CN103955884A - 基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法 - Google Patents

Abstract

基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，包括图像膨胀步骤，混沌置乱步骤，混沌扩散步骤，图像收缩步骤，图像重组，离散分数随机变换步骤。该方法首先将两幅灰度图像I₁和I₂经过膨胀步骤形成一个扩展图像，然后使用基于Logistic混沌映射的置乱和扩散过程来改变像素位置和像素强度值，随后使用收缩策略分解为具有平稳白噪声分布的两幅新图像J₁和J₂。然后将J₂归一化并加密成纯相位矩阵与J₁相乘得到一个复数矩阵J。最后使用基于Logistic混沌的离散分数随机变换加密成为一个临时图像，其振幅部分就是最终的密文图像。本发明增强了明文图像在空间域和变换域的非线性和无序性，且能够很好地抵抗常规攻击，增强了加密系统的安全性。

Description

基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法

技术领域

本发明属于虚拟光学信息加密方法技术领域，涉及一种基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法。

背景技术

随着互联网中的非法数据访问越来越严重，信息安全问题受到广泛关注。光学图像加密技术因其处理二维数据的高速并行性，已经发展为一个重要的领域。

自从Refregier和Javidi提出基于输入平面和输出平面双随机加密的光学图像加密算法以来，研究者已提出各种光学加密和认证系统。按其作用域可分为傅里叶域，菲涅尔域，gyrator变换域和分数傅里叶域等。另外，混沌系统由于其遍历性，伪随机性以及对初始条件和系统控制参数的敏感性等优点也被引入到图像安全系统中。

近年来基于复用技术的多图像加密在信息安全领域引起了广泛关注。针对多图像处理的光学加密、隐藏或水印等信息安全技术在多用户身份认证、内容分发、视频帧及彩色图像处理等方面均具有很广泛的应用前景。常用的技术有：双随机相位编码、相位恢复及数字全息等，且均适用于傅里叶域、分数傅里叶域和菲涅尔变换域。双随机相位编码模型由于其简单易实现性，近年来常与复用技术结合成为众多多图像加密研究的基础，其中具有代表性的有：司徒国海提出的适用于加密多张二值图像的双随机相位编码波长复用方案及距离复用方案；Alfalou等提出基于双随机相位的多图像加密算法，在该方法中，使用迭代傅里叶变换复用多幅待加密图像，并将其同时加密为密文图像。随后，Alfalou等提出基于离散余弦变换和特定光谱滤波技术的多图像加密方案，该方法中，多幅图像同时融合，压缩。刘正军等提出基于频移的光学多图像加密，该方法中，先选择明文图像的低频部分并对其实施频移，再用分数傅里叶域双相位加密方法来加密待加密的多幅图像。

为了减轻网络负载，许多研究者提出了双图像加密算法。刘正军等基于相位恢复算法提出了一种双图像加密方法，利用不同阶数的分数傅里叶变换将两幅图像加密成一幅图像。随后又提出将两个原始图像加密成复函数的实部和虚部，并用混沌映射产生的随机二元加密数据来置乱复函数的像素以增加随机性。李慧娟和王玉荣提出基于相位恢复技术和Gyrator变换相结合的双图像加密算法，用不同组Gyrator变换角度同时将两幅原始加密成一幅密文图像。此外，李慧娟等还提出一种基于离散分数随机变换和混沌映射的双图像加密，其方法提高了在加密存储和传输中的有效性。王晓刚和赵道木提出的算法是基于傅里叶域的相位恢复和相位截断将两个隐藏的图像加密为公开图像，非对称且加密密钥不同于解密密钥。上述算法虽然都是双图像加密算法，在一定程度上提高了加密效率，减轻了网络负载，但依然存在安全性低和线性系统易被攻击的问题。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，解决现有技术存在的安全性低和线性系统易被攻击的问题。

本发明所采用的技术方案是，基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，包括图像膨胀步骤，混沌置乱步骤，混沌扩散步骤，图像收缩步骤，图像重组，离散分数随机变换步骤。

本发明的特点还在于：

具体步骤如下：

第一步，图像膨胀：设有两幅原始灰度图像I₁和I₂，两幅图像的大小都为N×N，将I_i(i＝1,2)分解为两个子图像I′_i和I″_i(i＝1,2)，得到的四幅子图像组成一幅2N×2N的扩展图像I_e；

第二步，混沌置乱：使用i次猫图映射置乱扩展图像I_e；

第三步，混沌扩散：使用logistic映射产生的随机序列扩散置乱后的扩展图像I_e，得到扩散后的图像I′_e；

第四步，图像收缩：将扩散后的图像I′_e采用第一步的逆操作分解得到两幅子图像J₁和J₂；

第五步，图像重组：将图像J₂归一化并加密成纯相位矩阵，与图像J₁作乘积得到一个复矩阵J；

第六步，离散分数随机变换：对复矩阵J实施基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换得到变换后的结果提取的振幅即为最终密文图像C_final，提取的相位得到相位P_final。

上述第一步具体为：首先，将两幅N×N的原始灰度图像I_i(i＝1,2)的1，3，5，7位面取出组成子图像I′_i(i＝1,2)的1，2，3，4位面，其余位面置为0，将I_i(i＝1,2)的2，4，6，8位面取出组成子图像I″_i(i＝1,2)的1，2，3，4位面，其余位面置为0；四幅子图像I′_i和I″_i(i＝1,2)组和成为一幅2N×2N的扩展图像I_e。

上述第二步具体为：首先，设定两个logistic映射的初始值χ₀₁，χ₀₂，y₀和K，使用logistic映射生成两个长度为2N×2N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到两个混沌序列s₁＝{χ₁,χ₂,...,χ_2N×2N},χ_i∈(0,1)和s₂＝{y₁,y₂,...,y_2N×2N},y_i∈(0,1)，将混沌序列s₁和s₂分别转换成值在(0～2N-1)间的序列p_i和q_i，将p_i和q_i作为猫图映射的初始值进行i次猫图映射，来置乱扩展图像I_e的像素位置。

上述第三步具体为：首先，设定一个logistic映射的初始值χ₀₃，使用logistic映射生成一个长度为2N×2N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到一个随机序列X＝{c(m)|m＝1,2,...,2N×2N}，将置乱后的扩展图像I_e转换为矩阵V＝{v_i|i＝1,2,...,2N×2N}，每个元素使用随机序列X进行置乱，得到新的矩阵V'＝{v′_i|i＝1,2,...,2N×2N}，将V'转换成最终的二维扩散图像I′_e。

上述第六步具体为，首先，设定一个logistic映射的初始值χ₀₄，使用logistic映射生成一个长度为N×N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到一个随机序列Y＝{r(m)|m＝1,2,...,N×N}，将随机序列Y转换成二维矩阵作为离散分数随机变换中用到的随机矩阵，然后，对复矩阵J实施基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换得到变换后的结果提取的振幅即为最终密文图像C_final，提取的相位得到相位P_final。

上述第二，三，六步中，所使用的Logistic映射为：

f(x)＝p·x·(1-x)   (1)

式(1)定义了一维Logistic映射，其中分形参数p为常数，且0＜p≤4，x为自变量，f(x)为Logistic映射值。

x_n+1＝p·x_n·(1-x_n)   (2)

式(2)是式(1)的迭代形式，用式(2)生成第二，三，六步中的混沌序列。其中，分型参数p为常数，且0＜p≤4，x_n，x_n+1为混沌序列值，且x_n∈(0,1)，x_n+1∈(0,1)。

上述第二步中，将产生的混沌序列s₁和s₂采用式(3)，式(4)分别转换成值在(0～2N-1)间的序列p_i和q_i。

p_i＝(s₁(i)×10⁹)mod2N   (3)

q_i＝(s₂(i)×10⁹)mod2N   (4)

式(3)和式(4)中的s₁(i)表示序列s₁的第i个元素，s₂(i)表示序列s₂的第i个元素，p_i和q_i表示第i次猫图映射的初始值，mod为取余运算符。

上述第二步中，猫图映射表示为

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\χ}}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& p_i\\ q_i& p_i{q}_i+1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\χ}\\ y\end{array}\right]\mathrm{mod}2N---\left(5\right)$

式(5)中p_i和q_i表示第i次猫图映射的初始值，χ,y表示像素置乱前的位置，χ',y'表示像素置乱后的位置。

上述第三步中，转换成的矩阵V＝{v_i|i＝1,2,...,2N×2N}使用式(6)进行扩散操作，得到新的矩阵V'＝{v′_i|i＝1,2,...,2N×2N}：

v′_i＝(v_i⊕c_i⊕v_i-1⊕v′_i-1)mod16   (6)

式(6)中，c_i∈X是混沌序列值，v′_i,v_i分别为新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，v′_i-1,v_i-1分别为前一个新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，mod为取余运算符，初值v′₀,v₀的值为0。

上述第五步中，复矩阵J由式(7)得到：

J＝J₁exp(iπJ₂/255)   (7)

式(7)中，exp(·)为指数运算，i为虚部符号。

上述第六步中，离散分数随机变换：

F^α(χ)＝R^αχ   (8)

式(8)定义一维信号阶数为α的离散分数随机变换，χ表示大小为N的一维信号，R^α表示离散分数随机变换核变换矩阵，表示如式(9)下：

R^α＝VD^αV^t   (9)

式(9)中矩阵V满足VV^t＝I，I表示单元矩阵，即矩阵V^t是矩阵V的转置矩阵，D^α为对角矩阵，定义如式(10)：

$D^{\mathrm{\α}}=\mathrm{diag}\{1,\exp (-i\frac{2\mathrm{\π\α}}{T}),...,\exp (-i\frac{2(N-1)\mathrm{\π\α}}{T})\}---\left(10\right)$

式(10)中系数T为正数，置为1。式(9)中的矩阵V为对称随机矩阵S的特征值，而S由一个N×N的随机矩阵Q产生，表示如式(11)所示：

$S=\frac{Q+Q^t}{2}---\left(11\right)$

对于大小为N×N的图像f来说，分数阶为α和β的二维离散分数随机变换为：

$F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(f\right)=R_1^{\mathrm{\α}}f{R}_2^{\mathrm{\β}}---\left(12\right)$

式(12)中，和分别表示两个N×N的矩阵。

假设生成的复矩阵为J，对复矩阵J进行基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换：

$F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(J\right)=R_1^{\mathrm{\α}}J{R}_2^{\mathrm{\β}}---\left(13\right)$

$\hat{J}=F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(J_1\exp (\mathrm{i\π}{J}_2/255)\right)=R_1^{\mathrm{\α}}\left(J_1\exp (\mathrm{i\π}{J}_2/255)\right)R_2^{\mathrm{\β}}---\left(14\right)$

式(14)是将式(7)替换式(13)中的J推导出来的结果，式(14)中，α和β表示离散分数随机变换阶数，J₁和J₂表示图像收缩得到的两幅子图像，exp(·)为指数运算，i为虚部符号。

$C_{\mathrm{final}}=\left|\hat{J}\right|,P_{\mathrm{final}}=\arg \left\{\hat{J}\right\}---\left(15\right)$

其中，振幅C_final即为最终的密文图像，相位P_final作为解密密钥，|·|为提取振幅操作，arg{·}为提取相位操作。

本发明加密方法的解密过程具体为：首先，对密文图像C_final和相位信息P_final实施基于Logistic映射阶数为-α和-β的离散分数随机变换得到复矩阵J；然后提取复矩阵J的振幅和相位得到两个图像J₁和J₂；最后进行反混沌置乱和扩散得到原始灰度图像I₁和I₂。

上述解密过程中，基于Logistic映射阶数为-α和-β的离散分数随机变换为：

$J=F^{(-\mathrm{\α},-\mathrm{\β})}\left(C_{\mathrm{final}}\exp \left(i{P}_{\mathrm{final}}\right)\right)=R_1^{-\mathrm{\α}}\left(C_{\mathrm{final}}\exp \left(i{P}_{\mathrm{final}}\right)\right)R_2^{-\mathrm{\β}}---\left(16\right)$

式(16)中，-α和-β为离散分数随机变换阶数，exp(·)为指数运算，i为虚部符号。

上述解密过程中，反混沌扩散方式为：

v_i＝(v′_i⊕c_i⊕v_i-1⊕v′_i-1)mod16   (17)

式(17)用来实施反混沌扩散来生成明文，其中，c_i∈X是混沌序列值，v′_i,v_i分别为新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，v′_i-1,v_i-1分别为前一个新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，mod为取余运算符，初值v′₀,v₀的值为0。

上述解密过程中，提取复矩阵J的振幅和相位由式(18)和(19)表示：

J₁＝|J|   (18)

J₂＝(arg{J}/π)×255   (19)

式(18)中|·|为提取振幅操作，式(19)中arg{·}为提取相位操作。

本发明具有如下有益效果：

1、本发明将Logistic混沌映射和离散分数随机变换相结合用于双图像加密，并且将Logistic混沌映射应用于混沌置乱和扩散，增强了明文图像在空间域和变换域的非线性和无序性，进而增强了加密系统的安全性。

2、加密过程中产生的相位信息与两个明文图像相关，使得本发明具有非对称加密技术的特点且能够很好地抵抗常规攻击。

3、本发明加密和解密过程实现简单，效率高。

附图说明

图1是本发明基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法的加密方法原理图。

图2是本发明基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法的解密方法原理图。

图3是本发明基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法的膨胀收缩策略原理图。

图4是采用本发明基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法加密2幅原始明文图像后得到的密文图像。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，包括图像膨胀步骤，混沌置乱步骤，混沌扩散步骤，图像收缩步骤，图像重组步骤和离散分数随机变换步骤；具体如下：

第一步：图像膨胀；设有两幅原始灰度图像I₁和I₂，两幅图像的大小都为N×N，将I_i(i＝1,2)分解为两个子图像I′_i和I″_i(i＝1,2)，得到的四幅子图像组成一幅2N×2N的扩展图像I_e，具体为：

首先，将两幅N×N的原始灰度图像I_i(i＝1,2)的1，3，5，7位面取出组成子图像I′_i(i＝1,2)的1，2，3，4位面，其余位面置为0，将I_i(i＝1,2)的2，4，6，8位面取出组成子图像I″_i(i＝1,2)的1，2，3，4位面，其余位面置为0。四幅子图像I′_i和I″_i(i＝1,2)组和成为一幅2N×2N的扩展图像I_e。

第二步：混沌置乱；使用i次猫图映射置乱扩展图像I_e，具体为：首先，设定两个logistic映射的初始值χ₀₁，χ₀₂，y₀和K，使用logistic映射生成两个长度为2N×2N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到两个混沌序列s₁＝{χ₁,χ₂,...,χ_2N×2N},χ_i∈(0,1)和s₂＝{y₁,y₂,...,y_2N×2N},y_i∈(0,1)，将混沌序列s₁和s₂分别转换成值在(0～2N-1)间的序列p_i和q_i，将p_i和q_i作为猫图映射的初始值进行i次猫图映射，来置乱扩展图像I_e的像素位置。

将产生的混沌序列s₁和s₂采用式(3)，式(4)分别转换成值在(0～2N-1)间的序列p_i和q_i。

p_i＝(s₁(i)×10⁹)mod2N   (3)

q_i＝(s₂(i)×10⁹)mod2N   (4)

式(3)和式(4)中的s₁(i)表示序列s₁的第i个元素，s₂(i)表示序列s₂的第i个元素，p_i和q_i表示第i次猫图映射的初始值，mod为取余运算符。

猫图映射表示为

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\χ}}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& p_i\\ q_i& p_i{q}_i+1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\χ}\\ y\end{array}\right]\mathrm{mod}2N---\left(5\right)$

式(5)中p_i和q_i表示第i次猫图映射的初始值，χ,y表示像素置乱前的位置，χ',y'表示像素置乱后的位置。

第三步：混沌扩散；使用logistic映射产生的随机序列扩散置乱后的扩展图像I_e，得到扩散后的图像I′_e，具体为：

首先，设定一个logistic映射的初始值χ₀₃，使用logistic映射生成一个长度为2N×2N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到一个随机序列X＝{c(m)|m＝1,2,...,2N×2N}，将置乱后的扩展图像I_e转换为矩阵V＝{v_i|i＝1,2,...,2N×2N}，每个元素使用随机序列X进行置乱，得到新的矩阵V'＝{v′_i|i＝1,2,...,2N×2N}，将V'转换成最终的二维扩散图像I′_e。

转换成的矩阵V＝{v_i|i＝1,2,...,2N×2N}使用式(6)进行扩散操作，得到新的矩阵V'＝{v′_i|i＝1,2,...,2N×2N}：

v′_i＝(v_i⊕c_i⊕v_i-1⊕v′_i-1)mod16   (6)

式(6)中，c_i∈X是混沌序列值，v′_i,v_i分别为新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，v′_i-1,v_i-1分别为前一个新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，mod为取余运算符，初值v′₀,v₀的值为0。

第四步：图像收缩；将扩散后的图像I′_e采用第一步的逆操作分解得到两幅子图像J₁和J₂；

第五步：图像重组；将图像J₂归一化并加密成纯相位矩阵，与图像J₁作乘积得到一个复矩阵J；

复矩阵J由式(7)得到：

J＝J₁exp(iπJ₂/255)   (7)

式(7)中，exp(·)为指数运算，i为虚部符号。

第六步：离散分数随机变换；对复矩阵J实施基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换得到变换后的结果提取的振幅即为最终密文图像C_final，提取的相位得到相位P_final。上述第六步具体为，首先，设定一个logistic映射的初始值χ₀₄，使用logistic映射生成一个长度为N×N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到一个随机序列Y＝{r(m)|m＝1,2,...,N×N}，将随机序列Y转换成二维矩阵作为离散分数随机变换中用到的随机矩阵，然后，对复矩阵J实施基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换得到变换后的结果提取的振幅即为最终密文图像C_final，提取的相位得到相位P_final。

上述第二，三，六步中，所使用的Logistic映射为：

f(x)＝p·x·(1-x)   (1)

式(1)定义了一维Logistic映射，其中分形参数p为常数，且0＜p≤4，x为自变量，f(x)为Logistic映射值。

x_n+1＝p·x_n·(1-x_n)   (2)

式(2)是式(1)的迭代形式，用式(2)生成第二，三，六步中的混沌序列。其中，分型参数p为常数，且0＜p≤4，x_n，x_n+1为混沌序列值，且x_n∈(0,1)，x_n+1∈(0,1)。

离散分数随机变换：

F^α(χ)＝R^αχ   (8)

式(8)定义一维信号阶数为α的离散分数随机变换，χ表示大小为N的一维信号，R^α表示离散分数随机变换核变换矩阵，表示如式(9)下：

R^α＝VD^αV^t   (9)

式(9)中矩阵V满足VV^t＝I，I表示单元矩阵，即矩阵V^t是矩阵V的转置矩阵，D^α为对角矩阵，定义如式(10)：

$D^{\mathrm{\α}}=\mathrm{diag}\{1,\exp (-i\frac{2\mathrm{\π\α}}{T}),...,\exp (-i\frac{2(N-1)\mathrm{\π\α}}{T})\}---\left(10\right)$

式(10)中系数T为正数，置为1。式(9)中的矩阵V为对称随机矩阵S的特征值，而S由一个N×N的随机矩阵Q产生，表示如式(11)所示：

$S=\frac{Q+Q^t}{2}---\left(11\right)$

对于大小为N×N的图像f来说，分数阶为α和β的二维离散分数随机变换为：

$F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(f\right)=R_1^{\mathrm{\α}}f{R}_2^{\mathrm{\β}}---\left(12\right)$

式(12)中，和分别表示两个N×N的矩阵。

假设生成的复矩阵为J，对复矩阵J进行基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换：

$F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(J\right)=R_1^{\mathrm{\α}}J{R}_2^{\mathrm{\β}}---\left(13\right)$

$\hat{J}=F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(J_1\exp (\mathrm{i\π}{J}_2/255)\right)=R_1^{\mathrm{\α}}\left(J_1\exp (\mathrm{i\π}{J}_2/255)\right)R_2^{\mathrm{\β}}---\left(14\right)$

式(14)是将式(7)替换式(13)中的J推导出来的结果，式(14)中，α和β表示离散分数随机变换阶数，J₁和J₂表示图像收缩得到两幅子图像，exp(·)为指数运算，i为虚部符号。

$C_{\mathrm{final}}=\left|\hat{J}\right|,P_{\mathrm{final}}=\arg \left\{\hat{J}\right\}---\left(15\right)$

其中，振幅C_final即为最终的密文图像，相位P_final作为解密密钥，|·|为提取振幅操作，arg{·}为提取相位操作。

本发明加密方法的解密过程具体为：首先，对密文图像C_final和相位信息P_final实施基于Logistic映射阶数为-α和-β的离散分数随机变换得到复矩阵J；然后提取复矩阵J的振幅和相位得到两个图像J₁和J₂；最后进行反混沌置乱和扩散得到原始灰度图像I₁和I₂。

解密过程中，基于Logistic映射阶数为-α和-β的离散分数随机变换为：

$J=F^{(-\mathrm{\α},-\mathrm{\β})}\left(C_{\mathrm{final}}\exp \left(i{P}_{\mathrm{final}}\right)\right)=R_1^{-\mathrm{\α}}\left(C_{\mathrm{final}}\exp \left(i{P}_{\mathrm{final}}\right)\right)R_2^{-\mathrm{\β}}---\left(16\right)$

式(16)中，-α和-β为离散分数随机变换阶数，exp(·)为指数运算，i为虚部符号。

解密过程中，反混沌扩散方式为：

v_i＝(v′_i⊕c_i⊕v_i-1⊕v′_i-1)mod16   (17)

式(17)用来实施反混沌扩散来生成明文，其中，c_i∈X是混沌序列值，v′_i,v_i分别为新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，v′_i-1,v_i-1分别为前一个新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，mod为取余运算符，初值v′₀,v₀的值为0。

解密过程中，提取复矩阵J的振幅和相位由式(18)和(19)表示：

J₁＝|J|   (18)

J₂＝(arg{J}/π)×255   (19)

式(18)中|·|为提取振幅操作，式(19)中arg{·}为提取相位操作。

实施例，参见图1，设有两幅256×256灰度级的原始灰度图像I₁和I₂，将I_i(i＝1,2)分解为两个子图像I′_i和I″_i(i＝1,2)，得到的四幅子图像组成一幅502×502的扩展图像I_e。使用i次猫图映射置乱扩展图像I_e，其中，由两个初始值为χ₀₁，χ₀₂，y₀(K表示要丢弃的混沌数的个数)的logistic映射生成的混沌序列s₁和s₂作为猫图映射的初始值p_i和q_i。随后使用logistic映射产生的随机序列扩散置乱后的扩展图像I_e，得到扩散后的图像I′_e，其中，logistic映射初始值为χ₀₃，K表示要丢弃的混沌数的个数。将扩散后的图像I′_e分解得到两幅子图像J₁和J₂。将图像J₂归一化并加密成纯相位矩阵，与图像J₁作乘积得到一个复矩阵J。其中exp(·)为指数运算，i为虚部符号。对复矩阵J实施基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换，其中Logistic映射的初始值为χ₀₄得到变换后的结果提取的振幅即为最终密文图像C_final，提取的相位得到相位P_final。其中，arg{·}为相位提取操作，|·|为振幅提取操作。

本发明基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法的解密方法是加密的逆过程。参见图2，首先，对密文图像C_final和相位信息P_final实施基于Logistic映射阶数为-α和-β的离散分数随机变换得到复矩阵J；其中，exp(·)为指数运算，i为虚部符号。然后提取复矩阵J的振幅和相位得到两个图像J₁和J₂；其中，|·|为提取振幅操作，式(19)中arg{·}为提取相位操作。最后进行反混沌置乱和扩散得到原始灰度图像I₁和I₂。

本发明基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法中的膨胀和收缩策略原理参见图3。首先，在膨胀阶段，将两幅256×256的原始灰度图像I_i(i＝1,2)的1，3，5，7位面取出组成子图像I′_i(i＝1,2)的1，2，3，4位面，其余位面置为0，将I_i(i＝2,1)的2，4，6，8位面取出组成子图像I″_i(i＝1,2)的1，2，3，4位面，其余位面置为0。四幅子图像I′_i和I″_i(i＝1,2)组和成为一幅502×502的扩展图像I_e。收缩阶段是膨胀阶段的逆过程。将经过混沌置乱和扩散过程得到的修改后的扩展图像I′_e，分为相等的4部分，其中将左上部分和右上部分组合形成新的子图像J₁，将左下和右下部分组合形成另一幅新的子图像J₂。

图4是采用本发明基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法将两幅原始明文图像加密后得到的密文图像即灰度图像。密文图像呈现白噪声分布，而且仅含有强度信息，可见，本发明加密方法的加密度很高。

Claims (10)

1.基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，包括图像膨胀步骤，混沌置乱步骤，混沌扩散步骤，图像收缩步骤，图像重组，离散分数随机变换步骤；具体如下：

第一步，图像膨胀：设有两幅原始灰度图像I₁和I₂，两幅图像的大小都为N×N，将I_i(i＝1,2)分解为两个子图像I′_i和I″_i(i＝1,2)，得到的四幅子图像组成一幅2N×2N的扩展图像I_e；

第二步，混沌置乱：使用i次猫图映射置乱扩展图像I_e；

第三步，混沌扩散：使用logistic映射产生的随机序列扩散置乱后的扩展图像I_e，得到扩散后的图像I′_e；

第四步，图像收缩：将扩散后的图像I′_e采用第一步的逆操作分解得到两幅子图像J₁和J₂；

第五步，图像重组：将图像J₂归一化并加密成纯相位矩阵，与图像J₁作乘积得到一个复矩阵J；

第六步，离散分数随机变换：对复矩阵J实施基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换得到变换后的结果提取的振幅即为最终密文图像C_final，提取的相位得到相位P_final。

2.如权利要求1所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，所述第一步具体为：首先，将两幅N×N的原始灰度图像I_i(i＝1,2)的1，3，5，7位面取出组成子图像I′_i(i＝1,2)的1，2，3，4位面，其余位面置为0，将I_i(i＝1,2)的2，4，6，8位面取出组成子图像I″_i(i＝1,2)的1，2，3，4位面，其余位面置为0；四幅子图像I′_i和I″_i(i＝1,2)组和成为一幅2N×2N的扩展图像I_e。

3.如权利要求1所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，所述第二步具体为：首先，设定两个logistic映射的初始值χ₀₁，χ₀₂，y₀和K，使用logistic映射生成两个长度为2N×2N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到两个混沌序列s₁＝{χ₁,χ₂,...,χ_2N×2N},χ_i∈(0,1)和s₂＝{y₁,y₂,...,y_2N×2N},y_i∈(0,1)，将混沌序列s₁和s₂分别转换成值在(0～2N-1)间的序列p_i和q_i，将p_i和q_i作为猫图映射的初始值进行i次猫图映射，来置乱扩展图像I_e的像素位置。

4.如权利要求1所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，所述第三步具体为：首先，设定一个logistic映射的初始值χ₀₃，使用logistic映射生成一个长度为2N×2N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到一个随机序列X＝{c(m)|m＝1,2,...,2N×2N}，将置乱后的扩展图像I_e转换为矩阵V＝{v_i|i＝1,2,...,2N×2N}，每个元素使用随机序列X进行置乱，得到新的矩阵V'＝{v′_i|i＝1,2,...,2N×2N}，将V'转换成最终的二维扩散图像I′_e。

5.如权利要求1所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，所述第六步具体为：首先，设定一个logistic映射的初始值χ₀₄，使用logistic映射生成一个长度为N×N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到一个随机序列Y＝{r(m)|m＝1,2,...,N×N}，将随机序列Y转换成二维矩阵作为离散分数随机变换中用到的随机矩阵，然后，对复矩阵J实施基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换得到变换后的结果，提取的振幅即为最终密文图像C_final，提取J的相位得到相位P_final。

6.如权利要求1-5任一项所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，所述Logistic映射为：

f(x)＝p·x·(1-x)   (1)

式(1)定义了一维Logistic映射，其中分形参数p为常数，且0＜p≤4，x为自变量，f(x)为Logistic映射值；

x_n+1＝p·x_n·(1-x_n)   (2)

式(2)是式(1)的迭代形式，用式(2)生成混沌序列；其中，分型参数p为常数，且0＜p≤4，x_n，x_n+1为混沌序列值，且x_n∈(0,1)，x_n+1∈(0,1)。

7.如权利要求1-5任一项所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，所述第二步中，将产生的混沌序列s₁和s₂采用式(3)、式(4)分别转换成值在(0～2N-1)间的序列p_i和q_i：

p_i＝(s₁(i)×10⁹)mod2N   (3)

q_i＝(s₂(i)×10⁹)mod2N   (4)

式(3)和式(4)中的s₁(i)表示序列s₁的第i个元素，s₂(i)表示序列s₂的第i个元素，p_i和q_i表示第i次猫图映射的初始值，mod为取余运算符；

所述第二步中，猫图映射表示为

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\χ}}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& p_i\\ q_i& p_i{q}_i+1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\χ}\\ y\end{array}\right]\mathrm{mod}2N---\left(5\right)$

式(5)中p_i和q_i表示第i次猫图映射的初始值，χ,y表示像素置乱前的位置，χ',y'表示像素置乱后的位置；

所述第三步中，转换成的矩阵V＝{v_i|i＝1,2,...,2N×2N}使用式(6)进行扩散操作，得到新的矩阵V'＝{v′_i|i＝1,2,...,2N×2N}：

v′_i＝(v_i⊕c_i⊕v_i-1⊕v′_i-1)mod16   (6)

式(6)中，c_i∈X是混沌序列值，v′_i,v_i分别为新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，v′_i-1,v_i-1分别为前一个新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，mod为取余运算符，初值v′₀,v₀的值为0；

所述第五步中，复矩阵J由式(7)得到：

J＝J₁exp(iπJ₂/255)   (7)

式(7)中，exp(·)为指数运算，i为虚部符号。

8.如权利要求1-5任一项所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，所述第六步中，离散分数随机变换：

F^α(χ)＝R^αχ   (8)

式(8)定义一维信号阶数为α的离散分数随机变换，χ表示大小为N的一维信号，R^α表示离散分数随机变换核变换矩阵，表示如式(9)下：

R^α＝VD^αV^t   (9)

式(9)中矩阵V满足VV^t＝I，I表示单元矩阵，即矩阵V^t是矩阵V的转置矩阵，D^α为对角矩阵，定义如式(10)：

$D^{\mathrm{\α}}=\mathrm{diag}\{1,\exp (-i\frac{2\mathrm{\π\α}}{T}),...,\exp (-i\frac{2(N-1)\mathrm{\π\α}}{T})\}---\left(10\right)$

式(10)中系数T为正数，置为1；式(9)中的矩阵V为对称随机矩阵S的特征值，而S由一个N×N的随机矩阵Q产生，表示如式(11)所示：

$S=\frac{Q+Q^t}{2}---\left(11\right)$

对于大小为N×N的图像f来说，分数阶为α和β的二维离散分数随机变换为：

$F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(f\right)=R_1^{\mathrm{\α}}f{R}_2^{\mathrm{\β}}---\left(12\right)$

式(12)中，和分别表示两个N×N的矩阵；

假设生成的复矩阵为J，对复矩阵J进行基于Logistic映射，阶数为α和β的离散分数随机变换：

$F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(J\right)=R_1^{\mathrm{\α}}J{R}_2^{\mathrm{\β}}---\left(13\right)$

$\hat{J}=F^{(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}\left(J_1\exp (\mathrm{i\π}{J}_2/255)\right)=R_1^{\mathrm{\α}}\left(J_1\exp (\mathrm{i\π}{J}_2/255)\right)R_2^{\mathrm{\β}}---\left(14\right)$

式(14)是将式(7)替换式(13)中的J推导出来的结果，式(14)中，α和β表示离散分数随机变换阶数，J₁和J₂表示图像收缩得到两幅子图像，exp(·)为指数运算，i为虚部符号；

$C_{\mathrm{final}}=\left|\hat{J}\right|,P_{\mathrm{final}}=\arg \left\{\hat{J}\right\}---\left(15\right)$

其中，振幅C_final即为最终的密文图像，相位P_final作为解密密钥，|·|为提取振幅操作，arg{·}为提取相位操作。

9.如权利要求1-5任一项所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，其解密过程具体为：首先，对密文图像C_final和相位信息P_final实施基于Logistic映射阶数为-α和-β的离散分数随机变换得到复矩阵J；然后提取复矩阵J的振幅和相位得到两个图像J₁和J₂；最后进行反混沌置乱和扩散得到原始灰度图像I₁和I₂。

10.如权利要求9所述的基于混沌和离散分数随机变换的双图像加密方法，其特征在于，所述解密过程中，基于Logistic映射阶数为-α和-β的离散分数随机变换为：

$J=F^{(-\mathrm{\α},-\mathrm{\β})}\left(C_{\mathrm{final}}\exp \left(i{P}_{\mathrm{final}}\right)\right)=R_1^{-\mathrm{\α}}\left(C_{\mathrm{final}}\exp \left(i{P}_{\mathrm{final}}\right)\right)R_2^{-\mathrm{\β}}---\left(16\right)$

式(16)中，-α和-β为离散分数随机变换阶数，exp(·)为指数运算，i为虚部符号；

反混沌扩散方式为：

v_i＝(v′_i⊕c_i⊕v_i-1⊕v′_i-1)mod16   (17)

式(17)用来实施反混沌扩散来生成明文，其中，c_i∈X是混沌序列值，v′_i,v_i分别为新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，v′_i-1,v_i-1分别为前一个新的矩阵元素值和扩散前的矩阵元素值，mod为取余运算符，初值v′₀,v₀的值为0；

提取复矩阵J的振幅和相位由式(18)和(19)表示：

J₁＝|J|   (18)

J₂＝(arg{J}/π)×255   (19)

式(18)中|·|为提取振幅操作，式(19)中arg{·}为提取相位操作。