CN113992811B - 一种基于新型三维分数阶离散混沌映射的图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于新型三维分数阶离散混沌映射的图像加密方法，利用离散分数阶微积分，提出了一种新的分数阶三维离散混沌映射(FQLM)，此外，用数值方法讨论了分数阶差分中的混沌行为。分别给出了分岔图、最大李雅普诺夫指数图和相图。将离散分数映射转换成算法，并应用于信息安全的彩色图像加密。

Description

一种基于新型三维分数阶离散混沌映射的图像加密方法

技术领域

本发明涉及图像加密解密技术领域，特别涉及一种基于新型三维分数阶离散混沌映射的图像加密方法。

背景技术

在过去的十年中，离散动态行为及其应用由于其在安全通信领域的潜在应用而受到广泛关注。在时间尺度理论的基础上，F.M.Atici等人提出了离散分数阶微积分(DFC)来描述离散时间的动态。吴和Baleanu等人提出了离散分数阶微积分在任意时间尺度上的应用，并利用delta差分方程的理论来揭示离散混沌行为。

近年来提出了许多混沌映射，如一维混沌映射、分段线性混沌映射和混沌系统。这些映射均已应用于图像加密上。基于混沌映射，又有人提出了许多基于分数阶混沌映射的加密方法，这些方法中很多利用分数导数，一些是基于分数阶超混沌洛伦兹系统，分数阶混沌系统，延迟分数阶混沌逻辑系统。

在《Novel two dimensional fractional-order discrete chaotic map andits application to image encryption》的论文中虽然公开了分数阶混沌映射的加密方法，但其鲁棒性不高，故而本申请在此基础上对混沌映射的生成公式进行改进，增大了密钥空间，从而能够有效提高图像加密的鲁棒性。

发明内容

针对上述存在的问题，本发明提出了一种基于新型三维分数阶离散混沌映射的图像加密方法。

为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案如下：

一种基于新型三维分数阶离散混沌映射的图像加密方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：输入原始图像原始图像V；

S2：基于三维分数阶离散混沌映射将原始图像V进行置乱，生成置乱图V′；

S3：基于三维分数阶离散混沌映射将生成的置乱图V′进行加密，得到最终的加密图V″。

进一步地，所述S2中的三维分数阶离散混沌映射的公式为：

其中，ν为分数阶差分阶数，n为混沌序列的长度，j代表混沌序列的项数，x(n)、y(n)、z(n)均为产生的混沌序列的第n项，β、r为混沌映射的参数。

进一步地，步骤S2中的图像置乱步骤包括：

S21：利用公式(12)进行MN-1次迭代，并生成一维实数混沌序列x(i)，i＝1,2,……MN，且M和N分别是原始图片V的长度和宽度；

S22：采用冒泡排序法对x(i)重新排列得到x'(i)，同时将x(i)的下标变化记为y1(k)；

S23：将MxN的原始图像V转换为1xMN的序列u(k)，将u(k)按照y1(k)也采用冒泡排序重新排序，从而得到u′(k)；

S24：把u′(k)变化为MxN图像并记为V′，V′即为原始图像V置乱后的置乱图。

进一步地，步骤S3中的图像加密步骤包括：

S31：将步骤S24中得到的置乱图V′变化为1xMN的序列u(i)，再选取另一个MxN图像作为密钥的图像，即K图像，并且将所述K图像转变为1xMN的序列w(i)；

S32：设置i＝0；

S33：只保留步骤21中生成的一维实数混沌序列x(i)的x(i)×10⁸的整数部分作为x1(i)，在x1(i)与256做模运算得到x2(i)，即：

x2(i)＝mod(x1(i)，256) (14)

S34：通过公式(15)来加密像素值u(i)，得到加密后的像素值：

其中是Xor运算，u′(i)是加密的像素值；

S35：根据公式(17)计算下一轮迭代混沌映射的次数k：

k(i)＝1+mod(u′(i)，256) (17)

S36：将步骤21中的一维实数混沌序列x(i)迭代k(i)次，得到新的x(i+1)，返回S34，直到i＝MN迭代终止进入S37；

S37：把u′(i)变化为MxN的图像V″，V″即为最终得到的加密图像。

本发明的有益效果是：

本发明提出了一种新的基于分数阶差分的三维离散混沌映射的图像加密方法，通过本方法能实现图像的加密与解密，其中加密过程包括：置乱和加密两部分，在置乱和加密中均利用本发明提出的新型混沌映射。通过本发明的图像加密算法能够有效提高现有已知算法的密钥空间，提高算法的鲁棒性。

附图说明

图1为在v＝1时QLM映射关于变量r的分岔图；

图2为在v＝0.8时FQLM映射关于变量r的分岔图；

图3为v＝1时QLM映射关于变量r的最大李雅普诺夫指数；

图4为v＝0.8时FQLM映射关于变量r的最大李雅普诺夫指数；

图5为在v＝1时QLM映射关于变量β的分岔图；

图6为在v＝0.8时FQLM映射关于变量β的分岔图；

图7为v＝1时QLM映射关于变量β的最大李雅普诺夫指数；

图8为v＝0.8时FQLM映射关于变量β的最大李雅普诺夫指数；

图9为v＝1时QLM映射的相位图；

图10为v＝0.9时FQLM映射的相位图；

图11为v＝0.8时FQLM映射的相位图；

图12(a)-(c)分别为示例1的原始图像、加密图像和解密图像；

图13(a)-(c)分别为示例2的原始图像、加密图像和解密图像；

图14(a)-(g)为密钥灵敏度测试对比图；

图15(a)-(b)分别为示例1的原始图和加密图中沿x方向的相关性；

图16为示例1的直方图；

具体实施方式

为了使本领域的普通技术人员能更好的理解本发明的技术方案，下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的描述。

首先，先对本发明中相关的理论知识进行简要介绍。

1、基本定义

定义2.3设u：则v阶的分数阶和分由下式定义：

其中，u代表一个函数，t是自变量，s也是函数的自变量；

其中，a为起点，σ(s)＝s+1，t^(v)为下降函数，其定义如下：

定义2.4对于0＜v，以及在/>上定义的u(t)，卡普托状D差分定义如下：

其中，v是差分秩，m表示v向下取整再加一。

定理2.5对于δ分数差分方程：

其中，k是比m小的差分阶数，是整数；

其等价离散可积形式为：

其中初始迭代为：

且式(7)和(8)为具有长期记忆的复合差分方程。故而可以看出，离散分数阶微积分是分数阶差分方程初始化的重要工具。

设置差分秩v＝1，它可以简化为经典值，但整数阶差分方程不包含离散记忆。从方程式(6)到式(8)中，域从变为/>并且函数u(t)被保留在分数阶和分中定义孤立时间尺度/>上。

2、分数FQLM介绍

从分数微积分中，可以看出离散函数在离散映射的分数阶推广中的应用。Goggin介绍了以下QLM(量子逻辑映射)：

其中，x_n，y_n，z_n为产生的混沌序列的第n项，r，β表示混沌映射的参数。

其次，在上述基本定义的基础上，考虑x(n的分数推广，QLM被修改为卡普托状δ差分形式：

再结合定理2.5即可推导得出式(11)0＜v＜1的等价离散数值公式：

式(12)是基于公式(10)所提出的分数阶混沌映射公式，利用该公式生成的混沌映射能够增大加密算法的密钥空间，从而提高加密算法的鲁棒性；

在式(10)中设置ν＝1，x(0)＝0.5，y(0)＝0.5，z(0)＝0.5，n＝200，β＝6，在ν＝1时的QLM映射关于变量r的分岔图如附图1所示，其中r的步长设置为0.01；附图2为ν＝0.8的FQLM映射关于变量r的分岔图。从图1中可知，混沌区间对应的横坐标发生了明显变化，即混沌区明显依赖于变化的差分秩ν。

类似地，能够得到关于变量β(r＝4)的等价离散数值公式：

对于式(13)，设置x(0)＝0.1，y(0)＝0.05，z(0)＝0.1，n＝200，r＝4,β的步长设为0.001，分别得到差分秩ν＝1和ν＝0.8时关于变量β的分岔图：图5、图6。

在图3、图4、图7和图8中，对于ν＝1，最大的李雅普诺夫指数图是通过使用雅可比矩阵算法获得的。在图3、4、7、8中函数值大于零的区域(即蓝色横线以上)，最大李雅普诺夫指数LE1为正，它对应于图1、图2，图5和图6中的混沌区域。

选择51个不同的初始值，在一个图中绘制y(n)与x(n)的关系。整数映射的相位图如图9所示。然后分别考虑分数阶差ν＝0.9和ν＝0.8的各种情况，如图10和图11所示。

本发明利用式(12)提出一种基于三维分数阶离散混沌映射的图像加密算法，其设置混沌系统的初始值x₀，y₀，差分秩ν以及系数r和β为密钥，其具体包括以下几个步骤：

步骤1：输入原始图像原始图像V；

步骤2：基于三维分数阶离散混沌映射将原始图像V进行置乱，生成置乱图V′；

步骤3：基于三维分数阶离散混沌映射将生成的置乱图V′进行加密，得到最终的加密图V″。

进一步地，基于FQLM的置乱可以分为以下几个步骤：

S21：将x(1)设置为初始值x0，进行MN-1次迭代测试，其中的M和N分别是原始图片V的长度和宽度，并利用式(12)生成一维实数混沌序列x(i)，i＝1,2,……,MN；

S22：按冒泡排序对x(k)重新排序得到x′(k)，并将x(k)的下标变化记为y1(k)。

S23：将M×N的原始图像V转换为1×MN的序列u(k)，将u(k)按照类似于x(k)按照y1(k)重新排序，得到u′(k)；其转换按此方式：将V(m,n)转换为u(i)，i＝N(m-1)+n,m＝1,2,...,M；n＝1,2,...,N；

S24：把u′(k)变化为M×N图像作为V′，V′即为得到的置乱图。

进一步地，基于FQLM的加密过程分为以下几个步骤：

S31：将步骤S24中得到的置乱图V′变化为1×MN的序列u(i)，再选取另一个MxN图像作为密钥的图像，即K图像，并且将所述K图像转变为1xMN的序列w(i)；

S32：设置i＝0；

S33：只保留x(i)×10⁸的整数部分作为x1(i)，在x1(i)和256之间做模运算，得到：

x2)i)＝mod(x1(i)，256) (14)

S34：通过公式(15)加密像素值u(i)，得到加密后的像素值：

其中是Xor运算，u′(i)是加密的像素值；

式(15)的逆式是：

S35：根据公式(17)计算下一轮迭代混沌映射的次数k：

k(i)＝1+mod(u′(i)，256) (17)

S36：迭代混沌映射k(i)次，得到新的x(i+1)，返回S3，直到i＝MN；

S37：把u′(i)变化为MxN的图像V″，V″即为最终的加密图像。

解密过程可分为以下几个部分：

1.除了将步骤4改为使用公式(16)，其余执行与加密相同的步骤。

2.颠倒上述的置换过程，以消除置乱效果。

实施例

为进一步验证本方法的有效性、准确性和合理性，结合具体的算例，将本方法与其他经典算法进行验证比较。下面以两幅示例图来进行验证。

(1)示例1

图12(a)、图12(b)和图12(c)分别为示例1的原始图像、加密图像和解密图像。可以看出，原始图像并不是一个正方形图像，而是矩形图像。

(2)示例2

图13(a)、图13(b)和图13(c)则分别为示例2的原始图像、加密图像和解密图像。从加密图像和解密图像中可以看出，通过本发明的加密方法，能够加密和解密用于网络传输的图片，并能避免暴力破解等攻击。

(3)结果分析

A密钥灵敏度

在加密和解密的过程中，密钥是一样的。此外，由于该算法的耦合结构，混沌序列相互依赖。这些特性增强了加密算法的安全性，使加密算法更加鲁棒。

在本算法中，有6个密钥(x₀，y₀，z₀，ν，r，β)。附图14(a)是利用加密发送方秘密传输的正确的密钥(私钥)解密后的图像。附图14(b)是密钥x₀增加了7×10^-17且其他密钥不变下的解密图像，可以看出，解密后的图像与原始图像有很大不同。类似地，密钥y₀，z₀，ν也被增加微小的变量7×10^-17，且r，β被加了5×10^-16后以它作为密钥分别用来解密加密的图像。结果分别如图14(c-g)所示。则密钥的空间为((7×10^-17)⁴×(5×10^-16)²)^-1×2²⁶≈1.25×2³⁴²(K图像的密钥空间为2²⁶)。与其他图像加密方法相比，可以看出，本发明的加密方法对密钥敏感，并且具有很强的抵抗穷举攻击的能力。

B普通图像和加密图像的相关性

在普通图像中，相邻像素的相关系数总是很高，因为相邻像素值很接近。一个好的加密算法应该使相邻像素的相关性接近于零。相关系数越接近零，加密算法越好。相关系数通过方程在垂直、水平和对角线方向进行计算。结果如表1所示。示例1的原始图和加密图中沿x方向的相关性如附图15所示。

表1

C直方图

图像内部的颜色分布由直方图显示。原始图像具有规则的直方图，并能向攻击者提供原始图像的信息。因此，一个好的图像加密算法中的加密图像应该是均匀分布的。附图16为示例1的直方图。

D信息熵

熵是对信息内容不可预测性的一种度量。信息熵是随机性最重要的特征，用来表示系统的不确定性程度。其定义为:

其中，p(m_i)表示符号m的概率；

根据等式，图像的像素值在0至255之间。式(18)对于理想的随机图像，理想的信息熵是8位。因此，信息熵越接近8位，加密方案越好。示例1和示例2的加密图像的信息熵如表2所示。从表2的结果来看加密图像与随机图像非常接近。

表2信息熵的结果

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (1)

1.一种基于新型三维分数阶离散混沌映射的图像加密方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：输入原始图像V；

S2：基于三维分数阶离散混沌映射将原始图像V进行置乱，生成置乱图V′；

S3：基于三维分数阶离散混沌映射将生成的置乱图V′进行加密，得到最终的加密图V″；

其中，步骤S2的具体步骤包括：

S21：将x(1)设置为初始值x0，进行MN-1次迭代，并通过公式(12)生成一维实数混沌序列x(i)，i＝1，2，……MN，且M和N分别是原始图片V的长度和宽度；

其中，ν为分数阶差分阶数，n为混沌序列的长度，j代表混沌序列的项数，x(n)、y(n)、z(n)均为产生的混沌序列的第n项，β、r为混沌映射的参数；

S22：采用冒泡排序法对x(i)重新排列得到x'(i)，同时将x(i)的元素标号变化记为y1(k)；

S23：将M×N的原始图像V转换为1×MN的序列u(k)，将u(k)按照y1(k)的顺序也采用冒泡排序重新排序，从而得到u′(k)；

S24：把u′(k)变化为M×N图像并记为V′，V′即为原始图像V置乱后的置乱图；

步骤S3中的图像加密步骤包括：

S31：将步骤S24中得到的置乱图V′变化为1×MN的序列u(i)，再选取另一个M×N图像作为密钥的图像，即K图像，并且将所述K图像转变为1×MN的序列w(i)；

S32：设置i＝0；

S33：只保留步骤21中生成的一维实数混沌序列x(i)的x(i)×10⁸的整数部分作为x1(i)，在x1(i)与256做模运算得到x2(i)，即：

x2(i)＝mod(x1(i)，256) (14)

S34：通过公式(15)来加密像素值u(i)，得到加密后的像素值：

其中是Xor运算，u′(i)是加密的像素值；

S35：根据公式(17)计算下一轮迭代混沌映射的次数k：

k(i)＝1+mod(u′(i)，256) (17)

S36：将步骤21中的一维实数混沌序列x(i)迭代k(i)次，得到新的x(i+1)，返回S34，直到i＝MN迭代终止进入S37；

S37：把u′(i)变化为MxN的图像V″，V″即为最终得到的加密图像。