CN111442981A - 均布载荷下圆形薄膜弹性应变能的确定方法 - Google Patents

均布载荷下圆形薄膜弹性应变能的确定方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种均布载荷下圆形薄膜弹性应变能的确定方法：对半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使圆形薄膜产生轴对称变形，基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，就可以确定圆形薄膜轴对称变形后的弹性应变能U。

Description

均布载荷下圆形薄膜弹性应变能的确定方法
技术领域
本发明涉及一种横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜弹性应变能的确定方法。
背景技术
横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形，在许多工程技术领域都有应用，例如，用来研究薄膜/基层系统的粘附能测量、以及研制各种仪器仪表和各类传感器等。从文献查新的结果来看，在求解圆形薄膜轴对称变形问题的过程中，有放弃通常所谓的薄膜小转角假设(即假设薄膜转角θ满足sinθ≈tanθ)、以提高计算精度的，例如发明专利“一种均布载荷下大转角圆薄膜弹性应变能的确定方法”(专利号：ZL201510194410.9)中采用的解析解便是在放弃薄膜小转角假设的条件下获得的，但在建立该力学问题的面内平衡方程时，却没有考虑薄膜挠度的影响，从而建立了一个近似的面内平衡方程d(rσr)/dr-σt＝0，其中，r表示圆形薄膜的径向坐标，σr和σt分别表示圆形薄膜的径向应力和环向应力。当外部作用载荷较大、薄膜挠度较大时，薄膜挠度对面内平衡方程具有较大的影响，显而易见，在求解该力学问题时仍然采用忽略薄膜挠度影响的面内平衡方程会使所获得的解析解存在较大的误差，因此，在建立该力学问题的面内平衡方程时应考虑薄膜挠度的影响，从而建立一个较为精确的面内平衡方程d(rσr)/dr-σt[1+(dw/dr)2]＝0。基于这个较为精确的面内平衡方程所获得的解析解便能够适用于外部作用载荷较大、薄膜挠度较大的情况，这无疑是一件非常有价值的工作，可以扩大横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的应用范围，这也正是本发明所要解决的技术问题。
发明内容
本发明致力于横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形问题的解析研究，基于更精细的静力平衡分析，得到了该轴对称变形问题较为精确的解析解，并在此基础上给出了均布载荷下圆形薄膜弹性应变能的确定方法。
均布载荷下圆形薄膜弹性应变能的确定方法：对半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使圆形薄膜产生轴对称变形，基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，就可以得到所施加的载荷q与圆形薄膜轴对称变形后弹性应变能U之间的解析关系
Figure BDA0002415376680000011
其中，
Figure BDA0002415376680000021
Figure BDA0002415376680000022
Figure BDA0002415376680000023
Figure BDA0002415376680000024
Figure BDA0002415376680000025
Figure BDA0002415376680000026
Figure BDA0002415376680000027
而b0、c0的值由方程
Figure BDA0002415376680000028
和
Figure BDA0002415376680000029
确定，其中，
Figure BDA00024153766800000210
Figure BDA00024153766800000211
Figure BDA0002415376680000031
Figure BDA0002415376680000032
Figure BDA0002415376680000033
Figure BDA0002415376680000034
d0＝b0，
Figure BDA0002415376680000035
Figure BDA0002415376680000036
Figure BDA0002415376680000037
Figure BDA0002415376680000038
Figure BDA0002415376680000041
Figure BDA0002415376680000042
这样，只要准确测得载荷q的值，就可以把圆形薄膜轴对称变形后的弹性应变能U确定下来，其中，a、h的单位均为毫米(mm)，E、q的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm2)，U的单位为牛顿·毫米(N·mm)，而ν、b0、b2、b4、b6、b8、b10、b12、c0、c2、c4、c6、c8、c10、c12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12、以及Q均为无量纲的量。
附图说明
图1为横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的示意图，其中，1是轴对称变形后的圆形薄膜，2是夹紧装置，3是变形前的圆形薄膜，而a表示圆形薄膜的半径和夹紧装置的内半径，q表示横向均布载荷，wm表示圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度。
具体实施方式
下面结合具体案例对本发明的技术方案作进一步的说明：
如图1所示，对半径a＝20mm、厚度h＝0.06mm、杨氏弹性模量E＝7.84N/mm2、泊松比ν＝0.47的周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使圆形薄膜产生轴对称变形，测得载荷q＝0.1N/mm2，采用本发明所给出的方法，由方程
Figure BDA0002415376680000043
Figure BDA0002415376680000044
Figure BDA0002415376680000051
Figure BDA0002415376680000052
Figure BDA0002415376680000053
Figure BDA0002415376680000054
Figure BDA0002415376680000055
Figure BDA0002415376680000056
Figure BDA0002415376680000057
Figure BDA0002415376680000058
Figure BDA0002415376680000059
Figure BDA0002415376680000061
Figure BDA0002415376680000062
Figure BDA0002415376680000063
d0＝b0，
Figure BDA0002415376680000064
Figure BDA0002415376680000065
Figure BDA0002415376680000066
Figure BDA0002415376680000067
Figure BDA0002415376680000068
Figure BDA0002415376680000071
Figure BDA0002415376680000072
得到b0＝1.351319、c0＝1.206415以及b2＝1.295919、b4＝0.702265、b6＝-0.582036、b8＝-1.046604、b10＝0.785018、b12＝2.543903、c2＝-0.786583、c4＝-0.109502、c6＝0.226340、c8＝0.163586、c10＝-0.297647、c12＝-0.402609、d0＝1.351319、d2＝0.543440、d4＝0.304119、d6＝-0.061103、d8＝-0.297796、d10＝-0.016376、d12＝0.549795，再由方程
Figure BDA0002415376680000073
确定出该圆形薄膜在横向均布载荷q＝0.1N/mm2作用下的弹性应变能U＝1907.0765N·mm。
为了反映采用近似的面内平衡方程所带来的误差，以体现本发明的有益效果，申请人也采用之前的方法(“一种均布载荷下大转角圆薄膜弹性应变能的确定方法”，专利号：ZL201510194410.9)计算出了该周边固定夹紧的圆形薄膜在横向均布载荷q＝0.1N/mm2作用下轴对称变形后的弹性应变能U＝1859.9255N·mm，而这两种方法计算出的薄膜弹性应变能的误差约为2.47％，这个误差已经接近一般精密仪器所允许的计算误差范围(即小于3％)，况且在工程实际中还存在诸如测量误差等其他误差。由于之前的发明专利在求解力学问题时采用了忽略薄膜挠度影响的面内平衡方程，所以给出的计算薄膜弹性应变能的方法必须在所施加的均布载荷q较小时使用。而本发明在求解该力学问题时则采用了考虑薄膜挠度影响的面内平衡方程，因此，本发明所给出的方法更能够适用于所施加的均布载荷q较大、挠度w较大的情形，从而消除了所施加的横向载荷q不能过大这一限制，其技术效果是明显的。

Claims (1)

1.均布载荷下圆形薄膜弹性应变能的确定方法，其特征在于：对半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使圆形薄膜产生轴对称变形，那么基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，由以下方程
Figure FDA0002415376670000011
Figure FDA0002415376670000012
Figure FDA0002415376670000013
Figure FDA0002415376670000014
Figure FDA0002415376670000015
Figure FDA0002415376670000016
Figure FDA0002415376670000017
Figure FDA0002415376670000021
Figure FDA0002415376670000022
Figure FDA0002415376670000023
Figure FDA0002415376670000024
Figure FDA0002415376670000025
Figure FDA0002415376670000026
Figure FDA0002415376670000027
d0＝b0，
Figure FDA0002415376670000028
Figure FDA0002415376670000029
Figure FDA0002415376670000031
Figure FDA0002415376670000032
Figure FDA0002415376670000033
Figure FDA0002415376670000034
Figure FDA0002415376670000035
确定b0和c0以及b2、b4、b6、b8、b10、b12、c2、c4、c6、c8、c10、c12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12的值，最后，由方程
Figure FDA0002415376670000036
确定圆形薄膜轴对称变形后的弹性应变能U，其中，a、h的单位均为毫米(mm)，E、q的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm2)，U的单位为牛顿·毫米(N·mm)，而ν、b0、b2、b4、b6、b8、b10、b12、c0、c2、c4、c6、c8、c10、c12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12、以及Q均为无量纲的量。
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