CN106067182A - 基于双随机相位和复合混沌的线性正则域图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于双随机相位与复合混沌系统的线性正则域图像加密方法，主要解决现有技术密钥空间小、密钥灵敏性低、抗噪性差及鲁棒性差的问题。其实现步骤为：1.对原图进行第一次随机相位编码，得到空域编码后的图像；2.对空域编码后的图像进行线性正则变换，得到时频变换后的图像；3.对转换后的图像进行第二次随机相位编码，得到变换域编码后的图像；4.利用复合混沌系统生成混沌序列并对其进行处理，得到行和列置乱地址集合；5.利用行和列置乱地址集合对变换域编码后的图像进行空域置乱，得到最终的加密图。本发明密钥空间大、图像像素之间相关系数低，敏感度高、鲁棒性好，提高了图像通信与传输的安全性，可用于信息安全。

Description

基于双随机相位和复合混沌的线性正则域图像加密方法

技术领域

本发明属于图像加密技术领域，具体地说是一种频域、空域同时加密的方法，可用于信息安全。

背景技术

在科学技术迅猛发展的今天，计算机网络渐渐成为人们生活通信的一种重要方式，很多信息诸如图像、声音、文本都可以通过计算机网络快速传输，不可避免地会带来信息安全的问题，其中图像加密是信息安全领域的一个重要问题，因此图像信息传输和图像加密技术都引起了广泛关注。近年来利用线性正则变换和混沌系统对图像进行加密引起了相关研究人员的广泛关注。

现有图像加密方法主要有混沌、Arnold变换等空域置乱方法，以及分数傅里叶变换等频域置乱方法，由于分数傅里叶变换的自由参数少、加密安全性不高，而线性正则变换正好弥补了自由参数少的缺点。

混沌现象是非线性动力系统中产生的确定性的一种随机现象。混沌系统产生的序列具有随机性、还有对初始值和系统参数极度敏感等特性，因此混沌在图像加密领域被广泛应用。其中复合混沌相比其他形式的混沌初值敏感性更好，复杂度更高，具有很好的混沌特性，将其与线性正则变换结合可以使图像置乱程度更高，从而能更好地加密图像。值得注意的是置乱加密图像只是在图像的空域上进行变换，一旦密文丢失部分信息，解密图像也会随之丢失那部分信息，即加密鲁棒性较差。

线性正则变换是在变换域上进行图像加密，作为一种全新的加密工具，它受到了信号处理领域人员的广泛关注。线性正则变换最早由Moshinsky和Collins在20世纪70年代提出，其在雷达、声呐系统中应用广泛。由于线性正则变换具有3个自由变换的参数，相比分数傅里叶变换1个自由参数，线性正则变换具有更强的灵活性和处理能力，基于这一点，用于图像加密可以大大增加图像加密方法的密钥空间。另外，线性正则变换是分数傅里叶变换的更广义形式，分数傅里叶变换在变换域上进行的图像加密的理论完全可以推广到线性正则变换域。密钥灵敏性不好是变换域加密方法普遍的缺点，单独使用变换域加密可能存在被破译的风险。

发明内容

本发明的目的在于针对上述已有技术的不足，提供一种基于双随机相位和复合混沌的线性正则域图像加密方法，以提高图像通信与传输的安全性、鲁棒性以及密钥的敏感性。

本发明的技术方案是这样实现的：

双随机相位编码是一种典型的图像加密手段，其加密过程可以在时频变换域上进行，由于线性正则变换加密算法存在周期性而具有安全隐患，可以把双随机相位系统与线性正则变换相结合，通过打乱周期性来提高加密系统的安全性。根据这一原理，本发明先利用随机相位编码技术对待加密图像进行空域随机编码，对其进行初步置乱，然后进行线性正则变换，并通过在变换域进行第二次随机相位编码和运用复合混沌对图像进行空域置乱对图像进行加密。其实现步骤包括如下：

(1)输入一幅N×N的灰度图像F作为待加密图像，获得其二维图像矩阵f₁(x,y)；

(2)将二维图像矩阵f₁(x,y)与掩模函数exp(j2πn₁(x,y))相乘，进行第一次随机相位编码，得到随机相位编码后的图像矩阵f₂(x,y)，其中：n₁(x,y)为第一次编码的N×N的二维随机矩阵；

(3)选取线性正则变换的变换参数a,b,c,d作为密钥，将编码后的图像矩阵f₂(x,y)进行二维线性正则变换，得到变换后的二维图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)，其中：a为线性正则变换第一自由参数，b为第二自由参数，c为第三自由参数，d为第四参数；

(4)将变换后的二维图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)与掩模函数exp(j2πn₂(u,v))相乘，进行第二次随机相位编码，得到第二次编码后的图像矩阵g₁(u,v)，其中：n₂(u,v)为第二次编码的N×N的二维随机矩阵；

(5)分别选取x₀、y₀作为复合混沌系统的初始值，并将该初值代入复合混沌系统方程中进行迭代，得到用于对x方向置乱的混沌序列{x_i}和用于对y方向置乱的混沌序列{y_i}，其中i＝0,1,2,...,9999+N；将这两个混沌序列的前10000个数值去掉对其重新编号，得到用于对x方向置乱的混沌序列{s_j}和用于对y方向置乱的混沌序列{k_j}，j＝0,1,2,...,N-1；

(6)将上述x、y方向混沌序列{s_j}、{k_j}，按从小到大的顺序进行排序，利用排好序的两个序列的元素值在原混沌序列中的位置标号，作为新混沌序列{s′_j}和{k′_j}；将新混沌序列{s′_j}作为行置乱集合P，将新混沌序列{k′_j}作为列置乱集合Q，这里行置乱集合和列置乱集合Q＝{θ₀,θ₁,...,θ_N-1}，其中

(7)将步骤(4)中得到的第二次随机相位编码后的图像矩阵g₁(u,v)的行、列依次按照行置乱地址集合Q和列置乱地址集合P中的元素进行置乱，得到加密后的图像矩阵g₂(u,v)。

本发明具有如下有益效果：

1.本发明利用双重随机相位编码技术和复合混沌对图像进行空域全局像素置乱，并且用线性正则变换进行时频变换处理，使得加密后图像的像素水平、竖直、对角方向的相关系数大大降低；

2.本发明使用双随机相位加密系统进行加密，其密文具有不可预测性，即在加密之前，一个明文图像可能对于无数个密文图像，而且相反地无数个密文图像可能对应一个明文图像，提高了图像的安全性。

3.本发明使用线性正则变换对图像进行加密，与现有用分数傅里叶变换加密的方法相比，拥有更多的加密参数，更大的密钥空间，使得图像加密之后的鲁棒性更强；

4.本发明采用复合混沌系统对图像进行空域置乱，具有较高的密钥灵敏性。

5.本发明使用多级加密方式，提高了对图像加密的安全性和稳定性。

附图说明

图1是本发明的加密过程流程图；

图2是本发明的解密过程流程图；

图3是用本发明加密之后与未加密的原始图像对比图；

图4是两幅未加密的直方图与对应的两幅加密直方图比较；

图5是对本发明有效性的仿真分析图；

图6是仅用复合混沌方法进行加密之后的剪切图；

图7是仅用复合混沌方法进行加密之后的剪切图的解密图；

图8是用复合混沌和分数傅里叶变换加密之后的剪切图；

图9是用复合混沌和分数傅里叶变换加密之后的剪切图的解密图；

图10是本发明方法加密之后的剪切图；

图11是本发明方法加密之后的剪切图的解密图；

图12是本发明的抗噪性仿真结果图。

图13是本发明的解密图像的均方误差MSE值随正态噪声强度的变化曲线。

具体实施方式

本发明基于双随机相位的复合混沌线性正则域图像加密算法的具体实施包括加密和解密两部分。

一、加密

参照图1，本发明加密步骤如下：

步骤1，输入待加密图像，获得其二维图像矩阵f₁(x,y)。

调用imread函数读入一幅MATLAB软件中自带的N×N的灰度图像cameraman作为待加密图像，如图3(a)所示，获得其二维图像矩阵f₁(x,y)，此时N＝256。

步骤2，获取第一次随机相位编码后的图像矩阵f₂(x,y)。

(2a)在区间[-1,1]上生成服从均匀分布的随机序列组成的二维随机数矩阵n₁(x,y)，得到掩模矩阵exp(j2πn₁(x,y))；

(2b)将步骤1得到的图像矩阵f₁(x,y)中的像素值变成double型，并将图像矩阵f₁(x,y)与掩模矩阵exp(j2πn₁(x,y))相乘，得到第一次随机相位编码后的图像矩阵f₂(x,y)。

步骤3，获取线性正则变换之后的图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)。

对经过步骤2得到的图像矩阵f₂(x,y)进行线性正则变换，得到由空域转换到变换域后的图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)。

线性正则变换的公式如下：

$L_{a,b,c,d}(u,v)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{jb}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{f}_2(x,y)e^{2\mathrm{\π}j\left(\frac{b}{2b}\right(u^2+v^2)-\frac{1}{b}(ux+vy)+\frac{a}{2b}(x^2+y^2\left)\right)}dxdy& b\≠0\\ \sqrt{d}{e}^{2\mathrm{\π}j\frac{cd}{2}(x^2+y^2)}{f}_2(x,y)dxdy& b=0\end{array}\right.$

其中j为虚数单位，a为线性正则变换第一自由参数，b为第二自由参数，c为第三自由参数，d为第四参数，u,v分别是图像矩阵f₂(x,y)经过线性正则变换之后的水平、垂直方向参数。

对图像矩阵f₂(x,y)进行线性正则变换的具体步骤如下：

(3a)生成chirp信号矩阵c(x,y)：

$c(x,y)=\exp \left(j2\mathrm{\π}\frac{a}{2b}\right(x^2+y^2\left)\right),0\≤x,y\≤N-1,$

其中j代表虚数单位，a,b分别为线性正则变换的第一、第二自由参数，本实例取a＝5,b＝7，x,y分别是信号矩阵c(x,y)的水平、垂直方向参数。

(3b)对步骤2得到的图像矩阵f₂(x,y)进行chirp调制得到图像矩阵p(x,y)，即：

$p(x,y)=f_2(x,y)\⊗c(x,y)$

其中代表相乘；

(3c)对(3b)得到的图像矩阵p(x,y)进行二维离散傅里叶变换得到变换后图像矩阵h(u,v)：

$h(u,v)={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}p(x,y)e^{-2\mathrm{\π}j(ux+vy)}dxdy$

(3d)生成chirp信号矩阵c(u,v)：

$c(u,v)=\exp \left(j2\mathrm{\π}\frac{d}{2b}\right(u^2+v^2\left)\right),0\≤u,v\≤N-1,$

其中j代表虚数单位，a,b分别为线性正则变换的第一、第二自由参数，本实例取a＝5,b＝7，u,v分别是信号矩阵c(u,v)的水平、垂直方向参数。

(3e)对(3c)得到的变换后图像矩阵h(u,v)再次进行chirp调制，得到加密图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)：

$L_{a,b,c,d}(u,v)=h(u,v)\⊗c(u,v)$

其中c(u,v)是步骤(3d)中产生的图像矩阵。

步骤4，将线性正则变换加密后的图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)进行第二次随机相位编码，得到编码后的图像矩阵g₁(u,v)。

编码方式如下：

在区间[-1,1]上生成服从均匀分布的随机序列组成的二维矩阵n₂(u,v)，得到掩模矩阵exp(j2πn₂(u,v))；

将步骤3得到的图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)与掩模矩阵exp(j2πn₂(u,v))相乘。得到经过双随机系统和线性正则变换加密的图像矩阵g₁(u,v)。

步骤5，随机选取两个初始值，代入复合混沌系统，得到用于对x方向进行置乱的混沌序列{x_i}和用于对y方向进行置乱的混沌序列{y_i}。

(5a)选取作用于x方向的初始值代入复合混沌系统，得到作用于x方向的混沌序列{x_i}；

(5a1)输入x方向初始值x₀，令迭代次数n＝0，迭代值x_n＝x₀；

(5a2)判断x_n与0的大小关系，如果x_n＜0，则执行(5a4)；否则，执行(5a3)；

(5a3)令n＝n+1，计算第n+1次迭代的结果

(5a4)令n＝n+1，计算第n+1次迭代的结果

(5a5)判断n与9999+N的大小关系，如果n≤9999+N，返回(5a2)；否则，跳出循环，所得的序列{x_i}为迭代生成的混沌序列，其中i＝0,1,2,...,9999+N；

(5b)选取作用于y方向的初始值代入复合混沌系统，得到作用于y方向的混沌序列{y_i}；

(5b1)输入y方向初始值y₀，令迭代次数n＝0，迭代值y_n＝y₀；

(5b2)判断y_n与0的大小关系，如果y_n＜0，则执行(5b4)；否则，执行(5b3)；

(5b3)令n＝n+1，计算第n+1次迭代的结果

(5b4)令n＝n+1，计算第n+1次迭代的结果

(5b5)判断n与9999+N的大小关系，如果n≤9999+N，返回(5b2)；否则，跳出循环，所得的序列{y_i}为迭代生成的混沌序列，其中i＝0,1,2,...,9999+N。

(5c)删去两个混沌序列{x_i}，{y_i}的前10000项并对其重新编号，得到作用于x方向的混沌序列{s_j}和作用于y方向的混沌序列{k_j}，其中j＝0,1,2,...,N-1，N＝256。

步骤6，根据x方向的混沌序列{s_j}和y方向的混沌序列{k_j}，得到行置乱地址集合Q和列置乱地址集合P。

(6a)用MATLAB中sort函数分别对上述混沌序列{s_j}、{k_j}按从小到大的顺序进行排序，得到两个新的混沌序列{s′_j}和{k′_j}，这两个新得到的混沌序列{s′_j}和{k′_j}是由原混沌序列{s_j}、{k_j}的下标索引组成；

(6b)将新混沌序列{s′_j}和{k′_j}分别作为行列置乱集合Q＝{θ₀,θ₁,.θ_i..,θ_N-1},其中

步骤7，将变换后的图像矩阵g₁(u,v)进行行、列置乱，得到最终加密后的图像矩阵g₂(u,v)。

(7a)将步骤4中得到的变换后的图像矩阵g₁(u,v)的第j+1行，第i+1列的像素值置换到第θ_j+1行，第列，j＝0,1,2,...,N-1，N＝256，得到加密后的图像矩阵g₂(u,v)，如图3(b)所示。

二、解密

参照图2，解密步骤如下：

步骤8，将加密后的图像矩阵g₂(u,v)，进行逆复合混沌置乱，得到图像矩阵g′₁(u,v)。

(8a)将步骤7中得到的图像矩阵g₂(u,v)的每个元素除以255；

(8b)对应步骤7将加密后的图像矩阵g₂(u,v)的第θ_j+1行，第列的像素值置换到第j+1行第i+1列，得到逆复合混沌置乱的图像矩阵g′₁(u,v)，其中i,j＝0,1,2,...,N-1，N为图像矩阵的行数。

步骤9，对逆混沌置乱后的图像矩阵g′₁(u,v)进行第一次解除随机相位编码变换，得到图像矩阵L′_a,b,c,d(u,v)。

(9a)生成掩模矩阵：exp^*(j2πn₂(u,v))＝exp(-j2πn₂(u,v))；

(9b)将经过步骤8得到的图像矩阵g′₁(u,v)与掩模矩阵exp^*(j2πn₂(u,v))相乘。得

到第一次解除随机相位编码变换后的图像矩阵L′_a,b,c,d(u,v)。

步骤10，对步骤9得到的图像矩阵L′_a,b,c,d(u,v)进行逆线性正则变换，得到逆线性正则后的图像矩阵f′₂(x,y)。

(10a)生成逆chirp信号矩阵c′(u,v)：

$c^{\′}(u,v)=\exp (-j2\mathrm{\π}\frac{d}{2b}(u^2+v^2\left)\right),0\≤u,v\≤N-1$

(10b)对步骤9得到的图像矩阵L′_a,b,c,d(u,v)进行逆chirp调制,得到调制后的图像矩阵p′(u,v)，即：

$p^{\′}(u,v)=L_{a,b,c,d}^{\′}(u,v)\⊗c^{\′}(u,v)$

(10c)对(10b)得到的调制后的图像矩阵p′(u,v)进行二维离散傅里叶逆变换得到变换后的图像矩阵h′(x,y)：

$h^{\′}(x,y)={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{p}^{\′}(u,v)e^{2\mathrm{\π}j(ux+vy)}dudv$

(10d)生成逆chirp信号矩阵c′(x,y)：

$c^{\′}(x,y)=\exp (-j2\mathrm{\π}\frac{a}{2b}(x^2+y^2\left)\right),0\≤x,y\≤N-1$

(10e)对(10c)得到的图像矩阵进行逆chirp调制，得到解密图像矩阵f′₂(x,y)：

$f_2^{\′}(x,y)=h^{\′}(x,y)\⊗c^{\′}(x,y)$

步骤11，对步骤10得到的解密图像矩阵f′₂(x,y)进行第二次解除随机相位编码变换，得到最终的解密图像矩阵f′₁(x,y)。

(11a)生成掩模矩阵exp^*(j2πn₁(x,y))＝exp(-j2πn₁(x,y))；

(11b)将经过步骤10得到的图像矩阵f′₂(x,y)与掩模矩阵exp^*(j2πn₁(x,y))相乘。得到第二次解除随机相位编码变换后的图像矩阵f′₁(x,y)，概矩阵为最终的解密图像矩阵。

本发明的效果可通过以下仿真实验进一步证实：

为了具体说明本发明的优势和特点，下面对该发明和现有技术进行仿真，分析其加密效果及安全性能。

1.实验环境

本实验的硬件测试平台是：Inter(R)Core(TM)i5-4200U CPU，主频1.6Ghz，内存4.0GB；软件平台为：Windows 7操作系统和Matlab2012a。仿真图像采用灰度级为256，大小为256×256的cameraman图。

2.实验内容

实验1，对比本发明方法对两幅图像加密后图像的灰度直方图。

数字图像中每一个灰度级与这个灰度级出现的频率间的统计特征用灰度直方图来表示，灰度直方图是图像的一个重要统计特征。用MATLAB中imhist函数对两幅待加密图像的各个灰度的像素进行统计，得到加密前两幅图像的灰度直方图，如图4所示，其中图4(a)是第一幅图像的灰度直方图、图4(b)是第二幅图像的灰度直方图，图4(c)为第一幅图像加密之后的灰度直方图、图4(d)为第二幅图像加密之后的灰度直方图。

通过图4对加密前后的图像的灰度直方图对比可见，发现加密后的图像的灰度直方图与原始图像的灰度直方图之间存在着非常大的差别，本发明方法使得加密图像的像素位置和像素值都发生了很大的变化，掩盖了原始图像的统计特性，说明本发明方法极大的增加了图像对统计分析攻击的抵抗力。另一方面，本发明方法使得两幅像素直方图原本相差很远的图，加密之后像素直方图基本接近，意味着攻击者不能利用加密图像直方图的统计特征有效攻击这个加密系统本身，说明本发明方法的加密一般性很好，安全性更高，即加密之后很难从像素直方图中找到原图像各自的特征。

实验2，对比本发明提出的方法与仅用线性正则变换方法的置乱程度。

分别用本发明方法和现有仅用线性正则变换方法对仿真图像进行加密，并分别从原始图像和加密图像中在水平、垂直、主对角、次对角四个方向上随机选择5000对相邻像素对来考察相关性，代入以下公式计算：

$\left\{\begin{array}{c}E\left(x\right)=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{x}_i\\ D\left(x\right)=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_i-E(x\left)\right)}^2\\ \mathrm{cov}(x,y)=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}(x_i-E(x\left)\right)(y_i-E(y\left)\right)\\ r_{x,y}=\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sqrt{D\left(x\right)}\sqrt{D\left(y\right)}}\end{array}\right.$

其中x和y是指图像的两个相邻像素的灰度值，E(x)是x的数学期望的估计值，D(x)是x的方差的估计值，cov(x,y)是x和y的协方差的估计值，计算用两种加密方法所得的图像在不同方向的相关系数，结果如表1所示。

表1现有仅用线性正则变换与本发明方法加密图像的像素点相关性

	原图	仅线性正则变换	本发明方法
				水平方向	0.9102	0.0648	0.0516
垂直方向	0.9221	0.0588	0.0551
				主对角线方向	0.7196	0.1381	0.0767
次对角线方向	0.7856	0.1987	0.0565

从表1可以看出，原始图像在不同方向的相关系数像比较大，表明原始图像的相邻像素点之间的相关性很高；经过仅用线性正则变换进行加密处理后，相邻像素点之间的相关性明显变小，同时通过本发明方法加密后的相邻像素点之间的相关性明显更低。所以，本发明方法对图像像素点置乱的比较充分，加密的安全性更高。

实验3，对比本发明方法与现有仅用分数傅里叶变换加密方法的密钥有效性。

记原始图像矩阵为I，通过解密之后所得的图像矩阵为R，则MSE表示经过解密的图像与加密前图像的均方误差，MSE值越大，表明解密的图像与加密前的图像差别越大，密钥有效性越差。仿真结果如图5，其中：

图5(a)是本发明方法加密的密钥有效性结果，图5(b)是仅用分数傅里叶变换加密的密钥有效性结果。

通过图5(a)和图5(b)的对比可知，分数傅里叶变换方法变化范围很大，即从图5(b)上看出凹陷范围很大，而本发明方法仅在极小的一块区域内变化十分明显，证明了本发明方法密钥有效性高。

实验4，对比本发明方法与仅用复合混沌方法加密的鲁棒性

4.1)用现有仅用复合混沌方法对cameraman图进行加密，再将密图剪切20％、30％、40％，结果如图6，其中6(a)为剪切20％的剪切图，图6(b)为剪切30％的剪切图，图6(c)为剪切40％的剪切图；

再对剪切后的图像进行解密，结果如图7，其中图7(a)为剪切20％的解密图，图7(b)为剪切30％的解密图，图7(c)为剪切40％的解密图。

4.2)用复合混沌和分数傅里叶变换加密的方法对cameraman图进行加密，然后将密图剪切20％、30％、40％，结果如图8，其中图8，其中8(a)为剪切20％的剪切图，图8(b)为剪切30％的剪切图，图8(c)为剪切40％的剪切图；

再对剪切后的图像进行解密，结果如图9，其中图9(a)为剪切20％的解密图，图9(b)为剪切30％的解密图，图9(c)为剪切40％的解密图。

4.3)用本发明提出的方法对cameraman图进行加密，然后将密图剪切20％、30％、40％，结果如图10，其中图10(a)为剪切20％的剪切图，图10(b)为剪切30％的剪切图，图10(c)为剪切40％的剪切图；

再对剪切后的图像进行解密，结果如图11，其中图11(a)为剪切20％的解密图，图11(b)为剪切30％的解密图，图11(c)为剪切40％的解密图。

分别计算图上述三种方法对应的均方误差MSE，结果如表2。

表2经过不同程度剪切后用三种加密方法对应的均方误差MSE

由表2可知，经过相同程度的裁剪后，本发明方法解密后所得的图像的均方误差MSE均小于仅用复合混沌方法解密后所得的图像和用复合混沌加分数傅里叶变换加密方法解密后图像的均方误差MSE，说明本发明方法比仅用复合混沌方法以及复合混沌加分数傅里叶加密方法的鲁棒性好。

由以上分析可以得知，本发明不仅密钥有效性高，同时也有很好的鲁棒性，所以具有很高的安全性。

实验5，本发明方法的抗噪性分析

分别对加密图像加入强度为10、20、50的正态噪声，然后依次进行解密，结果如图12，其中图12(a)为加入强度为10的正态噪声得到的解密图，图12(b)为加入强度为20的正态噪声得到的解密图，图12(c)为加入强度为50的正态噪声得到的解密图。

上述解密图像的均方误差MSE值随正态噪声强度的变化曲线，如图13所示。

从图13曲线中可以发现，均方误差MSE值随加入噪声强度的增大呈现对数增长，这表明解密误差在噪声强度加大时增长较慢，解密误差相对减小，由此可见本发明具有很好的抗噪性能。

Claims (7)

1.一种基于双随机相位和复合混沌的线性正则域图像加密方法，包括：

(1)输入一幅N×N的灰度图像F作为待加密图像，获得其二维图像矩阵f₁(x,y)；

(2)将二维图像矩阵f₁(x,y)与掩模函数exp(j2πn₁(x,y))相乘，进行第一次随机相位编码，得到随机相位编码后的图像矩阵f₂(x,y)，其中：n₁(x,y)为第一次编码的N×N的二维随机矩阵；

(3)选取线性正则变换的变换参数a,b,c,d作为密钥，将编码后的图像矩阵f₂(x,y)进行二维线性正则变换，得到变换后的二维图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)，其中：a为线性正则变换第一自由参数，b为第二自由参数，c为第三自由参数，d为第四参数；

(4)将变换后的二维图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)与掩模函数exp(j2πn₂(u,v))相乘，进行第二次随机相位编码，得到第二次编码后的图像矩阵g₁(u,v)，其中：n₂(u,v)为第二次编码的N×N的二维随机矩阵；

(5)分别选取x₀、y₀作为复合混沌系统的初始值，并将该初值代入复合混沌系统方程中进行迭代，得到用于对x方向置乱的混沌序列{x_i}和用于对y方向置乱的混沌序列{y_i}，其中i＝0,1,2,...,9999+N；将这两个混沌序列的前10000个数值去掉对其重新编号，得到用于对x方向置乱的混沌序列{s_j}和用于对y方向置乱的混沌序列{k_j}，j＝0,1,2,...,N-1；

(6)将上述x、y方向混沌序列{s_j}、{k_j}，按从小到大的顺序进行排序，利用排好序的两个序列的元素值在原混沌序列中的位置标号，作为新混沌序列{s′_j}和{k′_j}；将新混沌序列{s′_j}作为行置乱集合P，将新混沌序列{k′_j}作为列置乱集合Q，这里行置乱集合和列置乱集合Q＝{θ₀,θ₁,...,θ_N-1}，其中i＝0,1,,,N-1；

(7)将步骤(4)中得到的第二次随机相位编码后的图像矩阵g₁(u,v)的行、列依次按照行置乱地址集合Q和列置乱地址集合P中的元素进行置乱，得到加密后的图像矩阵g₂(u,v)。

2.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(2)中的第一次随机相位编码，通过如下步骤进行：

2a)用计算机生成规模为N×N且在区间[-1,1]均匀分布的随机矩阵n₁(x,y)，从而得到掩模函数exp(j2πn₁(x,y))；

2b)根据掩模函数得到编码后的图像矩阵：

$f_2(x,y)=f_1(x,y)\⊗\exp \left(j2{\mathrm{\πn}}_1\right(x,y\left)\right).$

3.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(3)中对图像进行线性正则变换，通过如下公式进行：

$L_{a,b,c,d}(u,v)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{jb}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{f}_1(x,y)e^{2\mathrm{\π}j\left(\frac{d}{2b}\right(u^2+v^2)-\frac{1}{b}(ux+vy)+\frac{a}{2b}(x^2+y^2\left)\right)}dxdy& b\≠0\\ \sqrt{d}{e}^{j\frac{cd}{2}(x^2+y^2)}f(x,y)dxdy& b=0\end{array}\right.$

其中j代表虚数单位，参数u,v是图像矩阵经过二维线性正则变换之后的方向参数。

4.根据权利要求书1中所述的方法，步骤(4)中的二维随机矩阵n₂(u,v)是在区间[-1,1]上均匀分布的随机数矩阵。

5.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(5)中选取x₀作为x方向的初值代入复合混沌系统方程中进行迭代，按如下步骤进行：

5a)输入初始值x₀，令迭代次数n＝0，迭代值x_n＝x₀；

5b)判断x_n与0的大小关系，如果x_n＜0，则执行5d)；否则，执行5c)；

5c)令n＝n+1，计算第n+1次迭代的结果

5d)令n＝n+1，计算第n+1次迭代的结果

5e)判断n与9999+N的大小关系，如果n≤9999+N，返回5b)；否则，跳出循环，终止计算，所得的序列{x_i}为迭代生成的混沌序列，其中i＝0,1,2,...,9999+N，N是图像的尺寸，代表图像矩阵有N行N列。

6.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(5)中选取y₀作为y方向的初值代入复合混沌系统方程中进行迭代，按如下步骤进行：

6a)输入初始值y₀，令迭代次数n＝0，迭代值y_n＝y₀；

6b)判断y_n与0的大小关系，如果y_n＜0，则执行6d)；否则，执行6c)；

6c)令n＝n+1，计算第n+1次迭代的结果

6d)令n＝n+1，计算第n+1次迭代的结果

6e)判断n与9999+N的大小关系，如果n≤9999+N，返回6b)；否则，跳出循环，终止计算，所得的序列{y_i}为迭代生成的混沌序列，其中i＝0,1,2,...,9999+N，N是图像的尺寸，代表图像矩阵有N行N列。

7.根据权利要求书1中所述的方法，其中步骤(7)中将变换后的图像矩阵L_a,b,c,d(u,v)的行、列依次按照行置乱地址集合Q和列置乱地址集合P中的元素进行置乱，是将图像矩阵的L_a,b,c,d(u,v)的第i行第j列的元素置换到第θ_i行第列，i,j＝0,1,2,...,N-1，N是图像的尺寸，代表图像矩阵有N行N列。