CN107911572A - 基于分数傅里叶变换改进逻辑斯蒂混沌系统的图像加密方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提出了一种基于分数傅里叶变换与改进的逻辑斯蒂混沌系统的图像加密方法，应用于数字图像加密领域，先对大小为M×N的明文图像进行角度为α的分数傅立叶变换；然后由改进的逻辑斯蒂混沌映射生成大小为(l 0 +M×N)混沌序列，接着舍弃该混沌序列的前l 0 分量并对截断的序列按照升幂方式排序；最后将分数傅立变换后的图像按照同样的排序方式进行位置置乱和序列重组，得到最终加密图像。通过实验仿真表明，该算法不但能够克服传统逻辑斯蒂混沌系统密钥较少，抗攻击能力较弱的不足，而且借助傅立叶变换角度多样性的优点，极大地提高了密钥空间，较好地隐藏明文信息，有效抵御统计、穷举、差分等多种攻击，有很好的安全性。

Description

基于分数傅里叶变换改进逻辑斯蒂混沌系统的图像加密方法
技术领域
本发明涉及基于结合分数傅里叶变换与改进的逻辑斯蒂（Logistic）混沌系统的图像加密方法，属于信号与信息处理技术领域。
背景技术
随着计算机网络的快速发展，图像在网络中传输的数量越来越多，引发人们对图片安全传输的关注。混沌系统具有对初始条件高度敏感，Lyapunov指数为正，分形等特点使得混沌加密方法成为一个重要的图像加密方法，其加密速度合理，具有高效的安全性和复杂度。但是由于图像自身像素的强相关性，高冗余和数据量大等特点，单纯应用混沌像素置乱的方法进行图像加密具有一定的局限性。因此，怎样将混沌系统和其他方法相结合提高加密方法的抗攻击能力，成为图像加密领域一个重要的研究分支。
传统的逻辑斯蒂（Logistic）混沌映射系统参数较少，抗攻击能力较弱。近年来，有关学者提出了将其他时域变换与混沌系统相结合的图像加密方法。像将小波变换与混沌系统相结合的图像加密方法和多个混沌系统相结合的图像加密方法。该类方法可以较好地克服传统混沌系统置乱方法的不足，取得较好的加密效果。分数傅立叶变换（FractionalFourier Transform，FRFT）是一个应用广泛的信号分析工具，既包含时域上的信息又包含频域上的信息。如果在分数傅立叶变换域进行图像加密，可以获得更大范围的安全性。因此借助于混沌置乱与分数傅立叶变换进行图像加密，具有广泛的应用价值。
怎样将分数傅立叶变换与传统的混沌系统相结合，降低相邻像素之间的相关性，增大加密算法的密钥空间，提高加密系统的安全性成为现在图像加密领域一个有意义的热点问题。
发明内容
针对上述加密方法存在的不足之处，本发明提出一种新型的图像加密方法。本发明将分数傅立叶变换与改进的Logistic混沌映射相结合，能够很好地解决图像加密的效率和密钥传输问题，还可以简化加密系统的实现，降低密文图像像素的相关性，弥补现有加密方法的冗余性和脆弱性，达到很好的加密效果。
本发明的分数傅立叶变换与改进的Logistic混沌映射相结合的加密方法，其特征在于，包括明文图像分数傅立叶变换过程，密钥初始化过程，置乱变换过程和序列重组变换过程。
实现本发明的技术方案如下：
基于分数傅里叶变换改进逻辑斯蒂混沌系统的图像加密方法，具体过程为：
加密过程：
（1）明文图像分数傅立叶变换
步骤1: 分数傅立叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）是傅立叶变换（Fourier Transform, FT）概念的推广，其变换的积分核K α (t,u)定义如下：
（1）
函数x(t)角度为α的分数傅立叶变换可以记作，
（2）
α为任意实数。
设明文图像I 0 的大小为M×N，其角度为α的分数傅立叶变换结果记为I 1 。由于图像矩阵是离散形式，故对其进行离散分数傅立叶变换，其中变换角度α是该加密方法的一个密钥，所得结果I 1 是大小为M×N的列向量。
（2）密钥初始化过程
步骤2：利用改进的Logistic混沌映射生成混沌序列，其混沌映射公式表述为
（3）
其中0≤x n ≤1为映射变量，0＜μ≤4为控制参数，c为任意实数。当3.5699456＜μ≤4时，系统处于混沌状态。l 0 是截断序列的长度，M×N的意义同上。初始值x 1 、混沌控制参数μ，c和截断长度l 0 是该加密方法的部分密钥。
(3)置乱变换过程
步骤3：舍弃混沌序列﹛x n ,n=1,2,…,(l 0 +M×N)﹜的前l 0 分量得到新的混沌序列﹛x' n ,n=1,2,…, M×N﹜；
步骤4: 对混沌序列﹛x' n ﹜按照升幂方式进行排序，其排序结果对应的像素位置关系用序列id表示。
步骤5: 对序列I 1 按照序列id的位置关系进行位置置乱，置乱后的结果记为I 2 。
（4）序列重组变换
步骤6: 将置乱后的结果I 2 按照下式进行重组，得到最终加密图像结果I 3 。
(4)
该加密方法的加密密钥有混沌系统初始值x 1 ，控制参数μ和c，截断参数l 0 和分数傅立叶变换角度α。
解密过程：
(5)解密序列重组
步骤7: 将待解密图像I 3 变成大小为M×N的列向量，具体的映射关系为
(5)
其中n=1,2,…, M×N，i=1,2,…, M
（6）混沌置乱变换
步骤8：利用改进的Logistic混沌映射(2)式，生成混沌序列，表达式同加密方案。
步骤9：舍弃混沌序列﹛x n ,n=1,2,…,(l 0 +M×N)﹜的前l 0 分量得到新的混沌序列﹛x' n ,n=1,2,…, M×N﹜；对混沌序列﹛x' n ﹜按照升幂方式进行排序，其排序结果对应的像素位置关系用序列id表示。
步骤10: 对序列I' 2 按照序列id的位置关系进行位置置乱，置乱后的结果记为I' 1 。
（7）分数傅立叶逆变换
步骤11: 对置乱后的结果I' 1 进行分数傅立叶逆变换，也即进行角度为-α的分数傅立叶变换。变换后的结果记为I' 0 。
（8）解密结果序列重组变换过程
步骤12: 对I' 0 按照下式进行重组，得到最终的解密图像I'。
（6）
该加密方法的解密密钥有混沌系统初始值x 1 ，控制参数μ和c，截断参数l 0 和分数傅立叶逆变换角度-α。
本发明有益效果：
本发明通过采用改进的logistic混沌系统对图像像素位置进行置乱，增加了密钥空间。在加密方案中分数傅立叶变换角度的微小改变，会导致解密图像的严重失真，安全性水平和抗攻击能力有明显的提升。另外分数傅立叶变换借助快速傅立叶变换方法实现，计算复杂度是可以接受的。
本发明能够在信息安全领域有一定的应用前景。
附图说明
图1为改进Logistic混沌映射与分数傅里叶变换结合的图像加密方法流程图。
图2为改进Logistic混沌映射与分数傅里叶变换结合的图像解密方法流程图。
图3(a)为原始Lena图像。
图3(b)为最终加密图像。
图4(a)为原始图像灰度直方图。
图4(b) 为加密图像灰度直方图。
图5(a)为原始Lena图像。
图5(b)为使用正确秘钥解密得到的图像。
图5 (c)为使用错误秘钥解密得到的图像。
具体实施方式
下面结合一个实例来说明本发明的具体实施方式。
本实施方式的基于分数傅里叶变换改进逻辑斯蒂混沌系统的图像加密方法，其具体加密实施步骤如图1所示，主要包括：改进逻辑斯蒂混沌序列生成，局部截断，位置置乱，分数傅立叶变换和图像重组过程。
具体实施步骤如图1的加密流程图所示。
本发明要实现图像加密,首先要对明文图像进行分数傅立叶变换。
(1)明文图像分数傅立叶变换
步骤1：选择大小为256×256的Lena图作为待加密明文图像I 0 ，对其进行角度为α=1.5的分数傅立叶变换，其变换公式如（2）式所示，变换后结果为65536行1列的向量I 1 ；
在完成分数傅立叶变换后，再根据改进的Logistic混沌序列进行像素位置置乱。
(2) 密钥初始化过程
步骤2：输入混沌映射系统初始值x 1=0.2和混沌控制参数μ=3.8，c=64.379与截断参数l 0 =32809，按照（7）式产生混沌序列﹛x n ﹜用于置乱运算。
（7）
n=1,2,…,98345
(3)置乱变换过程
步骤3：舍弃由（7）式产生的混沌序列﹛x n ﹜的前32809个分量，保留剩下的65535个分量得到新的混沌序列﹛x' n ﹜；
步骤4：将步骤3得到的混沌序列﹛x' n ﹜按照升幂方式进行排序，其排序结果对应的像素位置关系用序列id表示；
步骤5：对序列I 1 按照步骤4得到的序列id的位置关系进行置乱，置乱后的结果记为I 2 ；
（4）序列重组
步骤6：最后对置乱后的序列按照（8）重组得到解密图像结果I 3 。
（8）
使用matlab2014对大小为256×256的灰度Lena图像进行实验仿真，得到的加密图像结果如图3（b）所示。其中系统输入的密钥分别为：x 1 =0.2， μ=3.8，c=64.379，l 0 =32809和α=1.5。
本实施方式的基于分数傅里叶变换改进逻辑斯蒂混沌系统的图像加密方法，其具体解密实施步骤如图2所示，主要包括：图像重组，改进逻辑斯蒂混沌序列生成，局部截断，位置置乱和分数傅立叶逆变换过程。
具体解密方法的步骤如图2的解密流程图所示。
解密过程：
本发明要实现加密图像的解密，首先进行的是解密序列重组,
(5)解密序列重组
步骤7: 将待解密图像I 3 变成大小为M×N的列向量I' 2 ，具体的映射关系为
(9)
其中n=1,2,…, M×N，i=1,2,…, M
（6）混沌置乱
步骤8：利用改进的Logistic混沌映射(2)式，生成混沌序列，表达式同加密方案。
步骤9：舍弃混沌序列﹛x n ,n=1,2,…,(l 0 +M×N)﹜的前l 0 分量得到新的混沌序列﹛x' n ,n=1,2,…, M×N﹜；对混沌序列﹛x' n ﹜按照升幂方式进行排序，其排序结果对应的像素位置关系用序列id表示。
步骤10: 对序列按照序列id的位置关系进行位置置乱，置乱后的结果记为I' 1 。
（7）分数傅立叶逆变换
步骤11：对置乱后的结果I' 1 进行分数傅立叶逆变换，也即进行角度为-α的分数傅立叶变换。变换后的结果记为I' 0 。
（8）解密结果序列重组变换过程
步骤12：对I' 0 按照下式进行重组，得到最终的解密图像I'。
（10）
该加密方法的解密密钥有混沌系统初始值x 1 ，控制参数μ和c，截断参数l 0 和分数傅立叶逆变换角度-α。
下面对本发明的图像加密方法进行安全方面的分析。
1、直方图分析
图4(a)(b)分别是明文与密文直方分布图。从图中可知，明文直方图像素值分布相当不均匀，攻击者可以根据像素分布信息，得到图像信息。而加密后图像与原图的直方图没有相似性，加密后图像直方图变得更为均衡,可以较好地保留原图像的信息，有效抵御来自于统计的攻击，破译的难度增大。
2、初始值的敏感性分析
本发明的解密密钥组成为Logistic混沌系统的初始值和参数值x 1 =0.2， μ=3.8，c= 64.379，与分数傅立叶变换的角度α=1.5，错误密钥解密的参数选取混沌系统的初始值和参数都是正确的密钥值,分数傅立叶变换角度α取1.499。正确解密图像与错误解密图像如图5所示。由图5(b)和图5(c)可见，即使其中一个解密密钥发生微小变化也无法成功解密，可见本发明对初值敏感性极强，能够有效抵抗差分攻击。
3、统计学分析
评价原图像与加密图像之间的关系的指标是相关系数(correlation coefficient,CC)。 一般来说, -1≤x n ≤1。│CC│值越小,对应加密方法越好。 相关系数的计算公式如下:
(11)
（12）
（13），
（14）
式中，x i 和y i 分别表示原图像和加密图像像素灰度值。 E(·)表示数学期望， cov(·)表示协方差，D(·)表示方差运算，r xy 为相邻像素的相关系数。随机选取原图像和加密图像中两组相邻的水平方向、竖直方向和对角线方向各1500个像素对，并根据公式（11）-（14）计算像素之间的相关系数。具体计算结果如表1所示，相关系数越接近1表示相关性越强，越小表示越不相关。
表1相邻像素相关系数表
方向 原始图像 本文算法 单纯Logistic混沌系统 单纯Henon混沌
水平 0.9035 0.0083 0.0076 0.0134
竖直 0.9816 0.0164 0.0272 0.0257
对角 0.8642 0.0114 0.0213 0.0162
从表1可以看出, 原图像三个方向上的相关系数均大于0.85，意味着原图像像素具有较强的相关性。所提的加密方法在三个方向的相关系数均接近于0,水平方向上的相关系数与其它两种单纯应用混沌系统加密方法相比,比Logistic混沌系统大但是比单纯Henon混沌系统小;竖直方向均比两种方法小;对角线方向与竖直方向有相同的计算结果。由此可以看出,本文提出的方法使得加密图像的像素值具有更大的随机性,加密效果更优。
4. 密钥空间分析
采用改进的logistic混沌系统对图像像素位置进行置乱，相比于传统的Logistic混沌映射，增加了一个混沌参数c，在生成混沌序列的时候，引进一个截断参数l 0 ，分数傅立叶变换角度α的选取都极大地增加了密钥空间。想通过穷举攻击来获得原图像的信息几乎不可能。由此可见，本发明的密钥空间能够有效抵制穷举攻击，达到安全传输的效果，确保图像信息不被泄漏。
综上所述，以上仅为本发明较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.基于分数傅里叶变换与改进的逻辑斯蒂混沌系统的图像加密方法，图像加密方法依次包括分数傅立叶变换过程，密钥初始化过程，置乱变换过程和序列重组变换过程，其特征在于：
（1）分数傅立叶变换
步骤1：首先选取任意实数α作为本发明加密方法的一个密钥，对大小为M×N的明文图像进行角度为α分数傅立叶变换，计算公式如下式（1）所示，得到明文变化后的图像序列，其中M代表明文图像像素的总行数，N代表明文图像像素的总列数，
（1）
其中K α (t,u)是变换核，其计算公式如下式（2）所示，
（2）
（2）密钥初始化过程
步骤2：输入密钥x 1 ，μ，c作为改进的逻辑斯蒂（Logistic）混沌映射的初始密钥，如下式（3）所示，其中其中0≤x n ≤1为映射变量，0＜μ≤4为控制参数，c为任意实数，产生一组长度为（l 0 +M×N）混沌序列用于置乱运算：
（3）
其中l 0 是截断序列的长度，是该加密方法的一个密钥；
（3）置乱变换过程
步骤3：结合步骤2所得的混沌序列，舍弃该序列的前l 0 分量，得到大小为M×N的混沌序列；
步骤4：将步骤3得到的截断后的序列按照升幂的方式进行排序，得到排序结果相对应像素的位置关系序列；
步骤5：将步骤1得到的分数傅立叶变换域上的结果按照步骤4得到的位置关系序列进行排序置乱；
（4）序列重组变换过程：
步骤6：将步骤5得到置乱后的序列进行重组变换，如下式（4）所示，得到最终加密图像，
（4）。
2.根据权利要求1所述的基于分数傅里叶变换与改进的逻辑斯蒂（Logistic）混沌系统的图像加密方法，其特征在于：图像解密方法依次包括解密序列重组变换过程，混沌置乱变换过程，分数傅立叶逆变换过程和解密结果序列重组变换过程，其特征在于:
（5）解密序列重组变换过程
步骤7：首先对密文图像进行序列重组，如下式（5）所示，得到长度为M×N的列向量；
（5）
（2）混沌置乱变换过程
步骤8：将步骤7得到的结果按照步骤4过程得到的位置关系序列进行排序置乱；
（7）分数傅立叶逆变换过程
步骤9：对步骤8得到的结果进行角度为-α分数傅立叶逆变换，如下式（6）所示；
（6）
（8）解密结果序列重组变换过程
步骤10：将步骤9得到的结果进行序列重组，如下式（7）所示，得到大小为M×N的解密图像
（7）。
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