CN103968801A - 一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大挠度值的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大挠度值的方法：将半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ₀的圆薄膜，在其周圈固定夹紧，并对其施加一个横向均布载荷q，那么基于这个圆薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷测量值q，则可以准确确定出薄膜的最大挠度值w_m。

Description

一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大挠度值的方法

技术领域

本发明涉及均布载荷作用下周边夹紧的预应力圆薄膜最大挠度值的确定方法。

背景技术

薄膜结构在许多工程领域都有广泛的应用，由于薄膜很薄，因而载荷下会呈现出较大的挠度，其变形问题通常属于几何非线性问题，这些非线性变形问题的精确解析求解，通常十分困难，多数情况下仅能给出数值计算结果。然而，对于许多诸如膜片式仪器、仪表等设计问题，必须基于这些薄膜问题的精确解析解来进行设计，而数值计算结果通常难于满足这一要求。

均布载荷作用下周边夹紧的预应力圆薄膜的加载构造，可以用来研制各种传感器，并且在薄膜/基层体系的力学性能测试中也有重要应用。事实上，薄膜结构制作成型后，由于温度变化、湿度变化、制作工艺等诸多因素，多数情形下，会造成制作成型后的薄膜中存在着一定的拉伸或者压缩初始应力(即预应力)，预应力的存在改变了薄膜的力学行为。然而目前带有预应力的圆薄膜问题并没有被解析求解，但如果不考虑预应力的影响，必定会对仪器、仪表设计以及力学性能测试等问题带来精度损失。

发明内容

本发明，针对工程应用问题的实际需求，致力于均布载荷作用下周边夹紧的预应力圆薄膜问题的精确解析求解，给出了薄膜最大挠度值的确定方法，主要发明内容如下：

如图1所示，将半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ₀的圆薄膜，在其周圈固定夹紧，并对其施加一个横向均布载荷q，那么基于这个圆薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，容易得到薄膜的最大挠度值w_m与载荷值q的关系为：

$w_m={\left(\frac{a^{4}q}{2\mathrm{hE}}\right)}^{1/3}{c}^{1/3}g\left(c\right),$

其中g(c)为：

$\begin{array}{c}g\left(c\right)=1+\frac{1}{4}c+\frac{5}{36}{c}^2+\frac{55}{576}{c}^3+\frac{7}{96}{c}^4+\frac{205}{3456}{c}^5+\frac{17051}{338688}{c}^6+\frac{2864485}{65028096}{c}^7+\\ \frac{103863265}{2633637888}{c}^8+\frac{27047983}{752467968}{c}^9+\frac{42367613873}{1274680737792}{c}^{10}+\frac{14561952041}{468250066944}{c}^{11}\end{array},$

而c的值由方程

${2\mathrm{cf}}^{\′}\left(c\right)-f\left(c\right)(\mathrm{\ν}-1)+(\mathrm{\ν}-1)\frac{2^{5/3}{h}^{2/3}{c}^{1/3}}{q^{2/3}{q}^{2/3}{E}^{1/3}}{\mathrm{\σ}}_0=0$

确定,式中f(c)和f′(c)分别为：

$\begin{array}{c}f\left(c\right)=1-\frac{1}{2}c-\frac{1}{6}{c}^2-\frac{13}{144}{c}^3-\frac{17}{288}{c}^4-\frac{37}{864}{c}^5-\frac{1205}{36288}{c}^6-\frac{219241}{8128512}{c}^7-\\ \frac{6634069}{292626432}{c}^8-\frac{51523763}{2633637888}{c}^9-\frac{998796305}{57940033536}{c}^{10}-\frac{118156790413}{7648084426752}{c}^{11}\end{array}$

和

$\begin{array}{c}{f}^{\′}\left(c\right)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}c-\frac{13}{48}{c}^2-\frac{17}{72}{c}^3-\frac{185}{864}{c}^4-\frac{1205}{6048}{c}^5-\frac{219241}{1161216}{c}^6-\\ \frac{6634069}{35678304}{c}^7-\frac{51523763}{292626432}{c}^8-\frac{4993981525}{28970016768}{c}^9-\frac{118156790413}{695280402432}{c}^{10}\end{array}.$

这样，只要准确测量出所施加的横向均布载荷值q，就可以准确确定出薄膜的最大挠度值w_m。

附图说明

图1为均布载荷作用下周边夹紧的预应力圆薄膜的加载构造示意图，在图1中，1－圆薄膜，2－夹紧装置，其中的符号为，a表示圆薄膜的半径，r表示径向坐标，w(r)表示点r处的横向坐标，q表示横向均布载荷，w_m表示圆薄膜的最大挠度。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的详细说明：

如图1所示，将半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ₀的圆薄膜，在其周圈固定夹紧，并对其施加一个横向均布载荷q，那么基于这个圆薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷测量值q，薄膜的最大挠度值w_m可以由以下公式确定：

$w_m={\left(\frac{a^{4}q}{2\mathrm{hE}}\right)}^{1/3}{c}^{1/3}g\left(c\right),$

其中g(c)为：

$\begin{array}{c}g\left(c\right)=1+\frac{1}{4}c+\frac{5}{36}{c}^2+\frac{55}{576}{c}^3+\frac{7}{96}{c}^4+\frac{205}{3456}{c}^5+\frac{17051}{338688}{c}^6+\frac{2864485}{65028096}{c}^7+\\ \frac{103863265}{2633637888}{c}^8+\frac{27047983}{752467968}{c}^9+\frac{42367613873}{1274680737792}{c}^{10}+\frac{14561952041}{468250066944}{c}^{11}\end{array},$

而c的值由方程

${2\mathrm{cf}}^{\′}\left(c\right)-f\left(c\right)(\mathrm{\ν}-1)+(\mathrm{\ν}-1)\frac{2^{5/3}{h}^{2/3}{c}^{1/3}}{q^{2/3}{q}^{2/3}{E}^{1/3}}{\mathrm{\σ}}_0=0$

确定,式中f(c)和f′(c)分别为：

$\begin{array}{c}f\left(c\right)=1-\frac{1}{2}c-\frac{1}{6}{c}^2-\frac{13}{144}{c}^3-\frac{17}{288}{c}^4-\frac{37}{864}{c}^5-\frac{1205}{36288}{c}^6-\frac{219241}{8128512}{c}^7-\\ \frac{6634069}{292626432}{c}^8-\frac{51523763}{2633637888}{c}^9-\frac{998796305}{57940033536}{c}^{10}-\frac{118156790413}{7648084426752}{c}^{11}\end{array}$

和

$\begin{array}{c}{f}^{\′}\left(c\right)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}c-\frac{13}{48}{c}^2-\frac{17}{72}{c}^3-\frac{185}{864}{c}^4-\frac{1205}{6048}{c}^5-\frac{219241}{1161216}{c}^6-\\ \frac{6634069}{35678304}{c}^7-\frac{51523763}{292626432}{c}^8-\frac{4993981525}{28970016768}{c}^9-\frac{118156790413}{695280402432}{c}^{10}\end{array}.$

所有参量皆采用国际单位制。

Claims (1)

1.一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大挠度值的方法，其特征是：将半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ₀的圆薄膜，在其周圈固定夹紧，并对其施加一个横向均布载荷q，那么基于这个圆薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷测量值q，薄膜的最大挠度值w_m可以由以下公式确定：

$w_m={\left(\frac{a^{4}q}{2\mathrm{hE}}\right)}^{1/3}{c}^{1/3}g\left(c\right),$

其中g(c)为：

$\begin{array}{c}g\left(c\right)=1+\frac{1}{4}c+\frac{5}{36}{c}^2+\frac{55}{576}{c}^3+\frac{7}{96}{c}^4+\frac{205}{3456}{c}^5+\frac{17051}{338688}{c}^6+\frac{2864485}{65028096}{c}^7+\\ \frac{103863265}{2633637888}{c}^8+\frac{27047983}{752467968}{c}^9+\frac{42367613873}{1274680737792}{c}^{10}+\frac{14561952041}{468250066944}{c}^{11}\end{array},$

而c的值由方程

${2\mathrm{cf}}^{\′}\left(c\right)-f\left(c\right)(\mathrm{\ν}-1)+(\mathrm{\ν}-1)\frac{2^{5/3}{h}^{2/3}{c}^{1/3}}{q^{2/3}{q}^{2/3}{E}^{1/3}}{\mathrm{\σ}}_0=0$

确定,式中f(c)和f′(c)分别为：

$\begin{array}{c}f\left(c\right)=1-\frac{1}{2}c-\frac{1}{6}{c}^2-\frac{13}{144}{c}^3-\frac{17}{288}{c}^4-\frac{37}{864}{c}^5-\frac{1205}{36288}{c}^6-\frac{219241}{8128512}{c}^7-\\ \frac{6634069}{292626432}{c}^8-\frac{51523763}{2633637888}{c}^9-\frac{998796305}{57940033536}{c}^{10}-\frac{118156790413}{7648084426752}{c}^{11}\end{array}$

和

$\begin{array}{c}{f}^{\′}\left(c\right)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}c-\frac{13}{48}{c}^2-\frac{17}{72}{c}^3-\frac{185}{864}{c}^4-\frac{1205}{6048}{c}^5-\frac{219241}{1161216}{c}^6-\\ \frac{6634069}{35678304}{c}^7-\frac{51523763}{292626432}{c}^8-\frac{4993981525}{28970016768}{c}^9-\frac{118156790413}{695280402432}{c}^{10}\end{array}.$