CN109991083B - 受弹性限制的圆薄膜较大转角情形下的最大应力确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了受弹性限制的圆薄膜较大转角情形下的最大应力确定方法：用一个内半径为a的夹紧装置将杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、厚度为h、单位面积自重为q₀的最初平坦的薄膜固定夹紧，从而形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆薄膜结构，并对圆薄膜横向施加一个足够大的均布载荷q，以便让圆薄膜在产生轴对称变形的同时能产生一个较大的薄膜转角、以至于轴对称变形后的圆薄膜的最大挠度达到w_m，而轴对称变形的圆薄膜又推动一块表面光滑的、平行于最初平坦的薄膜所在的平面的、与圆薄膜共轴线的、半径为a的刚性圆板平行移动了w_m，而平行移动的刚性圆板又把一个处于原始长度L的、刚度系数为k的弹簧压缩了w_m，并且轴对称变形的圆薄膜与刚性圆板之间的相互作用的圆形接触区域的半径最终稳定在b上，那么在忽略了刚性圆板的自重后，基于圆薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，就可以确定圆薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m。

Description

受弹性限制的圆薄膜较大转角情形下的最大应力确定方法

技术领域

本发明涉及一种横向均布载荷作用下挠度受弹性限制的周边固定夹紧的圆形薄膜在较大薄膜转角情况下的最大应力的确定方法。

背景技术

横向均布载荷作用下挠度受弹性限制的周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形，在许多工程技术领域都有应用，例如，用来研究薄膜/基层系统的粘附能测量、以及用来研制各种仪器仪表及各类传感器。然而，现有横向均布载荷作用下圆形薄膜轴对称变形问题的解析解，都是在假设薄膜转角θ较小的条件下获得的，即圆形薄膜在横向均布载荷作用下所产生的薄膜转角θ比较小、以至于

能够被近似满足，这个假设通常被称为“小转角假设”。因此，在小转角假设下所获得的解析解只适用于薄膜转角较小的情况(这种情形对应于所施加的横向均布载荷较小的情况)，例如，已公开的发明专利“最大挠度受弹性限制下圆形薄膜最大应力的确定方法”(专利申请号：CN201811566941)。但事实上，由于sinθ≠tanθ，所以，无论薄膜转角θ有多么小(即无论所施加的横向均布载荷有多么小)，因为

因而这个所谓的小转角假设自身都会产生误差，并且，随着所施加的横向均布载荷的不断增加，薄膜的转角θ也会不断地增大，因此这个所谓的小转角假设对解析解计算精度的影响也就会越来越大。而大多数工程技术应用领域，通常都希望解析解能够有一个尽量高的计算精度，例如，在结构工程领域，计算误差通常要求不大于15％，而在精密测量仪器设计领域，计算误差通常要求不大于1％。但在横向均布载荷作用下，许多柔性薄膜很容易产生一个大于20°的薄膜转角，而sin20°＝0.34202，tan20°＝0.36397，那么此时小转角假设自身的误差((tan20°-sin20°)/sin20°)就已经超过6％了，并且，在解析解的推导过程中通常还会存在着一些误差放大的因素，因而此时这个小转角假设对解析解计算精度的影响远远不止6％的误差。

显而易见，如果能够彻底消除薄膜转角θ对计算误差的影响，即彻底放弃薄膜小转角假设，这无疑是一件非常有价值的工作，可以扩大横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的应用范围，这也正是本发明所要解决的技术问题。

发明内容

本发明致力于一种横向均布载荷作用下挠度受弹性限制的周边固定夹紧的圆形薄膜在较大薄膜转角情况下的轴对称变形问题的解析研究，在解析求解的过程中彻底放弃了薄膜小转角假设，即放弃

的假设条件，让

从而彻底消除了小转角假设带来的计算误差，并且基于所获得的解析解，给出了一种横向均布载荷作用下挠度受弹性限制的圆形薄膜在较大薄膜转角情况下的最大应力的确定方法。

受弹性限制的圆薄膜较大转角情形下的最大应力确定方法：用一个内半径为a的夹紧装置将杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、厚度为h、单位面积自重为q₀的最初平坦的薄膜固定夹紧，从而形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆薄膜结构，并对圆薄膜横向施加一个足够大的均布载荷q，以便让圆薄膜在产生轴对称变形的同时能产生一个较大的薄膜转角、以至于轴对称变形后的圆薄膜的最大挠度达到w_m，而轴对称变形的圆薄膜又推动一块表面光滑的、平行于最初平坦的薄膜所在的平面的、与圆薄膜共轴线的、半径为a的刚性圆板平行移动了w_m，而平行移动的刚性圆板又把一个处于原始长度L的、刚度系数为k的弹簧压缩了w_m，并且轴对称变形的圆薄膜与刚性圆板之间的相互作用的圆形接触区域的半径最终稳定在b上，那么在忽略了刚性圆板的自重后，基于圆薄膜轴对称变形的静力平衡分析，就可以得到所施加的均布载荷q与圆薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m之间的解析关系

其中，

e＝(1+2α-3α²)/4，

而b、c₀、c₁的值由方程

和

确定，其中，

这样，只要准确测得所施加的均布载荷q的值，就可以把圆薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m确定下来，其中，参量a、b、h、L、w_m的单位均为毫米(mm)，参量E、q₀、q、σ_m的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm²)，参量k的单位为牛顿每毫米(N/mm)，而参量ν、c₀、c₁、c₂、c₃、c₄、c₅、c₆、d₁、d₂、d₃、d₄、d₅、d₆均为无量纲量。

附图说明

图1为横向均布载荷作用下挠度受弹性限制的周边固定夹紧的圆形薄膜的轴对称变形的示意图，其中，1是轴对称变形后的圆薄膜，2是刚性圆板，3是弹簧，4是夹紧装置，5是支座，6表示最初平坦的圆薄膜，而a表示最初平坦的圆薄膜的半径、刚性圆板的半径、以及夹紧装置的内半径，b表示轴对称变形后的圆薄膜与刚性圆板之间的接触半径，L表示弹簧的原始长度，q表示横向均布载荷，w_m表示圆薄膜轴对称变形后的最大挠度、刚性圆板被平行移动的距离、以及弹簧被压缩的长度。

具体实施方式

下面结合图1对本发明的技术方案作进一步的说明：

如图1所示，用一个内半径a＝50mm的夹紧装置将杨氏弹性模量E＝7.84N/mm²、泊松比ν＝0.47、厚度h＝1mm、单位面积自重q₀＝7.64×10^-7N/mm²的最初平坦的薄膜固定夹紧，从而形成一个半径a＝50mm的周边固定夹紧的圆薄膜结构，并对圆薄膜横向施加一个足够大的均布载荷q，以便让圆薄膜在产生轴对称变形的同时能产生一个较大的薄膜转角、以至于轴对称变形后的圆薄膜的最大挠度达到w_m，而轴对称变形的圆薄膜又推动一块表面光滑的、平行于最初平坦的薄膜所在的平面的、与圆薄膜共轴线的、半径a＝50mm的刚性圆板平行移动了w_m，而平行移动的刚性圆板又把一个处于原始长度L＝50mm的、刚度系数k＝1N/mm的弹簧压缩了w_m，并且轴对称变形的圆薄膜与刚性圆板之间的相互作用的圆形接触区域的半径最终稳定在b上，测得载荷q＝0.1N/mm²，那么采用本发明所给出的方法，由以下方程

e＝(1+2α-3α²)/4，

得b＝8.892100mm、c₀＝0.376255、c₁＝-0.042833、以及c₂＝-0.077647、c₃＝-0.055909、c₄＝-0.067034、c₅＝-0.128373、c₆＝-0.099899、d₁＝-0.508975、d₂＝-0.689728、d₃＝-0.419248、d₄＝-0.695169、d₅＝-0.856442、d₆＝-1.617967，

最后，由方程

得到圆薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m＝0.604982N/mm²。

Claims (1)

1.受弹性限制的圆薄膜较大转角情形下的最大应力确定方法，其特征在于：用一个内半径为a的夹紧装置将杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、厚度为h、单位面积自重为q₀的最初平坦的薄膜固定夹紧，从而形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆薄膜结构，并对圆薄膜横向施加一个足够大的均布载荷q，以便让圆薄膜在产生轴对称变形的同时能产生一个较大的薄膜转角、以至于轴对称变形后的圆薄膜的最大挠度达到w_m，而轴对称变形的圆薄膜又推动一块表面光滑的、平行于最初平坦的薄膜所在的平面的、与圆薄膜共轴线的、半径为a的刚性圆板平行移动了w_m，而平行移动的刚性圆板又把一个处于原始长度L的、刚度系数为k的弹簧压缩了w_m，并且轴对称变形的圆薄膜与刚性圆板之间的相互作用的圆形接触区域的半径最终稳定在b上，那么在忽略了刚性圆板的自重后，基于圆薄膜轴对称变形问题的静力平衡分析，利用载荷q的测量值，由以下方程

e＝(1+2α-3α²)/4，

确定参量b、c₀、c₁、以及c₂、c₃、c₄、c₅、c₆、d₁、d₂、d₃、d₄、d₅、d₆的值，最后，由方程

确定圆薄膜轴对称变形后的最大应力σ_m，其中，参量a、b、h、L、w_m的单位均为毫米(mm)，参量E、q₀、q、σ_m的单位均为牛顿每平方毫米(N/mm²)，参量k的单位为牛顿每毫米(N/mm)，而参量ν、c₀、c₁、c₂、c₃、c₄、c₅、c₆、d₁、d₂、d₃、d₄、d₅、d₆均为无量纲量。

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