CN111442976B - 横向均布载荷作用下圆形薄膜最大挠度的确定方法 - Google Patents

横向均布载荷作用下圆形薄膜最大挠度的确定方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种横向均布载荷作用下圆形薄膜最大挠度的确定方法：用一个内半径为a的夹紧装置将一个厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的薄膜固定夹紧，从而形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆形薄膜结构，并对该圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使圆形薄膜产生轴对称变形，那么基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，就可以确定圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度wm。

Description

横向均布载荷作用下圆形薄膜最大挠度的确定方法
技术领域
本发明涉及一种横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的最大挠度的确定方法。
背景技术
横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形，在许多工程技术领域都有应用，例如，用来研究薄膜/基层系统的粘附能测量、以及研制各种仪器仪表和各类传感器等。从文献查新的结果来看，在求解圆形薄膜轴对称变形问题的过程中，有放弃通常所谓的薄膜小转角假设(即假设薄膜转角θ满足sinθ≈tanθ)、以提高计算精度的，例如发明专利“一种均布载荷下大转角圆薄膜最大挠度的确定方法”(专利号：ZL201510193793.8)，但在建立该力学问题的几何方程时，采用了一些假设从而建立了一个近似的几何方程er＝du/dr+1/2(dw/dr)2(er表示圆形薄膜的径向应变，r表示圆形薄膜的径向坐标，u和w分别表示圆形薄膜的径向位移和挠度)，其中假设在圆形薄膜几何中面上选取的曲线元素其长度在变形前后近似相等，然而，当外部作用载荷较大、薄膜挠度较大时，该假设不再适用，因此基于这个近似的几何方程所获得的解析解只能用于外部作用载荷不大的情形。为了使解析解能够适用于外部作用载荷较大、薄膜挠度较大的情形，以扩大横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的应用范围，我们放弃了上述假设并建立了一个较为精确的几何方程
Figure BDA0002408451500000011
基于这个几何方程得到了该轴对称变形问题较为精确的解析解，这正是本发明所要解决的技术问题。
发明内容
本发明致力于横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形问题的解析研究，基于更精细的静力平衡分析，得到了该轴对称变形问题较为精确的解析解，并在此基础上给出了横向均布载荷作用下圆形薄膜最大挠度的确定方法。
横向均布载荷作用下圆形薄膜最大挠度的确定方法：用一个内半径为a的夹紧装置将一个厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的薄膜固定夹紧，从而形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆形薄膜结构，并对该圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使圆形薄膜产生轴对称变形，基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，就可以得到所施加的载荷q与圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度wm之间的解析关系
Figure BDA0002408451500000012
其中，
Figure BDA0002408451500000021
Figure BDA0002408451500000022
Figure BDA0002408451500000023
Figure BDA0002408451500000024
Figure BDA0002408451500000025
Figure BDA0002408451500000031
Figure BDA0002408451500000032
而b0的值由方程
Figure BDA0002408451500000033
确定，其中，
Figure BDA0002408451500000034
Figure BDA0002408451500000035
Figure BDA0002408451500000041
Figure BDA0002408451500000042
Figure BDA0002408451500000043
Figure BDA0002408451500000051
d0＝b0，
Figure BDA0002408451500000052
Figure BDA0002408451500000061
Figure BDA0002408451500000062
Figure BDA0002408451500000063
Figure BDA0002408451500000064
Figure BDA0002408451500000071
这样，只要准确测得载荷q的值，就可以把圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度wm确定下来，其中，a、h、wm的单位均为毫米(mm)，E、q的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm2)，而ν、b0、b2、b4、b6、b8、b10、b12、c2、c4、c6、c8、c10、c12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12、以及Q均为无量纲的量。
附图说明
图1为横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的示意图，其中，1是轴对称变形后的圆形薄膜，2是夹紧装置，3是周边固定夹紧的圆形薄膜的几何中面，而a表示圆形薄膜的半径和夹紧装置的内半径，q表示横向均布载荷，wm表示圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度。
具体实施方式
下面结合具体案例对本发明的技术方案作进一步的说明：
如图1所示，用一个内半径a＝20mm的夹紧装置将一个厚度h＝0.06mm、杨氏弹性模量E＝7.84N/mm2、泊松比ν＝0.47的薄膜固定夹紧，从而形成一个半径a＝20mm的周边固定夹紧的圆形薄膜结构，并对该圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，准确测得载荷q＝0.1N/mm2，采用本发明所给出的方法，由方程
Figure BDA0002408451500000081
Figure BDA0002408451500000082
Figure BDA0002408451500000083
Figure BDA0002408451500000084
Figure BDA0002408451500000091
Figure BDA0002408451500000092
Figure BDA0002408451500000101
d0＝b0，
Figure BDA0002408451500000102
Figure BDA0002408451500000111
Figure BDA0002408451500000112
Figure BDA0002408451500000113
Figure BDA0002408451500000114
Figure BDA0002408451500000121
Figure BDA0002408451500000122
确定出b0＝1.788313以及b2＝-0.0453433、b4＝-0.0233881、b6＝-0.0183301、b8＝-0.0173942、b10＝-0.0184648、b12＝-0.0211203、d0＝1.788313、d2＝-0.136030、d4＝-0.116940、d6＝-0.128310、d8＝-0.156547、d10＝-0.203113、d12＝-0.274564，再由方程
Figure BDA0002408451500000131
其中，
Figure BDA0002408451500000132
Figure BDA0002408451500000133
Figure BDA0002408451500000134
Figure BDA0002408451500000135
Figure BDA0002408451500000141
Figure BDA0002408451500000151
确定出该圆形薄膜在横向均布载荷q＝0.1N/mm2作用下的最大挠度wm＝29.2721mm。
为了反映采用近似的几何方程所带来的误差，以体现本发明的有益效果，申请人也采用之前的方法(“一种均布载荷下大转角圆薄膜最大挠度的确定方法”，专利号：ZL201510193793.8)，给出了该圆形薄膜在横向均布载荷q＝0.1N/mm2作用下的最大挠度wm＝22.7465mm，而这两种方法计算出的薄膜最大挠度的误差约为28.69％，这个误差已经远超过工程结构设计所允许的计算误差范围(即小于15％)。由于本发明在求解该力学问题时不存在近似的几何方程带来的计算误差，因此，本发明所采用的解析解能够适用于薄膜转角θ较大、挠度w较大的情形，从而消除了所施加的横向载荷q不能过大这一限制，其技术效果是明显的。

Claims (1)

1.横向均布载荷作用下圆形薄膜最大挠度的确定方法，其特征在于：用一个内半径为a的夹紧装置将一个厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的薄膜固定夹紧，从而形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆形薄膜结构，并对该圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使圆形薄膜产生轴对称变形，那么基于该圆形薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，由方程
Figure FDA0002408451490000011
Figure FDA0002408451490000012
Figure FDA0002408451490000013
Figure FDA0002408451490000014
Figure FDA0002408451490000015
Figure FDA0002408451490000021
Figure FDA0002408451490000031
d0＝b0，
Figure FDA0002408451490000032
Figure FDA0002408451490000041
Figure FDA0002408451490000042
Figure FDA0002408451490000043
Figure FDA0002408451490000044
Figure FDA0002408451490000051
Figure FDA0002408451490000052
确定b0以及b2、b4、b6、b8、b10、b12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12的值，最后，由方程
Figure FDA0002408451490000061
其中，
Figure FDA0002408451490000062
Figure FDA0002408451490000063
Figure FDA0002408451490000064
Figure FDA0002408451490000065
Figure FDA0002408451490000066
Figure FDA0002408451490000071
确定圆形薄膜轴对称变形后的最大挠度wm，其中，a、h、wm的单位均为毫米(mm)，E、q的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm2)，而ν、b0、b2、b4、b6、b8、b10、b12、c2、c4、c6、c8、c10、c12、d0、d2、d4、d6、d8、d10、d12、以及Q均为无量纲的量。
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