CN111442985A - 一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大挠度的方法 - Google Patents

一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大挠度的方法 Download PDF

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何晓婷
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Abstract

本发明公开了一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大挠度的方法：对周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν，那么基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，就可以确定圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度wm。

Description

一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大挠度的方法
技术领域
本发明涉及一种确定横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的最大挠度的方法。
背景技术
横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形，在许多工程技术领域都有应用，例如，用来研究薄膜/基层系统的粘附能测量、以及研制各种仪器仪表和各类传感器等。从文献查新的结果来看，在求解圆形薄膜轴对称变形问题的过程中，有放弃通常所谓的薄膜小转角假设(即假设薄膜转角θ满足sinθ≈tanθ)、以提高计算精度的，例如发明专利“一种均布载荷下大转角圆薄膜最大挠度的确定方法”(专利号：ZL201510193793.8)。但是，在建立该力学问题的面内平衡方程时，忽略了薄膜挠度的影响，从而建立了一个近似的面内平衡方程d(rσr)/dr-σt＝0，并且在建立几何方程时选取了一个曲线元素且假设该元素变形前后的长度近似相等，从而建立了一个近似的几何方程er＝du/dr+1/2(dw/dr)2，其中，er表示圆形薄膜的径向应变，r表示圆形薄膜的径向坐标，σr和σt分别表示圆形薄膜的径向应力和环向应力，u和w分别表示圆形薄膜的径向位移和挠度。然而，当外部作用载荷较大、薄膜挠度较大时，面内平衡方程则需要考虑薄膜挠度的影响，而且几何方程中采用的曲线元素变形前后的长度近似相等的假设也不再成立，仍然采用近似的面内平衡方程和几何方程会使所获得的解析解产生较大的计算误差。为了获得一个具有较高计算精度的解析解，需要对该圆形薄膜轴对称变形问题进行更精细的静力平衡分析，获得更精确的面内平衡方程d(rσr)/dr-σt[1+(dw/dr)2]＝0和几何方程
Figure BDA0002425132660000011
并且在此基础上获得的解析解能够适用于外部作用载荷较大、薄膜挠度较大的情况，这无疑是一件非常有价值的工作，可以扩大横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的应用范围，这也正是本发明所要解决的技术问题。
发明内容
本发明致力于横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形问题的解析研究，基于更精细的静力平衡分析，得到了该轴对称变形问题较为精确的解析解，并在此基础上给出了一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大挠度的方法。
一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大挠度的方法：对周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν，基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，就可以得到所施加的载荷q与圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度wm之间的解析关系
Figure BDA0002425132660000021
其中，
Figure BDA0002425132660000022
Figure BDA0002425132660000023
Figure BDA0002425132660000024
Figure BDA0002425132660000025
Figure BDA0002425132660000031
Figure BDA0002425132660000041
Figure BDA0002425132660000042
而b0的值由方程
Figure BDA0002425132660000043
确定，其中，
Figure BDA0002425132660000051
Figure BDA0002425132660000052
Figure BDA0002425132660000053
Figure BDA0002425132660000054
Figure BDA0002425132660000061
Figure BDA0002425132660000071
Figure BDA0002425132660000081
d0＝b0，
Figure BDA0002425132660000082
Figure BDA0002425132660000083
Figure BDA0002425132660000084
Figure BDA0002425132660000091
Figure BDA0002425132660000101
Figure BDA0002425132660000111
Figure BDA0002425132660000121
这样，只要准确测得载荷q的值，就可以把圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度wm确定下来，其中，a、h、wm的单位均为毫米(mm)，E、q的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm2)，而ν、b0、b2、b4、b6、b8、b10、b12、c2、c4、c6、c8、c10、c12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12、以及Q均为无量纲的量。
附图说明
图1为横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的示意图，其中，1是轴对称变形后的圆形薄膜，2是夹紧装置，3是变形前的圆形薄膜，而a表示圆形薄膜的半径和夹紧装置的内半径，q表示横向均布载荷，wm表示圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度。
具体实施方式
下面结合具体案例对本发明的技术方案作进一步的说明：
如图1所示，对周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的半径a＝20mm、厚度h＝0.06mm、杨氏弹性模量E＝7.84N/mm2、泊松比ν＝0.47，测得载荷q＝0.1N/mm2，采用本发明所给出的方法，由方程
Figure BDA0002425132660000122
Figure BDA0002425132660000131
Figure BDA0002425132660000132
Figure BDA0002425132660000133
Figure BDA0002425132660000134
Figure BDA0002425132660000141
Figure BDA0002425132660000151
Figure BDA0002425132660000161
d0＝b0，
Figure BDA0002425132660000162
Figure BDA0002425132660000163
Figure BDA0002425132660000164
Figure BDA0002425132660000171
Figure BDA0002425132660000181
Figure BDA0002425132660000191
Figure BDA0002425132660000201
Figure BDA0002425132660000202
得到b0＝1.2896以及b2＝1.4191、b4＝0.8747、b6＝-0.8261、b8＝-1.6417、b10＝1.5149、b12＝5.0821、d0＝1.2896、d2＝0.7530、d4＝0.5175、d6＝-0.1833、d8＝-0.7434、d10＝0.1217、d12＝1.8698，再由方程
Figure BDA0002425132660000203
其中，
Figure BDA0002425132660000204
Figure BDA0002425132660000205
Figure BDA0002425132660000206
Figure BDA0002425132660000211
Figure BDA0002425132660000212
Figure BDA0002425132660000221
确定出该圆形薄膜在横向均布载荷q＝0.1N/mm2作用下的最大挠度wm＝33.5811mm。
为了反映采用近似的面内平衡方程和几何方程共同带来的误差，以体现本发明的有益效果，申请人也采用之前的方法(“一种均布载荷下大转角圆薄膜最大挠度的确定方法”，专利号：ZL201510193793.8)，给出了该圆形薄膜在横向均布载荷q＝0.1N/mm2作用下的最大挠度wm＝22.7465mm，而这两种方法计算出的薄膜最大挠度的误差约为32.26％，这个误差已经远超过工程结构设计所允许的计算误差范围(即小于15％)。由于本发明计算过程中不存在近似的面内平衡方程和几何方程带来的计算误差，因此，本发明所给出的方法能够适用于薄膜转角θ较大、挠度w较大的情形，从而消除了所施加的横向载荷q不能过大这一限制，其技术效果是明显的。

Claims (1)

1.一种确定横向均布载荷下圆形薄膜最大挠度的方法，其特征在于：对周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν，那么基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，由方程
Figure FDA0002425132650000011
Figure FDA0002425132650000012
Figure FDA0002425132650000013
Figure FDA0002425132650000014
Figure FDA0002425132650000021
Figure FDA0002425132650000031
Figure FDA0002425132650000041
Figure FDA0002425132650000051
d0＝b0，
Figure FDA0002425132650000052
Figure FDA0002425132650000053
Figure FDA0002425132650000054
Figure FDA0002425132650000061
Figure FDA0002425132650000071
Figure FDA0002425132650000081
Figure FDA0002425132650000091
Figure FDA0002425132650000092
确定b0以及b2、b4、b6、b8、b10、b12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12的值，最后，由方程
Figure FDA0002425132650000093
其中，
Figure FDA0002425132650000094
Figure FDA0002425132650000095
Figure FDA0002425132650000096
Figure FDA0002425132650000101
Figure FDA0002425132650000102
Figure FDA0002425132650000111
确定圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度wm，其中，a、h、wm的单位均为毫米(mm)，E、q的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm2)，而ν、b0、b2、b4、b6、b8、b10、b12、c2、c4、c6、c8、c10、c12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12、以及Q均为无量纲的量。
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