对有精确工程判断的,专家m给出组件可靠性服从β分布，整合所有专家给出的β分布，得到该组件可靠性的先验分布；有组件分组信息的，专家m给出组件可靠性服从β分布，整合所有专家给出的β分布，得到该组件可靠性的先验分布；针对无精确工程判断的，组件可靠性先验分布服从β分布；系统、子系统的先验分布是相应组件先验分布的函数；

d.系统可靠性分析：基于贝叶斯理论，后验分布正比于先验分布与似然函数的乘积，利用马可夫链蒙特卡罗方法融合似然函数、先验分布以及系统、子系统测试数据，得到该系统、子系统以及组件的可靠性。

2.根据权利要求1所述的基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法，其特征在于：所述步骤b中，组件可靠性的似然函数为二项分布，表达式如下：

式中，n_i表示组件i的测试次数，x_i表示n_i次测试中组件i成功的可能次数，p_i表示组件i的可靠性。

3.根据权利要求2所述的基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法，其特征在于：所述步骤c中:

①针对有精确工程判断的组件，专家m给出组件可靠性服从β分布，具体表达式如下：

式中，σ_i，m代表专家m对p_i的点估计，σ_i,m服从参数μ_i,m和ν_i,m的β分布，如下所示：

N_m表示专家m的估计精度，N_m服从参数α_i,m和β_i,m的γ分布，如下所示：

1≤m≤M，M表示所有专家的人数；

然后对M个专家给出的β分布求平均得到该组件可靠性的先验分布；

②针对有组件分组信息的，专家m给出组件可靠性服从β分布如下所示:

式中，S₂表示i和m构成的组合(i,m)，表明专家m对组件i进行了组件分组的工程判断；参数K_m服从参数为ζ_m和η_m的γ分布；ρ_m，g表示专家m分配给第g组内的组件的可靠性概率，ρ_m，g服从参数δ_g，m和ξ_g,m的β分布；然后对M个专家给出的β分布求平均得到该组件可靠性的先验分布；

③针对无精确工程判断的组件可靠性的先验分布服从的β分布如下所示：

式中，参数J服从参数为τ和φ的γ分布，参数γ服从参数为ψ和ω的β分布。

4.根据权利要求3所述的基于贝叶斯的复杂系统可靠性分析方法，其特征在于：当待分析系统描述为事件树图的各节点关系为串联时，所述步骤d中，该系统可靠性的后验分布如下所示：

式中，S₀表示事件树图的终端节点即组件的集合，S₁表示专家m给出p_i的精确工程判断可用。