CN103903215B - 基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法 - Google Patents

Abstract

基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，包括混沌置乱步骤，纯相位提取步骤，相位调制步骤，混沌扩散步骤。该方法先使用成对logistic映射置乱待加密的多幅原始灰度图像得到置乱后的图像；其次，对每幅置乱后的图像实施迭代相位恢复过程提取其纯相位函数；然后，对待加密的多幅原始灰度图像的纯相位函数实施相位调制；最后，对调制后结果的振幅实施混沌扩散得到最终密文。本发明增强了明文图像在空间域和变换域的非线性和无序性，提高了加密系统的收敛速度，增强了加密系统的安全性。

Description

基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法

技术领域

本发明属于虚拟光学信息加密方法技术领域，涉及一种基于混沌和FrFT(分数傅里叶变换)域相位恢复过程的多图像加密方法。

背景技术

随着计算机和互联网的迅速普及，信息的交流在现代社会中发挥着重要的作用。图像作为信息的有效载体，被广泛运用于各领域。图像数据的获取、传输、处理遍及数字时代的各个角落，安全问题也日益严重。至今，图像安全问题已受到广泛关注。

自从Refregier和Javidi提出基于输入平面和输出平面随机加密的光学图像加密算法以来，研究者们已提出许多基于其他域(如分数傅里叶域、gyrator变换域、菲涅尔域、分数梅林变换域)的光学图像加密方法。然而上述这些方法主要是单幅图像加密，当同时加密、存储、传输多幅图像时，这些算法的效率就会降低。

为了减轻网络负载，许多研究者提出了双图像加密算法。李慧娟和王玉荣提出基于迭代Gyrator变换的双图像加密，用不同组Gyrator变换角度同时将两幅原始加密成一幅密文图像。王晓刚和赵道木提出基于非对称算法和双随机相位的双图像加密算法，用该方法产生两个只有相位掩码，将原始明文图像最终加密成振幅密文。刘正军等在Gyrator变换域不仅提出基于迭代随机二进制编码的双图像加密，而且 提出基于随机相位加密和像素交换的双图像加密算法。此外，刘正军等还提出了基于离散分数角度变换和阿诺德变换的双图像加密算法，该方法中，两幅原始图像分别作为复函数的振幅和相位，阿诺德变换用来在局部范围内置乱复函数的像素。肖迪等提出基于离散Chirikov标准映射的双图像光学加密，该方法中，两幅原始图像分别作为复函数的振幅和相位，使用Chirikov标准映射置乱该复函数后，在基于混沌的离散分数随机变换和二维混沌随机掩码的作用下得到最终密文。

随着各种双图像加密算法的提出，越来越多的研究者开始关注多图像加密。司徒国海等不仅提出基于波分复用，还提出基于位置复用的多图像加密算法。Alfalou等提出基于双随机相位的多图像加密算法，在该方法中，使用迭代傅里叶变换复用多幅待加密图像，并将其同时加密为密文。随后，Alfalou等提出基于离散余弦变换和特定光谱滤波技术的多图像加密方案，该方法中，多幅图像同时融合，压缩。刘正军等提出基于频移的光学多图像加密，该方法中，先选择明文图像的低频部分并对其实施频移，再用分数傅里叶域双相位加密方法来加密待加密的多幅图像。和前面的加密方案相比，该方法的光学实现具有高效性。王晓刚和赵道木提出傅里叶域基于非线性振幅和相位截断操作的多图像加密，该方法避免了经典的双随机相位方法的缺点，且能抵抗常规攻击(如选择明文攻击和选择密文攻击)。此外，王晓刚和赵道木提出基于叠加原理和数字全息技术的全相位多图像加密，该方法中，每一个实值的明文图像被加密成纯相位函数(POF)。黄宏彦等在菲涅尔域提出基于改进Gerchberg-Saxton算法的多图像加密算法，该算法使得串扰噪声影响显著减少。基于菲涅尔域的Gerchberg-Saxton算法，张轩庭不仅提出基于级联纯相位掩码的位置复用多图像加密，还提出基于级联纯相位掩码的波分复用多图像加密。黄正仲在菲涅尔域提出含有两个相邻纯相位函数结构的加密方案，该方案扩大了加密系统的容量。邓晓鹏和赵道木在傅里叶域提出基于相位恢复算法和相位调制的多图像加密方法，该方法完全避免了串扰噪声，但迭代傅里叶变换的收敛速度较慢。上述算法虽然都是多图像加密算法，在一定程度上提高了加密效率，但依然存在收敛速度慢、安全性低、密钥空间小的问题。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，解决现有技术存在的收敛速度慢、安全性低、密钥空间小的问题。

本发明所采用的技术方案是，基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，包括混沌置乱步骤，纯相位提取步骤，相位调制步骤，混沌扩散步骤；具体如下：

第一步，混沌置乱；设有P幅原始灰度图像f_i(i＝1,2,...,P)，每幅图像的大小都为M×N，使用成对logistic映射置乱原始图像f_i(i＝1,2,...,P)得到置乱后的图像f_i′(i＝1,2,...,P)；

第二步：纯相位提取，对每幅置乱后图像f_i′(i＝1,2,...,P)实施迭代相位恢复过程提取其纯相位函数

第三步：相位调制，将P幅原始灰度图像f_i(i＝1,2,...P)的纯相位函数调制为一幅大小为M×N的复矩阵G，对复矩阵G实施级数为α₃的分数傅里叶变换得到变换后的结果提取的振幅得到振幅g，提取的相位得到相位φ_final；

第四步：混沌扩散，对振幅g实施混沌扩散得到最终密文。

上述第一步具体为：首先，设定成对logistic映射的初值x₀,y₀和K，使用成对logistic映射生成两个长度分别为M+K和N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到最终混沌序列X＝{c(m)|m＝1,2,...,M}和Y＝{r(n)|n＝1,2,...，N}；然后，将混沌序列排序(升序或降序)，得到X′＝{c[w(m)]|m＝1,2,...,M}和Y′＝{r[w(n)]|m＝1,2,...,N}，其中w是地址编码。排序过程只改变了序列中元素的位置，并未改变元素的值，也就是说，X′序列中第m个元素对应X中第w(m)个元素。最后，置乱原始图像f_i(i＝1,2,...,P)得到置乱后的图像f_i′(i＝1,2,...,P)，置乱后图像f_i′(i＝1,2,...,P)中坐标为(m,n)的像素对应原始图像f_i(i＝1,2,...,P)中坐标为(c[w(m)],r[w(n)])的像素；

上述第二步具体为：用MSE阈值作为迭代相位恢复过程收敛标准，当原始图像和近似图像的均方差MSE值小于设定的MSE阈值时，迭代过程终止，得到优化的相位函数

上述第四步具体为：首先，设定logistic混沌映射的初值x₀，使用Logistic混沌映射生成长度为M×N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K个元素，得到序列X＝{c(m)|m＝1,2,...,M×N}。然后，将振幅 g转换为向量V＝{v_i|i＝1,2,...,M×N}，利用混沌序列X扩散向量V得到向量V′；最后，将向量V′转换为二维矩阵得到最终密文C_final。

上述第一步中，成对logistic映射为：

式(1)定义了成对logistic映射。其中，p为分型参数且0≤p≤4。f(x),x和f(y),y是混沌序列的值，ε为耦合常数且-2＜ε＜2，f(x)∈(0,1)，x∈(0,1)，f(y)∈(0,1)，y∈(0,1)。

x_n+1＝p·x_n·(1-x_n)+ε(y_n-x_n) (2)

y_n+1＝p·y_n·(1-y_n)+ε(x_n-y_n) (3)

式(2)和式(3)为式(1)所表示的成对logistic映射的迭代形式，用式(2)和式(3)生成第一步中的混沌序列。其中，p为分形参数且0≤p≤4，x_n和y_n是第n次迭代产生的混沌值，x_n+1和y_n+1是第n+1次迭代产生的混沌值，ε为耦合常数且-2＜ε＜2，x_n∈(0,1)，x_n+1∈(0,1)，y_n∈(0,1)，y_n+1∈(0,1)。

上述第二步中，假设f为输入平面图像，g为输出平面图像，h为某次迭代分数傅里叶变换的中间结果图像，该次迭代过程中伴随产生相位则图像f,g,h和相位之间的关系为：

其中α₁,α₂和β₁,β₂是两组不同的分数级数，分别为α₂,α₁,β₂,β₁级分数傅里叶变换，i为虚部符号，exp(·)为指数运算， f,g,h分别表示输入平面图像、输出平面图像、中间结果图像， 为迭代分数傅里叶变换过程伴随产生的相位。

式(5)是由式(4)推导而来，体现了原始图像f和g的关系。其中-β₁,α₂-β₂,α₁为分数傅里叶变换的级数，分别为-β₁,α₂-β₂,α₁级分数傅里叶变换，i为虚部符号，exp(·)为指数运算，f和g分别表示输入平面图像和输出平面图像。为迭代分数傅里叶变换过程伴随产生的相位。

用表示相位初始值(初始相位为随机值)，假设第k次迭代过程中，已求出相位则输出复图像可表示为：

其中-β₁,α₂-β₂,α₁为分数傅里叶变换的级数，分别为-β₁,α₂-β₂,α₁级分数傅里叶变换，i为虚部符号，exp(·)为指数运算，f和分别表示输入图像和输出复图像。为第k次迭代分数傅里叶变换过程用到的相位。

若复图像的振幅用g^k表示，相位用表示，则将代入式(5)可得到第k+1次迭代过程中的相位

式(7)，(8)，(9)分别定义了第k+1次迭代时的相位 其中arg{.}为相位提取操作，f为输入图像，g为输出复图像的振幅，β₁,α₂-β₂,α₁,β₂-α₂,-α₁表示分数傅里叶变换级数, 表示第k次迭代对应的相位值； 分别表示β₁,α₂-β₂,α₁,β₂-α₂,-α₁阶分数傅里叶变换；i为虚部符号，exp( )为指数运算。

式(10)定义了均方差MSE，其中，g^k和g分别为近似输出图像和输出图像，M和N分别为明文图像的宽度和高度。

假设迭代K次时，达到收敛标准，迭代终止。则得到优化的相位中间结果图像的振幅h和相位ψ为：

其中，为第K-1次迭代后计算出来的相位，为迭代K次时，得到的输出复图像，|·|为提取振幅操作，arg{·}为提取相位操作。

上述第三步中，复矩阵G为：

式(14)定义了P个纯相位函数调制后的结果G，其中j为虚部符号，为置乱后的图像f_i′的纯相位函数，i＝1,2,...,P，exp(·)为指数运算，P取正整数，为待加密的原始图像的幅数。

上述第四步中，Logistic映射为：

f(x)＝p·x·(1-x) (15)

式(15)定义了一维Logistic映射，其中分形参数p为常数，且0＜p≤4，x为自变量，f(x)为Logistic映射值。

x_n+1＝p·x_n·(1-x_n) (16)

式(16)是式(15)的迭代形式，用式(16)生成第四步中的混沌序列。其中，分型参数p为常数，且0＜p≤4，x_n，x_n+1为混沌序列值，且x_n∈(0,1)，x_n+1∈(0,1)。

式(17)用来实施混沌扩散来生成密文，其中，c_i∈X是混沌序列值，分别为当前明文值和密文值，分别为前一个明文值和密文值，mod为取余运算符，初值的值为0。

本发明加密方法还包括解密过程，解密过程是加密的逆过程。解密过程具体为：首先，对密文图像C_final实施反混沌扩散得到振幅g；然后，将振幅g和相位φ_final调制为复图像对复图像实施-α₃阶分数傅里叶变换得到P个纯相位函数调制后的结果G，由G和解密密钥求得纯相位函数然后，对纯相位函数实施分数傅里叶 域逆相位恢复过程求出原始图像置乱后的图像f_i′；最后，对图像f_i′实施逆混沌置乱得到原始明文图像f_i。

上述解密过程中，反混沌扩散方式为：

式(18)用来实施反混沌扩散来生成明文，其中，c_i∈X是混沌序列值，分别为当前密文值和明文值，分别为前一个密文值和明文值，mod为取余运算符，初值的值为0。

上述解密过程中，解密密钥为：

式(19)定义了纯相位函数的加密密钥其中，j为虚部符号，k和i代表纯相位函数的序号，为置乱后的图像f_i′的纯相位函数，i＝1,2,...,P，k＝1,2,...,P，P为待加密的图像幅数，exp{·}为指数运算。

式(20)定义了纯相位函数的解密密钥其中,conj{·}为共轭运算，为纯相位函数的加密密钥，i＝1,2,...,P，P为待加密的图像幅数。

上述解密过程中，由调制结果G求原始图像置乱结果f_i′方式为：

其中，为纯相位函数的解密密钥，和φ_i2为加密过程得到的原始图像f_i的优化相位，分别表示-α₁,β₂-α₂,β₁级分数傅里叶变换，j为虚部符号，exp(·)为指数运算，|·|为提取振幅操作。

本发明具有如下有益效果：

1、本发明将Logistic映射和FrFT域相位恢复过程相结合用于多图像加密：增强了明文图像在空间域和变换域的非线性和无序性，进而增强加密系统的安全性；提高了加密系统的收敛速度；避免了串扰噪声影响；扩大了密钥空间。解决了现有加密方法安全性低、收敛速度慢、存在串扰噪声、密钥空间小的问题。

2、本发明加密和解密过程实现简单，效率高。

附图说明

图1是本发明基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法的加密方法原理图。

图2是本发明基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法的解密方法原理图。

图3是本发明基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法的分数傅里叶域相位恢复过程流程图。

图4是采用本发明基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法加密9幅原始明文图像后得到的密文图像。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明提出一种基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，包括混沌置乱步骤，纯相位提取步骤，相位调制步骤，混沌扩散步骤。具体步骤如下：

第一步：混沌置乱。以9幅256×256像素的灰度图像f_i(i＝1,2,...,9)为例，使用成对logistic映射对其进行置乱得到置乱后图像f_i′(i＝1,2,...,9)。

第二步：纯相位提取，对每幅置乱后图像f_i′(i＝1,2,...,P)实施迭代相位恢复过程提取其纯相位函数

第三步：相位调制，将P幅原始灰度图像f_i(i＝1,2,...P)的纯相位函数调制为一幅大小为M×N的复矩阵G，对复矩阵G实施级数为α₃的分数傅里叶变换得到变换后的结果提取的振幅得到振幅g，提取的相位得到相位φ_final。

第四步：混沌扩散，对振幅g实施混沌扩散得到最终密文C_final。

参见图1，设有P幅原始灰度图像f_i(i＝1,2,...,P)，首先，对原始灰度图像f_i实施混沌置乱得到置乱后的图像f_i′，混沌置乱的参数x₀,y₀表示混沌序列初值，K表示要丢弃的混沌数的个数。然后，用FrFT域相位恢复过程提取置乱后的图像f_i的纯相位函数α₂,α₁,β₂,β₁为相位恢复过程的分数阶数，为提取置乱后的图像f_i′的纯相位函数过程中伴随产生的相位。然后，对得到的纯相位函数实施相位调制，得到调制后的结果再对结果G实施α₃级的分数傅里叶变换得到变换后的结果提取的振幅得到振幅g，提取的相位得到相位φ_final，其中，为相位调制 过程得到的纯相位函数的解密密钥，arg{·}为相位提取操作，|·|为振幅提取操作。最后，对振幅g实施混沌扩散得到最终密文C_final，混沌扩散参数x₀表示混沌序列初值,K表示要丢弃的混沌数的个数。其中，i＝1,2,...,P，P为待加密的图像幅数。

图2是本发明基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法的解密方法原理图，是加密的逆过程。首先，对密文C_final实施逆混沌扩散得到振幅g,逆混沌扩散参数x₀表示混沌序列的初值,K表示要丢弃的混沌数的个数。然后，将振幅g和相位φ_final调制为复图像对实施-α₃级的分数傅里叶变换得到P个纯相位函数 调制后的结果G。然后，由G和解密密钥求出纯相位函数再由纯相位函数和相位求出原始图像混沌置乱后得到的图像f_i′。最后，对图像f_i实施逆混沌置乱得到原始图像f_i，逆混沌置乱的参数x₀,y₀表示混沌序列初值，K表示要丢弃的混沌数的个数。其中，i＝1,2,...,P，P为待加密的图像幅数。

图3为本发明基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法的分数傅里叶域相位恢复过程流程图，其中，f(x_i,y_i)是输入的明文图像在(x_i,y_i)坐标处的像素值，x_i,y_i为输入的图像像素的横、纵坐标。为该明文图像的纯相位函数模版，exp(·)为指数运算，j为虚部符号，为在坐标处的相位值， x_o,y_o为输出图像像素的横、纵坐标。 为输入平面的相位函数模板，exp(·)为指数运算，j为虚部符号，φ₁(x_i,y_i)为在(x_i,y_i)坐标处的相位值， φ₁(x_i,y_i)∈[-π,π]，x_i,y_i为输入图像像素的横、纵坐标。 为迭代得到的近似明文图像在(x_i,y_i)坐标处的像素值，x_i,y_i为输入的图像像素的横、纵坐标。 分别表示进行α₁，α₂-β₂，-β₁，-α₁，β₂-α₂，β₁阶分数傅里叶变换。

在本发明中，用均方差(MSE)作为相位恢复过程迭代结束标准，当间均方差MSE值小于1.0e-9时，迭代终止，此时求得的即为明文图像f(x_i,y_i)的纯相位函数。

式(4)为MSE的计算公式，其中，g和g^k分别为明文图像和迭代得到的近似明文图像，M,N分别为明文图像的宽度和高度。

与传统加密方案相比，本发明可以提高多幅灰度图像加密效率。表1为基于分数傅里叶域相位模板复用的多图像加密方法加密9幅图像的迭代次数和MSE值。表2为用本发明的方法加密相同的9幅图像的迭代次数和MSE值，迭代次数越小，说明收敛速度越快；均方差MSE越接近0，说明加密算法保真度越高。

表1.基于分数傅里叶域相位模板复用的多图像加密方法的

迭代次数和MSE值

图像名称

Lena

Zelda

Barb

Elain

Goldhill

Jobs

Peppers

CameraMan

Baboon

迭代次数

39

39

40

36

47

46

38

43

37

MSE

9.86e-10

1.49e-9

1.08e-9

1.18e-9

1.10e-9

2.06e-9

1.06e-9

4.91e-9

7.07e-10

表2.本发明的迭代次数和MSE值

图像名称

Lena

Zelda

Barb

Elain

Goldhill

Jobs

Peppers

CameraMan

Baboon

迭代次数	29	28	24	29	31	29	27	26	30
										MSE	9.97e-10	5.59e-10	7.84e-10	5.46e-10	8.42e-10	6.69e-10	5.26e-10	8.92e-10	9.12e-10

从表1和表2的对比可看出，本发明的保真度和迭代收敛速度都得到显著提高，进而提高了图像的加密效率。

图4是采用本发明基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法将9幅原始明文图像加密后得到的密文图像即灰度图像。密文图像呈现白噪声分布，而且仅含有强度信息，可见，本发明加密方法的加密度很高。

Claims (10)

1.基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，包括混沌置乱步骤，纯相位提取步骤，相位调制步骤，混沌扩散步骤；具体如下：

第一步，混沌置乱；设有P幅原始灰度图像f_i，其中，i＝1,2,...,P，每幅图像的大小都为M×N，使用成对logistic映射置乱原始图像f_i，i＝1,2,...,P得到置乱后的图像f′_i，i＝1,2,...,P；

第二步：纯相位提取，对每幅置乱后图像f′_i，i＝1,2,...,P，实施迭代相位恢复过程提取其纯相位函数i＝1,2,...,P；

第三步：相位调制，将P幅原始灰度图像f_i的纯相位函数调制为一幅大小为M×N的复矩阵G，其中，i＝1,2,...,P，对复矩阵G实施级数为α₃的分数傅里叶变换得到变换后的结果提取的振幅得到振幅g，提取的相位得到相位φ_final；

第四步：混沌扩散，对振幅g实施混沌扩散得到最终密文。

2.如权利要求1所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，所述第一步具体为：首先，设定成对logistic映射的初值x₀,y₀和K，使用成对logistic映射生成两个长度分别为M+K和N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K值，得到最终混沌序列X＝{c(m)|m＝1,2,...,M}和Y＝{r(n)|n＝1,2,...,N}；然后，将混沌序列选择升序或降序进行排序，得到X′＝{c[w(m)]|m＝1,2,...,M}和Y′＝{r[w(n)]|m＝1,2,...,N}，其中w是地址编码；排序过程只改变了序列中元素的位置，并未改变元素的值，也就是说，X′序列中第m个元素对应X中第w(m)个元素；最后，置乱原始图像f_i，其 中，i＝1,2,...,P，得到置乱后的图像f′_i，i＝1,2,...,P，置乱后图像f′_i，i＝1,2,...,P中坐标为(m,n)的像素对应原始图像f_i，i＝1,2,...,P中坐标为(c[w(m)],r[w(n)])的像素。

3.如权利要求1所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，所述第二步具体为：用MSE阈值作为迭代相位恢复过程收敛标准，当原始图像和近似图像的均方差MSE值小于设定的MSE阈值时，迭代过程终止，得到优化的相位函数其中i＝1,2,...,P。

4.如权利要求1所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，所述第四步具体为：首先，设定logistic混沌映射的初值x₀，使用Logistic混沌映射生成长度为M×N+K的混沌序列，丢弃混沌序列前K个元素，得到序列X＝{c(m)|m＝1,2,...,M×N}；然后，将振幅g转换为向量V＝{v_i|i＝1,2,...,M×N}，利用混沌序列X扩散向量V得到向量V′；最后，将向量V′转换为二维矩阵得到最终密文C_final。

5.如权利要求1-4任一项所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，所述第一步中，成对logistic映射为：

式(1)定义了成对logistic映射，其中，p为分型参数且0≤p≤4，f(x),x和f(y),y是混沌序列的值，ε为耦合常数且-2＜ε＜2，f(x)∈(0,1)，x∈(0,1)，f(y)∈(0,1)，y∈(0,1)；

x_n+1＝p·x_n·(1-x_n)+ε(y_n-x_n) (2)

y_n+1＝p·y_n·(1-y_n)+ε(x_n-y_n) (3)

式(2)和式(3)为式(1)所表示的成对logistic映射的迭代形式，用 式(2)和式(3)生成第一步中的混沌序列，其中，p为分形参数且0≤p≤4，x_n和y_n是第n次迭代产生的混沌值，x_n+1和y_n+1是第n+1次迭代产生的混沌值，ε为耦合常数且-2＜ε＜2，x_n∈(0,1)，x_n+1∈(0,1)，y_n∈(0,1)，y_n+1∈(0,1)。

6.如权利要求1-4任一项所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，所述第二步中，假设f为输入平面图像，g为输出平面图像，h为某次迭代分数傅里叶变换的中间结果图像，该次迭代过程中伴随产生相位φ₁,φ₂,ψ，则图像f,g,h和相位φ₁,φ₂,ψ之间的关系为：

其中α₁,α₂和β₁,β₂是两组不同的分数级数，分别为α₂,α₁,β₂,β₁级分数傅里叶变换，i为虚部符号，exp(·)为指数运算，f,g,h分别表示输入平面图像、输出平面图像、中间结果图像，φ₁,φ₂,ψ为迭代分数傅里叶变换过程伴随产生的相位；

式(5)是由式(4)推导而来，体现了原始图像f和g的关系，其中-β₁,α₂-β₂,α₁为分数傅里叶变换的级数，分别为-β₁,α₂-β₂,α₁级分数傅里叶变换，i为虚部符号，exp(·)为指数运算，f和g分别表示输入平面图像和输出平面图像，φ₁,φ₂,为迭代分数傅里叶变换过程伴随产生的相位；

用表示相位初始值，初始相位为随机值，假设第k次迭代过程中，已求出相位则输出复图像可表示为：

其中-β₁,α₂-β₂,α₁为分数傅里叶变换的级数，分别为-β₁,α₂-β₂,α₁级分数傅里叶变换，i为虚部符号，exp(·)为指数运算，f和分别表示输入图像和输出复图像；为第k次迭代分数傅里叶变换过程用到的相位；

若复图像的振幅用g^k表示，相位用表示，则将代入式(5)可得到第k+1次迭代过程中的相位

式(7)，(8)，(9)分别定义了第k+1次迭代时的相位φ₂ ^k+1,φ₁ ^k+1；其中arg{.}为相位提取操作，f为输入图像，g为输出复图像的振幅，β₁,α₂-β₂,α₁,β₂-α₂,-α₁表示分数傅里叶变换级数,φ₁ ^k,φ₂ ^k,表示第k次迭代对应的相位值； 分别表示β₁,α₂-β₂,α₁,β₂-α₂,-α₁阶分数傅里叶变换；i为虚部符号，exp()为指数运算；

式(10)定义了均方差MSE，其中，g^k和g分别为近似输出图像和输出图像，M和N分别为明文图像的宽度和高度；

假设迭代K次时，达到收敛标准，迭代终止，则得到优化的相位φ₁,φ₂,中间结果图像的振幅h和相位ψ为：

其中，为第K-1次迭代后计算出来的相位，为迭代K次时，得到的输出复图像，|·|为提取振幅操作，arg{·}为提取相位操作；

上述第三步中，复矩阵G为：

式(14)定义了P个纯相位函数调制后的结果G，其中j为虚部符号， 为置乱后的图像f′_i的纯相位函数，i＝1,2,…,P，exp(·)为指数运算，P取正整数，为待加密的原始图像的幅数。

7.如权利要求2或4任一项所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，所述第四步中，Logistic映射为：

f(x)＝p·x·(1-x) (15)

式(15)定义了一维Logistic映射，其中分形参数p为常数，且0＜p≤4，x为自变量，f(x)为Logistic映射值；

x_n+1＝p·x_n·(1-x_n) (16)

式(16)是式(15)的迭代形式，用式(16)生成第四步中的混沌序列，其中，分型参数p为常数，且0＜p≤4，x_n，x_n+1为混沌序列值，且x_n∈(0,1)，x_n+1∈(0,1)；

式(17)用来实施混沌扩散来生成密文，其中，c_i∈X是混沌序列值，v′_i,v_i分别为当前明文值和密文值，v′_i-1,v_i-1分别为前一个明文值和密文值，mod为取余运算符，初值v′₀,v₀的值为0。

8.如权利要求1-4任一项所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，还包括解密过程，解密过程是加密的逆过程，具体为：首先，对密文图像C_final实施反混沌扩散得到振幅g；然后，将振幅g和相位φ_final调制为复图像对复图像实施-α₃阶分数傅里叶变换得到P个纯相位函数调制后的结果G，由G和解密密钥求得纯相位函数然后，对纯相位函数实施分数傅里叶域逆相位恢复过程求出原始图像置乱后的图像f′_i；最后，对图像f′_i实施逆混沌置乱得到原始明文图像f_i。

9.如权利要求8所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，所述解密过程中，反混沌扩散方式为：

式(18)用来实施反混沌扩散来生成明文，其中，c_i∈X是混沌序列值，v′_i,v_i分别为当前密文值和明文值，v′_i-1,v_i-1分别为前一个密文值和明文值，mod为取余运算符，初值v′₀,v₀的值为0；

解密密钥为：

式(19)定义了纯相位函数的加密密钥其中，j为虚部符号，k和i代表纯相位函数的序号，为置乱后的图像f′_i的纯相位函数，i＝1,2,…,P，k＝1,2,…,P，P为待加密的图像幅数，exp{·}为指数运算；

式(20)定义了纯相位函数的解密密钥其中,conj{·}为共轭运算， 为纯相位函数的加密密钥，i＝1,2,…,P，P为待加密的图像幅数。

10.如权利要求8所述的基于混沌和FrFT域相位恢复过程的多图像加密方法，其特征在于，所述解密过程中，由调制结果G求原始图像置乱结果f′_i方式为：

其中，为纯相位函数的解密密钥，和φ_i2为加密过程得到的原始图像f_i的优化相位，分别表示-α₁,β₂-α₂,β₁级分数傅里叶变换，j为虚部符号，exp(·)为指数运算，|·|为提取振幅操作。