CN104376524A - 基于光阑加密和相位恢复算法的二值图像加密方法 - Google Patents

Abstract

一种基于光阑加密和相位恢复算法的二值图像加密方法。待加密的二值图像和光阑分别经菲涅耳域的双随机相位加密系统加密后得到两个强度分布，两者按一定比例相加后得到密文；光学加密过程中不需要运用全息技术记录相位信息，解密过程则由相位恢复算法实现，光阑作为解密过程中的密钥使用；本发明提出的加密方法具有光路设计简单、解密运算收敛速度快、系统安全性高的优点。

Description

基于光阑加密和相位恢复算法的二值图像加密方法

【技术领域】

本发明涉及一种信息安全技术领域，特别是图像的加密方法。 

【背景技术】

信息安全已经成为影响个人、公司、甚至国家利益的重大问题，它也成为信息科学的热点课题。基于光学理论和方法的信息安全处理技术是近些年逐步发展起来的新一代信息安全处理技术。其中较为引人注目的是美国Connecticut大学的Refregier和Javidi两位专家在1995年提出的基于4f系统的经典双随机相位编码技术。该技术已获得美国专利保护。在这之后，关于双随机相位编码技术在信息安全领域的应用研究就变得非常热门，以其为基础的新方法、新系统的报道近二十年来从未间断。不论是线性的还是非线性的双随机相位编码系统，加密过程中均需要采用全息技术进行相位记录，加密光路的复杂性一定程度上制约了双随机相位编码系统在现实中的广泛应用。另外，随着攻击手段的不断增加，双随机相位编码系统有必要在不明显增加光路复杂性的前提下扩大密钥空间。相位恢复算法引入光学图像加密领域增加了光学图像加密系统的实用性。相位恢复算法是一种由可测量的光场强度确定光场相位分布的方法和技术，它最早是为了解决物理成像领域由强度探测器带来的相位丢失问题。相位恢复算法已被应用在电子显微镜、波前再现、图像加密等领域。运用最为广泛的相位恢复算法有GS算法、HIO算法、YG算法和POCS算法。Rodenburg和Faulkner在2004年提出了一种基于移动光阑的相位恢复算法，该方法具有光路简单，计算收敛速度快的优点。2013年，中国科学院的史祎诗等人利用叠层成像技术实现了图像的光学加密，并利用相位恢复算法成功实现了图像的解密。接着，新加坡国立大学的Chen Wen等人将采用基于移动光阑的相位恢复算法与 线性双随机加密技术相结合，实现了光学图像的加密和信息分配。这种加密方法的主要优点是其光学加密要比前者更加灵活方便，缺点是加密得到的密文为若干数量的强度图，与输入的明文相比，密文和密钥的数据过大。最近，南阳师范大学的秦怡等人通过在加密过程中增加数字约束条件的办法实现了图像的快速还原。但是在光学加密过程中增加数字约束条件，显然会降低光学加密系统的灵活性。另外，对于二值图像，在图像外部加数字框的方法不仅无法解决相位恢复计算过程中的收敛停滞问题，而且使问题变得更为严重。 

【发明内容】

本发明要解决的技术问题是提供基于光阑加密和相位恢复算法的二值图像加密方法。 

解决上述技术问题采用如下技术措施：基于光阑加密和相位恢复算法的二值图像加密方法按如下步骤进行： 

(1)加密： 

(i)A(x，y)是一光阑函数，f(x，y)代表待加密的原始图像，R₁(x，y)和R₂(u，v)是光学加密过程中作为加密密钥的两个相位板，分别可以具体表示成exp[2πr₁(x，y)]和exp[2πr₂(u，v)]，r₁(x，y)和r₂(u，v)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，其中(x，y)和(u，v)分别表示输入平面和菲涅耳衍射输出平面的坐标，首先对f(x，y)和加密密钥R₁(x，y)的乘积作一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，得到的结果与R₂(x，y)相乘后再做一次波长为λ，距离为z₂的菲涅耳变换，取强度后即得到f(x，y)经菲涅耳域双随机相位编码系统后的加密结果： 

$I_f(x^{\′},y^{\′})={\left|{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left\{f(x,y)R_1(x,y)\right\}{R}_2(u,v)\left\}\right|}^2---\left(1\right)$

其中FrT{}代表菲涅耳变换，(x′，y′)表示菲涅耳域双随机相位编码系统输 出平面的坐标，以某一函数u(x，y)为例，在波长为λ的平面光波的照射下，传播方向上距离为z处的菲涅耳衍射分布数学上可以表示为： 

${\mathrm{FrT}}_{z,\mathrm{\λ}}\left\{u(x,y)\right\}=\frac{\exp \left(\mathrm{jkz}\right)}{\mathrm{j\λz}}\∫\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}u(x,y)\exp \left\{j\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\λz}}\right[{(u-x)}^2+{(v-y)}^2\left]\right\}\mathrm{dxdy}---\left(2\right)$

其中k是波数，大小为

(ii)同理，在波长为λ的平面光波的照射下，A(x，y)经上述菲涅耳域双随机相位编码系统加密后的输出强度为： 

$I_A(x^{\′},y^{\′})={\left|{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left\{A(x,y)R_1(x,y)\right\}{R}_2(u,v)\left\}\right|}^2---\left(3\right)$

(iii)用I_A(x′，y′)对函数I_f(x′，y′)进行调制，最终得到密文I(x′，y′)，即 

I(x′，y′)＝I_f(x′，y′)+αI_A(x′，y′)  (4) 

其中α是一个大于1的比例常数，它的取值越大，调制效果越好，加密过程中使用的A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁、z₂和α都将成为相位恢复算法解密过程中所需要的密钥； 

(2)解密： 

(i)根据式(3)，利用密钥A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂计算得到I_A(x′，y′)，使用密钥α从密文中恢复出强度I_f(x′，y′)，即 

I_f(x′，y′)＝I(x′，y′)-αI_A(x′，y′)  (5) 

(ii)进入迭代运算过程，假定在第k次迭代运算中输入面上恢复的振幅图像为f_k(x，y)，则利用密钥A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂得到输出面上的波函数为 

$u_k(x^{\′},y^{\′})={\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[f_k(x,y)A(x,y)R_1(x,y)\left]R_2(u,v)\right\}---\left(6\right)$

其中首次迭代运算(k＝1)时，函数f₁(x，y)值为1； 

(iii)对u_k(x′，y′)作相位保留运算，同时并对由式(5)计算得到的函数 I_f(x′，y′)作开平方运算，两个运算结果相乘后得到新的波函数： 

$u_k^{\′}(x^{\′},y^{\′})=\sqrt{I_f(x^{\′},y^{\′})}\mathrm{PR}\left\{u_k(x^{\′},y^{\′})\right\}---\left(7\right)$

其中PR{}表示相位保留运算，即去除函数的振幅部分而只保留相位信息； 

(iv)对u′_k(x′，y′)做菲涅耳变换，变换过程中需要使用密钥R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂，其计算式为： 

$u_k^{\′\′}(x,y)={R_1}^{*}(x,y){\mathrm{FrT}}_{{-z}_1,\mathrm{\λ}}\left\{{R_2}^{*}(u,v){\mathrm{FrT}}_{{-z}_2,\mathrm{\λ}}\right[u_k^{\′}(x^{\′},y^{\′})\left]\right\}---\left(8\right)$

其中*表示相位共轭，利用A(x，y)、f_k(x，y)和上式得到的u″_k(x，y)计算出输入面上的振幅图像： 

$f_{k+1}(x,y)=f_k(x,y)+\frac{\mathrm{\βA}(x,y)}{{\left|A(x,y)\right|}^2+\mathrm{\γ}}[u_k^{\′\′}(x,y)-A(x,y)f_k(x,y)]---\left(9\right)$

其中β、γ是基于移动光阑的相位恢复算法理论中的两个常数，其中β的取值范围为[0.5，0.7]，γ则远小于1； 

(v)重新从步骤(ii)开始，f_k(x，y)被更新成为f_k+1(x，y)，进入k+1次迭代过程，当迭代次数总共完成n次时，迭代运算终止，根据式(9)得到解密图像f_n+1(x，y)。 

本发明的有益效果在于：首先，加密过程运用光学方法，加密过程中不需要进行相位的全息记录，大大简化了光学装置；其次，图像加密过程中引入光阑加密方法，利用光阑加密得到的强度图像对待加密图像加密后得到的结果进行幅值调制，破坏了加密结果与原始图像之间的对应关系，提升了系统的安全性；最后，解密过程采用数值计算方法，运用基于光阑的相位恢复算法的解密方法收敛速度快，恢复质量极高。 

【附图说明】

图1为加密过程流程图。 

图2为解密过程流程图。 

图3为光学加密装置示意图。 

图4(a)待加密二值图像f(x，y)；(b)相位板R₁(x，y)；(c)光阑A(x，y)；(d)加密结果I(x′，y′)。 

图5(a)迭代运算过程中得到的振幅图像f_n+1(x，y)和原图像f(x，y)之间的CC值与迭代次数n的关系图；(b)迭代次数n＝50对应的解密结果。 

图6(a)圆形光阑；(b)面积较大的矩形光阑；(c)使用圆形光阑进行解密后得到的图像；(d)使用面积较大的矩形光阑进行解密后得到的图像。 

图7(a)正确光阑的上半部分；(b)正确光阑的下半部分；(c)使用正确光阑密钥的上半部分进行解密后得到的图像；(d)使用正确光阑密钥的下半部分进行解密后得到的图像。 

图8四种错误的光阑用于相位恢复算法解密时迭代次数与CC值的关系图。 

图9(a)使用错误的R₁进行解密后得到的结果；(b)使用错误的R₂进行解密后得到的结果。 

图10(a)使用错误的波长即λ＝642nm进行解密后得到的结果；(b)使用错误的衍射参数z₁＝51cm进行解密后得到的结果；(c)使用错误的衍射参数z₂＝41cm进行解密后得到的结果。 

【具体实施方式】

本发明所述方法的具体实施方式如下： 

(1)图像的加密过程(如图1所示)分如下几个步骤： 

(1)加密： 

(i)A(x，y)是一光阑函数，f(x，y)代表待加密的原始图像，R₁(x，y)和R₂(u，v)是光学加密过程中作为加密密钥的两个相位板，分别可以具体表示成exp[2πr₁(x，y)]和exp[2πr₂(u，v)]，r₁(x，y)和r₂(u，v)代表两个在区间[0，1]上具 有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，其中(x，y)和(u，v)分别表示输入平面和菲涅耳衍射输出平面的坐标，首先对f(x，y)和加密密钥R₁(x，y)的乘积作一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，得到的结果与R₂(x，y)相乘后再做一次波长为λ，距离为z₂的菲涅耳变换，取强度后即得到f(x，y)经菲涅耳域双随机相位编码系统后的加密结果： $I_f(x^{\′},y^{\′})={\left|{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left\{f(x,y)R_1(x,y)\right\}{R}_2(u,v)\left\}\right|}^2,$ 其中FrT{}代表菲涅耳变换，(x′，y′)表示菲涅耳域双随机相位编码系统输出平面的坐标，以某一函数u(x，y)为例，在波长为λ的平面光波的照射下，传播方向上距离为z处的菲涅耳衍射分布数学上可以表示为：  ${\mathrm{FrT}}_{z,\mathrm{\λ}}\left\{u(x,y)\right\}=\frac{\exp \left(\mathrm{jkz}\right)}{\mathrm{j\λz}}\∫\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}u(x,y)\exp \left\{j\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\λz}}\right[{(u-x)}^2+{(v-y)}^2\left]\right\}\mathrm{dxdy},$ 其中k是波数，大小为

(ii)同理，在波长为λ的平面光波的照射下，A(x，y)经上述菲涅耳域双随机相位编码系统加密后的输出强度为：  $I_A(x^{\′},y^{\′})={\left|{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left\{A(x,y)R_1(x,y)\right\}{R}_2(u,v)\left\}\right|}^2;$

(iii)用I_A(x′，y′)对函数I_f(x′，y′)进行调制，最终得到密文I(x′，y′)，即I(x′，y′)＝I_f(x′，y′)+αI_A(x′，y′)，其中α是一个大于1的比例常数，它的取值越大，调制效果越好，加密过程中使用的A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁、z₂和α都将成为相位恢复算法解密过程中所需要的密钥； 

(2)图像的解密过程： 

(i)根据式(3)，利用密钥A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂计算得到I_A(x′，y′)，使用密钥α从密文中恢复出强度I_f(x′，y′)，即 

I_f(x′，y′)＝I(x′，y′)-αI_A(x′，y′)  (5) 

(ii)进入迭代运算过程，假定在第k次迭代运算中输入面上恢复的振幅图 像为f_k(x，y)，则利用密钥A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂得到输出面上的波函数为 

$u_k(x^{\′},y^{\′})={\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[f_k(x,y)A(x,y)R_1(x,y)\left]R_2(u,v)\right\}---\left(6\right)$

其中首次迭代运算(k＝1)时，函数f₁(x，y)值为1； 

(iii)对u_k(x′，y′)作相位保留运算，同时并对由式(5)计算得到的函数I_f(x′，y′)作开平方运算，两个运算结果相乘后得到新的波函数： 

$u_k^{\′}(x^{\′},y^{\′})=\sqrt{I_f(x^{\′},y^{\′})}\mathrm{PR}\left\{u_k(x^{\′},y^{\′})\right\}---\left(7\right)$

其中PR{}表示相位保留运算，即去除函数的振幅部分而只保留相位信息； 

(iv)对u′_k(x′，y′)做菲涅耳变换，变换过程中需要使用密钥R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂，其计算式为： 

$u_k^{\′\′}(x,y)={R_1}^{*}(x,y){\mathrm{FrT}}_{{-z}_1,\mathrm{\λ}}\left\{{R_2}^{*}(u,v){\mathrm{FrT}}_{{-z}_2,\mathrm{\λ}}\right[u_k^{\′}(x^{\′},y^{\′})\left]\right\}---\left(8\right)$

其中*表示相位共轭，利用A(x，y)、f_k(x，y)和上式得到的u″_k(x，y)计算出输入面上的振幅图像： 

$f_{k+1}(x,y)=f_k(x,y)+\frac{\mathrm{\βA}(x,y)}{{\left|A(x,y)\right|}^2+\mathrm{\γ}}[u_k^{\′\′}(x,y)-A(x,y)f_k(x,y)]---\left(9\right)$

其中β、γ是基于移动光阑的相位恢复算法理论中的两个常数，其中β的取值范围为[0.5，0.7]，γ则远小于1； 

(v)重新从步骤(ii)开始，f_k(x，y)被更新成为f_k+1(x，y)，进入k+1次迭代过程，当迭代次数总共完成n次时，迭代运算终止，根据式(9)得到解密图像f_n+1(x，y)。 

下面对本发明中光阑的设计和采用的光学加密方式进行具体说明： 

由式(5)和式(6)可知，光阑在解密过程中除了用于从I(x′，y′)中恢复出I_f(x′，y′)，还作为相位恢复算法中输入信号的限定范围(或称定义域)使用，因此需要根据二值图非零值的分布来进行光阑的设计，当光阑与二值图像紧贴 在一起时，光阑的通光孔径应将二值图像的所有非零值包含在内，并尽可能的将二值图像的零值排除在通光孔径之外。光学加密装置示意图参照图3，待加密图像f(x，y)与同尺寸的第一块随机相位板R₁(x，y)紧贴着放置在输入平面内，垂直入射波为单位振幅平面光波，第二块与待加密图像同尺寸的相位板R₂(u，v)则垂直放置在传播距离z₁处，随机相位板是一种全透明的塑料薄片，具有很高的分辨率，可对入射光产生0到2π的随机相位调制。加密时，在光的传播方向上距第二块随机相位板z₂处放置一光强探测器(CCD)，用以记录输出面上的光强，即I_f(x′，y′)；接着将光阑A(x，y)代替待加密图像f(x，y)，光路中其他光学元件保持不变，再次记录输出面上的光强，即I_A(x′，y′)；最后按照式(4)在计算机中计算得到密文，即I(x′，y′)＝I_f(x′，y′)+αI_A(x′，y′)，其中α是一个大于1比例常数，加密过程中使用的A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁、z₂和α都将成为相位恢复算法解密过程中所需要的解密密钥。 

在相位恢复算法解密过程中使用相关系数(the correlation coefficient，CC)来衡量两幅图像的相似度，已知f(x，y)和n次迭代运算后得到的函数f_n+1(x，y)分别表示原始图像和解密图像，两者间的CC值可以表示为： 

$\mathrm{CC}=\frac{E\left\{\right[f-E\left[f\right]\left]\right[f_{n+1}-E\left[f_{n+1}\right]\left]\right\}}{\sqrt{E\left\{{[f-E[f\left]\right]}^2\right\}E\left\{{[f_{n+1}-E[f_{n+1}\left]\right]}^2\right\}}}---\left(10\right)$

其中E[]代表数学期望运算符，为了表达式的简洁，上式中函数的坐标已经略去，通过CC可以反映出本方法所进行的迭代运算的收敛性和图像恢复的质量。 

下面结合实施例和附图对本发明的内容进行进一步的解释。 

图4(a)是待加密的二值图像，大小为256×256，同尺寸的随机相位板的相 位分布图是一随机噪声图像。以R₁(x，y)为例，它的相位分布如图4(b)所示，根据二值图像非零值的分布所设计的光阑如图4(c)所示，仿真中采用的入射光波波长λ＝632nm，衍射距离为z₁＝50cm，z₂＝40cm，比例常数α＝4，根据加密流程图图1最终得到的加密结果如图4(d)所示。解密过程中，β、γ的取值分别为β＝0.7，γ＝0.00001，它们可以作为公开密钥使用。在所有解密密钥全部正确的情况下，解密过程中不同的迭代运算次数所对应的解密图像与原图之间的CC值的分布如图5(a)所示，可以看出，迭代运算次数从1到20之间，原始图像和解密结果之间的CC值迅速增加。当迭代次数到达20时，CC值为0.9701，迭代运算67次后计算得到的CC值达到最大值，即1，在这之后相关度保持不变。迭代运算100次后得到的解密结果如图5(b)所示，可以看出视觉上已经与原图无法区分。图5充分表明本发明采用的相位恢复算法在图像的解密过程中收敛速度很快，并且恢复的质量极高。 

接着测试本发明提出的加密方法的安全性。首先测试不同的光阑密钥对解密的影响。图6(a)和6(b)是任意设计的两个光阑，当使用这些光阑和其他正确的密钥按照解密流程进行解密时，得到的解密结果分别如图6(c)和图6(d)所示。当使用正确光阑即图4(c)的上半部分和下半部分进行解密时，得到的解密结果分别如图7(c)和图7(d)所示，以上解密过程中采用的迭代次数均为100。这些结果说明使用错误的光阑或者正确光阑的某一部分进行解密都无法获得原始图像的信息。图8给出了运用四种不同的光阑进行解密时迭代次数与CC的关系曲线，由上到下的四条曲线分别对应正确光阑的下半部分、圆形光阑、正确光阑的上半部分以及面积较大的矩阵光阑。四条曲线的形状共同表明当光阑密钥发生错误时，解密结果与原始图像的相关度随着迭代次数的增加缓慢变小。下面考察两块相位板以及光波的波长等参数对解密的影响。仿真表明在解密过程中若使用一块随机生成的相位板代替其中任意一块作为加密密钥的相位板时，都无法得到原始图像。图9(a)和图9(b)分别是使用错误的R₁、R₂进行解密后得到的结果。 图10(a)-10(c)分别是使用λ＝642nm(Δλ＝10nm)、z₁＝51cm(Δz₁＝1cm)和z₂＝41cm(Δz₂＝1cm)进行解密后得到的结果。可见当以上参数密钥中的任何一个发生错误时，都无法得到正确的解密结果。仿真中所有解密过程采用的迭代次数均为100次，并且当其中一个错误的参数用于解密时，其他解密密钥均为正确。需要注意的是，当其他所有密钥正确，但比例常数α发生较小的变动，譬如Δα＝0.1时，解密的结果是一幅包含原始图像信息的模糊图像，这说明参数α并不能像相位板等其他密钥一样单独确保系统的安全性，必需与其他密钥结合使用才能保证系统的安全。 

Claims (1)

1.一种基于光阑加密和相位恢复算法的二值图像加密方法，其特征是按如下步骤进行：

(1)加密：

(i)A(x，y)是一光阑函数，f(x，y)代表待加密的原始图像，R₁(x，y)和R₂(u，v)是光学加密过程中作为加密密钥的两个相位板，分别可以具体表示成exp[2πr₁(x，y)]和exp[2πr₂(u，v)]，r₁(x，y)和r₂(u，v)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，其中(x，y)和(u，v)分别表示输入平面和菲涅耳衍射输出平面的坐标，首先对f(x，y)和加密密钥R₁(x，y)的乘积作一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，得到的结果与R₂(x，y)相乘后再做一次波长为λ，距离为z₂的菲涅耳变换，取强度后即得到f(x，y)经菲涅耳域双随机相位编码系统后的加密结果：

$I_f(x^{\′},y^{\′})={\left|{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left\{f(x,y)R_1(x,y)\right\}{R}_2(u,v)\left\}\right|}^2---\left(1\right)$

其中FrT{}代表菲涅耳变换，(x′，y′)表示菲涅耳域双随机相位编码系统输出平面的坐标，以某一函数u(x，y)为例，在波长为λ的平面光波的照射下，传播方向上距离为z处的菲涅耳衍射分布数学上可以表示为：

${\mathrm{FrT}}_{z,\mathrm{\λ}}\left\{u(x,y)\right\}=\frac{\exp \left(\mathrm{jkz}\right)}{\mathrm{j\λz}}\∫\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}u(x,y)\exp \left\{j\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\λz}}\right[{(u-x)}^2+{(v-y)}^2\left]\right\}\mathrm{dxdy}---\left(2\right)$

其中k是波数，大小为

(ii)同理，在波长为λ的平面光波的照射下，A(x，y)经上述菲涅耳域双随机相位编码系统加密后的输出强度为：

$I_A(x^{\′},y^{\′})={\left|{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left\{A(x,y)R_1(x,y)\right\}{R}_2(u,v)\left\}\right|}^2---\left(3\right)$

(iii)用I_A(x′，y′)对函数I_f(x′，y′)进行调制，最终得到密文I(x′，y′)，即

I(x′，y′)＝I_f(x′，y′)+αI_A(x′，y′)  (4)

其中α是一个大于1的比例常数，它的取值越大，调制效果越好，加密过程中使用的A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁、z₂和α都将成为相位恢复算法解密过程中所需要的密钥；

(2)解密：

(i)根据式(3)，利用密钥A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂计算得到I_A(x′，y′)，使用密钥α从密文中恢复出强度I_f(x′，y′)，即

I_f(x′，y′)＝I(x′，y′)-αI_A(x′，y′)  (5)

(ii)进入迭代运算过程，假定在第k次迭代运算中输入面上恢复的振幅图像为f_k(x，y)，则利用密钥A(x，y)、R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂得到输出面上的波函数为

$u_k(x^{\′},y^{\′})={\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[f_k(x,y)A(x,y)R_1(x,y)\left]R_2(u,v)\right\}---\left(6\right)$

其中首次迭代运算(k＝1)时，函数f₁(x，y)值为1；

(iii)对u_k(x′，y′)作相位保留运算，同时并对由式(5)计算得到的函数I_f(x′，y′)作开平方运算，两个运算结果相乘后得到新的波函数：

$u_k^{\′}(x^{\′},y^{\′})=\sqrt{I_f(x^{\′},y^{\′})}\mathrm{PR}\left\{u_k(x^{\′},y^{\′})\right\}---\left(7\right)$

其中PR{}表示相位保留运算，即去除函数的振幅部分而只保留相位信息；

(iv)对u′_k(x′，y′)做菲涅耳变换，变换过程中需要使用密钥R₁(x，y)、R₂(u，v)、λ、z₁和z₂，其计算式为：

$u_k^{\′\′}(x,y)={R_1}^{*}(x,y){\mathrm{FrT}}_{{-z}_1,\mathrm{\λ}}\left\{{R_2}^{*}(u,v){\mathrm{FrT}}_{{-z}_2,\mathrm{\λ}}\right[u_k^{\′}(x^{\′},y^{\′})\left]\right\}---\left(8\right)$

其中*表示相位共轭，利用A(x，y)、f_k(x，y)和上式得到的u″_k(x，y)计算出输入面上的振幅图像：

$f_{k+1}(x,y)=f_k(x,y)+\frac{\mathrm{\βA}(x,y)}{{\left|A(x,y)\right|}^2+\mathrm{\γ}}[u_k^{\′\′}(x,y)-A(x,y)f_k(x,y)]---\left(9\right)$

其中β、γ是基于移动光阑的相位恢复算法理论中的两个常数，其中β的取值范围为[0.5，0.7]，γ则远小于1；

(v)重新从步骤(ii)开始，f_k(x，y)被更新成为f_k+1(x，y)，进入k+1次迭代过程，当迭代次数总共完成n次时，迭代运算终止，根据式(9)得到解密图像f_n+1(x，y)。