CN104019931A - 一种确定横向集中载荷下环形预应力薄膜最大应力的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种确定横向集中载荷下环形预应力薄膜最大应力的方法：将外半径为a、内半径为b、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ₀的环形薄膜的内周边夹紧而外周边固定夹紧，在重量为m的内周边夹紧装置的中心处施加一个横向集中载荷f，那么基于这个轴对称环形预应力薄膜变形问题的静力平衡分析，利用测量值F＝m+f，则可以确定出薄膜的最大应力σ_m。

Description

一种确定横向集中载荷下环形预应力薄膜最大应力的方法

技术领域

本发明涉及横向集中载荷下环形预应力薄膜最大应力的确定方法。

背景技术

薄膜结构以及结构构件在许多技术领域都有广泛的应用，由于薄膜通常很薄，因而在横向载荷作用下往往呈现出较大的挠度，其变形问题通常具有较强的几何非线性，这些非线性变形问题的精确解析求解，通常十分困难，多数情况下仅能给出数值计算结果。

然而对于许多诸如膜片式仪器、仪表等设计问题，必须基于这些薄膜变形问题的精确解析解来进行设计，而数值计算结果通常难于满足这一要求。

本发明，针对工程应用问题的实际需求，研究环形预应力薄膜问题的精确解析求解。

发明内容

环形薄膜在横向集中载荷作用下的加载构造，可以用来研制各种传感器，并且在薄膜/基层体系的力学性能测试中也有重要应用。事实上，薄膜结构制作成型后，由于温度变化、湿度变化、制作工艺等诸多因素，多数情形下，会造成制作成型后的薄膜中存在着一定的初始拉伸应力，相对于横向载荷的作用而言，这一初始拉伸应力即是这里所谓的预应力，预应力的存在改变了薄膜的力学行为。然而目前带有预应力的环形薄膜变形问题并没有被解析求解，但如果不考虑预应力的影响，则会对仪器、仪表设计以及力学性能测试等问题带来精度损失。本发明，针对环形预应力薄膜在横向集中载荷作用下这一加载构造，给出了薄膜最大应力的确定方法，主要发明内容如下：

如图1所示，将外半径为a、内半径为b、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ₀的环形薄膜的内周边夹紧而外周边固定夹紧，在重量为m的内周边夹紧装置的中心处施加一个横向集中载荷f，准确测得内周边夹紧装置的重量m、以及所施加的横向集中载荷f，记α＝b/a、F＝m+f、γ＝2^5/3π^2/3a^2/3h^2/3E^-1/3F^-2/3σ₀，其中π是圆周率，同时记

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}={\mathrm{\γ\α}}^2(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\α}}^2}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\α}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\γ\α}}^2}{3(1+v)}\right)}^3}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\α}}^2}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\α}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\γ\α}}^2}{3(1+v)}\right)}^3}})\\ -\mathrm{\γ}(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v)\mathrm{\γ}}{3(1+v)}\right)}^3}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v)\mathrm{\γ}}{3(1+v)}\right)}^3}})\\ +\frac{\sqrt{2}(1-{\mathrm{\α}}^2)(1-3v)}{2(1-v)}\end{array}$

那么基于这个轴对称环形预应力薄膜变形问题的静力平衡分析，容易得到：

①如果△＝0，那么薄膜的最大应力σ_m为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_m=\frac{a^{4/3}{E}^{1/3}{F}^{2/3}}{2^{5/3}{\mathrm{\π}}^{2/3}{b}^2{h}^{2/3}}{\left(\right(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\α}}^2}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\α}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\γ\α}}^2}{3(1+v)}\right)}^3})}^{2/3}\\ +{(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\α}}^2}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\α}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\γ\α}}^2}{3(1+v)}\right)}^3})}^{2/3}-\frac{2(1-v){\mathrm{\γ\α}}^2}{3(1+v)})\end{array};$

②如果△>0，那么薄膜的最大应力σ_m为

其中和的单位为弧度，和的值由公式

和

确定，其中

③如果△<0，那么薄膜的最大应力σ_m为

其中和的单位为弧度，和的值由公式

和

确定，其中

这样，只要准确测得内周边夹紧装置的重量m、以及所施加的横向集中载荷f，即利用测量值F＝m+f，则可以计算出薄膜的最大应力σ_m。

附图说明

图1为环形预应力薄膜在横向集中载荷作用下的加载构造示意图，在图1中，1－环形预应力薄膜，2－外周边固定夹紧装置，3－重量为m的内周边夹紧装置，图1中的符号为，a表示环形预应力薄膜的外半径，b表示环形预应力薄膜的内半径，r表示径向坐标，w(r)表示点r处的横向坐标，f表示横向集中载荷。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的详细说明：

如图1所示，将外半径为a、内半径为b、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ₀的环形薄膜的内周边夹紧而外周边固定夹紧，在重量为m的内周边夹紧装置的中心处施加一个横向集中载荷f，准确测得内周边夹紧装置的重量m、以及所施加的横向集中载荷f，记α＝b/a、F＝m+f、γ＝2^5/3π^2/3a^2/3h^2/3E^-1/3F^-2/3σ₀，其中π是圆周率，同时记

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}={\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)}\right)}^3}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)}\right)}^3}})\\ -\mathrm{\&gamma;}(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v)\mathrm{\&gamma;}}{3(1+v)}\right)}^3}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v)\mathrm{\&gamma;}}{3(1+v)}\right)}^3}})\\ +\frac{\sqrt{2}(1-{\mathrm{\&alpha;}}^2)(1-3v)}{2(1-v)}\end{array}$

那么基于这个轴对称环形预应力薄膜变形问题的静力平衡分析，利用测量值F＝m+f，薄膜的最大挠度w_m按照以下三种情形进行计算确定：

情形①如果△＝0，那么薄膜的最大应力σ_m为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_m=\frac{a^{4/3}{E}^{1/3}{F}^{2/3}}{2^{5/3}{\mathrm{\&pi;}}^{2/3}{b}^2{h}^{2/3}}{\left(\right(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)}\right)}^3})}^{2/3}\\ +{(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)}\right)}^3})}^{2/3}-\frac{2(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)})\end{array};$

情形②如果△>0，那么薄膜的最大应力σ_m为

其中和的单位为弧度，和的值由公式

和

确定，其中

情形③如果△<0，那么薄膜的最大应力σ_m为

其中和的单位为弧度，和的值由公式

和

确定，其中

所有参量皆采用国际单位制。

Claims (1)

1.一种确定横向集中载荷下环形预应力薄膜最大应力的方法，其特征是：将外半径为a、内半径为b、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ₀的环形薄膜的内周边夹紧而外周边固定夹紧，在重量为m的内周边夹紧装置的中心处施加一个横向集中载荷f，准确测得内周边夹紧装置的重量m、以及所施加的横向集中载荷f，记α＝b/a、F＝m+f、γ＝2^5/3π^2/3a^2/3h^2/3E^-1/3F^-2/3σ₀，其中π是圆周率，同时记

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}={\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)}\right)}^3}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)}\right)}^3}})\\ -\mathrm{\&gamma;}(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v)\mathrm{\&gamma;}}{3(1+v)}\right)}^3}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v)\mathrm{\&gamma;}}{3(1+v)}\right)}^3}})\\ +\frac{\sqrt{2}(1-{\mathrm{\&alpha;}}^2)(1-3v)}{2(1-v)}\end{array},$

那么基于这个轴对称环形预应力薄膜变形问题的静力平衡分析，利用测量值F＝m+f，薄膜的最大应力σ_m按照以下三种情形进行计算确定：

情形①如果△＝0，那么薄膜的最大应力σ_m为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_m=\frac{a^{4/3}{E}^{1/3}{F}^{2/3}}{2^{5/3}{\mathrm{\&pi;}}^{2/3}{b}^2{h}^{2/3}}{\left(\right(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)}\right)}^3})}^{2/3}\\ +{(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\&alpha;}}^2}{1+v}\right)}^2+{\left(\frac{(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)}\right)}^3})}^{2/3}-\frac{2(1-v){\mathrm{\&gamma;\&alpha;}}^2}{3(1+v)})\end{array};$

情形②如果△>0，那么薄膜的最大应力σ_m为

其中和的单位为弧度，和的值由公式

和

确定，其中

情形③如果△<0，那么薄膜的最大应力σ_m为

其中和的单位为弧度，和的值由公式

和

确定，其中