CN103258315B - 基于切相分数傅立叶变换的双图像加密方法 - Google Patents

Abstract

一种基于切相分数傅立叶变换的双图像加密方法。按如下两大步骤进行：一是加密：利用一块随机相位板把一幅图像加密成一块相位板，该相位板和另一幅待加密图像在切向傅立叶变换的基础上被加密成一振幅分布图；二是解密：利用加密过程使用的随机相位板、加密过程中生成的另一块相位板以及分数傅立叶变换阶数对图像进行解密，得到一幅原始图像和一块相位板，利用该相位板和上述随机相位板可得到第二幅原始图像。本发明方法用于图像的加密和解密，将切相分数傅立叶变换运用于双图像对称加密，加密结果为一置乱的振幅图像，从而便于复制和打印；本发明所述的图像加密方法的加密过程是非线性的，但解密过程具有线性特点，提高了合法解密的效率。

Description

基于切相分数傅立叶变换的双图像加密方法

【技术领域】

本发明涉及一种信息安全技术领域，特别是图像的加密方法。

【背景技术】

基于光学理论的光学信息加密技术是近些年逐步发展起来的新一代信息安全处理技术。与传统的计算机密码技术相比，光学加密技术具有大容量、多维度及高速并行处理数据能力等优点。图像是信息载体的重要形式之一，具有直观生动的特点。一般来说，一幅图像的傅立叶谱密度分布是不均匀的，低频部分集中了大部分能量，密度较高，因此对图像进行加密可通过扰乱它的谱信息，调整谱密度分布，使之均匀化来实现。基于上述原理，美国Connecticut大学的P.Réfrégier和B.Javidi两位专家在1995年提出了一种基于4f系统的双随机相位编码技术。随后科研人员将该技术的应用从傅立叶变换扩展到了分数傅立叶变换(FractionalFouriertransform，FRFT)，引入分数傅立叶变化阶数作为新的密钥。例如，刘树田等人通过增加分数傅立叶变换周期作为系统密钥以及多级重复操作，进一步提高了加密系统的安全性；陶然等人利用分数阶傅立叶变换实现了多图像加密，他们提出的一种基于分数阶傅立叶变换的双图像加密方法已经获得国家专利保护。绝大部分基于分数傅立叶变换的图像加密系统，其加密密钥与解密密钥均相同，属于对称加密系统。加密的对象也多为一幅图像，而多图像加密方法大多又以相位恢复算法为基础，运算量大。2010年，彭翔等人提出了基于切相傅立叶变换的单图像非对称加密系统，由于在加密和解密过程引入了非线性因素，相对传统的对称加密方法，安全性更高。事实上，加密系统可以从切相傅立叶变换域拓展到切相分数傅立叶变换域，引入分数傅立叶变换阶数作为新的密钥，从而提高系统的安全性。

【发明内容】

本发明要解决的技术问题是提供基于切相分数傅立叶变换的双图像加密方法。

解决上述技术问题采用如下技术措施：基于切相分数傅立叶变换的双图像加密方法按如下步骤进行：

(1)加密：

(i)f(x，y)和g(x，y)是待加密的两幅原始图像，R(x，y)是一块随机相位板，R(x，y)具体表示成exp[2πm(x，y)]，其中m(x，y)代表在区间[0，1]上具有均匀概率分布的随机矩阵，将图像g(x，y)分解成两块相位板，一块为R(x，y)，另一块相位板为P₀(x，y)，即有如下关系：

g(x，y)＝PT{R(x，y)+P₀(x，y)}(1)

其中PT{}表示切相操作，(x，y)代表空间域的坐标，切相操作的结果是除去复振幅的相位信息，只保留振幅信息，将P₀(x，y)作为g(x，y)的加密结果，用函数具体表述，则R(x，y)为解密密钥，从式(1)可得到的一个解：

(ii)f(x，y)与随机相位板P₀(x，y)相乘，进行一次阶数为α的分数傅立叶变换，切相操作后的结果为

f′(u，v)＝PT{F^α[f(x，y)·P₀(x，y)]}(3)

切除的相位表示为

P₁(u，v)＝PR{F^α[f(x，y)·P₀(x，y)]}(4)

其中PR{}表示相位保留运算，即除去复振幅的振幅信息，只保留相位信息，(u，v)代表频域坐标，F^α[]代表阶数为α的分数傅立叶变换，函数f(x，y)·P₀(x，y)的α阶分数傅立叶变换定义为：

$F^{\mathrm{\α}}\[f(x,y)\·P_0(x,y)\](u,\mathrm{\υ})={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{K}_{\mathrm{\α}}(x,y;u,\mathrm{\υ})f(x,y)P_0(x,y)dxdy---\left(5\right)$

其中K_α(x，y；u，v)是二维分数傅立叶的变换核，即

$K_{\mathrm{\α}}(x,y;u,\mathrm{\υ})=A\exp (i\mathrm{\π}\frac{x^2+y^2+u^2+{\mathrm{\υ}}^2}{\mathrm{\λ}ftan\mathrm{\φ}}-2i\mathrm{\π}\frac{xyu\mathrm{\υ}}{{\mathrm{\λ}}^2{f}^2\sin \mathrm{\φ}})---\left(6\right)$

其中且φ＝απ/2，α是分数形式的阶数；

(iii)生成一块相位板P₂(u，v)，其值为

P₂(u，v)＝P₁(u，v)·R^*(u，v)(7)

其中“*”表示共轭，f′(u，v)与相位板P₂(u，v)相乘，进行一次阶数为α的分数傅立叶变换后再进行切相操作，得到加密结果

E(x，y)＝PT{F^α[f′(u，v)·P₂(u，v)]}(8)

切除的相位作为解密过程中的密钥，表示为

P₃(u，v)＝PR{F^α[f′(u，v)·P₂(u，v)]}(9)

(2)解密：

(i)将加密结果E(x，y)与作为解密密钥的相位板P₃(x，y)相乘后进行一次阶数为-α的分数傅立叶变换，则由式(8)、(9)可知变换后的结果为F^-α[E(x，y)·P₃(x，y)]＝f′(u，v)·P₂(u，v)；

(ii)f′(u，v)·P₂(u，v)与解密密钥R(u，v)相乘后实行一次阶数为-α的傅立叶变换，由式(3)，(4)，(7)可得变换后的结果为f(x，y)·P₀(x，y)；

(iii)对f(x，y)·P₀(x，y)进行切相操作后得到第一幅解密结果f(x，y)，作相位保留操作则得到P₀(x，y)，将P₀(x，y)与解密密钥R(x，y)相加后作切相操作，由式(1)可知，其结果为g(x，y)，即解密得到另一幅原始图像；

综合以上各过程可以看出，两幅原始图像f(x，y)和g(x，y)最终被加密成一振幅分布E(x，y)，解密过程中需要使用的解密密钥为R(u，v)、P₃(x，y)和分数傅立叶阶数-α。

本发明的有益效果在于：首先，本发明将切相分数傅立叶变换运用于双图像对称加密，加密结果为一置乱的振幅图像，而传统的基于分数傅立叶变换的加密方法的加密结果为复振幅，包含振幅和相位两部分信息，增加了存储和传输负担，不便于复制和打印；其次，分数傅立叶变换加密过程中通过引入非线性操作，去除了大多数加密方法的线性特点，增强了系统的安全性；最后，大多数光学非线性加密系统的解密过程也是非线性的，而本发明所述的图像加密方法的解密过程具有线性特点，提高了合法解密的效率。

【附图说明】

图1为加密过程流程图。

图2为解密过程流程图。

图3为本发明的光学加密示意图。

图4为本发明的光学解密示意图。

图5(a)待加密图像f(Lena)；(b)待加密图像g(Cameraman)。

图6(a)随机相位板R；(b)相位板P₀；(c)相位板P₁；(d)相位板P₂；(e)相位板P₃；(f)最终的加密结果E。

图7(a)作为解密密钥的随机相位板R出错时与f对应的解密图；(b)R出错时与g对应的解密图；(c)作为解密密钥的相位板P₃出错时f对应的解密图像；(d)作为解密密钥的相位板P₃出错时g对应的解密图像；(e)分数傅立叶变换阶数-α出错时f对应的解密图；(f)作为解密密钥的相位板P₃出错时g对应的解密图像。

图8为分数傅立叶变换阶数发生偏离时的解密图与原图之间的MSE值图。

图9(a)f对应的正确解密图；(b)g对应的正确解密图。

【具体实施方式】

本发明所述方法的具体实施方式如下：

(1)图像的加密过程(如图1所示)分如下几个步骤：

(i)f(x，y)和g(x，y)是待加密的两幅原始图像，R(x，y)是一块随机相位板，R(x，y)具体表示成exp[2πm(x，y)]，其中m(x，y)代表在区间[0，1]上具有均匀概率分布的随机矩阵，(x，y)代表空间域的坐标，将图像g(x，y)分解成两块相位板，一块为R(x，y)，另一块相位板为P₀(x，y)，即有g(x，y)＝PT{R(x，y)+P₀(x，y)}，其中PT{}表示切相操作，切相操作的结果是除去复振幅的相位信息，只保留振幅信息，将P(x，y)作为g(x，y)的加密结果，用函数具体表述，则R(x，y)为解密密钥，从式(1)可得到的其中一个解：

(ii)f(x，y)与随机相位板P₀(x，y)相乘，进行一次阶数为α的分数傅立叶变换，切相操作后的结果为f′(u，v)＝PT{F^α[f(x，y)·P₀(x，y)]}，切除的相位表示为P₁(u，v)＝PR{F^α[f(x，y)·P₀(x，y)]}，其中F^α[]代表阶数为α的分数傅立叶变换，PR{}表示相位保留运算，即除去复振幅的振幅信息，只保留相位信息，(u，v)则代表频域坐标。

(iii)根据P₂(u，v)＝P₁(u，v)·R^*(u，v)生成一块相位板P₂(u，v)，其中“*”表示共轭，f′(u，v)与相位板P₂(u，v)相乘，进行一次阶数为α的分数傅立叶变换后再进行切相操作，得到加密结果为E(x，y)＝PT{F^α[f′(u，v)·P₂(u，v)]}，切除的相位作为解密中的密钥，表示为P₃(u，v)＝PR{F^α[f′(u，v)·P₂(u，v)]}。

(2)图像的解密过程(如图2所示)：

(i)将加密结果E(x，y)与作为解密密钥的相位板P₃(x，y)相乘后进行一次阶数为-α的分数傅立叶变换，则由式(8)、(9)可知变换后的结果为F^-α[E(x，y)·P₃(x，y)]＝f′(u，v)·P₂(u，v)。

(ii)f′(u，v)·P₂(u，v)与解密密钥R相乘后实行一次阶数为-α的傅立叶变换，由式(3)，(4)，(5)可得变换后的结果为f(x，y)·P₀(x，y)，具体过程为

F^-α[f′(u，v)·P₂(u，v)·R(u，v)]

＝F^-α[f′(u，v)·P₁(u，v)·R^*(u，v)·R(u，v)]

＝F^-α[f′(u，v)·P₁(u，v)]。

＝f(x，y)·P₀(x，y)

(iii)对f(x，y)·P₀(x，y)进行切相操作后得到第一幅解密结果f(x，y)，作相位保留操作则得到P₀(x，y)，将P₀(x，y)与解密密钥R(x，y)相加后作切相操作，由式(1)可知，其结果为g(x，y)，即解密得到另一幅原始图像。

综合以上各过程可以看出，两幅原始图像f(x，y)和g(x，y)最终被加密成一振幅分布E(x，y)，解密过程中需要使用的解密密钥为R(u，v)、P₃(x，y)和分数傅立叶阶数-α。

下面对本发明中采用的图像的光学加密和解密进行具体说明：

实现光学加密的光电混合系统参照图3，利用Lohmann提出的单透镜结构(typeI型)来完成分数傅立叶变换。空间光调制器(SpatialLightModulators，SLM)具有显示复振幅信号的能力。加密时，在计算机中生成随机相位板R(x，y)，并利用其将图像g(x，y)加密成相位板P₀(x，y)，通过计算机可控的SLM显示f(x，y)与P₀(x，y)的乘积，在单位振幅平面光波照射下进行一次分数傅立叶变换，其结果为复振幅，需要用全息的方法进行存储。得到的复振幅的振幅和相位信息分别为f′(u，v)和P₁(u，v)，利用计算机根据公式(5)生成另一相位板P₂(u，v)通过SLM显示f′(u，v)与P₂(u，v)的乘积，并再次进行分数傅立叶变换，把变换后得到的复信息的振幅部分作为加密结果，即E(x，y)，而相位部分的信息P₃(x，y)则作为解密密钥保存。

本发明提出的加密系统的解密密钥与加密密钥并不完全相同，加密过程具有非线性的特点，因此安全性得到了极大提升；另外，加密的结果是一振幅分布图，而不是包含相位的复振幅，传输更方便，并且便于复制和打印。另外，本发明提出的加密系统的解密过程与加密过程并不相同，解密过程具有线性特点。如图4所示，增加另一相同的凸透镜。解密过程中，通过SLM1显示解密结果E(x，y)与解密密钥P₃(x，y)的乘积，同时由SLM2显示第二个解密密钥R(u，v)。在单位振幅平面光波的照射下，经第一块凸透镜的作用，实现了对E(x，y)P₃(x，y)的一次分数傅立叶变换，由式(6)、(7)可知变换结果为F^-α[E(x，y)·P₃(x，y)]＝f′(u，v)·P₂(u，v)，再由第二块透镜实现第二次分数傅立叶变换，由式(3)，(4)，(5)可得变换后的结果为f(x，y)P₁(x，y)，由CCD直接记录得到第一个解密结果即原始图像f(x，y)，通过全息的方法记录得到相位信息P₁(x，y)，在计算机中将解密密钥R(x，y)与P₁(x，y)直接相加后取振幅，得到第二幅解密图像g(x，y)，即有g(x，y)＝PT{R(x，y)+P₀(x，y)}。

下面结合实施例和附图对本发明的内容进行进一步的解释。

选择大小为256×256的两幅灰度图“Lena”和“Cameraman”，归一化后分别如图5(a)和图5(b)所示，加密中的两次分数傅立叶变换阶数均为α＝1.25。随机相位板R的相位分布如图6(a)所示，根据流程图图1，加密过程中得到的相位板P₀、P₁、P₂和P₃的相位分布图分别如图6(b)、6(c)、6(d)和6(e)所示，图6(f)是最终的加密结果E。根据流程图图2进行解密，所需要的解密密钥包括随机相位板R、相位板P₃以及分数傅立叶变换阶数-α。当随机相位板R出错而其他两个密钥正确的情况下得到的关于图像“Lena”和“Cameraman”的解密结果分别如图7(a)和7(b)所示；图7(c)，图7(d)是相位板P₃发生错误时的上述两幅图的解密结果；当作为解密密钥的分数傅立叶变换阶数-α出错时(-α＝-1.45)，相应的解密结果分别如图7(e)、7(f)所示。因此，在解密过程中只要其中一个密钥发生错误就无法得到两幅原始图像。图8为分数傅立叶变换阶数发生偏离时的原图与解密图之间的MSE(MeanSquareError)曲线图，其中图8(a)，8(b)分别是“Lena”和“Cameraman”与他们相对应的的解密结果之间的MSE分布图。从图中可以看出，在其他两个解密密钥正确的情况下，当正确的分数傅立叶变换阶数-α用于解密时，MSE均为零。当解密时采用的变换阶数与正确值发生微小偏离时，MSE就开始迅速增加，但MSE并不随着偏离值的增加而发生明显的增加，MSE保持相对稳定，这充分表明了分数傅立叶变换阶数在系统安全性上的作用，只要变换阶数发生偏离，就无法破解原图，如图7(e)、图7(f)所示。在只有所有密钥均正确的情况下才能解密得到原始图像，分别如图9(a)和图9(b)所示。

Claims (1)

1.一种基于切相分数傅立叶变换的双图像加密方法，其特征是按如下步骤进行：

(1)加密：

(i)f(x，y)和g(x，y)是待加密的两幅原始图像，R(x，y)是一块随机相位板，R(x，y)具体表示成exp[2πm(x，y)]，其中m(x，y)代表在区间[0，1]上具有均匀概率分布的随机矩阵，将图像g(x，y)分解成两块相位板，一块为R(x，y)，另一块相位板为P₀(x，y)，即有如下关系：

g(x，y)＝PT{R(x，y)+P₀(x，y)}(1)

其中PT{}表示切相操作，(x，y)代表空间域的坐标，切相操作的结果是除去复振幅的相位信息，只保留振幅信息，将P₀(x，y)作为g(x，y)的加密结果，用函数具体表述，则R(x，y)为解密密钥，从式(1)可得到的一个解：

(ii)f(x，y)与随机相位板P₀(x，y)相乘，进行一次阶数为α的分数傅立叶变换，切相操作后的结果为

f′(u，υ)＝PT{F^α[f(x，y)·P₀(x，y)]}(3)

切除的相位表示为

P₁(u，υ)＝PR{F^α[f(x，y)·P₀(x，y)]}(4)

其中PR{}表示相位保留运算，即除去复振幅的振幅信息，只保留相位信息，(u，υ)代表频域坐标，F^α[]代表阶数为α的分数傅立叶变换，函数f(x，y)·P₀(x，y)的α阶分数傅立叶变换定义为：

$F^{\mathrm{\α}}\[f(x,y)\·P_0(x,y)\](u,\mathrm{\υ})={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{K}_{\mathrm{\α}}(x,y;u,\mathrm{\υ})f(x,y)P_0(x,y)dxdy---\left(5\right)$

其中K_α(x，y；u，υ)是二维分数傅立叶的变换核，即

$K_{\mathrm{\α}}(x,y;u,\mathrm{\υ})=A\exp (i\mathrm{\π}\frac{x^2+y^2+u^2+{\mathrm{\υ}}^2}{\mathrm{\λ}ftan\mathrm{\φ}}-2i\mathrm{\π}\frac{xyu\mathrm{\υ}}{{\mathrm{\λ}}^2{f}^2\sin \mathrm{\φ}})---\left(6\right)$

其中且φ＝απ/2，α是分数形式的阶数；

(iii)生成一块相位板P₂(u，υ)，其值为

P₂(u，υ)＝P₁(u，υ)·R^*(u，υ)(7)

其中“*”表示共轭，f′(u，υ)与相位板P₂(u，υ)相乘，进行一次阶数为α的分数傅立叶变换后再进行切相操作，得到加密结果

E(x，y)＝PT{F^α[f′(u，υ)·P₂(u，υ)]}(8)

切除的相位作为解密过程中的密钥，表示为

P₃(u，υ)＝PR{F^α[f′(u，υ)·P₂(u，υ)]}(9)

(2)解密：

(i)将加密结果E(x，y)与作为解密密钥的相位板P₃(x，y)相乘后进行一次阶数为-α的分数傅立叶变换，则由式(8)、(9)可知变换后的结果为F^-α[E(x，y)·P₃(x，y)]＝f′(u，υ)·P₂(u，υ)；

(ii)f′(u，υ)·P₂(u，υ)与解密密钥R(u，υ)相乘后实行一次阶数为-α的傅立叶变换，由式(3)，(4)，(7)可得变换后的结果为f(x，y)·P₀(x，y)；

(iii)对f(x，y)·P₀(x，y)进行切相操作后得到第一幅解密结果f(x，y)，作相位保留操作则得到P₀(x，y)，将P₀(x，y)与解密密钥R(x，y)相加后作切相操作，由式(1)可知，其结果为g(x，y)，即解密得到另一幅原始图像；

综合以上各过程可以看出，两幅原始图像f(x，y)和g(x，y)最终被加密成一振幅分布E(x，y)，解密过程中需要使用的解密密钥为R(u，υ)、P₃(x，y)和分数傅立叶阶数-α。