CN111442984B - 一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大应力的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大应力的方法：对周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν，那么基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，就可以确定圆形薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m。

Description

一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大应力的方法

技术领域

本发明涉及一种确定横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的最大应力的方法。

背景技术

横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形，在许多工程技术领域都有应用，例如，用来研究薄膜/基层系统的粘附能测量、以及研制各种仪器仪表和各类传感器等。从文献查新的结果来看，在求解圆形薄膜轴对称变形问题的过程中，有放弃通常所谓的薄膜小转角假设(即假设薄膜转角θ满足sinθ≈tanθ)、以提高计算精度的，例如发明专利“一种均布载荷下大转角圆薄膜最大应力的确定方法”(专利号：ZL201510194408.1)。但是，在建立该力学问题的面内平衡方程时，忽略了薄膜挠度的影响，从而建立了一个近似的面内平衡方程d(rσ_r)/dr-σ_t＝0，并且在建立几何方程时选取了一个曲线元素且假设该元素变形前后的长度近似相等，从而建立了一个近似的几何方程e_r＝du/dr+1/2(dw/dr)²，其中，e_r表示圆形薄膜的径向应变，r表示圆形薄膜的径向坐标，σ_r和σ_t分别表示圆形薄膜的径向应力和环向应力，u和w分别表示圆形薄膜的径向位移和挠度。然而，当外部作用载荷较大、薄膜挠度较大时，面内平衡方程则需要考虑薄膜挠度的影响，而且几何方程中采用的曲线元素变形前后的长度近似相等的假设也不再成立，仍然采用近似的面内平衡方程和几何方程会使所获得的解析解产生较大的计算误差。为了获得一个具有较高计算精度的解析解，需要对该圆形薄膜轴对称变形问题进行更精细的静力平衡分析，获得更精确的面内平衡方程d(rσ_r)/dr-σ_t[1+(dw/dr)²]＝0和几何方程

并且在此基础上获得的解析解能够适用于外部作用载荷较大、薄膜挠度较大的情况，这无疑是一件非常有价值的工作，可以扩大横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的应用范围，这也正是本发明所要解决的技术问题。

发明内容

本发明致力于横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形问题的解析研究，基于更精细的静力平衡分析，得到了该轴对称变形问题较为精确的解析解，并在此基础上给出了一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大应力的方法。

一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大应力的方法：对周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν，基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，就可以得到所施加的载荷q与圆形薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m之间的解析关系

其中，

而b₀的值由方程

确定，其中，

d₀＝b₀，

这样，只要准确测得载荷q的值，就可以把圆形薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m确定下来，其中，a、h的单位均为毫米(mm)，E、q、σ_m的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm²)，而ν、b₀、b₂、b₄、b₆、b₈、b₁₀、b₁₂、d₀、d₂、d₄、d₆、d₈、d₁₀、d₁₂、以及Q均为无量纲的量。

附图说明

图1为横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的示意图，其中，1是轴对称变形后的圆形薄膜，2是夹紧装置，3是变形前的圆形薄膜，而a表示圆形薄膜的半径和夹紧装置的内半径，q表示横向均布载荷，w_m表示圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度。

具体实施方式

下面结合具体案例对本发明的技术方案作进一步的说明：

如图1所示，对周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的半径a＝20mm、厚度h＝0.06mm、杨氏弹性模量E＝7.84N/mm²、泊松比ν＝0.47，测得载荷q＝0.05N/mm²，采用本发明所给出的方法，由方程

d₀＝b₀，

得到b₀＝0.6926以及b₂＝0.5999、b₄＝0.3020、b₆＝-0.2162、b₈＝-0.3810、b₁₀＝0.2259、b₁₂＝0.7873、d₀＝0.6926、d₂＝0.1684、d₄＝0.0972、d₆＝0.0238、d₈＝-0.0221、d₁₀＝-0.0151、d₁₂＝0.7873，再由方程

确定出该圆形薄膜在横向均布载荷q＝0.05N/mm²作用下的最大应力σ_m＝15.7623N/mm²。

为了反映采用近似的面内平衡方程和几何方程共同带来的误差，以体现本发明的有益效果，申请人也采用之前的方法(“一种均布载荷下大转角圆薄膜最大应力的确定方法”，专利号：ZL201510194408.1)，给出了该圆形薄膜在横向均布载荷q＝0.05N/mm²作用下的最大应力σ_m＝8.6036N/mm²，而这两种方法计算出的薄膜最大应力的误差约为45.42％，这个误差已经远超过工程结构设计所允许的计算误差范围(即小于15％)。由于本发明计算过程中不存在近似的面内平衡方程和几何方程带来的计算误差，因此，本发明所采用的解析解能够适用于薄膜转角θ较大、挠度w较大的情形，从而消除了所施加的横向载荷q不能过大这一限制，其技术效果是明显的。

Claims (1)

1.一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大应力的方法，其特征在于：对周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν，那么基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，由方程

d₀＝b₀，

确定b₀以及b₂、b₄、b₆、b₈、b₁₀、b₁₂、d₀、d₂、d₄、d₆、d₈、d₁₀、d₁₂的值，最后，由方程

确定圆形薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m，其中，a、h的单位均为毫米(mm)，E、q、σ_m的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm²)，而ν、b₀、b₂、b₄、b₆、b₈、b₁₀、b₁₂、d₀、d₂、d₄、d₆、d₈、d₁₀、d₁₂、以及Q均为无量纲的量。

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