CN113556223B - 基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其步骤为：读取三维彩色图像获得颜色分量矩阵；基于分数阶驱动系统获得混沌信号，并进行重采样得到离散混沌序列；将离散混沌序列按列方式排列重组得到二维数组，将二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵；用伪随机矩阵对颜色分量矩阵进行二进制异或运算，得到第一次加密的颜色分量矩阵；对第一次加密的颜色分量矩阵与伪随机矩阵进行置乱运算，得到第二次加密的颜色分量矩阵；对第二次加密的颜色分量矩阵进行等面积映射置乱得到最终加密后的图像颜色分量矩阵。本发明密钥空间大，灵敏性强，抗攻击能力强，能够有效保证加密图像的安全性和保密性。

Description

基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法

技术领域

本发明涉及数字图像加密的技术领域，尤其涉及一种基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法。

背景技术

互联网的迅速普及已经成为信息时代的重要标志，任何人在任何时间、任何地点都可以通过网络发布任何信息。然而，在面对大量的信息共享和便利的同时，也同样面临着大量数据被泄露、篡改和假冒的事实。目前，如何保证信息的安全已经成为研究的关键，其中，图像信息在信息交换中尤为重要，由于其传递信息的直观性，在网络上越来越流行，同时由于一些图像信息会涉及到个人的隐私、商业机密以及国家安全，在传输过程中必须采取秘密的传输方式，因此，数字图像的信息安全已经成为国际上研究的热门课题。

为了保证数字图像的信息安全，就要对图像进行加密。图像加密的研究过程，是将图像有效地进行加密和隐藏，而最关键的是能否将图像在几乎无任何细节损失或扭曲的情况下还原出来。由于混沌系统具有遍历性、随机性、对系统参数和初始值敏感性以及不可预测性等特性，与密码学之间存在着一些对应关系，能够作为图像加密的研究参考。在当代密码学中，在选择随机序列时常使用混沌系统来产生伪随机序列。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象，是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，表现为不确定性、不可重复、不可预测。使用混沌系统作为随机序列，为图像加密的过程提供了更多的自由度，扩大了密钥空间，增加了外界攻击的难度。

近年来，通过对分数阶系统的研究，发现分数阶微积分的遗传和记忆特性可以更准确地描述生物神经网络。利用这一特性构建的模型能使混沌系统产生的序列更加随机，同时还可以扩展密钥空间。将分数阶系统应用于图像加密中，既可以保证加密过程的安全性，又能增强密钥的复杂性。

发明内容

针对目前已有的图像加密方法存在的运算复杂、密码系统的时间复杂度和空间复杂度高，且加密技术的安全性较低的技术问题，本发明提出一种基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，具有随机性强、复杂性程度高的优点。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：一种基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其步骤如下：

步骤一、读取原始的三维彩色图像，获得三个颜色分量矩阵R、G和B；

步骤二、基于具有时变时滞的分数阶驱动系统获得混沌信号，并对混沌信号进行重采样，得到三个离散混沌序列；

步骤三、分别将三个离散混沌序列按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，将二维数组进行规范化处理得到三个伪随机矩阵；

步骤四、用三个伪随机矩阵分别对颜色分量矩阵R、G、B进行二进制异或运算，得到第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1；

步骤五、对第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1分别与三个伪随机矩阵进行置乱运算，得到第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2；

步骤六、对第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2进行等面积映射置乱，得到最终加密后的图像颜色分量矩阵R3、G3、B3。

所述分数阶驱动系统的数学模型为：

其中，

是t时刻分数阶系统的Caputo微分，0＜θ＜1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，C表示所求的微分是Caputo微分；

是神经网络t时刻的n维状态变量，

表示激活函数；

表示时变时滞项，且满足

p＝1,…,n，

表示时滞的上界；Ξ＝diag(ξ₁,…,ξ_n)＞0是一个正的对角矩阵，表示为自反馈矩阵，ξ₁,…,ξ_n表示对角元素；

和

都是连接权矩阵；

表示外部输入矩阵。

所述混沌信号的获得方法为：

选取参数n＝2，θ＝0.98，t₀＝0，

Ξ＝diag(1,1)、

在密钥x(s)＝(0.1,-2)^T，s∈[-1,0]的初始条件下，获得分数阶驱动系统二维的混沌信号；

所述三维彩色图像的大小为M*N*3，三维彩色图像的RGB三个分量的颜色分量矩阵R、G和B均是大小为M*N的无符号整型矩阵；

所述重采样的采样周期为h＝0.02，采样数量为M*N；

所述重采样得到两组大小为M*N的离散混沌序列X、Y，令Z＝X作为第三组混沌序列，得到三个离散混沌序列X、Y、Z。

所述伪随机矩阵X1、Y1、Z1的得到方法为：

将三个离散混沌序列X、Y、Z按列方式排列重组生成大小为M*N的二维数组X¹、Y¹、Z¹的方法为：

其中，m＝1,2,…,M，n＝1,2,…,N；X((m-1)N+n)、Z((m-1)N+n)分别为离散混沌序列X、Y、Z的第(m-1)N+n个元素，X¹(m,n)、Y¹(m,n)、Z¹(m,n)分别是二维数组X¹、Y¹、Z¹的第m行、n列的元素值；

所述将二维数组X¹、Y¹、Z¹进行规范化处理得到伪随机矩阵X1、Y1、Z1的方法为：

其中，X¹(m)、Y¹(m)、Z¹(m)分别是离散混沌序列X、Y、Z重组后二维数组X¹、Y¹、Z¹的第m个元素，X1(m)、Y1(m)、Z1(m)分别是规范化处理后的X、Y、Z的第m个元素，m＝1,2,…,M×N，[·]是四舍五入取整符号；从而将伪随机矩阵X1、Y1、Z1中元素的值限制在区间[0，255]内。

所述步骤四中的二进制异或运算的方法为：

其中，n＝1,2,...N，m＝1,2,...M，

表示异或运算，R1(n,m)、G1(n,m)、B1(n,m)、R(n,m)、G(n,m)、B(n,m)、X1(n,m)、Y1(n,m)、Z1(n,m)分别表示经过异或运算后的颜色分量矩阵R1、G1、B1颜色分量矩阵R、G、B及伪随机矩阵X1、Y1、Z1的第n行、第m列的元素值。

所述步骤五中置乱运算的实现方法为：对伪随机矩阵X1、Y1、Z1以升序进行重新排列分别得到序列

把第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1相对应的像素位置按升序排列后与序列

中的元素位置进行变化，再将变化后的第一次加密后的图像矩阵R1、G1、B1相对应的像素转换为图像矩阵，得到第二次加密后的颜色分量矩阵R2、G2、B2。

所述伪随机矩阵X1、Y1、Z1与进行了升序排列操作后获取的序列

的索引之间的映射关系为：

F(l)＝n，

其中，l是伪随机矩阵X1、Y1、Z1的索引，n是所获取的置乱后的序列

的索引，l,n＝{1,2,…,M*N}；

第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1相对应的像素的位置随升序重新排列后元素的位置进行变化后得到第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2的规则为：

所述步骤六中等面积映射置乱的方法为：生成一个3*3的矩阵A，利用矩阵A对颜色分量矩阵进行等面积映射置乱：第二次加密后的颜色分量矩阵R2矩阵的等面积映射置

乱为：

其中，m,n＝1,...,M；i,j,k＝1,...,N；

其中，N为图片的长乘宽的1/3次方的整数；(x、y、z)是像素在原图像中的坐标位置，(x'、y'、z')是变换后的位置，mod为模运算；

矩阵A是一个行列式为1的矩阵，且各元素都为整数，矩阵A的生成过程如下：

a₁₁＝1+ace,a₁₂＝c,a₁₃＝c+ac+abce,

a₂₁＝f+ae+acef,a₂₂＝cf+1,

a₃₁＝ade+e,a₃₂＝d,

a₃₃＝abde+ad+be+1,

其中，a11-a33为矩阵A中的元素，Φ＝(a,b,c,d,e,f)为密钥参数。

基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法的解密方法的步骤为：

步骤S1、读取加密后的三维彩色图像，并获得三个大小为M*N的颜色分量矩阵R3、G3、B3；

步骤S2、利用具有时变时滞的分数阶响应系统的动力学特征、密钥参数

t₀,Ξ,M,K,

及初始值x(s)，获得分数阶响应系统的二维混沌信号，并对二维混沌信号进行重采样，得到两组大小为M*N的离散混沌序列

令

作为第三组离散混沌序列；

步骤S3、将离散混沌序列

按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵

步骤S4、用伪随机矩阵

分别对颜色分量矩阵R3、G3、B3进行异或运算，得到第一次解密后的颜色分量矩阵R2、G2、B2；

步骤S5、按照升序排列规则对应的逆过程对第一次解密后的颜色分量矩阵R2、G2、B2对应的像素的位置进行还原，得到解密置乱后的序列，再将解密置乱后的序列转换为图像矩阵得到第二次解密后的图像矩阵R1、G1、B1；

步骤S6、对第二次解密后的图像矩阵R1、G1、B1进行逆等面积映射置乱，得到最终解密后的颜色分量矩阵R、G、B，颜色分量矩阵R、G、B组成三维彩色图像。

所述步骤S2中获得分数阶响应系统的二维混沌信号的方法为：

分数阶响应系统的数学模型为：

其中，

代表的是t时刻分数阶系统的Caputo微分，0＜θ＜1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，C表示所求的微分是Caputo微分；

是分数阶系统的n维状态变量，

表示激活函数；

表示时变时滞项，且满足

p＝1,…,n，

表示时滞的上界；Ξ＝diag(ξ₁,…,ξ_n)＞0是一个正的对角矩阵，表示为自反馈矩阵，ξ₁,…,ξ_n表示对角元素；

和

都是连接权矩阵；

表示外部输入矩阵；控制器

其中ζ(t)＝y(t)-x(t)为同步误差向量，常数b>0表示控制增益；ρ、

为正的常数；sign(ζ(t))为ζ(t)的符号函数；

选取参数n＝2，θ＝0.98，t₀＝0，

Ξ＝diag(1,1)和

初始值为x(s)＝(0.1,-2)^T，s∈[-1,0]时，获得的二维混沌信号x(t)具有混沌现象，且在控制器U(t)的控制下，分数阶响应系统在有限时间t＝6s后与分数阶驱动系统达到同步状态；

对二维混沌信号x(t)进行重采样，重采样的采样周期为h＝0.02，采样数量为M*N，获得两组大小为M*N的离散混沌序列

和

所述逆等面积映射置乱的公式为：

其中，矩阵C是等面积映射置乱中矩阵A的逆矩阵。

与现有技术相比，本发明的有益效果：图像加密方法包含了混沌序列与颜色分量矩阵的异或运算和等面积映射置乱；首先读取原始的三维彩色图像得到相应的三个颜色分量矩阵，然后对具有时变时滞的分数阶驱动响应系统进行迭代计算，得到了与原始图像像素大小总数相等的三个混沌序列；分别对这三个混沌序列按照列优先的方式重组为和原始图像的颜色分量矩阵大小相等的二维数组，并将它们的元素的值限制在区间[0，255]内，得到了三个伪随机矩阵；将原始图像的三个颜色分量矩阵分别与经过规范化处理后得到的三个伪随机矩阵进行二进制异或运算，得到第一次加密后的图像矩阵；对三个伪随机矩阵以升序进行重新排列，把第一次加密后的图像颜色分量矩阵相对应的像素位置按伪随机矩阵中的元素位置进行变化，再将变化后的图像矩阵相对应的像素序列转换为图像矩阵以获得第二次加密的图像矩阵；对第二次加密后得到的颜色分量矩阵进行等面积映射置乱，得到最终加密后的图像颜色分量矩阵。解密过程为加密过程的逆过程。本发明密钥空间大，灵敏性强，抗攻击能力强，能够有效保证加密图像的安全性和保密性。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明加密和解密的流程示意图。

图2为本发明的置乱规则示例图。

图3为本发明的原始图像、加密图像、解密图像及其直方图，其中，(a1)为原始图像的灰度图，(a2)为加密图像的灰度图，(a3)为解密图像的灰度图；(b1)、(b2)、(b3)分别为原始图像的R、G、B颜色分量的直方图，(c1)、(c2)、(c3)分别为加密图像的R、G、B颜色分量的直方图，(d1)、(d2)、(d3)分别为解密图像的R、G、B颜色分量的直方图。

图4为本发明原始图像和加密图像分别在水平、垂直和对角方向相邻像素相关性的分析图，其中，(e1)为原始图像的水平方向，(e2)为原始图像的垂直方向，(e3)为原始图像的对角线方向；(f1)为加密图像的水平方向，(f2)为加密图像的垂直方向，(f3)为加密图像的对角线方向。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，一种基于分数阶驱动响应系统的有限时间同步的图像加密方法，通过对图像矩阵进行规范化处理，同时利用具有时变时滞的分数阶复杂系统的混沌动力学行为，从而实现对三维彩色图像进行加密和解密的过程。由于采用具有时变时滞的分数阶复杂系统的混沌动力学行为，进一步引入了更多的控制参数，扩大了密钥空间，提高了复杂度，因此，本发明不仅可以将彩色图像的信息准确地从发送侧输出到接收侧，而且加密图像的安全性也得到了很大的提高。本发明的具体步骤包括：

步骤一、读取原始三维彩色图像，获得三个颜色分量矩阵R、G和B。

读取一幅大小为M*N*3的彩色图像作为明文图像，读取原始的三维彩色图像，获得对应的三个大小为M*N的颜色分量矩阵R、G和B(以0～255无符号整型矩阵为例)。其中，M*N的大小可选取128*128，三个二维颜色分量矩阵R、G、B分别对应原始彩色图像的R、G、B三个分量的图像。无符号整型矩阵中像素的取值范围为0～255。

步骤二、基于具有时变时滞的分数阶驱动系统获得对应的混沌信号，并对混沌信号进行重采样，得到三个离散混沌序列。

利用基于时变时滞的分数阶驱动系统的动力学特征，在密钥x(s)＝(0.1,-2)^T，s∈[-1,0]的初始输入条件下，获得分数阶驱动系统的二维混沌信号，并对驱动系统的二维混沌信号进行重采样，得到两组大小为M*N的离散混沌序列X、Y，同时令Z＝X作为第三组混沌序列。

分数阶驱动系统的二维混沌信号的获得方法为：

具有时变时滞的分数阶驱动系统的数学模型为：

其中，

是t时刻分数阶系统的Caputo微分，0＜θ＜1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，C表示所求的微分是Caputo微分；

是神经网络t时刻的n维状态变量，

表示激活函数；

表示时变时滞项，且满足

p＝1,…,n，

表示时滞的上界；Ξ＝diag(ξ₁,…,ξ_n)＞0是一个正的对角矩阵，表示为自反馈矩阵，ξ₁,…,ξ_n表示对角元素，为节点的自反馈；

和

都是连接权矩阵；

表示外部输入矩阵。

若选取的参数n＝2，θ＝0.98，t₀＝0，

Ξ＝diag(1,1)、

当选取状态变量的初始值为x(s)＝(0.1,-2)^T时所获得的解即状态变量x(t)具有混沌现象，其中，s∈[-1,0]，θ,t₀,Ξ,M,K,

以及初始条件x(s)均作为密钥，因此可以获得二维的混沌信号；对混沌信号进行重采样，重采样的采样周期为h＝0.02，采样数量为M*N；即对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得两组大小为M*N的离散混沌序列X、Y，由于原始图像具有三个颜色分量矩阵，为了与它对应，令Z＝X作为第三组混沌序列(混沌序列具有随机性，用两组同样的混沌序列分别对不同的颜色分量进行处理不会影响结果)。

步骤三、分别将三个离散混沌序列X、Y、Z按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，并分别将离散混沌序列X、Y、Z对应的二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵X₁、Y₁、Z₁；对离散混沌序列X、Y、Z按照列优先的方式重组是由于在使用Matlab工具时采取的按列的方式排列重组。规范化处理是将其元素的值限制在区间[0，255]内。

将三个离散混沌序列X、Y、Z按列方式排列重组的方式生成大小为M*N的矩阵

的实现方法为：

其中，m＝1,2,…,M，n＝1,2,…,N；X((m-1)N+n)、Z((m-1)N+n)分别为离散混沌序列X、Y、Z的第(m-1)N+n个元素，X¹(m,n)、Y¹(m,n)、Z¹(m,n)分别是二维数组X¹、Y¹、Z¹的第m行、n列的元素值；

所述将离散混沌序列X、Y、Z对应的二维数组进行规范化处理的方法为：

其中，X¹(m)、Y¹(m)、Z¹(m)分别是离散混沌序列X、Y、Z重组后二维数组X¹、Y¹、Z¹的第m个元素，X(m)、Y(m)、Z(m)分别是规范化处理后的X、Y、Z的第m个元素，m＝1,2,…,M×N，[·]是四舍五入取整符号。

步骤四、用伪随机矩阵X1、Y1、Z1分别对颜色分量矩阵R、G、B进行二进制异或运算，完成第一次加密，得到第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1。

所述二进制异或运算的公式为：

其中，n＝1,2,...N，m＝1,2,...M，

表示异或运算，R1(n,m)、G1(n,m)、B1(n,m)、R(n,m)、G(n,m)、B(n,m)、X1(n,m)、Y1(n,m)、Z1(n,m)分别表示经过异或运算后的颜色分量矩阵R1、G1、B1颜色分量矩阵R、G、B及伪随机矩阵X1、Y1、Z1的第n行、第m列的元素值。由于X1、Y1、Z1具有为随机性，因此通过二进制异或运算后能够对图像矩阵加密。根据异或运算的特点，加密后的图像矩阵具有较高的信息熵，从而提高了破解的难度。

步骤五、对第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1分别与伪随机矩阵X1、Y1、Z1进行置乱运算，得到第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2。

置乱运算的具体过程如下：对伪随机矩阵X1、Y1、Z1以升序进行重新排列分别得到序列

把第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1相对应的像素位置按升序排列后与序列

中的元素位置进行变化，再将变化后的第一次加密后的图像矩阵R1、G1、B1相对应的像素转换为图像矩阵，得到第二次加密后的颜色分量矩阵R2、G2、B2。

所述伪随机矩阵X1、Y1、Z1与进行了升序排列操作后获取的序列

的索引之间的映射关系为：

F(l)＝n，

其中，l是伪随机矩阵X1、Y1、Z1的索引，n是所获取的置乱后的序列

的索引，l,n＝{1,2,…,M*N}。那么，第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1相对应的像素的位置随升序重新排列后元素的位置进行变化后得到第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2的规则为：

给出图2为例进行说明。置乱运算利用了分数阶驱动系统的混沌序列的所有位置信息，鲁棒性强，既保证了随机性，又能保证解密的完整性。

步骤六、对第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2进行等面积映射置乱，得到最终加密后的图像颜色分量矩阵R3、G3、B3。

所述等面积映射置乱的实现方法为：

以经过第二次加密后的颜色分量矩阵R2矩阵为例：

其中m,n＝1,...,M；i,j,k＝1,...,N。

其中，N为图片的长乘宽的1/3次方的整数(对于128*128的R2颜色分量矩阵，N＝25)。(x、y、z)是像素在原图像中的坐标位置，(x'、y'、z')是变换后的位置，mod为模运算。

矩阵A是一个行列式为1的矩阵，且各元素都为整数，矩阵A的生成过程如下：

a₁₁＝1+ace,a₁₂＝c,a₁₃＝c+ac+abce,

a₂₁＝f+ae+acef,a₂₂＝cf+1,

a₃₁＝ade+e,a₃₂＝d,

a₃₃＝abde+ad+be+1,

其中，a11-a33为矩阵A中的元素，Φ＝(a,b,c,d,e,f)为密钥参数，取a、b、c、e为1，d、f为2时，得到矩阵

所构造的矩阵A是行列式为1整数矩阵，且A的逆矩阵也是行列式为1整数矩阵，能够保证图像的坐标在置乱前后一一对应。由于图像的像素值总体上没有变化，因此该置乱方法称为等面积映射置乱。等面积置乱方法具有直观、简单、计算复杂度低，鲁棒性强等优点，使原本有意义的图像变成了像白噪声一样无意义的图像，从而实现了信息的隐藏。

将具有时变时滞的分数阶驱动响应系统同步后的响应系统产生的混沌序列用作图像的解密算法，其具体过程为加密算法的逆过程。因此，本发明对应的解密方法为：

步骤S1、读取加密后的三维彩色图像，获得对应的三个大小为M*N的颜色分量矩阵R3、G3、B3。

步骤S2、利用具有时变时滞的分数阶响应系统的动力学特征，利用密钥参数θ,t₀,Ξ,M,K,

及初始值x(s)，获得分数阶响应系统的二维混沌信号，并对分数阶响应系统的二维混沌信号进行重采样，得到两组大小为M*N的离散混沌序列

另外令

作为第三组混沌序列。

所述步骤S2中的获得分数阶响应系统的二维混沌信号的方法为：

具有时变时滞分数阶响应系统的数学模型为：

其中，

代表的是t时刻分数阶系统的Caputo微分，0＜θ＜1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，C表示所求的微分是Caputo微分；

是分数阶响应系统的n维状态变量，

表示激活函数；

表示时变时滞项，且满足

p＝1,…,n，

表示时滞的上界；Ξ＝diag(ξ₁,…,ξ_n)＞0是一个正的对角矩阵，表示为自反馈矩阵，(ξ₁,…,ξ_n表示对角元素，为节点的自反馈)；

和

都是连接权矩阵；

表示外部输入矩阵；控制器

其中ζ(t)＝y(t)-x(t)为同步误差向量，常数b>0表示控制增益；ρ、

为正的常数确保有限时间内实现同步；sign(ζ(t))为ζ(t)的符号函数；

若选取的参数n＝2，θ＝0.98，t₀＝0，

Ξ＝diag(1,1)和

当选取初始值为x(s)＝(0.1,-2)^T，s∈[-1,0]时，所获得的解x(t)具有混沌现象，并且在控制器U(t)的控制下，具有时变时滞的分数阶响应系统在有限时间t＝6s后可以与分数阶驱动系统达到同步状态。其中，θ,t₀,Ξ,M,K,

以及初始条件x(s)均作为密钥，因此可以获得二维的混沌信号；对混沌信号进行重采样；重采样的采样周期为h＝0.02，由于系统t＝6s后达到同步，对达到有限时间同步后的混沌信号进行采样，采样数量为M*N；对二维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得两组大小为M*N的离散混沌序列

同时

令作为第三组混沌序列。驱动响应系统能够实现有限时间同步，在有限时间内与驱动系统实现同步后的响应系统生成的序列

与加密算法中驱动系统生成的序列X、Y、Z序列完全一致，这样更利于图像的完整还原度，增强图像加解密的性能。

步骤S3、将离散混沌序列

按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，进行规范化处理得到伪随机矩阵

步骤S4、用伪随机矩阵

分别对颜色分量矩阵R3、G3、B3进行异或运算，得到第一次解密后的颜色分量矩阵R2、G2、B2；

步骤S5、按照升序排列规则对应的逆过程对第一次解密后的颜色分量矩阵R2、G2、B2对应的像素的位置进行还原，得到解密置乱后的序列，再将解密置乱后的序列转换为图像矩阵得到第二次解密后的图像矩阵R1、G1、B1；利用逆置乱的解密方法可以完整地还原原始像素的位置。

所述混沌序列X1、Y1、Z1与进行升序排列操作后获取的序列

的索引之间的映射关系为：

F(l)＝n，

其中l是混沌序列X1、Y1、Z1的索引，n是所获取的置乱后的序列

的索引，l,n＝{1,2,…,M*N}。那么，第一次解密后的图像矩阵R2、G2、B2相对应的像素的位置随升序重新排列后的混沌序列中元素的位置进行变化后得到第二次加密后的图像矩阵R1、G1、B1。的规则为：

步骤S6、对第二次解密后的图像矩阵R1、G1、B1进行逆等面积映射置乱，得到最终解密后的颜色分量矩阵R、G、B，颜色分量矩阵R、G、B组成三维彩色图像即是原始加密的三维彩色图像。

逆等面积映射置乱的公式为：

其中，矩阵C是加密步骤六中矩阵A的逆矩阵。逆等面积映射置乱利用等面积置乱中矩阵A的逆矩阵进行计算，不改变坐标的数值，将坐标还原为原来的位置。

在本发明具体实施例中，一种基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法对原始彩色图像进行加密，具有对初始值的高度敏感性和伪随机性，可以有效地对原始图像进行像素的置换和置乱，使像素均匀分布，有利于提高鲁棒性，且本发明的密钥空间足够大，能够抵抗暴力攻击，增加了加密效果的安全性，如图3(a1)、(a2)、(a3)所示分别为本发明的原始Lena图像、加密图像和解密图像的灰度图，可以看出加密后的图像能够完整的隐藏原始图像的特征信息，加密效果很好，而解密图像也能完整的还原回原始图像。

统计直方图能够直观反映图像像素的分布情况。图3中(b1)、(b2)、(b3)分别为原始图像R、G、B颜色分量的像素分布直方图，图3中(c1)、(c2)、(c3)分别为加密图像R、G、B颜色分量的像素分布直方图。对比图3中(b1)、(b2)、(b3)和图3中(c1)、(c2)、(c3)可以看出，原始图像的像素直方图分布不均匀，容易受到统计分析的攻击，加密图像的像素直方图分布均匀，可以隐藏图像的特征信息，有效抵御统计攻击。对比图3中的(e1)、(e2)、(e3)和图3中的(f1)、(f2)、(f3)可以看出，原始图像和解密图像的直方图基本相同。

对于加密方法而言，密钥空间必须足够大才能抵御穷举攻击。本发明的密钥包括时变时滞的分数阶驱动响应系统的控制参数和初始值8个(θ,t₀,Ξ,M,K,

x(s))，密钥共计9个(θ,t₀,Ξ,M,K,

x(s)和Φ)，其中二维矩阵密钥3个(Ξ,M,K)，二维向量密钥3个(

x(s))，说明本发明的密钥空间足够大，可以有效防止暴力攻击。

相邻像素间的相关系数计算公式如下：

其中，x_l和y_l分别是数字图像中的两个相邻像素点，L＝6000是选取像素的个数，E(x)是像素的均值，D(x)是像素的方差，cov(x,y)是像素的协方差，ρ_xy是相邻像素间的相关性系数。

图4中的(e1)、(e2)、(e3)、(f1)、(f2)、(f3)分别为原始图像和加密图像的像素与它们水平、垂直、对角线方向相邻像素值的相关性分析统计图，具体的数据如表1所示。结果分析得到在原始图像中随机选择的像素点在各方向中均表现出了强烈的相关性，而加密后的图像中与各方向相邻像素的相关性几乎为0。因此，本发明中的图像加密方法可以有效地降低相邻像素间的相关性，满足加密算法的安全性需求。

表1原始图像和加密图像在水平、垂直、对角线方向的相关系数

方向	水平方向	垂直方向	对角方向
				原始图像相关系数	0.9599	0.9110	0.8874
加密图像相关系数	-0.0054	-0.0126	0.0209

本发明的骤可以概括为：提取原始三维彩色图像的颜色分量矩阵；利用具有时变时滞的分数阶驱动系统的动力学行为特性得到二维的混沌图；对二维混沌图进行采样获得两组混沌序列，选择其中一组序列作为第三组混沌序列；对三组混沌序列进行重采样，规范化处理生成三个伪随机矩阵；三个伪随机矩阵分别与原始彩色图像的三个颜色分量矩阵进行异或运算，完成第一次加密；再用伪随机矩阵分别对第一次加密后的颜色分量矩阵进行置乱，得到第二次加密后的图像矩阵；对第二次加密得到的颜色分量矩阵进行等面积映射置乱，得到最终加密后的图像矩阵。本发明的加密过程随机性强，并且密钥的灵敏性能高，能够有效的防止外部攻击，能够实现图像加密功能，具有保密性和安全性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，其步骤如下：

步骤一、读取原始的三维彩色图像，获得三个颜色分量矩阵R、G和B；

步骤二、基于具有时变时滞的分数阶驱动系统获得混沌信号，并对混沌信号进行重采样，得到三个离散混沌序列；

步骤三、分别将三个离散混沌序列按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，将二维数组进行规范化处理得到三个伪随机矩阵；

步骤四、用三个伪随机矩阵分别对颜色分量矩阵R、G、B进行二进制异或运算，得到第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1；

步骤五、对第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1分别与三个伪随机矩阵进行置乱运算，得到第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2；

步骤六、对第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2进行等面积映射置乱，得到最终加密后的图像颜色分量矩阵R3、G3、B3；

所述步骤六中等面积映射置乱的方法为：生成一个3*3的矩阵A，利用矩阵A对颜色分量矩阵进行等面积映射置乱：第二次加密后的颜色分量矩阵R2矩阵的等面积映射置乱为：

其中，m,n＝1,...,M；i,j,k＝1,...,N；

其中，N为图片的长乘宽的1/3次方的整数；(x、y、z)是像素在原图像中的坐标位置，(x'、y'、z')是变换后的位置，mod为模运算；

矩阵A是一个行列式为1的矩阵，且各元素都为整数，矩阵A的生成过程如下：

a₁₁＝1+ace,a₁₂＝c,a₁₃＝c+ac+abce,

a₂₁＝f+ae+acef,a₂₂＝cf+1,

a₃₁＝ade+e,a₃₂＝d,

a₃₃＝abde+ad+be+1,

其中，a11-a33为矩阵A中的元素，Φ＝(a,b,c,d,e,f)为密钥参数。

2.根据权利要求1所述的基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，所述分数阶驱动系统的数学模型为：

其中，

是t时刻分数阶系统的Caputo微分，

表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，C表示所求的微分是Caputo微分；

是神经网络t时刻的n维状态变量，

表示激活函数；

表示时变时滞项，且满足

表示时滞的上界；Ξ＝diag(ξ₁,…,ξ_n)＞0是一个正的对角矩阵，表示为自反馈矩阵，ξ₁,…,ξ_n表示对角元素；

和

都是连接权矩阵；

表示外部输入矩阵。

3.根据权利要求2所述的基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，所述混沌信号的获得方法为：

选取参数n＝2，

t₀＝0，

Ξ＝diag(1,1)、

在密钥x(s)＝(0.1,-2)^T，s∈[-1,0]的初始条件下，获得分数阶驱动系统二维的混沌信号；

所述三维彩色图像的大小为M*N*3，三维彩色图像的RGB三个分量的颜色分量矩阵R、G和B均是大小为M*N的无符号整型矩阵；

所述重采样的采样周期为h＝0.02，采样数量为M*N；

所述重采样得到两组大小为M*N的离散混沌序列X、Y，令Z＝X作为第三组混沌序列，得到三个离散混沌序列X、Y、Z。

4.根据权利要求3所述的基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，伪随机矩阵X1、Y1、Z1的得到方法为：

将三个离散混沌序列X、Y、Z按列方式排列重组生成大小为M*N的二维数组X¹、Y¹、Z¹的方法为：

其中，m＝1,2,…,M，n＝1,2,…,N；X((m-1)N+n)、Z((m-1)N+n)分别为离散混沌序列X、Y、Z的第(m-1)N+n个元素，X¹(m,n)、Y¹(m,n)、Z¹(m,n)分别是二维数组X¹、Y¹、Z¹的第m行、n列的元素值；

将二维数组X¹、Y¹、Z¹进行规范化处理得到伪随机矩阵X1、Y1、Z1的方法为：

其中，X¹(m)、Y¹(m)、Z¹(m)分别是离散混沌序列X、Y、Z重组后二维数组X¹、Y¹、Z¹的第m个元素，X1(m)、Y1(m)、Z1(m)分别是规范化处理后的X、Y、Z的第m个元素，m＝1,2,…,M×N，[·]是四舍五入取整符号；从而将伪随机矩阵X1、Y1、Z1中元素的值限制在区间[0，255]内。

5.根据权利要求1或4所述的基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，所述步骤四中的二进制异或运算的方法为：

其中，n＝1,2,…N，m＝1,2,…M，

表示异或运算，R1(n,m)、G1(n,m)、B1(n,m)、R(n,m)、G(n,m)、B(n,m)、X1(n,m)、Y1(n,m)、Z1(n,m)分别表示经过异或运算后的颜色分量矩阵R1、G1、B1、颜色分量矩阵R、G、B及伪随机矩阵X1、Y1、Z1的第n行、第m列的元素值。

6.根据权利要求5所述的基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，所述步骤五中置乱运算的实现方法为：对伪随机矩阵X1、Y1、Z1以升序进行重新排列分别得到序列

把第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1相对应的像素位置按升序排列后与序列

中的元素位置进行变化，再将变化后的第一次加密后的颜色分量矩阵R1、G1、B1相对应的像素转换为图像矩阵，得到第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2。

7.根据权利要求6所述的基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，所述伪随机矩阵X1、Y1、Z1与进行了升序排列操作后获取的序列

的索引之间的映射关系为：

F(l)＝n，

其中，l是伪随机矩阵X1、Y1、Z1的索引，n是所获取的置乱后的序列

的索引，l,n＝{1,2,…,M*N}；

第一次加密的颜色分量矩阵R1、G1、B1相对应的像素的位置随升序重新排列后元素的位置进行变化后得到第二次加密的颜色分量矩阵R2、G2、B2的规则为：

8.根据权利要求1-4、6、7中任意一项所述的基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，其解密方法的步骤为：

步骤S1、读取加密后的三维彩色图像，并获得三个大小为M*N的颜色分量矩阵R3、G3、B3；

步骤S2、利用具有时变时滞的分数阶响应系统的动力学特征、密钥参数

t₀,Ξ,M,K,

及初始值x(s)，获得分数阶响应系统的二维混沌信号，并对二维混沌信号进行重采样，得到两组大小为M*N的离散混沌序列

令

作为第三组离散混沌序列；

步骤S3、将离散混沌序列

按列方式排列重组得到与颜色分量矩阵大小相同的二维数组，二维数组进行规范化处理得到伪随机矩阵

步骤S4、用伪随机矩阵

分别对颜色分量矩阵R3、G3、B3进行异或运算，得到第一次解密后的颜色分量矩阵R2、G2、B2；

步骤S5、按照升序排列规则对应的逆过程对第一次解密后的颜色分量矩阵R2、G2、B2对应的像素的位置进行还原，得到解密置乱后的序列，再将解密置乱后的序列转换为图像矩阵得到第二次解密后的颜色分量矩阵R1、G1、B1；

步骤S6、对第二次解密后的颜色分量矩阵R1、G1、B1进行逆等面积映射置乱，得到最终解密后的颜色分量矩阵R、G、B，颜色分量矩阵R、G、B组成三维彩色图像。

9.根据权利要求8所述的基于分数阶驱动响应系统有限时间同步的图像加密方法，其特征在于，所述步骤S2中获得分数阶响应系统的二维混沌信号的方法为：

分数阶响应系统的数学模型为：

其中，

代表的是t时刻分数阶系统的Caputo微分，

表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻，C表示所求的微分是Caputo微分；

是分数阶系统的n维状态变量，

表示激活函数；

表示时变时滞项，且满足

表示时滞的上界；Ξ＝diag(ξ₁,…,ξ_n)＞0是一个正的对角矩阵，表示为自反馈矩阵，ξ₁,…,ξ_n表示对角元素；

和

都是连接权矩阵；

表示外部输入矩阵；控制器

其中ζ(t)＝y(t)-x(t)为同步误差向量，常数b>0表示控制增益；ρ、

为正的常数；sign(ζ(t))为ζ(t)的符号函数；

选取参数n＝2，

t₀＝0，

Ξ＝diag(1,1)和

初始值为x(s)＝(0.1,-2)^T，s∈[-1,0]时，获得的二维混沌信号x(t)具有混沌现象，且在控制器U(t)的控制下，分数阶响应系统在有限时间t＝6s后与分数阶驱动系统达到同步状态；

对二维混沌信号x(t)进行重采样，重采样的采样周期为h＝0.02，采样数量为M*N，获得两组大小为M*N的离散混沌序列

和

所述逆等面积映射置乱的公式为：

其中，矩阵C是等面积映射置乱中矩阵A的逆矩阵。

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