CN111597568B - 基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，步骤为：读取原始三维彩色图像，获得三个颜色分量的整型矩阵；利用自然常数混沌映射构造混沌序列，将混沌序列生成整数矩阵；将整型矩阵与整数矩阵进行二进制异或运算，获得第一次加密后的颜色分量矩阵；利用分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学特性获得三维混沌信号；三维混沌信号重采样获得三组离散混沌序列，进行规范化处理得到整数混沌序列生成整数矩阵；分别将第一次加密后的颜色分量矩阵与整数矩阵进行二进制异或运算，获得加密后的颜色分量矩阵组成的彩色图像为加密图像。本发明密钥灵敏性强，抗攻击能力强，有效地保证了加密图像的保密性和安全性。

Description

基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法

技术领域

本发明涉及数字图像加密的技术领域，尤其涉及一种基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的数字图像加密方法。

背景技术

随着互联网的快速发展，语音、视频、图像等数字化信息通过互联网传播和交换逐渐成为人们交流的主要手段。在这个过程中，信息安全问题逐渐受到人们的关注。人们越来越注重对自己的隐私进行保护，防止信息被非法盗取、复制和传播，因此，如何对信息进行加密，尤其是对数字图像进行加密，成为信息安全领域的一个重要课题。

混沌系统由于其良好的伪随机特性、轨道的不可预测性以及对初始状态及控制参数的敏感性等优点，在数字图像加密技术中受到了广泛的应用。常用的混沌系统有Lorenz系统、Chen系统、Lv系统、Logistic映射、蔡氏电路等；由于这些模型应用比较广泛，其动力学特性也受到了深入的研究。随着对混沌加密技术的研究，对于常用的混沌系统的加密方案，目前已经有了一些针对这些常用的混沌系统加密后的数字图像的破解方案。因此，有必要寻求新的能产生混沌信息的系统对数字图像进行加密，使加密后的图像安全性高、不易被破解。

分数阶微积分是传统的整数阶微积分的推广。利用分数阶微积分所建立的模型比用经典的整数阶微积分建立的模型能更准确地描述一些自然现象及反映系统的形态。因此，在传统的复杂系统中引入分数阶微积分，从而得到分数阶复杂系统，具有广泛的应用前景。与整数阶复杂系统相比，分数阶复杂系统具有更复杂的动力学行为。而由分数阶复杂系统生成的混沌信号，具有维数高、随机性好、密钥空间大等特点，非常适合于数字图像加密与隐藏。

发明内容

针对常用的混沌系统加密后的数字图像可能遭受破解的技术问题，本发明提出一种基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，增大了密钥空间，增强加密图像的安全性与可靠性。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：一种基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的数字图像加密方法，其步骤如下：

步骤一：读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为N*M的颜色分量的整型矩阵R、G、B；

步骤二：利用含自然常数的混沌映射构造出大小为N×M的一维混沌序列z；按照行递增排序的方式将混沌序列z生成大小为N*M的矩阵，获得与颜色分量矩阵的维数和取值范围相同的整数矩阵Z；

步骤三：分别将整型矩阵R、G、B与步骤二中的整数矩阵Z中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得第一次加密后的颜色分量矩阵R’、G’、B’；

步骤四：利用基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的的动力学特性，在初始密钥的输入条件下，获得连续的三维混沌信号；

步骤五：对步骤四得到的三维混沌信号进行重采样，获得三组大小为N*M的离散混沌序列；

步骤六：将步骤五中的三组离散混沌序列进行规范化处理得到与颜色分量矩阵取值范围相同的整数混沌序列；再按照行递增排序的方式生成三组大小为N*M的矩阵，获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵R₁、G₁和B₁；

步骤七：分别将步骤三中的颜色分量矩阵R’、G’、B′与步骤六中的整数矩阵R₂、G₂和B₂中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*，加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*组成的彩色图像为加密图像。

所述步骤二中整数矩阵Z的获取方法为：

自然常数混沌映射公式为：

z_k+1＝uz_k(mod 2e)，k＝1，2，3，...N*M，

其中，u为已知的控制参数，mod表示取模运算，e为自然常数，z_k和z_k+1分别表示第k和k+1次迭代得到的元素；

将初始值z₁带入自然常数混沌映射并进行迭代依次产生的元素z₁，......，z_k，......，z_N×M组成混沌序列z；

将混沌序列z的数据进行规范化处理得到与颜色分量矩阵取值范围相同的整数混沌序列z1为：

z1(k)＝[(z_k-min(z))*255/(max(z)-min(z))]；

其中，min(z)和max(z)分别表示混沌序列z中的最小值和最大值，z1(k)为元素z_k规范化处理后的整数混沌序列z1中的第k个元素；[·]为四舍五入取整符号；

将整数混沌序列z1按照行递增排序的方式生成大小为N*M的整数矩阵Z的实现方法为：

Z(n，m)＝z1((n-1)M+m)；

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M；z1((n-1)M+m)为整数混沌序列z1的第(n-1)M+m个元素，Z(n，m)为整数矩阵Z的第n行、第m列的元素值。

所述步骤四中连续的三维混沌信号的实现方法为：

分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程为：

其中，

代表分数阶Caputo微分，0＜α＜1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻；x(t)＝(x₁(t)，x₂(t)，x₃(t))^T表示分布式时滞的高维分数阶复杂系统的状态向量；C是正定的对角矩阵，表示反馈矩阵；A是连接权矩阵；f(x(t))＝(f₁(x₁(t))，f₂(x₂(t))，f₃(x₃(t)))^T是激励函数向量，f_i(x(t))，i＝1，2，3表示激励函数分量；τ(t)＝(τ₁(t)，τ₂(t)，τ₃(t))^T表示分布式时滞向量函数，τ_i(t)，i＝1，2，3表示时滞分量；g(x(t))＝(g₁(x₁(t))，g₂(x₂(t))，g(x₃(t)))^T代表分布式时滞项的激励函数向量，g_i(x(t))，i＝1，2，3表示激励函数分布式时滞项的分量；U＝(U₁，U₂，U₃)^T代表三维常数输入向量，U_i，i＝1，2，3表示输入分量；若选取的参数为α＝0.98，t₀＝0，f(x(t))＝(sin(x₁(t))，sin(x₂(t))，sin(x₃(t)))^T，

g(x(t))＝(tanh(x₁(t))，tanh(x₂(t))，tanh(x₃(t)))^T以及

当初始条件选取为

s∈[-1，0]，所获得的动力学方程的解x(t)具有混沌现象；从而获得具有混沌现象的三维混沌信号x(t)；

所述步骤五中重采样的采样周期为h，采样数量为N*M；对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得三组大小为N*M的离散混沌信号序列x₁、x₂和x₃。

所述步骤六中获得整数矩阵R₁、G₁和B₁的方法为：

对离散混沌信号序列x₁、x₂和x₃进行规范化处理为：

其中，min()为序列中的最小值，max()为序列中的最大值，[·]为四舍五入取整符号，x₁’(k)、x₂’(k)、x₃’(k)、x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别表示得到的整数混沌序列x₁′、x₂′、x₃′、离散混沌信号序列x₁、x₂和x₃中第k个元素值；k＝1，2，3，....N×M，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M；

利用行递增的顺序将得到的整数混沌序列x₁′、x₂′和x₃′分别转换为三个N*M的整数矩阵R₁、G₁和B₁的实现公式为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，x₁’((n-1)M+m)、x₂’(((n-1)M+m)、x₃’(((n-1)M+m)分别表示整数混沌序列x₁′、x₂′和x₃′中第(n-1)M+m个元素值，R₁(n，m)、G₁(n，m)、B₁(n，m)分别表示整数矩阵R₁、G₁和B₁的第n行、第m列的元素值。

所述步骤三中二进制异或运算的公式为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，

表示异或运算；R′(n，m)、G′(n，m)、B′(n，m)、R(n，m)、G(n，m)、B(n，m)、Z(n，m)分别表示颜色分量矩阵R’、G’、B’、整型矩阵R、G、B、整数矩阵Z的第n行、第m列的元素值；

所述步骤七中二进制异或运算获得加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*的实现方法为：

其中，R^*(n，m)、G^*(n，m)、B^*(n，m)、R′(n，m)、G′(n，m)、B′(n，m)、R₂(n，m)、G₂(n，m)、B₂(n，m)分别表示颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*、R’、G’、B’、整数矩阵R₁、G₁、B₁的第n行、第m列的元素值。

一种基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法的解密方法为：

步骤S1：读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为N*M的颜色分量的整数矩阵R^*、G^*、B^*；

步骤S2：根据分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程，利用密钥参数α，t₀，C，A，B，f，τ，g及初始值

获得分布式时滞的高维分数阶复杂系统的混沌信号；

步骤S3：将密钥h作为采样周期对步骤S2得到的混沌信号进行离散周期采样，获得三组大小为N*M的离散混沌序列X₁、x₂、x₃；

步骤S4：将步骤S3中的三组离散混沌序列的数据进行规范化处理得到与颜色分量的整数矩阵取值范围相同的整数混沌序列；再按照行递增排序的方式处理整数混沌序列分别生成三组大小为N*M的矩阵，获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵R₁、G₁和B₁；

步骤S5：将步骤一中规范化处理的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*分别与整数矩阵R₁、G₁和B₁中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得矩阵R’、G’、B’；

步骤S6：利用含自然常数的混沌映射构造出大小为N*M混沌序列，再按照行递增排序的方式生成大小为N*M的矩阵，从而获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵Z；

步骤S7：将步骤S5中得到的矩阵R’、G’、B’分别与整数矩阵Z中对应的每个元素进行二进制异或运算，获得解密后的颜色分量矩阵R、G、B，颜色分量矩阵R、G、B组成的彩色图像即为解密后的图像。

所述步骤S2中获得三维混沌信号的方法为：

α＝0.98，t₀＝0，f(x(t))＝(sin(x₁(t))，sin(x₂(t))，sin(x₃(t)))^T，

g(x(t))＝(tanh(x₁(t))，tanh(x₂(t))，tanh(x₃(t)))^T以及

利用基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程：

获得三维混沌信号x(t)。

所述步骤S4中获得整数矩阵R₁、G₁和B₁的方法为：

将三组N*M的离散混沌序列X₁、x₂和x₃通过数据进行规范化处理：

其中，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别为离散混沌序列x1，x2，x3的第k个元素，x₁’(k)、x₂’(k)、x₃’(k)分别为规范化处理的整数混沌序列x₁’、x₂’、x₃’的第k个元素，k＝1，2，3，....N×M，[·]为四舍五入取整符号；

然后根据加密图像的大小，获得三组大小为N*M的三组整数矩阵R₁、G₁和B₁分别为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，x₁’((n-1)M+m)、x₂’((n-1)M+m)、x₃’((n-1)M+m)分别表示整数混沌序列x₁’、x₂’、x₃’的(n-1)M+m个元素值，R₁(n，m)、G₁(n，m)、B₁(n，m)分别表示整数矩阵R₁、G₁和B₁的第n行、第m列的元素值。

所述整数矩阵Z的获取方法为：

首先，将密钥为u＝3和z₁＝3代入到如下映射：

z_k+1＝uz_k(mod 2e)，k＝1，2，3，...N*M，

产生大小为N*M的混沌序列z；将混沌序列z通过如下公式获得0～255之间整数序列：

z1(k)＝[z_k-min(z))*255/(max(z)-min(z))]，

其中，[·]为四舍五入取整符号；然后，利用如下公式获得整数矩阵Z：

Z(n，m)＝z1((n-1)M+m)，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M。

所述步骤S5中颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*分别整数矩阵R₁、G₁和B₁中对应的每个元素进行的二进制异或运算为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，

表示异或运算，R′(n，m)、G′(n，m)、B′(n，m)分别为矩阵R’、G’、B’的第n行、第m列的元素，R^*(n，m)、G^*(n，m)、B^*(n，m)分别为颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*的第n行、第m列的元素，R₁(n，m)、G₁(n，m)、B₁(n，m)分别为整数矩阵R₁、G₁和B₁的第n行、第m列的元素；

所述步骤S7中矩阵R’、G’、B’分别与整数矩阵Z中对应的每个元素进行二进制异或运算为：

其中，Z(n，m)为整数矩阵Z中的第n行、第m列的元素，R(n，m)、G(n，m)、B(n，m)获得解密后的颜色分量矩阵R、G、B的第n行、第m列的元素。

本发明的有益效果：首先根据原始彩色数字图像信息获得对应的三个大小为N*M的R、G、B颜色分量矩阵；然后利用含自然常数的混沌映射产生混沌信号，并通过数据规范化生成大小为N*M的矩阵，与颜色分量矩阵进行二进制异或运算进行第一次加密，再利用含分布式时滞的高维分数阶复杂系统产生混沌信号，并将混沌信号进行重采样和数据规范化处理获得三组大小为N*M的混沌信号矩阵，并分别与三个颜色分量矩阵进行异或操作处理，从而获取加密后的图像。本发明基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统实现数字图像的加密与解密，将含自然常数的混沌映射的控制参数和初始值，及分数阶的阶次、分布式时滞的高维分数阶复杂系统的参数、初始状态输入、以及重采样周期作为密钥，蕴含了更多的参数信息，增大了密钥空间的维数，增大了破译难度，提高了彩色图像加密的安全性，且本发明具有密钥灵敏性强，抗攻击能力强等优点，可以有效地保证加密图像的保密性和安全性。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的彩色图像加密和解密的流程示意图。

图2为本发明的原始图像、加密图像、解密图像及其它们的灰度直方图，其中，(a)为原始图像的灰度图，(b)为加密图像的灰度图，(c)为解密图像的灰度图；(d1)、(d2)、(d3)分别为原始图像的R、G、B颜色分量的灰度直方图，(e1)、(e2)、(e3)分别为加密图像的R、G、B颜色分量的灰度直方图，(f1)、(f2)、(f3)分别为解密图像的R、G、B颜色分量的灰度直方图。

图3为本发明原始图像和加密图像分别在水平、垂直和对角方向相邻像素相关性的分析图，其中，(a)为原始图像的水平方向，(b)为加密图像的水平方向，(c)为原始图像的垂直方向，(d)为加密图像的垂直方向，(e)为原始图像的对角方向，(f)为加密图像的对角方向。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，一种基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，通过对图像像素矩阵进行规范化处理，同时利用含自然常数的混沌映射和分布式时滞的高维分数阶复杂系统的混沌动力学行为，从而实现彩色图像的加密与解密。由于采用含自然常数的混沌映射和分布式时滞的高维分数阶复杂系统的混沌动力学行为，从而引入了更多的控制参数，算法的复杂度有所提高，因此，本发明不仅可以将彩色图像信息准确地从发送方输出到接收方，而且加密图像的安全性也得到了提高。本发明的具体步骤包括：

步骤一：选取一幅大小为N*M*3的彩色图像作为加密对象，读取原始三维彩色图像，获得三个大小为N*M的二维颜色分量矩阵R、G和B(以0～255无符号整型矩阵为例)。

其中，N*M的大小可选取128*128，三个二维颜色分量矩阵R、G和B分别对应原始彩色图像的R、G和B三个分量图像。无符号整型矩阵中像素的取值范围为0～255。

步骤二：利用含自然常数的混沌映射构造出大小为N×M的一维混沌序列z；按照行递增排序的方式生成大小为N*M的矩阵，从而获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵Z。

其中，含自然常数的混沌映射公式为：

z_k+1＝uz_k(mod 2e)，k＝1，2，3，....N×M；

其中，u为已知的控制参数，mod表示取模运算，e为自然常数。初始值z₁＝3，通过迭代产生混沌序列z。混沌序列z的长度为262144。

将混沌序列z的数据进行规范化处理得到与颜色分量矩阵取值范围(假设取值范围为0～255)相同的整数混沌序列z1为：

z1(k)＝[(z_k-min(z))*255/(max(z)-min(z))]；

其中，min(z)和max(z)分别表示混沌序列z中的最小值和最大值，z1(k)为元素z_k规范化处理后的整数混沌序列z1中的第k个元素，从而，整数混沌序列z1的取值范围为0～255之间整数，其中，[·]为四舍五入取整符号。

进一步，大小为N*M的整数矩阵Z的实现方法为：

Z(n，m)＝z1((n-1)M+m)；

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M。z1((n-1)M+m)为整数混沌序列z1的第(n-1)M+m个元素，Z(n，m)为整数矩阵Z的第n行、第m列的元素值。

步骤三：分别将颜色分量矩阵R₁、G₁、B₁与规范化处理后的整数矩阵Z中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得第一次加密后的颜色分量矩阵R’、G’、B’。

二进制异或运算的公式为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，

表示异或运算。

步骤四：利用分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学特性，在密钥为

s∈[-1，0]的初始输入条件下，获得三维混沌信号。

分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程为：

其中，选取的分布式时滞的高维分数阶复杂系统的参数密钥分别α＝0.98，t₀＝0，f(x(t))＝(sin(x₁(t))，sin(x₂(t))，sin(x₃(t)))^T，

g(x(t))＝(tanh(x₁(t))，tanh(x₂(t))，tanh(x₃(t)))^T以及

从而获得三维混沌信号x(t)。其中，

代表分数阶Caputo微分，0＜α＜1表示分数阶的阶次；t₀表示初始时刻；x(t)＝(x₁(t)，x₂(t)，x₃(t))^T表示分布式时滞的高维分数阶复杂系统的状态向量；C是正定的对角矩阵，表示反馈矩阵；A是连接权矩阵；f(x(t))＝(f₁(x₁(t))，f₂(x₂(t))，f₃(x₃(t)))^T是激励函数向量，f_i(x(t))表示激励函数分量，i＝1，2，3；τ(t)＝(τ₁(t)，τ₂(t)，τ₃(t))^T表示分布式时滞向量函数，τ_i(t)表示时滞分量；g(x(t))＝(g₁(x₁(t))，g₂(x₂(t))，g(x₃(t)))^T代表分布式时滞项的激励函数向量，g_i(x(t))表示激励函数分布式时滞项的分量；U＝(U₁，U₂，U₃)^T代表三维常数输入向量，U_i表示输入分量。

步骤五：对步骤四得到的三维混沌信号进行重采样，获得三组大小为N*M的混沌信号序列。

所述重采样的采样周期为h＝0.05，采样数量为N*M；对三维混沌信号进行离散周期采样，从而获得三组大小为N*M的离散混沌信号序列x₁、x₂和x₃。

步骤六：将步骤五中的三组N*M的离散混沌序列的数据进行规范化处理得到与颜色分量矩阵取值范围相同的整数混沌序列；再按照行递增排序的方式生成三组大小为N*M的矩阵，获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵R₁、G₁和B₁。

首先，利用如下公式对离散混沌信号序列x₁、x₂和x₃进行规范化处理得到整数混沌序列的方法为：

将三组N*M的离散混沌序列x₁、x₂和x₃进行规范化处理分别得到取值范围为0～255的整数混沌序列x₁’、x₂’、x₃’。其中，[·]为四舍五入取整符号。

其次，利用行递增的顺序将离散混沌序列x₁、x₂和x₃转换为三个N*M的整数矩阵R₁、G₁和B₁，具体实现公式为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M。

步骤七：分别将步骤三中的颜色分量矩阵R’、G’、B’与步骤六规范化处理后的整数矩阵R₁、G₁和B₁中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*，加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*组成的彩色图像为加密图像。

二进制异或运算获得加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*的实现方法为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，

表示异或运算，从而获得加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*，包含加密后的R^*、G^*、B^*颜色分量矩阵的彩色图像即为加密后的图像。

相应地，本发明对应的解密方法，具体包括如下步骤：

步骤S1：读取大小为N*M*3的加密图像，获得对应的三个大小为N*M的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*，N*M的大小为128*128。

步骤S2：根据基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程，利用密钥参数α，t₀，C，A，f，τ，g以及

获得三维混沌信号。

根据密钥参数α＝0.98，t₀＝0，f(x(t))＝(sin(x₁(t))，sin(x₂(t))，sin(x₃(t)))^T，

g(x(t))＝(tanh(x₁(t))，tanh(x₂(t))，tanh(x₃(t)))^T，

s∈[-1，0]以及

利用如下分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程：

获得分布式时滞的高维分数阶复杂系统的三维混沌信号x(t)。

步骤S3：将密钥力作为采样周期对步骤二得到的三维混沌信号进行离散周期采样，获得三组大小为N*M的离散混沌序列x₁，x₂，x₃。

根据密钥h＝0.05对三维混沌信号进行离散周期采样，获得三组大小为N*M的离散混沌序列x₁，x₂，x₃。

步骤S4：将步骤S3中的三组N*M的离散混沌序列的数据进行规范化处理得到与颜色分量矩阵取值范围相同的整数混沌序列；再按照行递增排序的方式分别生成三组大小为N*M的矩阵，从而获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵R₁、G₁和B₁。

首先，将三组N*M的离散混沌序列x₁、x₂和x₃通过数据进行规范化处理：

其中，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别为离散混沌序列x₁、x₂、x₃的第k个元素，x₁’(k)、x₂’(k)、x₃’(k)分别为规范化处理后整数混沌序列x₁’、x₂’、x₃’的第k个元素，[·]为四舍五入取整符号，从而得到取值范围为0～255的整数混沌序列。

然后根据图像的大小信息，即N*M，通过如下公式：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，x₁’((n-1)M+m)、x₂’((n-1)M+m)、x₃’((n-1)M+m)分别表示整数混沌序列x₁’、x₂’、x₃’的(n-1)M+m个元素值，R₁(n，m)、G₁(n，m)、B₁(n，m)分别表示整数矩阵R₁、G₁和B₁的第n行、第m列的元素值。

步骤S5：分别将步骤一中规范化处理的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*与规范化处理后的三组整数矩阵R₁、G₁和B₁中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得矩阵R’、G’、B’。

分别将规范化处理的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*与规范化处理后的三组整数矩阵R₁、G₁和B₁中的对应每个元素进行如下的二进制异或运算：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，

表示异或运算，从而获得矩阵R’、G’、B’。

步骤S6：利用含自然常数的混沌映射，构造出大小为N*M混沌序列，再按照行递增排序的方式生成大小为N*M的矩阵，从而获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵Z。

首先，将密钥为u＝3和z₁＝3代入到如下映射：

z_k+1＝uz_k(mod 2e)，k＝1，2，3，...N*M，

产生大小为N*M的混沌序列z。将混沌序列z通过如下公式获得0～255之间整数序列：

z1(k)＝[z_k-min(z))*255/(max(z)-min(z))]，

其中，[·]为四舍五入取整符号。然后，利用如下公式获得整数矩阵Z：

Z(n，m)＝z1((n-1)M+m)，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M。

步骤S7：分别将矩阵R’、G’、B’与规范化处理后的整数矩阵Z中的对应每个元素进行二进制异或运算如下：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，

表示异或运算。获得解密后的颜色分量矩阵R、G、B。包含解密后的R、G、B颜色分量矩阵的彩色图像即为解密后的图像。至此完成对加密图像的解密。

在本发明具体实施例中，利用一种基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的混沌动力学行为对原始彩色图像进行加密，具有对初始值的高度敏感性和伪随机性，可以有效地对原始图像进行像素的扩散和置乱，使像素均匀分布，有利于提高鲁棒性，且本发明的密钥空间足够大，能够抵抗暴力攻击，增加了加密效果的安全性，如图2中的(a)、(b)、(c)所示分别为本发明的原始Lena图像、加密图像和解密图像。

统计直方图能够直观反映图像像素的分布情况。图2中的(d1)、(d2)、(d3)为原始图像的像素分布直方图，图2中(e1)、(e2)、(e3)为加密图像的像素分布直方图。对比图2中的(d1)、(d2)、(d3)和图(e1)、(e2)、(e3)可以看出，原始图像像素直方图分布不均匀，容易受到统计分析的攻击，加密图像像素直方图分布均匀，可以隐藏图像的特征信息，有效抵御统计攻击。对比图2中的(d1)、(d2)、(d3)和图2中的(f1)、(f2)、(f3)，原始图像和加密图像的解密图像的直方图基本相同。

对于加密方法而言，密钥空间必须足够大才能抵御穷举攻击。本发明的密钥不仅含自然常数的混沌映射2个，还包括分布式时滞的高维分数阶复杂系统的控制参数和初始值10个以及抽样周期1个。密钥共计12个，其中三维矩阵密钥2个，三维向量密钥2个，说明本发明的密钥空间足够大，可以有效防止暴力攻击。

数字图像具有非常高的冗余量，而且相邻像素之间相关性大。本发明选取水平、垂直、对角方向上60*60个相邻像素对，利用下述公式计算相邻像素间的相关系数：

其中，x_j和y_j分别是数字图像中的两个相邻像素点，L为选取像素对的个数，取为60*60。Ex和Ey分别表示像素点x_j和y_j的均值。

本发明中，原始图像和加密图像在水平、垂直和对角方向上的相关系数如表1所示。从表1可以看出，原始图像的相邻像素相关性高，相关系数接近于1，而加密图像的相关系数几乎接近于0，说明本发明可以大大地降低相邻像素之间的相关性，具有很强的抗攻击能力。

表1原始图像和加密图像的相关系数

分别绘制加密前和加密后图像在水平、垂直和对角方向上的相关图，如图3所示。图3(a)和图3(b)分别为原始图像和加密图像在水平方向上的相关性分析图；图3(c)和图3(d)分别为原始图像和加密图像在垂直方向上的相关性分析图；图3(e)和图3(f)分别为原始图像和加密图像在对角方向上的相关性分析图。从图3中可以看出，原始图像的相邻像素之间相关性较高，加密后的图像像素点分布分散，降低了相邻像素之间的相关性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，其步骤如下：

步骤一：读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为N*M的颜色分量的整型矩阵R、G、B；

步骤二：利用含自然常数的混沌映射构造出大小为N×M的一维混沌序列z；按照行递增排序的方式将混沌序列z生成大小为N*M的矩阵，获得与颜色分量矩阵的维数和取值范围相同的整数矩阵Z；

自然常数混沌映射公式为：

z_k+1＝uz_k(mod 2e)，k＝1，2，3，...N*M，

其中，u为已知的控制参数，mod表示取模运算，e为自然常数，z_k和z_k+1分别表示第k和k+1次迭代得到的元素；

步骤三：分别将整型矩阵R、G、B与步骤二中的整数矩阵Z中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得第一次加密后的颜色分量矩阵R’、G’、B’；

步骤四：利用基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学特性，在初始密钥的输入条件下，获得连续的三维混沌信号；

分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程为：

其中，

代表分数阶Caputo微分，0＜α＜1表示分数阶的阶次，t₀表示初始时刻；x(t)＝(x₁(t)，x₂(t)，x₃(t))^T表示分布式时滞的高维分数阶复杂系统的状态向量；C是正定的对角矩阵，表示反馈矩阵；A是连接权矩阵；f(x(t))＝(f₁(x₁(t))，f₂(x₂(t))，f₃(x₃(t)))^T是激励函数向量，f_i(x(t))表示激励函数分量，i＝1，2，3；τ(t)＝(τ₁(t)，τ₂(t)，τ₃(t))^T表示分布式时滞向量函数，τ_i(t)表示时滞分量；g(x(t))＝(g₁(x₁(t))，g₂(x₂(t))，g(x₃(t)))^T代表分布式时滞项的激励函数向量，g_i(x(t))表示激励函数分布式时滞项的分量；U＝(U₁，U₂，U₃)^T代表三维常数输入向量，U_i表示输入分量；

步骤五：对步骤四得到的三维混沌信号进行重采样，获得三组大小为N*M的离散混沌序列；

步骤六：将步骤五中的三组离散混沌序列进行规范化处理得到与颜色分量矩阵取值范围相同的整数混沌序列；再按照行递增排序的方式生成三组大小为N*M的矩阵，获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵R₁、G₁和B₁；

步骤七：分别将步骤三中的颜色分量矩阵R’、G’、B’与步骤六中的整数矩阵R₁ 、G₁ 和B₁ 中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*，加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*组成的彩色图像为加密图像。

2.根据权利要求1所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，所述步骤二中整数矩阵Z的获取方法为：

将初始值z₁带入自然常数混沌映射并进行迭代依次产生的元素z₁，......，z_k，......，z_N×M组成混沌序列z；

将混沌序列z的数据进行规范化处理得到与颜色分量矩阵取值范围相同的整数混沌序列z1为：

z1(k)＝[(z_k-min(z))*255/(max(z)-min(z))]；

其中，min(z)和max(z)分别表示混沌序列z中的最小值和最大值，z1(k)为元素z_k规范化处理后的整数混沌序列z1中的第k个元素；[·]为四舍五入取整符号；

将整数混沌序列z1按照行递增排序的方式生成大小为N*M的整数矩阵Z的实现方法为：

Z(n，m)＝z1((n-1)M+m)；

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M；z1((n-1)M+m)为整数混沌序列z1的第(n-1)M+m个元素，Z(n，m)为整数矩阵Z的第n行、第m列的元素值。

3.根据权利要求1所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，所述步骤四中连续的三维混沌信号的实现方法为：

若选取的参数为α＝0.98，t₀＝0，f(x(t))＝(sin(x₁(t))，sin(x₂(t))，sin(x₃(t)))^T，

g(x(t))＝(tanh(x₁(t))，tanh(x₂(t))，tanh(x₃(t)))^T以及

当初始条件选取为

所获得的动力学方程的解x(t)具有混沌现象；从而获得具有混沌现象的三维混沌信号x(t)；

所述步骤五中重采样的采样周期为h，采样数量为N*M；对三维混沌信号x(t)进行离散周期采样，获得三组大小为N*M的离散混沌信号序列x₁、x₂和x₃。

4.根据权利要求3所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，所述步骤六中获得整数矩阵R₁、G₁和B₁的方法为：

对离散混沌信号序列x₁、x₂和x₃进行规范化处理为：

其中，min()为序列中的最小值，max()为序列中的最大值，[·]为四舍五入取整符号，x₁’(k)、x₂’(k)、x₃’(k)、x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别表示得到的整数混沌序列x₁′、x₂′、x₃′、离散混沌信号序列x₁、x₂和x₃中第k个元素值；k＝1，2，3，....N×M，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M；

利用行递增的顺序将得到的整数混沌序列x₁′、x₂′和x₃′分别转换为三个N*M的整数矩阵R₁、G₁和B₁的实现公式为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，x₁’((n-1)M+m)、x₂’(((n-1)M+m)、x₃’(((n-1)M+m)分别表示整数混沌序列x₁′、x₂′和x₃′中第(n-1)M+m个元素值，R₁(n，m)、G₁(n，m)、B₁(n，m)分别表示整数矩阵R₁、G₁和B₁的第n行、第m列的元素值。

5.根据权利要求4所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，所述步骤三中二进制异或运算的公式为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，

表示异或运算；R′(n，m)、G′(n，m)、B′(n，m)、R(n，m)、G(n，m)、B(n，m)、Z(n，m)分别表示颜色分量矩阵R’、G’、B’、整型矩阵R、G、B、整数矩阵Z的第n行、第m列的元素值；

所述步骤七中二进制异或运算获得加密后的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*的实现方法为：

其中，R^*(n，m)、G^*(n，m)、B^*(n，m)、R′(n，m)、G′(n，m)、B′(n，m)、R₁ (n，m)、G₁ (n，m)、B₁ (n，m)分别表示颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*、R’、G’、B’、整数矩阵R₁、G₁、B₁的第n行、第m列的元素值。

6.根据权利要求1、4或5所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，其解密方法为：

步骤S1：读取原始三维彩色图像，获得对应的三个大小为N*M的颜色分量的整数矩阵R^*、G^*、B^*；

步骤S2：根据分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程，利用密钥参数α，t₀，C，A，B，f，τ，g及初始值

获得分布式时滞的高维分数阶复杂系统的混沌信号；

步骤S3：将密钥力作为采样周期对步骤S2得到的混沌信号进行离散周期采样，获得三组大小为N*M的离散混沌序列x₁、x₂、x₃；

步骤S4：将步骤S3中的三组离散混沌序列的数据进行规范化处理得到与颜色分量的整数矩阵取值范围相同的整数混沌序列；再按照行递增排序的方式处理整数混沌序列分别生成三组大小为N*M的矩阵，获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵R₁、G₁和B₁；

步骤S5：将步骤一中规范化处理的颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*分别与整数矩阵R₁、G₁和B₁中的对应每个元素进行二进制异或运算，获得矩阵R’、G’、B’；

步骤S6：利用含自然常数的混沌映射构造出大小为N*M混沌序列，再按照行递增排序的方式生成大小为N*M的矩阵，从而获得与颜色分量矩阵维数和取值范围相同的整数矩阵Z；

步骤S7：将步骤S5中得到的矩阵R’、G’、B’分别与整数矩阵Z中对应的每个元素进行二进制异或运算，获得解密后的颜色分量矩阵R、G、B，颜色分量矩阵R、G、B组成的彩色图像即为解密后的图像。

7.根据权利要求6所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，所述步骤S2中获得三维混沌信号的方法为：

α＝0.98，t₀＝＝0，f(x(t))＝＝(sin(x₁(t))，sin(x₂(t))，sin(x₃(t)))^T，

g(x(t))＝(tanh(x₁(t))，tanh(x₂(t))，tanh(x₃(t)))^T以及

利用基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的动力学方程：

获得三维混沌信号x(t)。

8.根据权利要求7所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，所述步骤S4中获得整数矩阵R₁、G₁和B₁的方法为：

将三组N*M的离散混沌序列x₁、x₂和x₃通过数据进行规范化处理：

其中，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别为离散混沌序列x1，x2，x3的第k个元素，x₁’(k)、x₂’(k)、x₃’(k)分别为规范化处理的整数混沌序列x₁’、x₂’、x₃’的第k个元素，k＝1，2，3，....N×M，[·]为四舍五入取整符号；

然后根据加密图像的大小，获得三组大小为N*M的三组整数矩阵R₁、G₁和B₁分别为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，x₁’((n-1)M+m)、x₂’((n-1)M+m)、x₃’((n-1)M+m)分别表示整数混沌序列x₁’、x₂’、x₃’的(n-1)M+m个元素值，R₁(n，m)、G₁(n，m)、B₁(n，m)分别表示整数矩阵R₁、G₁和B₁的第n行、第m列的元素值。

9.根据权利要求8所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，所述整数矩阵Z的获取方法为：

首先，将密钥为u＝3和z₁＝3代入到如下映射：

z_k+1＝uz_k(mod 2e)，k＝1，2，3，...N*M，

产生大小为N*M的混沌序列z；将混沌序列z通过如下公式获得0～255之间整数序列：

z1(k)＝[z_k-min(z))*255/(max(z)-min(z))]，

其中，[·]为四舍五入取整符号；然后，利用如下公式获得整数矩阵Z：

Z(n，m)＝z1((n-1)M+m)，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M。

10.根据权利要求9所述的基于分布式时滞的高维分数阶复杂系统的图像加密方法，其特征在于，所述步骤S5中颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*分别整数矩阵R₁、G₁和B₁中对应的每个元素进行的二进制异或运算为：

其中，n＝1，2，...N，m＝1，2，...，M，

表示异或运算，R′(n，m)、G′(n，m)、B′(n，m)分别为矩阵R’、G’、B’的第n行、第m列的元素，R^*(n，m)、G^*(n，m)、B^*(n，m)分别为颜色分量矩阵R^*、G^*、B^*的第n行、第m列的元素，R₁(n，m)、G₁(n，m)、B₁(n，m)分别为整数矩阵R₁、G₁和B₁的第n行、第m列的元素；

所述步骤S7中矩阵R’、G’、B’分别与整数矩阵Z中对应的每个元素进行二进制异或运算为：

其中，Z(n，m)为整数矩阵Z中的第n行、第m列的元素，R(n，m)、G(n，m)、B(n，m)获得解密后的颜色分量矩阵R、G、B的第n行、第m列的元素。

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