CN103780369A - 一种基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于分数阶映射的混沌信号产生方法，通过对经典的混沌方程进行分数阶离散化处理得到分数阶映射，利用该映射产生混沌信号。该方法中系统参数更多，信号轨迹更为复杂，这使得本发明提供的信号具有随机性强、复杂性程度高的优点，可用于数据加密、保密通讯、信息安全等领域。

Description

一种基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法

技术领域

本发明属于随机信号源技术领域，尤其涉及一种基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法。

背景技术

混沌学是二十世纪三大科学之一。混沌具有非周期性、区域遍历性、初始值敏感性等特性。特别是混沌映射在生物网络、图像处理、保密通讯、同步控制等领域有着非常广泛的应用，正受到人们越来越多的关注。

但是，目前基于经典混沌映射方法产生的信号单一，在上述领域的应用受到极大制约。例如在经典的混沌映射方法中，参数较少，信号易被破译，在实际应用中存在安全隐患。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法，旨在解决目前基于经典混沌映射方法产生的信号单一、应用受制约并且存在安全隐患的问题。

本发明是这样实现的，一种基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法，于包括以下步骤：

（1）输入系统参数：

获取离散函数模型：

$u\left(n\right)=u\left(0\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\α}(\mathrm{\μ},v,j,n)u(j-1)(1-u(j-1))---\left(1\right);$

式（1）中：u(0)为初始信号，μ为混沌参数，ν为分数阶阶数，n为信号长度，j表示第j步迭代，α(μ,ν,j,n)为离散积分核，u(n)为第n步信号，n和N设置为800，m为1,L,N的整数；

根据式（1），选定参数u(0)、μ、ν；

（2）判断上述参数能否产生混沌信号：

首先计算切映射b(m)：

$b\left(m\right)=b\left(0\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\α}(\mathrm{\μ},v,j,m)b(j-1)(1-2u(j-1)),b\left(0\right)=1---\left(2\right);$

再计算李亚谱诺夫指数λ：

$\mathrm{\λ}=\frac{1}{N}\×\ln \left|b(N-1)\right|---\left(3\right);$

在式（2）、（3）与式（1）中相同标记各参数指代相同；

判断依据为：由式（1）、式（2）以及式（3）计算出λ，假如λ>0，则说明能够产生混沌信号，否则不能产生混沌信号；

（3）计算生成混沌信号。

优选地，在步骤（1）中，所述离散函数模型获取包括：

利用分数阶离散微积分的方法，将经典的Logistic方程修正为如下差分方程：

$\mathrm{\Δ}_a^v{}_{C}u\left(t\right)=\mathrm{Ku}(t+v-1)(1-u(t+v-1)),---\left(4\right);$

式（4）中，

为分数阶差分算子，t＝1-ν，2-ν,....，a为初始点；

将式（4）中取a=0，进而将式（4）转换为离散函数模型：

$u\left(n\right)=u\left(0\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\α}(\mathrm{\μ},v,j,n)u(j-1)(1-u(j-1))---\left(1\right).$

优选地，所述分数阶离散微积分的函数模型为：

$\mathrm{\Δ}_a^v{}_{C}u\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-v)}\underset{s=a}{\overset{t-1+v}{\mathrm{\Σ}}}{(t-s-1)}^{(-v)}\mathrm{\Δu}\left(s\right)---\left(5\right),$

式（4）中，a为初始点，0＜ν＜1为分数阶阶数，t＝a+1-ν,a+2-ν,...，Δu(s)＝u(s+1)-u(s)， ${(t-s-1)}^{(-v)}=\frac{\mathrm{\Γ}(t-s)}{\mathrm{\Γ}(t-s+v)},$ Γ为伽马函数；

所述经典的Logistic方程定义为：

$\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{Ku}\left(t\right)(1-u\left(t\right))---\left(6\right).$

优选地，在步骤（3）中，所述混沌信号的计算生成包括以下步骤：

根据上述选定的参数u(0)、μ、ν能够产生混沌信号，重新赋值给参数n；

在式（1）中输入u(0)，μ，ν以及n的值，舍弃前50组信号，计算机作图u(0),L,u(n)，生成混沌信号u(0),L,u(n)。

本发明克服现有技术的不足，提供一种基于分数阶映射的混沌信号产生方法，通过对经典的混沌方程进行分数阶离散化处理得到分数阶映射，利用该映射产生混沌信号，该方法中系统参数更多，信号轨迹更为复杂，这使得本发明提供的信号具有随机性强、复杂性程度高的优点，可用于数据加密、保密通讯、水印算法、信息安全等领域。

附图说明

图1是本发明实施例中的混沌信号产生流程示意图；

图2是本发明实施例中ν取值为1时的混沌信号效果示意图；

图3是本发明实施例中ν取值为0.8时的混沌信号效果示意图；

图4是本发明实施例中ν取值为0.6时的混沌信号效果示意图；

图5是本发明实施例中ν取值为0.4时的混沌信号效果示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例

一种基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法，如图1所示，包括以下步骤：

（1）输入系统参数

利用Anastassiou（参考文献：G.A.Anastassiou，About Discrete FractionalCalculus with Inequalities，Intelligent Mathematics:ComputationalAnalysisIntelligent Systems Reference Library Volume5,2011,pp575-585.）和Abdeljawad（参考文献：T.Abdeljawad，On Riemann and Caputo fractionaldifferences，Comput.Math.Appl.62（2011）1602-1611.）提出的分数阶离散差分定义：

$\mathrm{\Δ}_a^v{}_{C}u\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-v)}\underset{s=a}{\overset{t-1+v}{\mathrm{\Σ}}}{(t-s-1)}^{(-v)}\mathrm{\Δu}\left(s\right)---\left(5\right),$

式（5）中，a为初始点，0＜ν＜1为分数阶阶数，t＝a+1-ν,a+2-ν,...，Δu(s)＝u(s+1)-u(s)， ${(t-s-1)}^{(-v)}=\frac{\mathrm{\Γ}(t-s)}{\mathrm{\Γ}(t-s+v)},$ Γ为伽马函数。

根据式（5），将经典的Logistic方程：

$\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{Ku}\left(t\right)(1-u\left(t\right))---\left(6\right),$

修正为如下差分方程：

$\mathrm{\Δ}_a^v{}_{C}u\left(t\right)=\mathrm{Ku}(t+v-1)(1-u(t+v-1)),t=1-v,2-v,...---\left(4\right),$

将式（4）取a＝0,进而将式（4）转换为如下离散模型：

$u\left(n\right)=u\left(0\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\α}(\mathrm{\μ},v,j,n)u(j-1)(1-u(j-1))---\left(1\right);$

式（1）中：u(0)为初始信号，μ为混沌参数，ν为分数阶阶数，n为信号长，j表示第j步迭代，α(μ,ν,j,n)为离散积分核，u(n)为第n步信号，n和N取800，m为1,L,N的整数；

选定参数和初始信号:u(0)、μ、ν；

更具体的，在本发明实施例中，取四组上述参数值如下所示：

第一组：μ＝3,ν＝1,n＝400,n₀＝50；

第二组：μ＝2.5,ν＝0.8,n＝400,n₀＝50；

第三组：μ＝2.4,ν＝0.6,n＝400,n₀＝50；

第四组：μ＝2.2,ν＝0.4,n＝400,n₀＝50，

n₀为舍弃信号数。

（2）判断上述参数能否产生混沌信号

首先计算切映射b(m)：

$b\left(m\right)=b\left(0\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\α}(\mathrm{\μ},v,j,m)b(j-1)(1-2u(j-1)),b\left(0\right)=1---\left(2\right);$

再计算李亚谱诺夫指数λ：

$\mathrm{\λ}=\frac{1}{N}\×\ln \left|b(N-1)\right|---\left(3\right);$

式（2）、（3）与式（1）中相同标记各参数指代相同。

判断依据为：由式（1）、（2）以及（3）计算出λ，假如λ>0，则说明能够产生混沌信号，否则不能产生混沌信号，重新设置参数u(0)、μ、ν。

（3）计算生成混沌信号

如果上述参数u(0)、μ、ν能够产生混沌信号，重新赋值给n，舍弃前50组信号，从而得出u(0),L,u(n-1)，计算机作图u(0),L,u(n-1)，结果如图2至5所示，图2至图5分别与上述第一至第四组参数取值对应，从图2和图5的结果可以看出，本发明提供的信号具有随机性强、复杂性程度高的优点，可用于数据加密、保密通讯、信息安全等领域。

相比与现有技术的缺点和不足，本发明具有以下有益效果：本发明提供的信号具有随机性强、复杂性程度高的优点，可用于数据加密、保密通讯、信息安全等领域。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法，其特征在于包括以下步骤：

（1）输入系统参数：

获取离散函数模型：

$u\left(n\right)=u\left(0\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\α}(\mathrm{\μ},v,j,n)u(j-1)(1-u(j-1))---\left(1\right);$

式（1）中：u(0)为初始信号，μ为混沌参数，ν为分数阶阶数，n为信号长度，j表示第j步迭代，α(μ,ν,j,n)为离散积分核，u(n)为第n步信号，n和N设置为800，m为1,L,N的整数；

根据式（1），选定参数u(0)、μ、ν；

（2）判断上述参数能否产生混沌信号：

首先计算切映射b(m)：

$b\left(m\right)=b\left(0\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\α}(\mathrm{\μ},v,j,m)b(j-1)(1-2u(j-1)),b\left(0\right)=1---\left(2\right);$

再计算李亚谱诺夫指数λ：

$\mathrm{\λ}=\frac{1}{N}\×\ln \left|b(N-1)\right|---\left(3\right);$

在式（2）、（3）与式（1）中相同标记各参数指代相同；

判断依据为：由式（1）、式（2）以及式（3）计算出λ，假如λ>0，则说明能够产生混沌信号，否则不能产生混沌信号；

（3）计算生成混沌信号。

2.如权利要求1所述的基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法，其特征在于，在步骤（1）中，所述离散函数模型获取包括：

利用分数阶离散微积分的方法，将经典的Logistic方程修正为如下差分方程：

$\mathrm{\Δ}_a^v{}_{C}u\left(t\right)=\mathrm{Ku}(t+v-1)(1-u(t+v-1)),---\left(4\right);$

式（4）中，

为分数阶差分算子，t＝1-ν，2-ν,....，a为初始点；

将式（4）中取a=0，进而将式（4）转换为离散函数模型：

$u\left(n\right)=u\left(0\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\α}(\mathrm{\μ},v,j,n)u(j-1)(1-u(j-1))---\left(1\right).$

3.如权利要求2所述的基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法，其特征在于，所述分数阶离散微积分的函数模型为：

$\mathrm{\Δ}_a^v{}_{C}u\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-v)}\underset{s=a}{\overset{t-1+v}{\mathrm{\Σ}}}{(t-s-1)}^{(-v)}\mathrm{\Δu}\left(s\right)---\left(5\right),$

式（4）中，a为初始点，0＜ν＜1为分数阶阶数，t＝a+1-ν,a+2-ν,...，Δu(s)＝u(s+1)-u(s)， ${(t-s-1)}^{(-v)}=\frac{\mathrm{\Γ}(t-s)}{\mathrm{\Γ}(t-s+v)},$ Γ为伽马函数；

所述经典的Logistic方程定义为：

$\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{Ku}\left(t\right)(1-u\left(t\right))---\left(6\right).$

4.如权利要求2所述的基于分数阶离散映射的混沌序列产生方法，其特征在于，在步骤（3）中，所述混沌信号的计算生成包括以下步骤：

根据上述选定的参数u(0)、μ、ν能够产生混沌信号，重新赋值给参数n；

在式（1）中输入u(0)，μ，ν以及n的值，舍弃前50组信号，计算机作图u(0),L,u(n)，生成混沌信号u(0),L,u(n)。

Images