CN102567943A - 基于联合傅立叶变换和相位切除的非对称双图像加密方法 - Google Patents

Abstract

一种基于联合傅立叶变换和相位切除的非对称双图像加密方法。两幅明文在随机相位掩模的调制下经过联合傅立叶变换，利用相位切除，去除了传统的双随机相位加密方法的对称性和线性特点，从而大大增强了加密系统的抗攻击能力。其次，实现了加密过程和解密过程，加密密钥和解密密钥的不对称性，确立了基于双随机加密方法的光学非对称加密体制。与传统的双随机相位加密技术极易遭受攻击不同，测试表明本发明可以抵抗暴力攻击、已知明文攻击、直接公开密钥攻击、迭代振幅恢复算法攻击，因此具有较高的安全性。

Description

基于联合傅立叶变换和相位切除的非对称双图像加密方法

【技术领域】

本发明涉及一种信息安全技术领域和信息光学领域，特别是非对称图像的安全加密方法。

【背景技术】

保护信息的安全是当前我们面临的一项重要任务。图像作为信息载体的重要形式之一，具有直观生动的特点。近些年来，基于光学原理的图像安全处理技术引起了较为广泛的关注，并已成为图像安全处理领域新的研究热点。目前应用最为广泛的是美国的P.Réfrégier和B.Javidi两位专家在1995年提出的基于4f系统的双随机相位编码技术。该技术已获得了美国专利保护。双随机相位编码技术的主要思想是将两块统计无关的随机相位掩模分别放置于在4f光学系统的输入平面和傅立叶频谱面上，它们分别用来对原图像的空间信息和频谱信息作随机扰乱，在系统的输出平面上就可以得到统计特性随时间平移不变化的平稳白噪声，从而达到加密的目的。在这之后的时间里，许多国家的科研人员相继展开了这方面的研究，提出了不少加密技术。例如印度的研究人员将双随机相位编码技术的应用从傅立叶变换域扩展到了分数傅立叶变换域，引入分数傅立叶变化阶数作为新的密钥。这些加密方法大都是对单幅图像进行加密，而对双图像同时进行加密的方法并不多见。Tao等人利用分数阶傅立叶变换实现了双图像加密；Liu等人提出了结合相位恢复算法和分数傅立叶变换的双图像加密，该方法需进行迭代运算，计算量较大。这些双图像加密方法从加密体制上来看，都属于对称加密系统(加密过程与解密过程、加密密钥与解密密钥均相同)。

随着研究的深入，科研人员发现以双随机相位编码技术为典型代表的对称加密系统由于存在着线性这一性质，存在极大的安全隐患。2005年，Carniecer等人首次提出了一种针对双随机相位编码系统的选择密文攻击方法，破解了解密密钥；2006年，Peng等人提出了选择明文攻击的方法，破解了双随机加密系统。最近，一些针对分数傅立叶变换域和菲涅耳变换域的双随机加密系统的攻击方法也被陆续提出。传统的基于双随机加密的对称加密系统的安全问题逐渐暴露了出来。因此，实现对传统双随机加密系统的安全改造，去除其线性特点，增强加密系统的抗攻击能力成为目前研究的重点。2010年，Wang和Peng提出了基于切向傅立叶变换的光学非对称密码系统，去除了经典双随机相位编码系统的线性特点，有效地抵制了包括暴力攻击、已知明文等多种攻击，显示了比传统的基于双随机加密的对称加密方法更高的安全性。然而，研究发现基于切向傅立叶变换的单图像加密系统也存在缺陷，当系统中的两个加密密钥作为公开密钥匙时，利用迭代振幅恢复算法可以破解原始信息。因此，以传统的双随机相位编码为基础的非对称图像加密方法仍有待开发。通过把系统从切相傅立叶变换域扩展到切相分数傅立叶变换域或者在频域上放置振幅板，可以有效地抵御振幅恢复法的攻击，但系统的复杂性明显提高。

【发明内容】

本发明要解决的技术问题是提供一种基于联合傅立叶变换和相位切除的非对称双图像加密方法。

解决上述技术问题采用如下技术措施：本基于联合傅立叶变换和相位切除的非对称双图像加密方法按如下步骤进行：

(1)加密：

(i)f₁(x，y)和f₂(x，y)是待加密的两幅原始图像，R₁(x，y)和R₂(x，y)代表两个随机相位掩模，分别表示成exp[2πm₁(x，y)]和exp[2πm₂(x，y)]，其中m₁(x，y)、m₂(x，y)代表两个统计无关且在区间[0，1]上具有均匀概率分布的随机矩阵，假定两组图像和相位掩模中心分别置于(a₁，0)和(a₂，0)，并且两幅原始图像不存在相互重叠现象，此时，待加密的信息在数学上表示为：

u₀(x，y)＝[f₁(x-a₁，y)×R₁(x-a₁，y)]+[f₂(x-a₂，y)×R₂(x-a₂，y)](1)

(ii)对两组输入信息进行联合傅立叶变换，切除相位后得到：

g₀(u，υ)＝PT{FT[u₀(x，y)]}(2)

其中FT[]和PT{}分别表示傅立叶变换和相位切除操作，(u，υ)代表傅立叶频域的坐标，切相操作的结果是除去复振幅的相位信息，只保留振幅部分的信息，被切除的相位信息表示为

P₀(u，υ)＝PR{FT[u₀(x，y)]}(3)

其中PR{}表示相位保留操作，即只取复振幅的相位部分；

(iii)将g₀(u，υ)与另一随机相位掩模R₃(u，υ)相乘，R₃(u，υ)可表示成exp[2πm₃(u，υ)]，其中m₃(u，υ)是与m₁(x，y)、m₂(x，y)均统计无关且在区间[0，1]上具有均匀概率分布的随机矩阵，对相乘结果进行一次逆傅立叶变换后得到

u₁(x，y)＝IFT[g₀(u，υ)×R₃(u，υ)](4)

其中IFT[]表示逆傅立叶变换；

(iv)对u₁(x，y)进行相位切除运算，只保留u₁(x，y)振幅部分的信息，即：

E(x，y)＝PT{u₁(x，y)}(5)

E(x，y)就是加密的结果，而u₁(x，y)的相位信息则作为解密过程中的一个密钥，表示为：

P₁(x，y)＝PR{u₁(x，y)}(6)

解密过程中的另一个密钥表示为：

$P_2(u,\mathrm{\υ})=R_3^{*}(u,\mathrm{\υ})\×P_0(u,\mathrm{\υ})$

(7)

$=R_3^{*}(u,\mathrm{\υ})\×\mathrm{PR}\left\{\mathrm{FT}\right[u_0(x,y)\left]\right\}$

其中“*”表示共轭；

(2)解密：

(i)将密文E(x，y)与第一个解密密钥P₁(x，y)相乘，得到E(x，y)×P₁(x，y)，由P₁(x，y)＝PR{u₁(x，y)}，E(x，y)＝PT{u₁(x，y)}可知，相乘的结果为u₁(x，y)；

(ii)对E(x，y)×P₁(x，y)进行一次傅立叶变换，由式(4)得变换后的结果为：

g(u，υ)＝FT[E(x，y)×P₁(x，y)]

＝FT[u₁(x，y)](8)

＝g₀(u，υ)×R₃(u，υ)

(iii)将g(u，υ)与第二个解密密钥P₂(u，υ)相乘，得到g(u，υ)×P₂(u，υ)；

(iv)对g(u，υ)×P₂(u，υ)实行一次逆傅立叶变换，由式(2)、(3)、(8)可知变换的结果为：

D₀(x，y)＝IFT[g(u，υ)×P₂(u，υ)]

＝u₀(x，y)(9)

由此，原始的输入信息就完全被破解得到，对u₀(x，y)取振幅部分，即可得到中心分别置于(a₁，0)和(a₂，0)的两幅原始图像；

综合以上各过程，加密结果可以表述为：

E(x，y)＝PT{IFT[PT{FT[u₀(x，y)]}×R₃(u，υ)]}(10)

解密结果可以简单表示为：

D(x，y)＝PT{D₀(x，y)}

                                (11)

＝PT{IFT[FT[E(x，y)×P₁(x，y)]×P₂(u，υ)]}

其中，2个加密过程中生成的解密密钥P₁(x，y)、P₂(u，υ)分别由式(6)和(7)给出。

本发明的有益效果在于：首先，去除了传统双随机相位加密方法的线性特点，安全性得到提升，传统的易受攻击的双随机相位加密技术因此重新获得了生机。其次，实现了加密过程和解密过程，加密密钥和解密密钥的不对称性，确立了基于双随机加密方法的非对称加密体制，同时能够抵抗住公开密钥攻击，特别是迭代振幅恢复方法的攻击，抗破译能力强。最后，本发明所述的图像加密方法的解密过程采用传统的双随机相位系统，具有线性特点，简单可行。

【附图说明】

图1为加密过程流程图。

图2为解密过程流程图。

图3为本发明的光学加密装置图。

图4为本发明的光学解密装置图。

图5用本发明所述方法对“雕像”和“木雕”两幅图像进行加密(a)雕像(200×200)；(b)木雕(200×200)；(c)图(a)归一化补零的结果(512×512)；(d)图(b)归一化补零的结果(512×512)。

图6(a)加密结果；(b)解密密钥P₁；(c)解密密钥P₂；(d)正确的解密结果。

图7暴力攻击的破解图像(a)不使用解密密钥；(b)使用两个随机相位掩模作为解密密钥。

图8已知明文(a)办公室；(b)扳手；(c)由图(a)和图(b)生成的解密密钥P₁；(d)由图(a)和图(b)生成的解密密钥P₂；(e)已知明文攻击的结果。

图9任选三个公开密钥中的其中两个作为解密密钥进行破解(公开密钥攻击)的结果。

图10迭代振幅恢复算法攻击(公开密钥攻击)第一步骤中MSE(近似振幅g′₀(u，υ)与真实值g₀(u，υ))与迭代运算次数m的关系图。

图11迭代振幅恢复算法攻击的第二步骤中(a)迭代运算次数n₁与(直接攻击的结果和正确解密结果之间的)MSE的关系图；(b)迭代运算次数n₂与(间接攻击的结果和正确解密结果之间的)MSE值的关系图。

图12直接攻击的结果(a)m＝500，n₁＝1；(b)m＝500，n₁＝50。间接攻击的结果(c)m＝500，n₂＝1；(d)m＝500，n₂＝50。

图13(a)单图像加密的密文；(b)正确的解密结果。

图14(a)迭代振幅恢复算法攻击中第一步骤的MSE(近似振幅g′₀(u，υ)与真实值g₀(u，υ))与迭代运算次数m的关系图；(b)第二步骤中迭代运算次数n与(间接攻击的结果和正确解密结果之间的)MSE值的关系图。

图15间接攻击的结果(a)m＝500，n＝1；(b)m＝500，n＝100。

【具体实施方式】

下面本发明结合实施例并参照附图予以详述：本发明所述方法的加密解密过程可以通过图3，图4所示的光电混合系统实现。空间光调制器(spatial light modulators，SLM)具有显示复振幅信号的能力。加密过程分为两步：

(1)在加密的过程中，利用计算机可控的SLM1和SLM2分别显示输入信息f₁(x-a₁，y)×R₁(x-a₁，y)和f₂(x-a₂，y)×R₁(x-a₂，y)，即输入信息为：

u₀(x，y)＝[f₁(x-a₁，y)×R₁(x-a₁，y)]+[f₂(x-a₂，y)×R₂(x-a₂，y)]。

在单位振幅平面光波的照射下，利用凸透镜可实现输入信息的联合傅立叶变换，变换的结果为复振幅，因此需要全息的方法进行存储，后期经过计算机运算处理，可从光强探测器CCD记录的数字全息图中运算得到联合傅立叶变换的结果，即FT[u₀(x，y)]。所得复振幅振的振幅部分信息可用g₀(u，υ)表示。

(2)图3中保留一台空间光调制器，并利用其显示上述联合傅立叶变换结果的振幅信息与随机相位掩模R₃(u，υ)的乘积。因此，输入信息即为g₀(u，υ)×R₃(u，υ)。由凸透镜实现傅立叶逆变换。同样，利用全息的方法进行记录存储并经计算机处理可得到该傅立叶逆变换的结果，即u₁(x，y)＝IFT[g₀(u，υ)×R₃(u，υ)]。u₁(x，y)的振幅部分在计算机保留作为加密结果，即E(x，y)＝PT{u₁(x，y)}。E(x，y)就是加密的结果，而u₁(x，y)的相位信息则作为解密过程中的一个密钥，即表示为P₁(x，y)＝PR{u₁(x，y)}，而另一个解密密钥则表示为 $P_2(u,\mathrm{\υ})=R_3^{*}(u,\mathrm{\υ})\×\mathrm{PR}\left\{\mathrm{FT}\right[u_0(x,y)\left]\right\}.$

本发明提出的加密系统属非对称加密体制，解密密钥与加密密钥并不相同，加密过程具有非线性的特点，因此安全性得到了极大提升。

解密过程与加密过程并不相同，解密过程具有线性特点。通过调整SLM1，SLM2的位置，增加另一相同的凸透镜，可以实现原始信息的光学解密。如图4所示，解密过程中，在计算机中将加密结果E(x，y)与密钥P₁(x，y)相乘并输入到SLM1中，同时由SLM2显示第二个解密密钥P₂(u，υ)。在单位振幅平面光波的照射下，经第一块凸透镜的作用，实现了对E(x，y)·P₁(x，y)的一次傅立叶变换。由P₁(x，y)＝PR{u₁(x，y)}、E(x，y)＝PT{u₁(x，y)}，u₁(x，y)＝IFT[g₀(u，υ)×R₃(u，υ)]可知对E(x，y)×P₁(x，y)进行傅立叶变换的结果可表示为

g(u，υ)＝FT[E(x，y)×P₁(x，y)]

＝FT[u₁(x，y)]，

＝g₀(u，υ)×R₃(u，υ)

g(u，υ)与第二个解密密钥P₂(u，υ)相乘，得到g(u，υ)×P₂(u，υ)。在第二块凸透镜的作用下，g(u，υ)×P₂(u，υ)经历一次傅立叶逆变换，解密的结果则可表示为D(x，y)＝IFT[g(u，υ)×P₂(u，υ)]，由g₀(u，υ)＝PT{FT[u₀(x，y)]}、P₀(u，υ)＝PR{FT[u₀(x，y)]}、

可知D(x，y)＝u₀(x，y)，即原始的输入信息就完全被破解得到，利用CCD记录解密得到的复振幅信息，即可得到中心分别置于(a₁，0)和(a₂，0)的两幅原始图像的信息。

本发明提出的基于联合傅立叶变换和相位切除的非对称双图像加密方法不仅能够有效地抵制了包括暴力攻击、已知明文等多种常规攻击，同样可以有效地抵御迭代振幅恢复算法的攻击。并且，加密对象不仅可以是单图像，也可以是两幅图像。单图像的加密只要将第二幅图片移走即可，即式(1)中令f₂(x-a₂，y)＝1。Wang和Peng已经证明了在去除经典的基于傅立叶变换的双随机相位加密系统的线性特性后，加密结果为白噪振幅图且加密系统能够有效地抵制包括暴力攻击、已知明文等在内的多种攻击。

下面具体分析本发明提出的非对称加密方法可能存在的安全问题。考虑比较糟糕的情况，即攻击者已经获知了加密和解密的流程并同时已取得了公开密钥R₁，R₂，R₃以及加密结果E(x，y)。攻击者试图通过上述信息直接破解原始图像或通过破解解密密钥从而间接的破解原始信息。此情况下本发明所述的非对称加密方法可能会面临以下几种攻击：

一、暴力攻击

攻击者在解密过程使用2个任意选择的随机相位掩模来代替真实的密钥P₁，P₂，或者不使用任何密钥，即解密过程中采用P₁＝P₂＝1。

二、已知明文攻击

攻击者使用另外两幅图像以及公开密钥R₁，R₂，R₃，根据流程图1进行加密，加密过程中生成两个解密密钥，利用这两个密钥对密文进行破解。

三、公开密钥攻击

已知公开密钥攻击可以分两种情形：

(1)直接采用公开密钥进行攻击

任选R₁，R₂，R₃中的其中两个代替真实的解密密钥进行破解；

(2)采用迭代振幅恢复算法进行攻击

迭代振幅恢复算法可以分为两步：第一步是利用R₃(u，υ)和E(x，y)通过迭代运算得到g₀(u，υ)的近似值g′₀(u，υ)；第二步利用R₁，R₂和g′₀(u，υ)，运算得到原始图像的近似值。然而，对于两幅图像的加密而言，迭代振幅恢复算法的第二步攻击存在极大的困难。在第一步得到g₀(u，υ)的近似值之后，攻击的第二个步骤需要通过以下其中一种方式完成：第一种方式是利用g′₀(u，υ)，并选用R₁，R₂中的其中之一作为迭代运算过程中的两个确定值，称之为直接攻击；第二种方式是间接攻击，即先对其中一幅图像进行破解。这种情况下，需要在迭代运算中将另一幅图像的振幅分布设定为某一固定分布。根据被破解的图像，再对剩余图像重新利用迭代运算进行恢复。

本发明所提出的非对称加密体制在安全性方面的一个重要的特性就是它能抵抗住公开密钥攻击中的振幅恢复算法的攻击。特别需要指出的是，当系统只对一幅图像进行加密时最容易遭到间接振幅恢复算法的攻击，攻击者在采用间接攻击时取f₂(x-a₂，y)＝1即可。但事实上，由于加密过程中仍然使用了中心位置在(a₂，0)的相位掩模R₂(x-a₂，y)，所以间接攻击的效果必然会受到很大的影响。使用MSE(Mean Square Error)作为衡量两幅图像品质上的差异，假设f代表一振幅图，f′是通过迭代振幅恢复算法运算得到的结果，则两者间的MSE可以表示为

$\mathrm{MSE}(f,f^{\′})=\frac{1}{\mathrm{MN}}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{|f(i,j)-f^{\′}(i,j)|}^2,---\left(12\right)$

其中M，N表示图像的尺寸，f(i，j)和f′(i，j)分别表示两幅振幅图像在像素点(i，j)的值。通过MSE可以反映攻击者所进行的迭代运算的收敛性。

下面结合实施例和附图对本发明的内容进行进一步的解释。

首先，选择大小为200×200的两幅灰度图“雕像”和“木雕”，分别如图5(a)和图5(b)所示。采用单位振幅平行光入射，仿真中两幅待加密图像均作归一化处理，同时作补零处理(为了仿真计算的需要)，处理后的图像尺寸均为512×512，如图5(c)和5(d)所示。根据流程图图1所示，在三个相互统计独立的随机相位掩模的作用下，加密的结果如图6(a)所示。两密钥P₁，P₂的相位分布如图6(b)、6(c)所示，正确使用上述两个密钥进行解密，解密结果的振幅分布如图6(d)所示，两幅输入图像得到恢复。

如果解密过程中不使用密钥或者使用任意生成的两个随机相位掩模作为解密密钥，就无法恢复出明文图像，解密结果分别如图7(a)和图7(b)所示。可见加密方法可以有效抵抗暴力攻击。随后进行已知明文攻击，图8(a)和图8(b)是两幅分别用来替代图5(a)和图5(b)，从而生成假密钥(fake keys)的明文图像。在加密过程中，用图8(a)和图8(b)产生的两个密钥分别如图8(c)和图8(d)所示。使用这两个密钥对图6(a)进行解密的结果如图8(e)所示，可见解密的图像只能显示用来生成密钥的两幅已知明文图像的部分信息。

接着进行公开密钥攻击测试。首先直接采用公开密钥进行攻击，任选三个公开密钥中的其中两个作为解密密钥，由此破解的结果如图9所示，直接采用公开密钥进行攻击无法获取任何原始信息。然后进行迭代振幅恢复算法攻击，攻击的第一步骤中得到的振幅分布g′₀(u，υ)与g₀(u，υ)两者之间的MSE与迭代运算次数的关系如图10所示，迭代次数在200次以上，MSE值基本保持不变；第二步骤有直接和间接两种迭代方式。直接攻击的结果和正确解密结果即图6(d)两者之间的MSE值与迭代运算次数的关系如图11(a)所示。说明迭代次数越多，破解的图像质量越差。间接攻击实施过程中，将两幅输入明文中的一幅图像用随机振幅图像替代，即用区间[0，1]上具有均匀概率分布的随机矩阵取代，然后试图通过迭代振幅恢复法破解另一幅图像。间接攻击的结果和正确解密结果即图6(d)之间的MSE值与迭代运算次数的关系如图11(b)所示，当迭代次数在10以上，MSE值基本保持不变。由图12可见，本发明所述方法能有效地抵御直接攻击和间接攻击两种攻击方式。

最后，考虑单图像加密的情况。此时原输入图像中的图5(b)在仿真中以单位矩阵替代。显然，单图像加密是上述双图像加密的一个特例，即f₂(x-a₂，y)＝1的情况。图13(a)和图13(b)分别是单图像加密的密文和正确的解密结果。当只需破解一幅振幅图像时，加密系统非常容易受到振幅恢复算法中间接方式的的攻击。从迭代振幅恢复算法攻击第一步骤中得到的振幅分布g′₀(u，υ)与g₀(u，υ)两者之间的MSE与迭代运算次数的关系如图14(a)所示，迭代次数在200次以上，MSE值基本保持不变；第二步采用间接攻击的结果和正确解密结果之间的MSE值与迭代运算次数的关系如图14(b)所示，当迭代次数在20以上，MSE值基本保持不变。从图15中可以看出即使是单图像加密也能有效地抵御迭代振幅恢复算法的攻击。

Claims (1)

1.一种基于联合傅立叶变换和相位切除的非对称双图像加密方法，其特征是按如下步骤进行：

(1)加密：

(i)f₁(x，y)和f₂(x，y)是待加密的两幅原始图像，R₁(x，y)和R₂(x，y)代表两个随机相位掩模，分别表示成exp[2πm₁(x，y)]和exp[2πm₂(x，y)]，其中m₁(x，y)、m₂(x，y)代表两个统计无关且在区间[0，1]上具有均匀概率分布的随机矩阵，假定两组图像和相位掩模中心分别置于(a₁，0)和(a₂，0)，并且两幅原始图像不存在相互重叠现象，此时，待加密的信息在数学上表示为：

u₀(x，y)＝[f₁(x-a₁，y)×R₁(x-a₁，y)]+[f₂(x-a₂，y)×R₂(x-a₂，y)](1)

(ii)对两组输入信息进行联合傅立叶变换，切除相位后得到：

g₀(u，υ)＝PT{FT[u₀(x，y)]}(2)

其中FT[]和PT{}分别表示傅立叶变换和相位切除操作，(u，υ)代表傅立叶频域的坐标，切相操作的结果是除去复振幅的相位信息，只保留振幅部分的信息，被切除的相位信息表示为

P₀(u，υ)＝PR{FT[u₀(x，y)]}(3)

其中PR{}表示相位保留操作，即只取复振幅的相位部分；

(iii)将g₀(u，υ)与另一随机相位掩模R₃(u，υ)相乘，R₃(u，υ)可表示成exp[2πm₃(u，υ)]，其中m₃(u，υ)是与m₁(x，y)、m₂(x，y)均统计无关且在区间[0，1]上具有均匀概率分布的随机矩阵，对相乘结果进行一次逆傅立叶变换后得到

u₁(x，y)＝IFT[g₀(u，υ)×R₃(u，υ)](4)

其中IFT[]表示逆傅立叶变换；

(iv)对u₁(x，y)进行相位切除运算，只保留u₁(x，y)振幅部分的信息，即：

E(x，y)＝PT{u₁(x，y)}(5)

E(x，y)就是加密的结果，而u₁(x，y)的相位信息则作为解密过程中的一个密钥，表示为：

P₁(x，y)＝PR{u₁(x，y)}(6)

解密过程中的另一个密钥表示为：

$P_2(u,\mathrm{\υ})=R_3^{*}(u,\mathrm{\υ})\×P_0(u,\mathrm{\υ})$

(7)

$=R_3^{*}(u,\mathrm{\υ})\×\mathrm{PR}\left\{\mathrm{FT}\right[u_0(x,y)\left]\right\}$

其中“*”表示共轭；

(2)解密：

(i)将密文E(x，y)与第一个解密密钥P₁(x，y)相乘，得到E(x，y)×P₁(x，y)，由P₁(x，y)＝PR{u₁(x，y)}，E(x，y)＝PT{u₁(x，y)}可知，相乘的结果为u₁(x，y)；

(ii)对E(x，y)×P₁(x，y)进行一次傅立叶变换，由式(4)得变换后的结果为：

g(u，υ)＝FT[E(x，y)×P₁(x，y)]

＝FT[u₁(x，y)](8)

＝g₀(u，υ)×R₃(u，υ)

(iii)将g(u，υ)与第二个解密密钥P₂(u，υ)相乘，得到g(u，υ)×P₂(u，υ)；

(iv)对g(u，υ)×P₂(u，υ)实行一次逆傅立叶变换，由式(2)、(3)、(8)可知变换的结果为：

D₀(x，y)＝IFT[g(u，υ)×P₂(u，υ)]

＝u₀(x，y)(9)

由此，原始的输入信息就完全被破解得到，对u₀(x，y)取振幅部分，即可得到中心分别置于(a₁，0)和(a₂，0)的两幅原始图像；

综合以上各过程，加密结果可以表述为：

E(x，y)＝PT{IFT[PT{FT[u₀(x，y)]}×R₃(u，υ)]}(10)

解密结果可以简单表示为：

D(x，y)＝PT{D₀(x，y)}

                        (11)

＝PT{IFT[FT[E(x，y)×P₁(x，y)]×P₂(u，υ)]}

其中，2个加密过程中生成的解密密钥P₁(x，y)、P₂(u，υ)分别由式(6)和(7)给出。

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