CN112199690A - 基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其步骤为：读取原始三维彩色图像，获得三个颜色分量矩阵；利用混合时滞的分数阶驱动系统的动力学特性获得三维混沌信号；三维混沌信号重采样获得三组离散混沌序列，进行规范化处理得到混沌序列生成伪随机矩阵；分别颜色分量矩阵与伪随机矩阵进行DNA异或运算获得第一次加密后的图像矩阵，再根据伪随机矩阵依次进行DNA加法运算及置乱，获得第三次加密后的图像矩阵；利用一维Logistic混沌映射系统产生混沌序列，将混沌序列与第三次加密后的图像矩阵进行DNA减法运算获得最终加密的图像矩阵。本发明密钥灵敏性强，抗攻击能力强，有效地保证了加密图像的保密性和安全性。

Description

基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法

技术领域

本发明涉及数字图像加密的技术领域，特别是指一种基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法。

背景技术

数字图像作为多媒体信息中最重要的一种信息表达形式，具有形象、直观和生动等优点，它正在成为当今乃至今后信息表达方式的主流。但是，数字图像带给人们生活便利的同时其安全隐患也日趋严峻，因此，如何保护图像信息的安全已经成为国际上研究的热点。

当代密码学中，通常使用混沌系统作为伪随机数的发生器产生伪随机序列。混沌现象是非线性动力系统中的确定性准随机过程，其具有良好的伪随机特性、运动轨道不可预测、初始值敏感性、对控制参数敏感、状态遍历性好等特性，和密码学中对加密过程应具有伪随机性、不可预测性等目标相符合，受到了广大研究人员的青睐。但是，低维的混沌系统产生的混沌随机性较差，其轨道可短期预测。如果加密密钥空间小，则加密系统的抗攻击性会下降，容易被暴力破解。因此，一些学者为了使混沌系统向更高的维度发展，针对低维的混沌系统的改进工作做出大量努力。高维混沌系统相比于低维的混沌系统，具有初始值多、密钥空间大、运动轨道复杂、伪随机特性强的特点。将高维混沌系统应用于加密体制，能够大幅度增加系统的安全性。

近年来，随着计算机技术的快速发展和分数阶微积分理论的不断深入研究，人们发现分数阶微积分特别适合描述具有记忆特性的物理变化过程，这种特性在实际系统中的对象随处可见。目前，多领域开始采用分数阶模型进行描述。从一定意义上来讲，用分数阶微积分理论进行建模更能真实刻画与反映对象的特殊性质。而分数阶微积分算子的引入也增加了额外的自由度，这使得分数阶系统表现出更加复杂的动力学行为，可以扩展密钥空间并增加混沌序列的伪随机性。将此系统应用于加密系统的加密过程，可以提高加密系统的安全性。

发明内容

针对当前许多的图像加密方法存在运算系统复杂、密码系统的时间复杂度和空间复杂度高，且加密技术的安全性较低的技术问题，本发明提出了一种基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，可以提高加密系统的安全性，弥补传统加密算法的不足。

本发明的技术方案是这样实现的：

一种基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其步骤如下：

步骤一、读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为M*N的颜色分量矩阵R、G、B；

步骤二、利用基于混合时滞的分数阶驱动系统的动力学特征，在初始密钥的输入条件下，获得驱动系统对应的三维混沌信号，并对驱动系统的三维混沌信号进行重采样，得到三组大小为M*N的离散混沌序列X、Y、Z；

步骤三、分别对步骤二中生成的离散混沌序列X、Y、Z按照原始顺序均分为三份，分别记为X¹、X²、X³、Y¹、Y²、Y³、Z¹、Z²、Z³；

步骤四、分别将X¹、X²、X³按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，并分别将X¹、X²、X³对应的二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵X1、X2、X3；

步骤五、分别将步骤四的伪随机矩阵X1、X2、X3与颜色分量矩阵R、G、B中对应的每个元素进行DNA异或运算，得到第一次加密后的图像矩阵R¹、G¹、B¹；

步骤六、对序列Y¹、Y²、Y³按照步骤四的方法进行处理得到伪随机矩阵Y1、Y2、Y3，并分别将伪随机矩阵Y1、Y2、Y3与第一次加密后的图像矩阵R¹、G¹、B¹进行DNA加法运算，得到第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²；

步骤七、对序列Z¹、Z²、Z³以升序重新排列，将第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²相对应的像素的位置随升序重新排列后的序列Z¹、Z²、Z³中元素的位置进行变化，再将变化后的第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²相对应的像素转换为图像矩阵得到第三次加密后的图像矩阵R³、G³、B³；

步骤八、采用一维Logistic混沌映射系统产生混沌序列W，并将混沌序列W按照原始顺序均分为三份，记为W¹、W²、W³；

步骤九、对序列W¹、W²、W³按照步骤四的方法进行处理得到伪随机矩阵W1、W2、W3，并分别将伪随机矩阵W1、W2、W3与第三次加密后的图像矩阵R³、G³、B³进行DNA减法运算，获得最终加密的图像矩阵R⁴、G⁴、B⁴。

所述步骤二中获得驱动系统的三维混沌信号的方法为：

混合时滞的分数阶驱动系统的动力学方程为：

其中，

表示分数阶Caputo微分，0<α<1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻；

是神经网络的n维状态变量，

是一个正的对角矩阵，

表示激活函数向量，τ(t)＝(τ₁(t),τ₂(t),…,τ_n(t))^T和σ(t)＝(σ₁(t),σ₂(t),…,σ_n(t))^T均表示时变传输延迟时间，ρ＝max{τ,σ}，τ表示时滞τ_i(t)的上界，σ表示时滞σ_i(t)的上界，

表示系统的初始条件，0≤τ_i(t)≤τ，0≤σ_i(t)≤σ，i＝1,2,…,n；A表示连接权重矩阵，B表示离散延迟连接权重矩阵，H表示分布式延迟连接权重矩阵，J表示外部输入；若选取的参数n＝3，α＝0.98，t₀＝0，τ₁(t)＝τ₂(t)＝τ₃(t)＝e^t/(1+e^t)，σ₁(t)＝σ₂(t)＝σ₃(t)＝t/(1+t)，τ＝σ＝1，f₁(x)＝f₂(x)＝f₃(x)＝sin(x)，C＝diag(0.2,0.2,0.2)，

当初始条件选取为

s＝[-1，0]时，所获得的动力学方程的解x(t)具有混沌现象，从而获得具有混沌现象的三维混沌信号x(t)；所述重采样的采样周期为h，采样数量为M*N；对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得三组大小为M*N的离散混沌序列X、Y、Z。

所述将X¹、X²、X³对应的二维数组进行规范化处理的方法为：

其中，X¹(m)、X²(m)、X³(m)分别是离散混沌序列X¹、X²、X³的第m个元素，X₁(m)、X₂(m)、X₃(m)分别是规范化处理后的X1、X2、X3的第m个元素，m＝1,2,…,M×N，[·]是四舍五入取整符号。

DNA异或运算、DNA加法运算和DNA减法运算过程中对DNA进行编码的方法为：DNA分子由四种脱氧核糖核苷酸聚合而成，其中，四种脱氧核糖核苷酸分别对应00、01、10、11四种二进制编码；在进行DNA运算过程中，先将混沌序列X1、X2、X3、Y1、Y2、Y3、Z1、Z2、Z3、颜色分量矩阵R、G、B中的每一个元素转为二进制，然后从满足DNA分子序列结构与碱基互补配对原则的8种编码方式中选取第一种编码方式进行DNA运算，8种编码方式如下：

其中，A、G、C、T分别表示DNA分子的四种脱氧核糖核苷酸。

所述DNA异或运算的方法为：

所述DNA加法运算的方法为：

所述DNA减法运算的方法为：

所述一维Logistic混沌映射系统的映射公式为：

a(j+1)＝μ×a(j)×(1-a(j))，

其中，μ是映射的参数，a(j)表示一维Logistic混沌映射系统第j次迭代后的状态值，j＝M*N为迭代次数。

其解密方法为：

步骤S1、读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为M*N的颜色分量矩阵R⁴、G⁴、B⁴；

步骤S2、利用基于混合时滞的分数阶响应系统的动力学特征，利用密钥参数α,t₀,C,A,B,H,f,τ,σ及初始值

获得响应系统的三维混沌信号，并对响应系统的三维混沌信号进行重采样，得到三组大小为M*N的离散混沌序列

步骤S3、分别对步骤S2中生成的离散混沌序列X、Y、Z按照原始顺序均分为三份，分别记为

步骤S4、分别将

按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，并分别将

对应的二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵

步骤S5、分别将步骤S4的伪随机矩阵

与颜色分量矩阵R⁴、G⁴、B⁴中对应的每个元素进行DNA异或运算，得到第一次解密后的图像矩阵R^3’、G^3’、B^3’；

步骤S6、对序列

按照步骤S4的方法进行处理得到伪随机矩阵

并分别将伪随机矩阵

与第一次解密后的图像矩阵R^3’、G^3’、B^3’进行DNA减法运算，得到第二次解密后的图像矩阵R^2’、G^2’、B^2’；

步骤S7、按照升序排列规则对应的逆过程对第二次解密后的图像矩阵R^2’、G^2’、B^2’对应的像素的位置进行还原，得到解密置乱后的序列，再将解密置乱后的序列转换为图像矩阵得到第三次解密后的图像矩阵R^1’、G^1’、B^1’；

步骤S8、采用一维Logistic混沌映射系统产生混沌序列W，并将混沌序列W按照原始顺序均分为三份，记为W¹、W²、W³；

步骤S9、对序列W¹、W²、W³按照步骤S4的方法进行处理得到伪随机矩阵W1、W2、W3，并分别将伪随机矩阵W1、W2、W3与第三次解密后的图像矩阵R^1’、G^1’、B^1’进行DNA加法运算，获得原始图像的颜色分量矩阵R、G、B。

所述步骤S2中的获得响应系统的三维混沌信号的方法为：

混合时滞的分数阶响应系统的动力学方程为：

其中，

表示分数阶Caputo微分，0<α<1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，u(t)＝(u₁(t),u₂(t),…,u_n(t))^T表示控制输入，ρ＝max{τ,σ}，

是响应网络的n维状态变量，

是一个正的对角矩阵，

表示激活函数向量，τ(t)＝(τ₁(t),τ₂(t),…,τ_n(t))^T和σ(t)＝(σ₁(t),σ₂(t),…,σ_n(t))^T均表示时变传输延迟时间，0≤τ_i(t)≤τ，0≤σ_i(t)≤σ，i＝1,2,…,n；A表示连接权重矩阵，B表示离散延迟连接权重矩阵，H表示分布式延迟连接权重矩阵，J表示外部输入；若选取的参数n＝3，α＝0.98，t₀＝0，τ₁(t)＝τ₂(t)＝τ₃(t)＝e^t/(1+e^t)，σ₁(t)＝σ₂(t)＝σ₃(t)＝t/(1+t)，τ＝σ＝1，f₁(y)＝f₂(y)＝f₃(y)＝sin(y)，C＝diag(0.2,0.2,0.2)，u(t)＝diag(32,32,32)，

当初始条件选取为

s＝[-1，0]时，所获得的动力学方程的解x(t)具有混沌现象，从而获得具有混沌现象的三维混沌信号x(t)；所述重采样的采样周期为h，采样数量为M*N；对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得三组大小为M*N的离散混沌序列

本技术方案能产生的有益效果：本发明中的图像加密方法中包含了像素位置置乱和DNA计算技术。首先读取原始三维彩色图像，获得对应的三个颜色分量矩阵，然后对具有混合时滞的分数阶复杂网络系统进行迭代，并得到与明文像素大小总数相符的三个序列。分别对生成的每个序列按照原始排列顺序均分为三份，然后按照列优先的方式分别重组为和原始图像的颜色分量矩阵大小相等的二维数组，并将其元素的值限制在区间[0，255]内。将第一个序列均分三份并经处理得到的三个矩阵的每一列分别与原始图像的三个颜色分量矩阵每一列进行DNA异或运算，得到第一次加密后的图像矩阵。将第二个序列均分三份并经处理得到的三个矩阵分别与第一次加密后的图像矩阵进行DNA加法运算，得到第二次加密图像矩阵。将第三个序列均分三份，使第二次加密后的图像矩阵相对应的序列对应于混沌序列中的元素的位置。随后，混沌序列以升序重新排列，并且第二次加密后的图像矩阵相对应的像素序列的位置跟升序重新排列后的序列中元素的位置变化，再将变化后的图像矩阵相对应的像素序列转换为图像矩阵以获得第三次加密的图像矩阵。对一维Logistic混沌映射系统产生的混沌序列按照原始顺序均分为三份，按照列优先的方式分别重组为和原始图像的三个颜色分量矩阵大小相等的三个二位数组，将此三个图像矩阵分别与第三次加密后的图像矩阵进行DNA减法运算，获得最终加密的图像矩阵。解密算法为加密算法的逆过程。本发明密钥灵敏性强，抗攻击能力强，有效地保证了加密图像的保密性和安全性。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的彩色图像加密解密的流程图。

图2为本发明的置乱规则示例图。

图3为本发明的原始图像、加密图像、解密图像及其直方图，其中，(a)为原始图像，(b)为加密图像，(c)为解密图像；(d1)、(d2)、(d3)分别为原始图像的R、G、B颜色分量的直方图，(e1)、(e2)、(e3)分别为加密图像的R、G、B颜色分量的直方图，(f1)、(f2)、(f3)分别为解密图像的R、G、B颜色分量的直方图。

图4为本发明原始图像和加密图像分别在水平、垂直和对角方向相邻像素相关性的分析图，其中，(g1)为原始图像的水平方向，(h1)为加密图像的水平方向，(g2)为原始图像的垂直方向，(h2)为加密图像的垂直方向，(g3)为原始图像的对角线方向，(h3)为加密图像的对角线方向。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，一种基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，通过对图像像素矩阵进行规范化处理，同时利用分段线性的混沌映射和混合时滞的高维分数阶复杂系统的混沌动力学行为，从而实现彩色图像的加密与解密。由于采用分段线性的混沌映射和混合时滞的高维分数阶复杂系统的混沌动力学行为，从而引入了更多的控制参数，复杂度有所提高，因此，本发明不仅可以将彩色图像信息准确地从发送方输出到接收方，而且加密图像的安全性也得到了提高。本发明的具体步骤包括：

步骤一、读取一幅大小为3*M*N的彩色图像作为明文图像，读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为M*N的颜色分量矩阵R、G、B(以0～255无符号整型矩阵为例)。

其中，M*N的大小可选取128*128，三个二维颜色分量矩阵R、G、B分别对应原始彩色图像的R、G、B三个分量图像。无符号整型矩阵中像素的取值范围为0～255。

步骤二、利用基于混合时滞的分数阶驱动系统的动力学特征，在密钥

s＝[-1，0]的初始输入条件下，获得驱动系统的三维混沌信号，并对驱动系统的三维混沌信号进行重采样，得到三组大小为M*N的离散混沌序列X、Y、Z；

所述步骤二中获得驱动系统的三维混沌信号的方法为：

混合时滞的分数阶驱动系统的动力学方程为：

其中，

表示分数阶Caputo微分，0<α<1表示分数阶的阶次，t₀＝0表示初始时刻；

是神经网络的n维状态变量，

是一个正的对角矩阵，

表示激活函数向量，τ(t)＝(τ₁(t),τ₂(t),…,τ_n(t))^T和σ(t)＝(σ₁(t),σ₂(t),…,σ_n(t))^T均表示时变传输延迟时间，ρ＝max{τ,σ}，0≤τ_i(t)≤τ，0≤σ_i(t)≤σ，i＝1,2,…,n，τ和σ为常数，τ表示时滞τ_i(t)和σ_i(t)的上界，σ表示时滞σ_i(t)的上界，

表示系统的初始条件，A表示连接权重矩阵，B表示离散延迟连接权重矩阵，H表示分布式延迟连接权重矩阵，J表示外部输入；若选取的参数n＝3，α＝0.98，t₀＝0，τ₁(t)＝τ₂(t)＝τ₃(t)＝e^t/(1+e^t)，σ₁(t)＝σ₂(t)＝σ₃(t)＝t/(1+t)，τ＝σ＝1，f₁(x)＝f₂(x)＝f₃(x)＝sin(x)，C＝diag(0.2,0.2,0.2)，

当初始条件选取为

s＝[-1，0]时，所获得的动力学方程的解x(t)具有混沌现象，从而获得具有混沌现象的三维混沌信号x(t)；所述重采样的采样周期为h＝0.05，采样数量为M*N；对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得三组大小为M*N的离散混沌序列X、Y、Z。其中，α,t₀,C,A,B,H,f,τ,σ,

作为密钥。

步骤三、分别对步骤二中生成的离散混沌序列X、Y、Z按照原始顺序均分为三份，分别记为X¹、X²、X³、Y¹、Y²、Y³、Z¹、Z²、Z³；对混沌序列按照原始顺序均分为三份是为了对应于图像中的三个彩色分量。

步骤四、分别将X¹、X²、X³按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，并分别将X¹、X²、X³对应的二维数组进行规范化处理(将其元素的值限制在区间[1，256]内)得到伪随机矩阵X1、X2、X3；对伪随机序列X1、X2、X3按照列优先的方式重组是由于在使用Matlab工具时采取的按列的方式排列重组。

所述将混沌序列X¹、X²、X³按照行递增排序的方式生成大小为M*N的矩阵

的实现方法为：

其中u＝1,2,…,M，v＝1,2,…,N；X¹((u-1)N+v)、X²((u-1)N+v)、X³((u-1)N+v)分别为混沌序列X¹、X²、X³的第(u-1)N+v个元素，

分别是矩阵

的第u行v列的元素值。

所述将X¹、X²、X³对应的二维数组进行规范化处理的方法为：

其中，X¹(m)、X²(m)、X³(m)分别是离散混沌序列X¹、X²、X³的第m个元素，X₁(m)、X₂(m)、X₃(m)分别是规范化处理后的X1、X2、X3的第m个元素，m＝1,2,…,M×N，[·]是四舍五入取整符号。

步骤五、分别将步骤四的伪随机矩阵X1、X2、X3与颜色分量矩阵R、G、B中对应的每个元素进行DNA异或运算，得到第一次加密后的图像矩阵R¹、G¹、B¹；选取矩阵X1、X2、X3中的每列元素并将其转换为二进制，然后分别与原始图像的颜色分量矩阵R、G、B每一列进行DNA异或运算，得到三个二维数组，分别记为R¹、G¹、B¹；

DNA异或运算、DNA加法运算和DNA减法运算过程中对DNA进行编码的方法为：DNA分子由四种脱氧核糖核苷酸聚合而成，其中，四种脱氧核糖核苷酸分别对应00、01、10、11四种二进制编码；在进行DNA运算过程中，先将混沌序列X1、X2、X3、Y1、Y2、Y3、Z1、Z2、Z3、颜色分量矩阵R、G、B中的每一个元素转为二进制，然后从满足DNA分子序列结构与碱基互补配对原则的8种编码方式中选取第一种编码方式进行DNA运算，8种编码方式如表1所示：

表1 DNA运算8种编码方式

其中，A、G、C、T分别表示DNA分子的四种脱氧核糖核苷酸。

所述DNA异或运算的方法如表2所示：

表2 DNA异或运算的编码方法

步骤六、对序列Y¹、Y²、Y³按照步骤四的方法进行处理得到伪随机矩阵Y1、Y2、Y3，并分别将伪随机矩阵Y1、Y2、Y3与第一次加密后的图像矩阵R¹、G¹、B¹进行DNA加法运算，得到第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²；

所述DNA加法运算的方法如表3所示：

表3 DNA加法运算的编码方法

步骤七、使序列Z¹、Z²、Z³中的元素与第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²相对应的像素序列的位置相对应；再将序列Z¹、Z²、Z³以升序重新排列，将第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²相对应的像素的位置随升序重新排列后的序列Z¹、Z²、Z³中元素的位置进行变化，再将变化后的第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²相对应的像素转换为图像矩阵得到第三次加密后的图像矩阵R³、G³、B³；

所述混沌序列Z¹、Z²、Z³与进行升序排列操作后获取的序列

的索引之间的映射关系为：

F(l)＝n，

其中l是混沌序列Z¹、Z²、Z³的索引，n是所获取的置乱后的序列

的索引，l,n＝{1,2,…,M*N}。那么，第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²相对应的像素的位置随升序重新排列后的混沌序列中元素的位置进行变化后得到第三次加密后的图像矩阵R³、G³、B³的规则为：

给出图2为例进行说明。

步骤八、采用一维Logistic混沌映射系统产生混沌序列W，并将混沌序列W按照原始顺序均分为三份，记为W¹、W²、W³；

所述一维Logistic混沌映射系统的映射公式为：

a(j+1)＝μ×a(j)×(1-a(j))，

其中，μ是映射的参数，a(j)表示一维Logistic混沌映射系统第i次迭代后的状态值。μ的取值范围是(3.7,4]，本发明选择μ＝3.8作为，此处的初始值和参数μ作为密钥。

步骤九、对序列W¹、W²、W³按照步骤四的方法进行处理得到伪随机矩阵W1、W2、W3，并分别将伪随机矩阵W1、W2、W3与第三次加密后的图像矩阵R³、G³、B³进行DNA减法运算，获得最终加密的图像矩阵R⁴、G⁴、B⁴。

所述DNA减法运算的方法如表4所示：

表4 DNA减法运算的编码方法

将具有混合时滞分数阶驱动响应系统同步后的响应系统产生的混沌序列用作图像的解密算法，其具体过程为加密算法的逆过程。其解密方法为：

步骤S1、读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为M*N的颜色分量矩阵R⁴、G⁴、B⁴；

步骤S2、设具有混合时滞分数阶驱动响应系统在时刻T₁达到同步，从T₂时刻(T₂≥T₁)开始,利用基于混合时滞的分数阶响应系统的动力学特征，利用密钥参数α,t₀,C,A,B,H,f,τ,σ及初始值

获得响应系统的三维混沌信号，并对响应系统的三维混沌信号进行重采样，得到三组大小为M*N的离散混沌序列

所述步骤S2中的获得响应系统的三维混沌信号的方法为：

混合时滞的分数阶响应系统的动力学方程为：

其中，

表示分数阶Caputo微分，0<α<1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，u(t)＝(u₁(t),u₂(t),…,u_n(t))^T表示控制输入，ρ＝max{τ,σ}，

是响应网络的n维状态变量，

是一个正的对角矩阵，

表示激活函数向量，τ(t)＝(τ₁(t),τ₂(t),…,τ_n(t))^T和σ(t)＝(σ₁(t),σ₂(t),…,σ_n(t))^T均表示时变传输延迟时间，0≤τ_i(t)≤τ，0≤σ_i(t)≤σ，i＝1,2,…,n；A表示连接权重矩阵，B表示离散延迟连接权重矩阵，H表示分布式延迟连接权重矩阵，J表示外部输入；若选取的参数n＝3，α＝0.98，t₀＝0，τ₁(t)＝τ₂(t)＝τ₃(t)＝e^t/(1+e^t)，σ₁(t)＝σ₂(t)＝σ₃(t)＝t/(1+t)，τ＝σ＝1，f₁(y)＝f₂(y)＝f₃(y)＝sin(y)，C＝diag(0.2,0.2,0.2)，u(t)＝diag(32,32,32)，

当初始条件选取为

s＝[-1，0]时，所获得的动力学方程的解x(t)具有混沌现象，从而获得具有混沌现象的三维混沌信号x(t)；所述重采样的采样周期为h＝0.05，采样数量为M*N；对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得三组大小为M*N的离散混沌序列

步骤S3、分别对步骤S2中生成的离散混沌序列X、Y、Z按照原始顺序均分为三份，分别记为

步骤S4、分别将

按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，并分别将

对应的二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵

步骤S5、分别将步骤S4的伪随机矩阵

与颜色分量矩阵R⁴、G⁴、B⁴中对应的每个元素进行DNA异或运算，得到第一次解密后的图像矩阵R^3’、G^3’、B^3’；

步骤S6、对序列

按照步骤S4的方法进行处理得到伪随机矩阵

并分别将伪随机矩阵

与第一次解密后的图像矩阵R^3’、G^3’、B^3’进行DNA减法运算，得到第二次解密后的图像矩阵R^2’、G^2’、B^2’；

步骤S7、按照升序排列规则对应的逆过程对第二次解密后的图像矩阵R^2’、G^2’、B^2’对应的像素的位置进行还原，得到解密置乱后的序列，再将解密置乱后的序列转换为图像矩阵得到第三次解密后的图像矩阵R^1’、G^1’、B^1’；

步骤S8、采用一维Logistic混沌映射系统产生混沌序列W，并将混沌序列W按照原始顺序均分为三份，记为W¹、W²、W³；

步骤S9、对序列W¹、W²、W³按照步骤S4的方法进行处理得到伪随机矩阵W1、W2、W3，并分别将伪随机矩阵W1、W2、W3与第三次解密后的图像矩阵R^1’、G^1’、B^1’进行DNA加法运算，获得原始图像的颜色分量矩阵R、G、B。

在本发明具体实施例中，利用一种基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法对原始彩色图像进行加密，具有对初始值的高度敏感性和伪随机性，可以有效地对原始图像进行像素的置换和置乱，使像素均匀分布，有利于提高鲁棒性，且本发明的密钥空间足够大，能够抵抗暴力攻击，增加了加密效果的安全性，如图3(a)、(b)、(c)所示分别为本发明的原始Lena图像、加密图像和解密图像。

统计直方图能够直观反映图像像素的分布情况。图3中(d1)、(d2)、(d3)为原始图像的像素分布直方图，图3中(e1)、(e2)、(e3)为加密图像的像素分布直方图。对比图3(d1)、(d2)、(d3)和图3(e1)、(e2)、(e3)可以看出，原始图像像素直方图分布不均匀，容易受到统计分析的攻击，加密图像像素直方图分布均匀，可以隐藏图像的特征信息，有效抵御统计攻击。对比图3中的(d1)、(d2)、(d3)和图3中的(f1)、(f2)、(f3)，原始图像和解密图像的直方图基本相同。

对于加密方法而言，密钥空间必须足够大才能抵御穷举攻击。本发明的密钥不仅含Logistic混沌映射2个(初始值和参数μ)，还包括混合时滞的高维分数阶驱动和响应系统的控制参数和初始值11个。密钥共计13个，其中三维矩阵密钥5个，三维向量密钥2个，说明本发明的密钥空间足够大，可以有效防止暴力攻击。

相邻像素间的相关系数计算公式如下：

其中x_l和y_l分别是数字图像中的两个相邻像素点，L＝5000是选取像素的个数，E(x)是像素的均值，D(x)是像素的方差，cov(x,y)是像素的协方差，ρ_xy是相邻像素间的相关性系数。

图4中的(g1)、(g2)、(g3)、(h1)、(h2)、(h3)分别为原始图像和加密图像的像素与他们水平、垂直、对角线方向相邻像素值的相关性分析统计图，具体的数据如表5。结果分析得到在原始图像中随机选择的像素点在各方向中均表现出了强烈的相关性。而加密后的图像中与各方向相邻像素的相关性几乎为0。因此，本发明中的图像加密方法可以有效地降低相邻像素间的相关性，满足加密算法的安全性需求。

表5 原始图像和加密图像在水平、垂直、对角线方向的相关系数

方向	水平方向	垂直方向	对角方向
				原始图像相关系数	0.9627	0.9176	0.8715
加密图像相关系数	-0.0034	0.0066	-0.0302

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其特征在于，其步骤如下：

步骤一、读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为M*N的颜色分量矩阵R、G、B；

步骤二、利用基于混合时滞的分数阶驱动系统的动力学特征，在初始密钥的输入条件下，获得驱动系统对应的三维混沌信号，并对驱动系统的三维混沌信号进行重采样，得到三组大小为M*N的离散混沌序列X、Y、Z；

步骤三、分别对步骤二中生成的离散混沌序列X、Y、Z按照原始顺序均分为三份，分别记为X¹、X²、X³、Y¹、Y²、Y³、Z¹、Z²、Z³；

步骤四、分别将X¹、X²、X³按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，并分别将X¹、X²、X³对应的二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵X1、X2、X3；

步骤五、分别将步骤四的伪随机矩阵X1、X2、X3与颜色分量矩阵R、G、B中对应的每个元素进行DNA异或运算，得到第一次加密后的图像矩阵R¹、G¹、B¹；

步骤六、对序列Y¹、Y²、Y³按照步骤四的方法进行处理得到伪随机矩阵Y1、Y2、Y3，并分别将伪随机矩阵Y1、Y2、Y3与第一次加密后的图像矩阵R¹、G¹、B¹进行DNA加法运算，得到第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²；

步骤七、对序列Z¹、Z²、Z³以升序重新排列，将第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²相对应的像素的位置随升序重新排列后的序列Z¹、Z²、Z³中元素的位置进行变化，再将变化后的第二次加密后的图像矩阵R²、G²、B²相对应的像素转换为图像矩阵得到第三次加密后的图像矩阵R³、G³、B³；

步骤八、采用一维Logistic混沌映射系统产生混沌序列W，并将混沌序列W按照原始顺序均分为三份，记为W¹、W²、W³；

步骤九、对序列W¹、W²、W³按照步骤四的方法进行处理得到伪随机矩阵W1、W2、W3，并分别将伪随机矩阵W1、W2、W3与第三次加密后的图像矩阵R³、G³、B³进行DNA减法运算，获得最终加密的图像矩阵R⁴、G⁴、B⁴。

2.根据权利要求1所述的基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其特征在于，所述步骤二中获得驱动系统的三维混沌信号的方法为：

混合时滞的分数阶驱动系统的动力学方程为：

其中，

表示分数阶Caputo微分，0<α<1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻；

是神经网络的n维状态变量，

是一个正的对角矩阵，

表示激活函数向量，τ(t)＝(τ₁(t),τ₂(t),…,τ_n(t))^T和σ(t)＝(σ₁(t),σ₂(t),…,σ_n(t))^T均表示时变传输延迟时间，ρ＝max{τ,σ}，τ表示时滞τ_i(t)的上界，σ表示时滞σ_i(t)的上界，

表示系统的初始条件，0≤τ_i(t)≤τ，0≤σ_i(t)≤σ，i＝1,2,…,n；A表示连接权重矩阵，B表示离散延迟连接权重矩阵，H表示分布式延迟连接权重矩阵，J表示外部输入；若选取的参数n＝3，α＝0.98，t₀＝0，τ₁(t)＝τ₂(t)＝τ₃(t)＝e^t/(1+e^t)，σ₁(t)＝σ₂(t)＝σ₃(t)＝t/(1+t)，τ＝σ＝1，f₁(x)＝f₂(x)＝f₃(x)＝sin(x)，C＝diag(0.2,0.2,0.2)，

当初始条件选取为

s＝[-1，0]时，所获得的动力学方程的解x(t)具有混沌现象，从而获得具有混沌现象的三维混沌信号x(t)；所述重采样的采样周期为h，采样数量为M*N；对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得三组大小为M*N的离散混沌序列X、Y、Z。

3.根据权利要求2所述的基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其特征在于，所述将X¹、X²、X³对应的二维数组进行规范化处理的方法为：

其中，X¹(m)、X²(m)、X³(m)分别是离散混沌序列X¹、X²、X³的第m个元素，X₁(m)、X₂(m)、X₃(m)分别是规范化处理后的X1、X2、X3的第m个元素，m＝1,2,…,M×N，[·]是四舍五入取整符号。

4.根据权利要求3所述的基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其特征在于，DNA异或运算、DNA加法运算和DNA减法运算过程中对DNA进行编码的方法为：DNA分子由四种脱氧核糖核苷酸聚合而成，其中，四种脱氧核糖核苷酸分别对应00、01、10、11四种二进制编码；在进行DNA运算过程中，先将混沌序列X1、X2、X3、Y1、Y2、Y3、Z1、Z2、Z3、颜色分量矩阵R、G、B中的每一个元素转为二进制，然后从满足DNA分子序列结构与碱基互补配对原则的8种编码方式中选取第一种编码方式进行DNA运算，8种编码方式如下：

其中，A、G、C、T分别表示DNA分子的四种脱氧核糖核苷酸。

5.根据权利要求4所述的基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其特征在于，所述DNA异或运算的方法为：

所述DNA加法运算的方法为：

所述DNA减法运算的方法为：

6.根据权利要求1所述的基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其特征在于，所述一维Logistic混沌映射系统的映射公式为：

a(j+1)＝μ×a(j)×(1-a(j))，

其中，μ是映射的参数，a(j)表示一维Logistic混沌映射系统第j次迭代后的状态值，j＝M*N为迭代次数。

7.根据权利要求1、3、4或5所述的基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其特征在于，其解密方法为：

步骤S1、读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为M*N的颜色分量矩阵R⁴、G⁴、B⁴；

步骤S2、利用基于混合时滞的分数阶响应系统的动力学特征，利用密钥参数α,t₀,C,A,B,H,f,τ,σ及初始值

获得响应系统的三维混沌信号，并对响应系统的三维混沌信号进行重采样，得到三组大小为M*N的离散混沌序列

步骤S3、分别对步骤S2中生成的离散混沌序列X、Y、Z按照原始顺序均分为三份，分别记为

步骤S4、分别将

按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，并分别将

对应的二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵

步骤S5、分别将步骤S4的伪随机矩阵

与颜色分量矩阵R⁴、G⁴、B⁴中对应的每个元素进行DNA异或运算，得到第一次解密后的图像矩阵R^3’、G^3’、B^3’；

步骤S6、对序列

按照步骤S4的方法进行处理得到伪随机矩阵

并分别将伪随机矩阵

与第一次解密后的图像矩阵R^3’、G^3’、B^3’进行DNA减法运算，得到第二次解密后的图像矩阵R^2’、G^2’、B^2’；

步骤S7、按照升序排列规则对应的逆过程对第二次解密后的图像矩阵R^2’、G^2’、B^2’对应的像素的位置进行还原，得到解密置乱后的序列，再将解密置乱后的序列转换为图像矩阵得到第三次解密后的图像矩阵R^1’、G^1’、B^1’；

步骤S8、采用一维Logistic混沌映射系统产生混沌序列W，并将混沌序列W按照原始顺序均分为三份，记为W¹、W²、W³；

步骤S9、对序列W¹、W²、W³按照步骤S4的方法进行处理得到伪随机矩阵W1、W2、W3，并分别将伪随机矩阵W1、W2、W3与第三次解密后的图像矩阵R^1’、G^1’、B^1’进行DNA加法运算，获得原始图像的颜色分量矩阵R、G、B。

8.根据权利要求7所述的基于混合时滞的分数阶复杂系统同步实现的图像加密方法，其特征在于，所述步骤S2中的获得响应系统的三维混沌信号的方法为：

混合时滞的分数阶响应系统的动力学方程为：

其中，

表示分数阶Caputo微分，0<α<1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，u(t)＝(u₁(t),u₂(t),…,u_n(t))^T表示控制输入，ρ＝max{τ,σ}，

是响应网络的n维状态变量，

是一个正的对角矩阵，

表示激活函数向量，τ(t)＝(τ₁(t),τ₂(t),…,τ_n(t))^T和σ(t)＝(σ₁(t),σ₂(t),…,σ_n(t))^T均表示时变传输延迟时间，0≤τ_i(t)≤τ，0≤σ_i(t)≤σ，i＝1,2,…,n；A表示连接权重矩阵，B表示离散延迟连接权重矩阵，H表示分布式延迟连接权重矩阵，J表示外部输入；若选取的参数n＝3，α＝0.98，t₀＝0，τ₁(t)＝τ₂(t)＝τ₃(t)＝e^t/(1+e^t)，σ₁(t)＝σ₂(t)＝σ₃(t)＝t/(1+t)，τ＝σ＝1，f₁(y)＝f₂(y)＝f₃(y)＝sin(y)，C＝diag(0.2,0.2,0.2)，u(t)＝diag(32,32,32)，

当初始条件选取为

s＝[-1，0]时，所获得的动力学方程的解x(t)具有混沌现象，从而获得具有混沌现象的三维混沌信号x(t)；所述重采样的采样周期为h，采样数量为M*N；对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得三组大小为M*N的离散混沌序列

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