CN104749033A - 一种均布载荷下大转角圆薄膜最大应力的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种均布载荷下大转角圆薄膜最大应力的确定方法：用一个内半径为 a的夹紧装置,将杨氏弹性模量为E、泊松比为V、厚度为h的无预应力的薄膜固定夹紧，形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆薄膜结构，并对圆薄膜横向施加一个均布载荷q，使薄膜变形后的转角出现大于20^o的情形，那么基于这个轴对称圆薄膜静力平衡问题的精确分析，利用载荷测量值q，则可以确定出薄膜变形后的最大应力σ_m。

Description

一种均布载荷下大转角圆薄膜最大应力的确定方法

技术领域

本发明涉及均布载荷作用下周边固定夹紧的大转角圆薄膜最大应力的确定方法。

背景技术

圆薄膜结构在许多技术领域都有应用，例如膜片式仪器、仪表等设计问题，以及薄膜/基层体系力学性能的测试问题等等。然而迄今为止，均布载荷作用下周边固定夹紧的圆薄膜静力平衡问题的解析解，都是在薄膜转角很小的假设条件下获得的，例如本申请人之前申报的发明专利“一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大应力值的方法”(专利申请号：201410238396.3)中所采用的预应力圆薄膜问题的解析解，以及著名的Hencky解(即没有预应力时圆薄膜问题的解析解)，这些解都是在假设施加横向载荷q的过程中薄膜转角θ近似满足sinθ＝tanθ的条件下获得的，这一假设通常被称为薄膜小转角假设。显而易见，只有在薄膜转角θ很小的情形下，才能有近似条件的成立，因而现有的方法，都只能用于薄膜转角θ较小的情形，而不适用于薄膜转角θ较大的情形，这也就是说，目前对于较大转角情形时的圆薄膜，还没有办法较为准确地确定出薄膜的最大应力σ_m！

事实上，薄膜的转角θ是随着所施加的横向载荷q增加而不断增大的。显而易见，由于因此无论薄膜转角θ有多么小(即无论所施加的横向载荷q有多么小)，因为sinθ≠tanθ，所以薄膜小转角假设都要带来一定的计算误差。例如当θ＝20°时，sinθ＝0.34202，而tanθ＝0.36397，因此如果采用sinθ＝tanθ的假设(即薄膜小转角假设)，那么所采用的假设的自身误差((tanθ-sinθ)/sinθ)就已经超过了6％，由于在求解的推导过程中通常存在着误差放大的因素，因而对于圆薄膜最大应力σ_m的计算而言，小转角假设所带来的计算误差就已经超过了15％，这个误差对精密测量仪器设计而言通常是不可以接受的。一般而言，工程结构的计算误差也通常要求不大于15％。因此说，基于薄膜小转角假设的现有方法，不能用于转角θ大于20°情形时的圆薄膜最大应力σ_m确定！

应该指出的是，如果要满足近似条件那么就必须要限制所施加的横向载荷q不能过大，这也就意味着，将薄膜小转角假设条件下的解析解用于解决实际技术问题，存在着所施加的横向载荷q不能过大的限制条件，只不过，不同的技术领域对误差的要求不同，所对应的横向载荷q的许允值不同而已，毫无疑问，这一限制条件是许多技术应用领域所不希望的。实际上，那些较薄、较柔软的薄膜，横向载荷下很容易呈现出较大的转角，还有像橡胶等一类的薄膜，它们的杨氏弹性模量值通常很小(橡胶的杨氏弹性模量值约为7.84MPa)，由于这类薄膜具有较大的变形能力，因而很小的横向载荷就可以使薄膜呈现出较大的转角。

然而，如果能够彻底消除薄膜转角θ对计算误差的影响，即彻底放弃薄膜小转角假设，从而彻底消除横向载荷q不能过大的限制条件，为大转角薄膜问题提供解决方案，这无疑是一件非常有价值的工作，这也正是本发明所要解决的技术问题。

发明内容

本发明，致力于均布载荷作用下周边固定夹紧的圆薄膜问题的精确解析解研究，在解析解的求解过程中彻底放弃了薄膜小转角假设，即放弃sinθ＝tanθ的假设条件，让从而彻底消除了薄膜转角θ对计算误差的影响，进而给出了适用于均布载荷下大转角圆薄膜最大应力σ_m的确定方法，主要发明内容如下：

一种均布载荷下大转角圆薄膜最大应力的确定方法，用一个内半径为a的夹紧装置,将杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、厚度为h的无预应力的薄膜固定夹紧，形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆薄膜结构，并对圆薄膜横向施加一个均布载荷q，基于这个轴对称圆薄膜静力平衡问题的精确分析，就会得到薄膜变形后的最大应力σ_m与载荷q的解析关系为其中c的值由方程ν＝2cf′(c)/f(c)+1确定,式中函数f(c)和f′(c)分别为：

$\begin{array}{c}f\left(c\right)=1-\frac{1}{2}c-\frac{1}{6}(1+2\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}})c^2-\frac{1}{144}(13+56\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}\\ +48\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}})c^3-\frac{1}{1440}(85+584\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}+1104\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}}\\ +1152\frac{a^2{q}^2}{h^2{E}^{2}c})c^4-\frac{1}{21600}(925+8904\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}+27104\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}}\\ +62592\frac{a^2{q}^2}{h^2{E}^{2}c}+23040\×\frac{2^{1/3}{a}^{8/3}{q}^{8/3}}{h^{8/3}{E}^{8/3}{c}^{4/3}})c^5-\frac{1}{907100}(30125+377688\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}\\ +1619968\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}}+6038784\frac{a^2{q}^2}{h^2{E}^{2}c}4907520\×\frac{z^{1/3}{a}^{8/3}{q}^{8/3}}{h^{8/3}{E}^{8/3}{c}^{4/3}}\\ +1382400\×\frac{2^{2/3}{a}^{10/3}{q}^{10/3}}{h^{10/3}{E}^{10/3}{c}^{5/3}})c^6-\frac{1}{203212800}(5481025+85400640\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}\\ +478992416\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}}+2520947712\frac{a^2{q}^2}{h^2{E}^{2}c}+3305599488\×\frac{2^{2/3}{a}^{8/3}{q}^{8/3}}{h^{8/3}{E}^{8/3}{c}^{4/3}}\\ +2047057920\×\frac{2^{2/3}{a}^{10/3}{q}^{10/3}}{h^{10/3}{E}^{10/3}{c}^{5/3}}+928972800\frac{a^4{q}^4}{h^4{E}^4{c}^2})c^7\end{array}$

和

这样，只要准确测量出所施加的横向均布载荷q，就可以确定出薄膜变形后的最大应力σ_m。

相比现有技术，本发明具有如下有益效果：由于本发明彻底放弃了薄膜小转角假设，因此彻底消除了薄膜转角θ对计算误差的影响，因而本发明的方法不仅适用于薄膜转角θ大于20°的情形,而且也适用于薄膜转角θ小于20°的情形,从而也就不存在对所施加的横向均布载荷q大小的限制条件，这给膜片式精密仪器、仪表等设计应用提供了方便，这是本方法的创新之处。

应该指出，本发明的方法只针对无预应力的圆薄膜问题，而本申请人之前的方法(“一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大应力值的方法”，专利申请号：201410238396.3)尽管采用了薄膜小转角假设，但可以解决小转角情形下有预应力的圆薄膜问题。

附图说明

图1为均布载荷作用下周边固定夹紧的圆薄膜的加载构造示意图，在图1中，1－圆薄膜，2－夹紧装置，其中的符号为，a表示夹紧装置的内半径和圆薄膜的半径，r表示径向坐标，w(r)表示点r处的横向坐标，q表示横向均布载荷，w_m表示圆薄膜的最大挠度，θ表示薄膜变形后的转角。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的详细说明：

如图1所示，用一个内半径a＝20mm的夹紧装置,将杨氏弹性模量E＝7.84MPa、泊松比ν＝0.47、厚度h＝0.06mm的无预应力的橡胶薄膜固定夹紧，形成一个半径a＝20mm的周边固定夹紧的圆薄膜结构，对圆薄膜横向施加均布载荷q，并让所施加的均布载荷q从0.01MPa缓慢增加到0.1MPa，采用本发明所给出的方法，可以确定出该圆形橡胶薄膜在横向均布载荷q作用下的最大应力σ_m，如表1所示。

在表1中，转角θ的数据是r＝10mm处的薄膜转角值(度)，此外，为了反映采用薄膜小转角假设所带来的误差，以便体现本发明的有益效果，本申请人也采用之前的方法(“一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大应力值的方法”，专利申请号：201410238396.3，令其中的预应力σ₀＝0即为无预应力的情形)，给出了该圆形橡胶薄膜在对应的横向均布载荷q作用下的最大应力σ_m。

从表1可以看到，之前的方法由于采用了薄膜小转角假设，小转角假设自身的误差((tanθ-sinθ)/sinθ)随着均布载荷q的增加而不断增大，从薄膜最大应力σ_m的两种方法计算结果看，这个小转角假设自身的误差在计算薄膜最大应力σ_m时被放大了，当q＝0.01MPa时，由于采用薄膜小转角假设，薄膜转角θ所带来的σ_m的计算误差就已经超过16％了(而本发明计算过程中不存在这个薄膜转角θ带来的计算误差)，这个数字已经超过了工程结构计算误差15％的许允值，更何况还存在着诸如测量等其它误差！

从表1中的数据可以看到,本发明为了彻底消除薄膜转角θ对计算误差的影响，彻底放弃了薄膜小转角假设，其技术效果是明显的,此外本发明也彻底消除了所施加的横向载荷值不能过大的限制条件，这给相关技术应用提供了方便,这些都体现了本发明的有益效果。

表1

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管申请人参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围的，均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种均布载荷下大转角圆薄膜最大应力的确定方法，其特征是：用一个内半径为a的夹紧装置,将杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、厚度为h的无预应力的薄膜固定夹紧，形成一个半径为a的周边固定夹紧的圆薄膜结构，并对圆薄膜横向施加一个均布载荷q，使薄膜变形后的转角θ出现大于20°的情形，那么基于这个轴对称圆薄膜静力平衡问题的精确分析，利用载荷测量值q，由以下公式确定薄膜变形后的最大应力σ_m：

${\mathrm{\σ}}_m=\frac{a^{2/3}{E}^{1/3}{q}^{2/3}}{2^{5/3}{h}^{2/3}{c}^{1/3}},$

其中c的值由方程ν＝2cf′(c)/f(c)+1确定,式中函数f(c)和f′(c)分别为：

$\begin{array}{c}f\left(c\right)=1-\frac{1}{2}c-\frac{1}{6}(1+2\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}})c^2-\frac{1}{144}(13+56\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}\\ +48\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}})c^3-\frac{1}{1440}(85+584\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}+1104\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}}\\ +1152\frac{a^2{q}^2}{h^2{E}^{2}c})c^4-\frac{1}{21600}(925+8904\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{g^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}+27104\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}}\\ +62592\frac{a^2{q}^2}{h^2{E}^{2}c}+23040\×\frac{2^{1/3}{a}^{8/3}{q}^{8/3}}{h^{8/3}{E}^{8/3}{c}^{4/3}})c^5-\frac{1}{90700}(30125+377688\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}\\ +1619968\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{4/3}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}}+6038784\frac{a^2{q}^2}{h^2{E}^{2}c}+4907520\×\frac{2^{1/3}{a}^{8/3}{q}^{8/3}}{h^{8/3}{E}^{8/3}{c}^{4/3}}\\ +1382400\×\frac{2^{2/3}{a}^{10/3}{q}^{10/3}}{h^{10/3}{E}^{10/3}{c}^{5/3}})c^6-\frac{1}{203212800}(5481025+85400640\×\frac{2^{1/3}{a}^{2/3}{q}^{2/3}}{h^{2/3}{E}^{2/3}{c}^{1/3}}\\ +478992416\×\frac{2^{2/3}{a}^{4/3}{q}^{43/}}{h^{4/3}{E}^{4/3}{c}^{2/3}}+2520947712\frac{a^2{q}^2}{h^2{E}^{2}c}+330599488\×\frac{2^{1/2}{a}^{8/3}{q}^{8/3}}{h^{8/3}{E}^{8/3}{c}^{4/3}}\\ +2047057920\×\frac{2^{2/3}{a}^{10/3}{q}^{10/3}}{h^{10/3}{E}^{10/3}{c}^{5/3}}+928972800\frac{a^4{q}^4}{h^4{E}^4{c}^2})c^2\end{array}$

和