CN105447396A - 基于Arnold变换和复合混沌的分数域图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Arnold变换和复合混沌的分数域图像加密方法，主要解决现有技术置乱程度不高、密钥灵敏性不高及鲁棒性不好的问题。其实现步骤为：(1)对图像进行广义Arnold变换，得到初步置乱图像；(2)将置乱图像进行随机相位编码，得到编码后的图像；(3)对编码后的图像进行分数傅里叶变换，得到变换后的图像；(4)利用复合混沌系统生成用于置乱的序列并对其进行处理，得到处理后的混沌序列；(5)利用处理后的混沌序列对变换后的图像进行二次置乱，得到最终的加密图。本发明置乱程度高、敏感性很强、鲁棒性好，提高了图像传输的安全性，可用于信息安全。

Description

基于Arnold变换和复合混沌的分数域图像加密方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，涉及一种图像加密方法，可用于信息安全。

背景技术

数字图像是目前最流行的多媒体形式之一，在政治、经济、国防、教育等方面均有广泛应用。图像加密是信息安全领域的一个重要问题，因此图像信息传输和图像加密技术都引起了广泛关注。近年来利用分数傅里叶变换和混沌系统对图像进行加密引起了相关研究人员的关注。

对图像进行加密，通常改变图像像素位置和像素值。Arnold变换是由俄国数学家V.J.Arnold提出的一种常用的置乱技术。因为其计算相对简单，容易实现，经常被应用于图像加密。广义Arnold变换的变换矩阵中有2个自由参数，因而运用广义Arnold变换具有更大的密钥空间，将该变换与随机相位结合的加密效果更好。但有时单一的改变像素位置的方法，并不能使图像的置乱度达到较理想的状态。

混沌现象是由确定性的混沌系统产生的一种随机现象。混沌系统产生的序列具有随机性、类噪声，还有对初始值和系统参数极度敏感等特性，因此混沌在图像加密领域被广泛应用。例如2006年，杨华千提出了一种复合离散混沌系统并将其用于图像加密；2008年，Gao等人将超混沌系统用于图像加密，此篇文章的密钥空间可达到10⁷⁰；2011年，杨雪松等人提出基于Clifford超混沌系统和Logistic混沌系统的复合超混沌系统的加密方法，并且这种加密方法与明文有一定的相关性，这种加密方法再次增大了密钥空间，在密文反馈上也得到了实现。但是以上方法仅使用混沌来对图像进行加密。由于复合混沌比logistic混沌映射的初值敏感性更好，复杂度更高，具有很好的混沌特性，将其与广义Arnold变换结合可以使图像置乱程度更高，从而能更好地加密图像。值得注意的是置乱加密图像只是在图像的空间域上进行变换，一旦密文丢失部分信息，解密图像也会随之丢失那部分信息。

分数傅里叶变换是在变换域上进行图像加密，作为一种新的加密工具，它受到了广大研究人员的关注。Mendlovic和Ozaktas在1993年实现了分数傅里叶变换在光学领域的应用，此后光学领域中分数傅里叶变换被应用得很广泛。由于分数傅里叶变换的阶数及其可加性等特性，可以增加图像加密方法的自由度，从而增大密钥空间。另外，分数傅里叶变换是在变换域上进行的图像加密，其加密过程是：先从空间域转换到变换域，接着对变换系数进行保密处理，即对其变换后的变换系数加密。所以，当密文在传输中丢失部分信息，解密图像仍含有原始图像的大部分信息。但是单独使用分数傅里叶变换加密的密钥的敏感性并不高，有很大的被破译的风险。

发明内容

本发明的目的在于针对上述已有技术的不足，提供一种基于Arnold变换和复合混沌的分数域图像加密方法，以提高图像传输的安全性和密钥的敏感性。

本发明的技术方案是：利用广义Arnold变换对待加密图像进行初步置乱，然后进行随机相位编码，接着对其进行分数傅里叶变换，最后运用复合混沌对图像进行置乱，最后得到加密图像。其实现步骤包括如下：

(1)输入一幅N×N的灰度图像F作为待加密图像，获得其二维图像矩阵f(s,t)；

(2)选取广义Arnold变换的变换矩阵参数a、b和迭代次数m，对图像矩阵f(s,t)进行m次广义Arnold变换，得到置乱后的图像矩阵f₁(s,t)；

(3)将置乱后的图像矩阵f₁(s,t)与矩阵函数exp(j2πn₁(x))作点积，进行随机相位编码，得到编码后的图像矩阵f₂(s,t)；

(4)选取分数傅里叶变换在x、y方向的变换阶数p₁、p₂，将编码后的图像矩阵f₂(s,t)进行二维分数傅里叶变换，得到变换后的图像矩阵

(5)分别选取x₀、y₀作为复合混沌系统的初值，并将该初值代入复合混沌系统方程中进行迭代，得到作用于x方向的混沌序列{x_i}和作用于y方向的混沌序列{y_i}，其中i＝0,1,2,...,9999+N；将这两个混沌序列的前10000个数值去掉并对其重新编号，得到作用于x方向的混沌序列{s_j}、作用于y方向的混沌序列{k_j}，j＝0,1,2,...,N-1；

(6)把混沌序列{s_j}、{k_j}，按从小到大的顺序进行排序，得到两个有序的新混沌序列{s′_j}和{k′_j}；并分别记录新混沌序列{s′_j}、{k′_j}中的每个元素在混沌序列{s_j}和{k_j}中的位置编号，得到行置乱地址集合Q＝{θ₀,θ₁,...,θ_N-1}和列置乱地址集合

(7)将步骤(4)中得到的变换后的图像矩阵的行、列依次按照行置乱地址集合Q和列置乱地址集合P中的元素进行置乱，得到加密后的图像矩阵g(u,v)。

本发明的有益效果为：

1.本发明利用广义Arnold变换和复合混沌进行全局像素置乱，并且用分数傅里叶变换进行处理，极大降低了密文像素值间的相关性；

2.本发明首先利用广义Arnold变换进行初步置乱加密，然后利用随机相位编码对图像进行二次加密，接着利用分数傅里叶变换进行三次加密，最后利用混沌序列置乱进行四次加密，这种多级加密使加密方法具有很高的安全性；

3.本发明使用分数傅里叶变换，增强了图像加密的鲁棒性；

4.本发明采用复合混沌系统，具有敏感性比较高的密钥参数。

附图说明

图1是本发明的加密过程流程图；

图2是本发明的解密过程流程图；

图3是本发明使用的原始图像；

图4是对图3加密后的图像；

图5是对图4解密后的图像；

图6是本发明中两个混沌初始值联合变化时密钥敏感性分析图；

图7用本发明中两个分数傅里叶变换阶数联合变化时密钥敏感性分析图；

图8是仅用复合混沌方法和本发明方法加密后的图像在遭到不同程度的裁剪后的图像及其对应的解密图。

具体实施方式

本发明的具体实施包括加密和解密两部分:

一、参考图1，本发明加密步骤如下：

步骤1，输入待加密图像，获得其二维图像矩阵f(s,t)。

调用imread函数读入一幅MATLAB软件中自带的N×N的灰度图像cameraman作为待加密图像，如图3所示，获得其二维图像矩阵f(s,t)，此时N＝256。

步骤2，对图像矩阵f(s,t)进行100次广义Arnold变换，得到置乱后的图像矩阵f₁(s,t)。

广义Arnold变换公式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\left(\mathrm{mod}N\right)$

其中 $A=\left[\begin{array}{cc}1& b\\ a& ab+1\end{array}\right]$ 称为变换矩阵，x、y分别为变换前的横坐标、纵坐标，x′、y′为广义Arnold变换作用后的横坐标、纵坐标，mod表示模运算；

选取广义Arnold变换的变换矩阵参数a＝1，b＝1和迭代次数m＝100，其变换步骤如下：

首先，获取图像矩阵f(s,t)中的每一个像素点的坐标(x，y)处的像素值；

然后，将图像矩阵f(s,t)中的每一个像素点的坐标(x，y)都按照上述的广义Arnold变换进行坐标变换，得到坐标(x′，y′)；

接着，将原像素值赋到新坐标(x′，y′)上，从而完成一次广义Arnold变换；

再重复进行上述变换99次，得到置乱后的图像矩阵f₁(s,t)。

步骤3，将置乱后的图像矩阵f₁(s,t)进行随机相位编码，得到编码后的图像矩阵f₂(s,t)。

首先，将图像中的像素值变成double型，将置乱后的图像矩阵f₁(s,t)与矩阵函数exp(j2πn₁(x))作点积，其中n₁(x)为由256×256个在[0,1]上均匀分布随机数组成的矩阵；

然后，通过调用随机数生成函数rand生成大小为256×256的n₁(x)，得到编码后的图像矩阵f₂(s,t)。

步骤4，将编码后的图像矩阵f₂(s,t)进行二维分数傅里叶变换，得到变换后的图像矩阵

二维分数傅里叶变换公式如下：

$F_{p_1,p_2}(u,v)=F^{p_1,p_2}\[f_2(s,t)\]={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{f}_2(s,t)K_{p_1,p_2}(s,t,u,v)dsdt,$

其中是二维分数傅里叶变换的核，这种变换可等价为分别由x，y两个方向进行分数傅里叶变换，故其变换核可写成此时二维分数傅里叶变换的核函数为：

$K_{p_1,p_2}\left(s,t,u,v\right)=\frac{\sqrt{\left(1-j\cot \mathrm{\α}\right)}\sqrt{\left(1-j\cot \mathrm{\β}\right)}}{2\mathrm{\π}}\×\exp (\frac{j\left(s^2+u^2\right)}{2\tan \mathrm{\α}}-\frac{jsu}{\sin \mathrm{\α}})\exp (\frac{j(t^2+v^2)}{2\tan \mathrm{\β}}-\frac{jtv}{\sin \mathrm{\β}})$

其中p₁、p₂分别为分数形式的阶数；

选取分数傅里叶变换在x、y方向的变换阶数p₁＝0.6，p₂＝0.4，将编码后的图像矩阵f₂(s,t)带入上述二维分数傅里叶变换公式，进行二维分数傅里叶变换，得到变换后的图像矩阵

步骤5，选取两个初始值，分别代入复合混沌系统，得到去除前10000个数值的作用于x方向的混沌序列{x_i}和去除前10000个数值的作用于y方向的混沌序列{y_i}。

5a)选取x方向的初始值代入复合混沌系统，作用于x方向的混沌序列{x_i}：

5a1)输入初始值x₀，令n＝0，x_n＝x₀；

5a2)判断x_n与0的大小关系，如果x_n＜0，则执行5a4)；否则，执行5a3)；

5a3)计算 $x_{n+1}=f_1\left(x_n\right)=4x_n^3-3x_n,$ 并令n＝n+1；

5a4)计算 $x_{n+1}=f_0\left(x_n\right)=8x_n^4-8x_n^2+1,$ 并令n＝n+1；

5a5)判断n与9999+N的大小关系，如果n≤9999+N，则返回5a2)；否则，跳出循环，终止计算，所得的序列{x_i}为迭代生成的混沌序列，其中i＝0,1,2,...,9999+N，N＝256；

5b)选取y方向的初始值代入复合混沌系统，作用于y方向的混沌序列{y_i}：

5b1)输入初始值y₀，令n＝0，y_n＝y₀；

5b2)判断y_n与0的大小关系，如果y_n＜0，则执行5b4)；否则，执行5b3)；

5b3)计算 $y_{n+1}=f_1\left(y_n\right)=4y_n^3-3y_n,$ 并令n＝n+1；

5b4)计算 $y_{n+1}=f_0\left(y_n\right)=8y_n^4-8y_n^2+1,$ 并令n＝n+1；

5b5)判断n与9999+N的大小关系，如果n≤9999+N，返回5b2)；否则，跳出循环，终止计算，所得的序列{y_i}为迭代生成的混沌序列，其中i＝0,1,2,...,9999+N，N＝256。

5c)删去两个混沌序列的前10000项并对其重新编号，得到作用于x方向的混沌序列{s_j}、作用于y方向的混沌序列{k_j}，其中j＝0,1,2,...,N-1，N＝256。步骤6，对混沌序列{s_j}、{k_j}进行排序，得到行置乱地址集合Q＝{θ₀,θ₁,...,θ_N-1}和列置乱地址集合

用sort函数分别把混沌序列{s_j}、{k_j}按从小到大的顺序进行排序，得到两个有序的新混沌序列{s′_j}和{k′_j}，分别记录新混沌序列{s′_j}、{k′_j}中的每个元素在混沌序列{s_j}和{k_j}中的位置编号，得到行置乱地址集合Q＝{θ₀,θ₁,...,θ_N-1}和列置乱地址集合

步骤7，将变换后的图像矩阵进行行、列置乱，得到加密后的图像矩阵g(u,v)。

7a)将步骤4中得到的变换后的图像矩阵的第j+1行置换到第θ_j+1行；

7b)将图像矩阵的第j+1列置换到第列，得到加密后的图像矩阵g(u,v)，如图4所示，j＝0,1,2,...,N-1，N＝256为图像矩阵的行数。

二、参考图2，本发明解密步骤如下：

步骤8，将加密后的图像矩阵g(u,v)进行反置乱，得到反置乱后的图像矩阵

8a)将加密后的图像矩阵g(u,v)的每个元素除以255；

8b)将步骤7中得到的加密后的图像矩阵g(u,v)的第θ_j+1行置换到第j+1行；

8c)将图像矩阵F_p1,p2(u,v)的第列置换到第j+1列，得到反置乱后的图像矩阵j＝0,1,2,...,N-1，N＝256为图像矩阵的行数。

步骤9，对反置乱后的图像矩阵进行分数傅里叶逆变换，得到逆变换后的图像矩阵f₂(s,t)。

二维分数傅里叶逆变换公式如下：

$f_2(s,t)={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{F}_{p_1,p_2}(u,v)K_{-p_1,-p_2}(s,t,u,v)dudv,$

其中是二维分数傅里叶逆变换的核，这种变换可等价为分别由x，y两个方向进行分数傅里叶逆变换，其变换核可写成此时二维分数傅里叶变换的核函数为：

$K_{-p_1,-p_2}\left(s,t,u,v\right)=\frac{\sqrt{\left(1-j\cot \mathrm{\α}\right)}\sqrt{\left(1-j\cot \mathrm{\β}\right)}}{2\mathrm{\π}}\×\exp (\frac{j\left(s^2+u^2\right)}{2\tan \mathrm{\α}}-\frac{jsu}{\sin \mathrm{\α}})\exp (\frac{j(t^2+v^2)}{2\tan \mathrm{\β}}-\frac{jtv}{\sin \mathrm{\β}})$

其中-p₁、-p₂分别为分数形式的阶数。

选取分数傅里叶逆变换在x、y方向的变换阶数-p₁＝-0.6，-p₂＝-0.4，将反置乱后的图像矩阵带入上述公式，进行二维分数傅里叶逆变换，得到逆变换后的图像矩阵f₂(s,t)。

步骤10，求逆变换后的图像矩阵f₂(s,t)的模，即利用abs函数求图像矩阵f₂(s,t)中复数元素的模，得到求模后的图像矩阵f₁(s,t)。

步骤11，对求模后的图像矩阵f₁(s,t)进行广义Arnold逆变换得到原图像矩阵f(s,t)。

广义Arnold逆变换公式如下：

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right]\left(\mathrm{mod}N\right)$

其中 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}ab+1& -b\\ -a& 1\end{array}\right]$ 称为逆变换矩阵，x′、y′分别为逆变换前的横坐标、纵坐标，x、y为广义Arnold逆变换作用后的横坐标、纵坐标，mod表示模运算；

11a)将求模后的图像矩阵f₁(s,t)的每个元素乘以255；

11b)将求模后的图像矩阵f₁(s,t)中的元素转换成uint8型；

11c)选取的广义Arnold逆变换的逆变换矩阵参数a＝1，b＝1和迭代次数m＝100，其变换步骤如下：

11c1)获取图像矩阵f(s,t)中的每一个像素点的坐标(x′，y′)处的像素值；

11c2)将图像矩阵f(s,t)中的每一个像素点的坐标(x′，y′)都按照上述的广义Arnold逆变换进行坐标变换，得到坐标(x，y)；

11c3)将原像素值赋到新坐标(x，y)上，从而完成一次广义Arnold逆变换；

11d)再重复进行上述逆变换99次，得到原图像矩阵f(s,t)，如图5所示。

本发明的效果可通过以下仿真实验进一步说明：

为了具体说明本发明的优势和特点，下面对该发明和现有技术进行仿真，分析其加密效果。

1.实验环境

本实验的硬件测试平台是：Inter(R)Core(TM)i5-4200UCPU，主频1.6Ghz，内存4.0GB；软件平台为：Windows7操作系统和Matlab2012a。仿真图像采用灰度级为256，大小为256×256的cameraman图。

2.实验内容

实验1，对比本发明方法与仅用Arnold变换方法的置乱程度

分别用本发明方法和现有仅用Arnold变换方法对仿真图像进行加密，并分别从原始图像和加密图像中在水平、垂直、对角三个方向上随机选择5000对相邻像素对考察相关性，代入以下公式计算：

$\left\{\begin{array}{c}E\left(x\right)=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{x}_i\\ D\left(x\right)=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_i-E(x\left)\right)}^2\\ \mathrm{cov}(x,y)=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}(x_i-E(x)\left)(y_i-E(y)\right)\\ r_{x,y}=\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sqrt{D\left(x\right)}\sqrt{D\left(y\right)}}\end{array}\right.$

其中x和y是指图像的两个相邻像素的灰度值，E(x)是x的数学期望的估计值，D(x)是x的方差的估计值，cov(x,y)是x和y的协方差的估计值，计算用两种加密方法所得的图像在不同方向的相关系数，结果如表1所示。

表1现有仅用Arnold变换与本发明方法加密图像的像素点相关系数

	原图	仅Arnold变换	本发明方法
				水平方向	0.9102	0.0995	0.0527
垂直方向	0.9221	0.1854	0.0538
				主对角线方向	0.7196	0.1475	0.1256
次对角线方向	0.7856	0.2000	0.1205

从表1可以看出，原始图像在不同方向的相关系数比较大，表明原始图像的相邻像素点之间的相关性很高；经过仅用Arnold变换进行加密处理后，相邻像素点之间的相关性明显变小，但是通过本发明方法加密后的相邻像素点之间的相关性更低。所以，本发明方法对图像像素点置乱的比较充分，加密的安全性更高。

实验2，对比本发明方法与现有仅用分数傅里叶变换的密钥敏感性

记原始图像为I，加密图像为Q，通过解密加密图像所得的图像为R，则 $MSE=\left|\right|I-R|{|}^2=\frac{1}{N\×M}\underset{i=1}{\overset{M}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}|I(i,j)-R(i,j){|}^2.$ MSE表示经过解密的图像与加密前图像的均方误差，MSE值越大，表明通过解密键解密的图像与加密前的图像的信息差别越大。

为了详细说明加密方法对密钥的有效性，用解密图像与原始图像的MSE来描述。对于本发明方法中的复合混沌系统，初始值x₀、y₀联合变化时对MSE的影响如图6所示；对于仅用分数傅里叶变换方法，分数傅里叶变换的两个阶数p₁、p₂联合变化时对MSE的影响如图7所示。

通过图6和图7可知，本发明中混沌初始值变化使得MSE曲面仅在极小的一块区域内变化十分明显，而仅分数傅里叶变换的加密方法使MSE曲面明显变化的参数变化的范围很大，因而本发明具有敏感性很强的密钥，当输入的密钥参数在正确值周围极小的范围之外，此时解密图像则不能得到原图像。

实验3，对比本发明方法与仅用复合混沌方法加密的鲁棒性

用现有仅用复合混沌方法对cameraman图进行加密，然后将密图剪切20％、30％、40％，得到如图8(a)、图8(b)、图8(c)所示的加密后的裁剪图；再对裁剪后的图像进行解密，得到如图8(d)、图8(e)、图8(f)所示的仅用复合混沌加密方法的解密图，分别计算图8(d)、图8(e)、图8(f)对应的均方误差MSE，计算结果如表2。

用本发明提出的方法对cameraman图进行加密，然后将密图剪切20％、30％、40％，得到如图8(g)、图8(h)、图8(i)所示的加密后的裁剪图；再对裁剪后的图像进行解密，得到如图8(j)、图8(k)、图8(l)所示的用本发明方法的解密图，分别计算图8(j)、图8(k)、图8(l)对应的均方误差MSE，计算结果如表2。

表2经过不同程度裁剪的经两种方法加密后的解密图的均方误差MSE

由表2可知，经过相同程度的裁剪后，本发明方法解密后所得的图像的均方误差MSE均小于仅用复合混沌方法解密后所得的图像的均方误差MSE，说明本发明方法比仅用复合混沌方法的鲁棒性好。

对比图8(d)、图8(e)、图8(f)和图8(j)、图8(k)、图8(l)，可发现仅用复合混沌方法加密后的图像经过裁剪后进行解密，解密后的图像有些部分受裁剪后无法复原，而且随着裁剪的程度增加影响越来越严重，而本发明所用的加密方法解密后的图像中仍可以看到原始图像中的大部分信息。表明了本发明方法具有一定的抵抗剪裁攻击能力。

综上，本发明不仅具有敏感性很强的密钥，同时也有很好的鲁棒性，所以具有很高的安全性。

Claims (5)

1.一种基于Arnold变换和复合混沌的分数域图像加密方法，包括以下步骤：

(1)输入一幅N×N的灰度图像F作为待加密图像，获得其二维图像矩阵f(s,t)；

(2)选取广义Arnold变换的变换矩阵参数a、b和迭代次数m，对图像矩阵f(s,t)进行m次广义Arnold变换，得到置乱后的图像矩阵f₁(s,t)；

(3)将置乱后的图像矩阵f₁(s,t)与矩阵函数exp(j2πn₁(x))作点积，进行随机相位编码，得到编码后的图像矩阵f₂(s,t)；

(4)选取分数傅里叶变换在x、y方向的变换阶数p₁、p₂，将编码后的图像矩阵f₂(s,t)进行二维分数傅里叶变换，得到变换后的图像矩阵

(5)分别选取x₀、y₀作为复合混沌系统的初值，并将该初值代入复合混沌系统方程中进行迭代，得到作用于x方向的混沌序列{x_i}和作用于y方向的混沌序列{y_i}，其中i＝0,1,2,...,9999+N；将这两个混沌序列的前10000个数值去掉并对其重新编号，得到作用于x方向的混沌序列{s_j}、作用于y方向的混沌序列{k_j}，j＝0,1,2,...,N-1；

(6)把混沌序列{s_j}、{k_j}，按从小到大的顺序进行排序，得到两个有序的新混沌序列{s′_j}和{k′_j}；并分别记录新混沌序列{s′_j}、{k′_j}中的每个元素在混沌序列{s_j}和{k_j}中的位置编号，得到行置乱地址集合Q＝{θ₀,θ₁,...,θ_N-1}和列置乱地址集合

(7)将步骤(4)中得到的变换后的图像矩阵的行、列依次按照行置乱地址集合Q和列置乱地址集合P中的元素进行置乱，得到加密后的图像矩阵g(u,v)。

2.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(2)中的广义Arnold变换，通过下式进行：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\left(\mathrm{mod}N\right)$

其中 $A=\left[\begin{array}{cc}1& b\\ a& ab+1\end{array}\right]$ 称为变换矩阵，x、y分别为变换前的横坐标、纵坐标，x′、y′为广义Arnold变换作用后的横坐标、纵坐标，mod表示模运算。

3.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(5)中作用于x方向的混沌序列{x_i}按如下步骤获得：

5a)输入初始值x₀，令n＝0，x_n＝x₀；

5b)判断x_n与0的大小关系，如果x_n＜0，则执行5d)；否则，执行5c)；

5c)计算 $x_{n+1}=f_1\left(x_n\right)=4x_n^3-3x_n,$ 并令n＝n+1；

5d)计算 $x_{n+1}=f_0\left(x_n\right)=8x_n^4-8x_n^2+1,$ 并令n＝n+1；

5e)判断n与9999+N的大小关系，如果n≤9999+N，返回5b)；否则，跳出循环，终止计算，所得的序列{x_i}为迭代生成的混沌序列，其中i＝0,1,2,...,9999+N。

4.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(5)中作用于y方向的混沌序列{y_i}按如下步骤获得：

5f)输入初始值y₀，令n＝0，y_n＝y₀；

5g)判断y_n与0的大小关系，如果y_n＜0，则执行5i)；否则，执行5h)；

5h)计算 $y_{n+1}=f_1\left(y_n\right)=4y_n^3-3y_n,$ 并令n＝n+1；

5i)计算 $y_{n+1}=f_0\left(y_n\right)=8y_n^4-8y_n^2+1,$ 并令n＝n+1；

5j)判断n与9999+N的大小关系，如果n≤9999+N，返回5g)；否则，跳出循环，终止计算，所得的序列{y_i}为迭代生成的混沌序列，其中i＝0,1,2,...,9999+N。

5.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(7)中将变换后的图像矩阵的行、列依次按照行置乱地址集合Q和列置乱地址集合P中的元素进行置乱，是先将图像矩阵的第j+1行置换到第θ_j+1行，再将图像矩阵的第j+1列置换到第列，j＝0,1,2,...,N-1，N为图像矩阵的行数。