CN101150402A - 一种基于分数阶傅立叶变换的双图加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于分数阶傅立叶变换的双图加密方法，可将两幅图像加密为一幅图像，可用于处理需要同时保密存储和传输的两幅图像。本发明先将两幅原始图像其中的一幅进行像素置乱，再将置乱结果进行纯相位编码后，与另一原始图像相乘，生成一幅具有复振幅的复合图像，再进行分数阶傅立叶域双随机相位编码加密，得到密图仍是具有近高斯分布的广义平稳白噪声。分析了扰动情况下解密结果受到的影响，给出一种通过阈值减小误差的方法。本发明对于常见扰动和数据损失具有一定的抵御能力，并且位于相位的图像对解密参数和扰动都更加敏感，因此可将两幅图像中安全性要求更高的图像置于复合图像的相位进行加密。

Description

一种基于分数阶傅立叶变换的双图加密方法

所属技术领域

本发明涉及信息安全领域和信息光学领域，特别是图像加密技术，适用于加密需要一起管理和使用的两幅图像。

背景技术

图像信息生动形象，已经成为人类表达信息的重要手段之一。随着网络多媒体技术的飞速发展，图像数据的获取、传输、处理遍及数字时代的各个角落，如金融、电子商务与政务、现代军事信息传递、以及多种个人业务中。操作越发便捷的同时，安全问题也日趋严峻。加密是保护图像信息安全的最直接手段，图像加密技术将它们处理为杂乱无章的类似噪声的无意义图像，进行保密传输和存储，使经未授权者无法浏览这些信息的内容。

近年来，利用傅立叶光学信息处理对图像进行加密引起了相当的关注。由于光学信息处理系统的高度并行性和超快处理速度，使得光学安全技术对信息安全技术的发展具有重要的理论意义和应用前景。光学加密技术提供了一个更加复杂的环境，利用光学系统的参数可提供更多的自由度，例如相位，极化，波长，空间频率等，以此来扩大密钥空间。

目前光学图像加密算法有多种，研究最为深入、应用最为广泛的是双随机相位编码技术，即利用分别置于空域和频域的两个随机相位掩模(Random PhaseMask，RPM)将初始图像编码为复振幅稳定的白光噪音。Refregier和Javidi在1995年发表了这个领域的首篇论文，此后各国研究者相继投入该课题，对双相位编码加密系统的研究不断深入，并已经应用于金融证券的证件识别中。透镜的傅立叶变换效应构成了光学信息处理的理论框架，而分数阶傅立叶变换(FractionalFourier transform，FRFT)是经典傅立叶变换在分数级次上的推广，它不仅在离散数值计算中建立了高效的快速算法，而且在光学上可利用透镜组成的光学系统得以方便实现。因此当分数阶傅立叶变换被引入这一领域时，立即引起人们极大的兴趣和广泛研究，并成为当前光学信息处理领域中的一个前沿课题。2000年G.Unnikrishnan等将双相位编码加密推广到分数阶傅立叶域(Fractional Fourierdomain)，即输入平面、加密平面和输出平面都由空域或频域一般化为分数阶傅立叶域，得到了更具一般性的双相位编码加密方法，并可用单透镜级联或二次相位系统(Quadratic Phase Systems，QPS)来实现。分数阶傅立叶变换域双相位编码加密思想提出以来，各种改进算法和新应用不断涌现，其成果已经不只限于双随机相位编码结构。比较有代表性的有：Naveen Kumar Nishchal等将待加密图像首先预编码为纯相位函数，再进行分数阶傅立叶变换域全双相位编码，不但增大的破解难度，还增强了解密图像的抗噪能力；B.Hennelly等将迭代的FRFT相位恢复算法推广到二维，并用于分数阶傅立叶域光学图像加密；S.Liu等及Y.Zhang等从增加密钥，提高破译难度和安全性角度提出级联的分数阶傅立叶变换域多相位编码加密方法；B.Zhu等提出了一种一般化的分数阶卷积并应用于光学图像加密，他们还提出了一种利用随机编码幅度滤波器组进行图像加密的方法；B.Hennelly等提出将jigsaw像素扰乱变换与分数阶傅立叶变换相结合的加密算法，避免了相位掩模的使用；Jianlin Zhao等将这种分数阶傅立叶域像素扰乱技术用于RGB彩色图像加密，并给出了光学实现结构；Naveen Kumar Nishchal等利用jigsaw置乱原图并分块再利用局部的分数阶傅立叶变换进行双随机相位编码加密。

现有的加密方法多是将一幅图像加密为一幅密图，但在某些情况下，人们需要将两幅具有某种联系并希望同时存储和传输的图像一同加密，如：一个物体的两幅照片、图像及用于描述其的二值图、人脸照片及其指纹等。若使用单图加密方法，对两幅图像分别加密后将得到两幅统计特性类似的噪声图像，给辨别和区分它们带来一定困难，解密时也要分别操作，不利于密钥管理。近来，研究人员已经开始着手研究多图加密方法，Xiangfeng Meng等提出了一种利用幅度和相位分别调制的基于菲涅耳变换的双图加密和数字水印方法，当加密后的图像遭到噪声扰动时，该方法得到的解密图将出现相互干扰，该作者未使用标准测试图像进行仿真，因而未讨论这个问题。Shutian Liu等利用FRFT提出了一种基于相位恢复的双图加密方法，该算法需要进行迭代并且计算前需要对双图的能量补偿，光学实现较为困难，算法并未讨论密图受到扰动情况下的性能。

发明内容

鉴于以上分析，本发明提出一种双图加密方法，可利用分数阶傅立叶域双随机相位编码结构，将两幅实值图像同时加密为一幅密文图像，步骤如下：

1、加密步骤(如图1)：

(1)f(x，y)和g(x，y)是待加密的原始图像，对g(x，y)进行像素置乱，将置乱结果生成纯相位编码，得到exp[iπJ[g(x，y)]]，其中J[·]表示置乱操作；

(2)与另一待加密图像f(x，y)相乘，生成待加密复合图：

C(x，y)＝f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]]；

(3)对复合图进行分数阶傅立叶域双相位编码，得到双图加密结果，公式如下：

ψ(x_b，y_b)＝F_b-a{F_a{f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]]·R₁(x，y)}·R₂(x_a，y_a)}其中F_a表示阶数为a的分数阶傅立叶变换，两个随机相位掩模R₁(x，y)和R₂(x_a，y_a)可以表示成exp[i2πp(x，y)]和exp[i2πq(x_a，y_a)]，其中p(x，y)和q(x_a，y_a)是两个统计独立的白噪声，在区间[0，1]上具有均匀的概率分布。

2、解密步骤(如图2)：

(1)对待解密图像进行分数阶傅立叶域双相位编码解密，得到：

C(x，y)＝F_-a{F_-(b-a)[ψ(x_b，y_b)]·R₂ ^*(x_a，y_a)}·R₁ ^*(x，y)；

(2)提取C(x，y)的幅度即为原始图像f(x，y)；

(3)提取C(x，y)的相位并除以π，得到图像J[g(x，y)]，对其进行解置乱操作J^-1J[g(x，y)]，恢复出原始图像g(x，y)。

下面具体解释本发明提出的加密解密方法及其特性。

令f(x，y)和g(x，y)是待加密的原始图像，它们都是幅度归一化后的灰度实值图像(值域[0，1])。令(x，y)表示输入平面坐标，(x_a，y_a)表示分数阶加密平面坐标，(x_b，y_b)表示输出平面的坐标。两个随机相位掩模R₁(x，y)和R₂(x_a，y_a)分别位于输入平面和加密平面(见图3)。R₁(x，y)和R₂(x_a，y_a)可以被表示成exp[i2πp(x，y)]和exp[i2πq(x_a，y_a)]，其中p(x，y)和q(x_a，y_a)是两个统计独立的白噪声，并假定在区间[0，1]上具有均匀的概率分布。

首先对原始图像g(x，y)进行像素置乱，令置乱操作为J[·]，将置乱结果进行纯相位编码，可数学地表示成exp[iπJ[g(x，y)]]，显然相位的变化范围是[0，π]。然后与另一待加密图像f(x，y)相乘，生成待加密复合图C(x，y)＝f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]]。对此复合图像进行分数阶傅立叶域双相位编码。编码过程如下：

双随机相位掩模R₁(x，y)相乘，乘积经过a阶变换后得到h(x_a，y_a)。

h(x_a，y_a)＝∫∫f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]]R₁(x，y)B_a(x_a，y_a；x，y)dxdy(1)

函数h(x_a，y_a)再与第二个随机相位掩模R₂(x_a，y_a)相乘，乘积h(x_a，y_a)×R₂(x_a，y_a)经过(b-a)阶变换后得到加密后的图像ψ(x_b，y_b)：

ψ(x_b，y_b)＝∫∫h(x_a，y_a)R₂(x_a，y_a)B_b(x_b，y_b；x_a，y_a)dx_ady_a    (2)

其中B_p(·)是二维分数阶傅立叶变换核，由下式给出：

$B_p(x_2,y_2;x_1,y_1)=\mathrm{Kexp}(\mathrm{i\π}\frac{x_2^2+y_2^2+x_1^2+y_1^2}{\mathrm{\λ}f\tan \mathrm{\α}}-2\mathrm{i\π}\frac{x_2{y}_2{x}_1{y}_1}{{\mathrm{\λ}}^2{f}^2\sin \mathrm{\α}})---\left(3\right)$

其中α＝pπ/2，p是分数形式的阶数，并且

$K=\frac{\exp [-i\left(\frac{1}{4}\mathrm{\πsgn}\left(\sin \mathrm{\α}\right)\right)-\frac{1}{2}\mathrm{\α}]}{{\left|\sin \mathrm{\α}\right|}^{1/2}}---\left(4\right)$

把h(x_a，y_a)值由(1)代入(2)得到加密后的函数ψ(x_b，y_b)的表达式：

ψ(x_b，y_b)＝∫∫∫∫f(x，y)exp[iπg(x，y)]R₁(x，y)B_a(x_a，y_a；x，y)R₂(x_a，y_a)B_b(x_b，y_b；x_a，y_a)dxdydx_ady_a(5)

本发明提出的加密过程(见图1)也可用分数阶傅立叶变换算符F_a描述为

ψ(x_b，y_b)＝F_b-a{F_a{f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]]·R₁(x，y)}·R₂(x_a，y_a)}(6)

G.Unnikrishnan等已经分析并证明，分数阶傅立叶域双相位编码加密后的函数是广义平稳的复白噪声。本发明提出的双图加密方法是基于分数阶傅立叶域双相位编码的，因此双图加密的结果仍然是广义平稳的复白噪声。

解密是加密的逆过程(见图2)，首先对加密后的函数进行-(b-a)阶变换，将得到的函数在加密平面乘以第二个随机相位掩模R₂的共轭。这样便消去了加密过程中在a域上所乘的随机相位。再作-a阶变换，得到输入平面上的解密函数，乘以R₁的共轭，便得到空域上的原始复合图像：

C(，y)＝F_-a{F_-(b-a)[ψ(x_b，y_b)]·R₂ ^*(x_a，y_a)}·R₁ ^*(x，y)＝f(x，y)exp{iπJ[g(x，y)]}

提取复合图像C(x，y)的幅度即为原始图像f(x，y)，提取C(x，y)的相位并除以π则得到图像J[g(x，y)]，最后进行解置乱J^-1J[g(x，y)]恢复出原始图像g(x，y)，双图得以解密。

在实际应用中，本发明所述方法可通过图3所示基于分数阶傅立叶域双相位编码的光电混合系统实现，其中利用了Lohmann提出的type I型(单透镜)结构来实现分数阶傅立叶变换。空间光调制器(spatial light modulators，SLM)，具有显示复信号的能力，加密时利用计算机控制SLM1显示C(x，y)与掩模R₁(x，y)的乘积(由计算机生成)，而控制SLM2显示掩模R₂(x_a，y_a)。加密结果具有复振幅，因此需要利用全息方法存储。解密时，控制SLM1显示密图，SLM2显示掩模R₂(x_a，y_a)的共轭。调整两个透镜及其两侧自由空间的位置，使变换阶数分别调整为(a-b)和-a，输出平面上得到C(x，y)与R₁(x，y)的乘积，原始图像f(x，y)是这个乘积的幅度，可通过对光强敏感的CCD设备得到；原始图像g(x，y)需要通过全息记录C(x，y)与R₁(x，y)的乘积，并输入到计算机进行后续处理，即将这个乘积与R₁ ^*(x，y)相乘得到C(x，y)，提取其相位并除以π则得到图像J[g(x，y)]，最后进行解置乱J^-1J[g(x，y)]恢复出原始图像g(x，y)。若用光学手段将解密得到的纯相位图exp{iπJ[g(x，y)]}的相位信息转换成强度图像，将用到相位相衬法。像素置乱处理通常用OPSD来实现。此外，本算法也适于用于利用计算机进行数字图像的加密处理。

下面讨论本发明所述方法的加密图像受到的噪声扰动对解密图的影响，假设加密图ψ(x_b，y_b)受到扰动n(x_b，y_b)，干扰后可表示为：

ψ′(x_b，y_b)＝ψ(x_b，y_b)+n(x_b，y_b)(7)

其中ψ(x_b，y_b)是加密后的图像，函数ψ(x_b，y_b)也可以表示为(6)式的形式：

ψ(x_b，y_b)＝F_b-a{F_a{f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]]·R₁(x，y)}·R₂(x_a，y_a)}(8)

由于受到扰动n(x_b，y_b)的影响，上式经过分数阶傅立叶域双相位解码得到的不再是原来的复数复合图像了。因为FRFT运算是线性算子，该复合图可以由下式给出：

$C^{\′}(x,y)=f^{\′}(x,y)\exp \left[\mathrm{i\π}\tilde{g}(x,y)\right]=f(x,y)\exp \left\{\mathrm{i\πJ}\right[g(x,y)\left]\right\}+n^{\′}(x,y)---\left(9\right)$

其中

表示经分数阶傅立叶域双相位解码后的带扰动的未解置乱相位，复合图像的扰动n′(x，y)是复噪声，并由下式给出：

n′(x，y)＝F_-a{F_-(b-a)[n(x_b，y_b)]·R₂ ^*(x_a，y_a)}R₁ ^*(x，y)(10)

由于相位掩模满足：E[R^*(x₀)R(x₀+τ)]＝δ(τ)

通过进一步证明可知n′(x，y)是平稳的复白噪声，可被写成：

n′(x，y)＝n′^R(x，y)+in′^I(x，y)(11)

n′^R和n′^I分别为复噪声n′(x，y)的实部和虚部。Towghi，Javidi和Luo已经证明，如果n(x，y)是高斯白噪声，那么复噪声n′(x，y)的实部和虚部是零均值白高斯噪声过程。并且零均值不相关高斯随机变量的线性组合还是一个零均值高斯随机变量。所以复噪声n′(x，y)零均值高斯的。

若不考虑任何阈值门限，我们通过提取(9)式的幅度和相位恢复原始双图，解密后可以表示为

$f^{\′}(x,y)=\left|C^{\′}(x,y)\right|,\tilde{g}(x,y)=\left|\frac{\arg \left\{C^{\′}(x,y)\right\}}{\mathrm{\π}}\right|---\left(12\right)$

其中arg(·)表示复变量的相位。光学上使用CCD这样的光强敏感性器件来获得复合图像的光强振幅：

|f′(x，y)|²＝|f(x，y)exp{iπJ[g(x，y)]}+n′(x，y)|²

＝|f(x，y)|²+|n′(x，y)|²+f(x，y)exp{-iπJ[g(x，y)]}n′(x，y)+f(x，y)exp{iπJ[g(x，y)]}n′^*(x，y)

由于其中n′(x，y)是零均值高斯白噪声，上式的第二项为瑞利分布的随机噪声，根据(11)式及其结论，第三项和第四项是白噪声。因此位于幅度的原始图像f(x，y)在密图加扰后解密，受到了加性随机噪声的影响。

现在，我们需要考虑如何提取位于相位(角度)信息的图像g(x，y)，如果没有噪声，将得到原始双图的复合编码：

C′(x，y)＝f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]](13)

此时复合编码图像的相位在0和π之间。但是根据(9)式和(12)式，n′(x，y)的作用使上式的相位因为受到噪声扰动，其取值不再是[0，π]，而可能变到[-π，π]区间。按照习惯，相位(角度)值在第三和第四象限的被视为负角度。本发明中使用阈值方法来减小噪声引起得失真：如果被噪声污染的相位在第三象限，则相位取π；若在第四象限，则相位取0；特别地，若位于相位的原始图像g(x，y)为二值图像时，如果被噪声污染的相位在第二、三象限，则相位取π；若在第一、四象限，则相位取0，以此来使得提取出的解密后的图像仍然为二值图，并减小噪声对该图的影响。经过此处理后，对提取出来的相位图进行解置乱操作，便完成位于相位的图像的恢复。

本发明所述算法的密钥由两个随机相位掩模R₁和R₂、两次分数阶变换的阶数a和(b-a)，以及对g(x，y)的置乱算法组成。具体来说，恢复位于幅度的图像，解密密钥为掩模R₂和两次分数阶变换的阶数；而恢复位于相位的图像还需要掩模R₁和置乱参数，因此位于相位的图像加密后具有更好的安全性，在具体实施方式中将通过实施例做进一步说明。与双相位编码类似，本发明所述算法，当使用变形分数阶傅立叶变换或基于QPS系统的扩展分数阶傅立叶变换实现时，由于参数的增加，密钥空间将进一步扩大。

本发明的有益效果在于：利用分数阶傅立叶域双随机相位编码结构，将两幅实值图像同时加密为一幅密文图像，利于存储和传输，比传统双随机相位编码算法节省一半的运算开销，在光学实现时，减小了一半透镜和掩模的数量。值得注意的是，在加密步骤中，纯相位编码前利用置乱技术对原始图像g(x，y)进行预处理是为了提高算法对扰动的容忍能力，改善扰动情况下Cross-talk现象对解密图的影响，另一方面也增加了系统密钥，提高了安全性。本算法对密图扰动和密图数据损失具有抵抗能力。特别适用于需要一起管理和使用的两幅图像。

附图说明

图1-加密过程流程图；

图2-解密过程流程图；

图3-本发明的光学实现；

图4-1位于幅度的原始图像；

图4-2位于相位的原始图像；

图4-3利用本发明所述双图加密方法得到的密图幅度；

图5-密图实部的直方图；

图6-密图的自相关；

图7-1掩模R₁出错时位于幅度的解密图；

图7-2掩模R₁出错时位于相位的解密图；

图7-3掩模R₂出错时位于幅度的解密图；

图7-4掩模R₂出错时位于相位的解密图；

图8-解密变换阶数出现不同偏差时的原图与解密图的MSE曲线；

图9-1仅由密图相位信息解密时，得到的位于幅度的解密图；

图9-2仅由密图相位信息解密时，得到的位于相位的解密图；

图10-1仅由密图实部信息解密时，得到的位于幅度的解密图；

图10-2仅由密图实部信息解密时，得到的位于相位的解密图；

图11-1密图遭到25％遮挡；

图11-2密图遭到25％遮挡时进行解密，得到的位于幅度的解密图；

图11-3密图遭到25％遮挡时进行解密，得到的位于相位的解密图；

图12-1密图遭到50％遮挡；

图12-2密图遭到50％遮挡时进行解密，得到的位于幅度的解密图；

图12-3密图遭到50％遮挡时进行解密，得到的位于相位的解密图；

图13-1密图遭到75％遮挡；

图13-2密图遭到75％遮挡时进行解密，得到的位于幅度的解密图；

图13-3密图遭到75％遮挡时进行解密，得到的位于相位的解密图；

图14-密图受到加性高斯白噪声扰动后进行解密，解密图与原图的MSE曲线；

图15-1未加置乱操作时密图受到噪声扰动后解密，得到的位于幅度的解密图；

图15-2未加置乱操作时密图受到噪声扰动后解密，得到的位于相位的解密图；

图16-1加置乱操作后密图受到噪声扰动后解密，得到的位于幅度的解密图；

图16-2加置乱操作后密图受到噪声扰动后解密，得到的位于相位的解密图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

选择大小为256×256的标准测试灰度图像“Lena”和二值图像“text”，作为本实施例中的待加密原始图像f(x，y)和g(x，y)，如图4-1和图4-2所示。利用Matlab 2006a进行仿真。

首先对它们的像素值进行归一化。对二值图像进行置乱后进行纯相位编码，再与灰度图像生成复合图像，进行双相位编码。两次二维分数阶傅立叶变换的变换阶数为a_x＝a_y＝0.82和b_x＝b_y＝0.45。利用本发明进行双图加密的结果的幅度如图4-3所示。

下面结合附图对实施例进行解释和性能分析：

密图实部的直方图如图5所示，其具有近高斯分布，密图的自相关如图6所示，可见经过加密，密图像素之间相关性很小。

由图7可见，恢复位于幅度的图像，解密密钥为掩模R₂和两次分数阶变换的阶数；而恢复位于相位的图像还需要掩模R₁和置乱参数。仿真中假设某个攻击者得到了全部正确的变换阶数和置乱参数，他用这些密钥信息和错误的掩模R₁和R₂分别对密图进行解密，所得结果如图7，可见当掩模R₁出错时，他仅能恢复出位于幅度的Lena图；当掩模R₂出错时他无法获得任何一幅正确的图像。因此位于相位的图像的密钥空间更大，具有更好的安全性。

由图8可见分数阶傅立叶变换阶数在算法安全性上的作用。我们计算阶数出现不同偏差时解密图像和原始图像的MSE(Mean Square Error)。图8是两个解密变换阶数出现不同偏差时的原图与解密图的MSE曲线。其中虚连接线表示解密时用到的第二个变换阶数a1＝a2出错，实连接线表示b1＝b2出错，位于幅度的解密图像的MSE用星号表示，位于相位的解密图像的MSE用方块表示。由图8可见，当解密变换阶数的偏差为0时，位于幅度和相位的解密图和原始图像的MSE均为0；当阶数偏差增大时，MSE开始迅速的上升，说明算法对于变换阶数相当敏感，可以看出当解密变换阶数误差为0.05甚至更高的时候，将导致解密图像和原始图像有充分大的MSE。这样说来，当分数阶数被当作密钥的时候，分数阶数上大于等于0.05的误差将保护数据。也就是说攻击者若已经掌握了两块随机相位掩模和置乱参数，并进一步企图通过穷举变换阶数破解原图时，他的搜索步长需要小于0.05，即使仅在(0，2)区间上搜索变换阶数a_x＝a_y和a_x＝a_y，也有38³⁸种可能，不使用任何技巧直接用万亿次处理能力的计算机穷举要3.4023*10³⁹年。当所使用的分数阶傅立叶变换两个维度上变换阶数不同时，需要穷举四个阶数，更加困难。此外，从这个盲解密试验也能看出，发生同样阶数偏差时，解密所得位于相位的图像与原图的MSE比位于幅度的要高，这说明，想要获得位于相位的解密图像需要更小的变换阶数偏差，因此位于相位的图像安全级别要高于位于幅度的图像，并且单角度偏差低于0.02时才有可能发生泄密。因此在使用时，可根据这个特点将安全级别要求较高的图像进行纯相位编码，而将安全级别较低的图像作为复合图像的幅度，进行双图加密。

由图9和图10可见，仅由密图的相位信息或实部解密时，仍可得到原图的大部分信息。由于密图是复数图像，具有幅度和相位信息，若要保存全部信息需要用光学或者数字方法生成全息图，由于缺乏实时性，在实际应用中常使用空间光调制器(SLM)，仅用密图的相位进行解密；而某些情况下，仅保存密图的实部用来解密可节省一半的带宽，因此我们考虑仅用密图相位和实部解密。将这种密图信息的缺失也看作扰动，不难根据发明内容部分关于扰动影响的结论推知，解密过程同样将这种扰动转化为叠加在复合图像上的广义平稳白噪声，通过仿真可见，解密结果虽然有一定程度的降质，但还是可以还原出原始图像的大部分信息。因此这种由部分信息恢复原始图像的方法仅适用于对图像质量要求不高的场合，这样做的好处是便于密图的存储和传输，可实时化处理。

由图11-13可见，本发明方法对于密图信息的缺失具有一定的容忍能力。仿真中我们遮住加密后图像的一部分，然后检验解密效果，测试算法对数据损失的容忍度，探索是否可能从遮挡的解密图像中恢复原始图像。我们遮挡加密图像25％、50％、75％像素，实际上遮挡或阻塞加密图像相当于在特定的分数阶傅立叶域做滤波处理。事实上，通过分数傅立叶域双相位编码，原始图像的信息已经“打散”到整个空间。

由图14可见，密图在存储时受到噪声的扰动情况下，我们通过仿真，得到密图在均值为0的加性高斯白噪声扰动下，解密图与原图的MSE曲线。可见随着噪声方差增大，解密图的质量不断下降，与原图的误差增大，并且从仿真结果还可看出，位于相位的图像更容易受到噪声的影响，同等强度的噪声对位于相位的解密图降质更加明显。

图15和16用来说明在位于相位的图像加密前进行置乱预处理的作用。图15显示：密图受到均值为0方差为0.01的高斯白噪声扰动后解密，若未加置乱操作，由于扰动的参与，位于相位的解密图出现Cross-talk干扰现象，显现出Lena图的信息，影响了解密效果；而相同条件下，本发明在加密前添加了置乱预处理环节J，则可将噪声影响下出现的Cross-talk现象散布到整个平面，有效改善了位于相位解密图的质量，见图16。(当密图遭到剪裁等其他攻击时，具有同样的效果)，可见空间置乱预处理提高了密图抗干扰能力，并且置乱操作需要密钥控制，增强了系统的安全性。

本发明方法对于常见扰动和数据损失具有一定的抵御能力，仿真还发现位于相位的加密图像对解密参数和扰动都更加敏感，因此可将两幅图像中安全性要求更高的图像置于该处进行加密。

Claims (1)

1.一种基于分数阶傅立叶变换的双图加密方法，其特征在于：包括以下步骤：

加密步骤：

(1)f(x，y)和g(x，y)是待加密的原始图像，对g(x，y)进行像素置乱，将置乱结果生成纯相位编码，得到exp[iπJ[g(x，y)]]，其中J[·]表示置乱操作；

(2)与另一待加密图像f(x，y)相乘，生成待加密复合图：

C(x，y)＝f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]]；

(3)对复合图进行分数阶傅立叶域双相位编码，得到双图加密结果，公式如下：

ψ(x_b，y_b)＝F_b-a{F_a{f(x，y)exp[iπJ[g(x，y)]]·R₁(x，y)}·R₂(x_a，y_a)}

其中F_a表示阶数为a的分数阶傅立叶变换，两个随机相位掩模R₁(x，y)和R₂(x_a，y_a)可以表示成exp[i2πp(x，y)]和exp[i2πq(x_a，y_a)]，其中p(x，y)和q(x_a，y_a)是两个统计独立的白噪声，在区间[0，1]上具有均匀的概率分布。

解密步骤：

(1)对待解密图像进行分数阶傅立叶域双相位编码解密，得到：

C(x，y)＝F_-a{F_-(b-a)[ψ(x_b，y_b)]·R₂ ^*(x_a，y_a)}·R₁ ^*(x，y)；

(2)提取C(x，y)的幅度即为原始图像f(x，y)；

(3)提取C(x，y)的相位并除以π，得到图像J[g(x，y)]，对其进行解置乱操作J^-1J[ g(x，y)]，恢复出原始图像g(x，y)。

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