CN110261841B - 基于迭代加权近端投影的mimo雷达单测量矢量doa估计方法 - Google Patents

基于迭代加权近端投影的mimo雷达单测量矢量doa估计方法 Download PDF

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CN110261841B CN201910681301.8A CN201910681301A CN110261841B CN 110261841 B CN110261841 B CN 110261841B CN 201910681301 A CN201910681301 A CN 201910681301A CN 110261841 B CN110261841 B CN 110261841B
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Abstract

本发明公开了一种基于迭代加权近端投影的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，包括如下步骤：首先将降维后接收数据的协方差矩阵向量化，然后利用降维后协方差逆矩阵的高阶幂构造加权矩阵以对稀疏向量进行合适的权值约束，并建立加权近端函数优化模型来表示MIMO雷达单测量矢量DOA估计中的非凸非平滑稀疏优化问题，最后在迭代过程中通过SCAD函数获得近端算子，并将其投影到可行集以求解该加权函数优化模型，从而获得稀疏解，通过搜索谱峰所在位置得到真实目标DOA估计值。相比于加权l1‑SVD算法和加权SL0算法，本发明方法能获得更好的DOA估计性能，且无需预知目标个数先验信息。

Description

基于迭代加权近端投影的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法
技术领域
本发明涉及多输入多输出(MIMO)雷达目标参数估计领域，具体涉及一种基于迭代加权近端投影的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法。
背景技术
多输入多输出(Multiple Input and Multiple Output,MIMO)雷达系统是近年来提出的一种新体制雷达，相比于相控阵雷达，MIMO雷达在目标探测、抗干扰、目标参数估计和目标识别等方面拥有潜在的优势，从而得到广泛关注。MIMO雷达在发射端利用多个发射天线同时发射相互正交的信号，在接收端利用多个接收天线接收回波信号且对其进行匹配滤波器处理，从而扩展MIMO雷达阵列的孔径。根据收发阵列的不同配置，MIMO雷达主要分为两类：统计MIMO雷达和相干MIMO雷达。统计MIMO雷达的阵元间距较远，满足空间分集条件，通过不同的角度观测目标以抑制雷达截面积闪烁，从而能够获得较大的空间分集增益，提高探测性能。相干MIMO雷达包括单基地和双基地MIMO雷达，其阵元间距较近，通过波形分集技术扩展收发阵列的孔径，以提高角度分辨率和目标检测个数的上限。
波达方向(Direction of Arrival,DOA)估计是相干MIMO雷达参数估计的一个重要研究内容，其相关研究成果已不胜枚举，诸如多重信号分类(Multiple SignalClassification,MUSIC)算法、基于旋转不变技术的信号参数估计(Estimation of SignalParameters via Rotational Invariance Technique,ESPRIT)算法和Capon算法等。传统基于子空间类的DOA估计算法，具有空间分辨率高、实现简单等优点，但均以准确获取信号或噪声子空间为前提，且在快拍数较少和信噪比较低的情况下DOA估计性能明显恶化。通常，目标相对整个观测空间高度稀疏，因此许多学者将压缩感知理论应用到MIMO雷达DOA估计中，通过建立l0范数约束最小化模型进行目标角度的估计。然而，求解l0范数最小化问题属于非确定性多项式时间复杂度(non-deterministic polynomial-time hard，NP-hard)问题，需要组合搜索、当维度增加时难以实现。Malioutov等人在论文“A sparse signalreconstruction perspective for source localization with sensor arrays”(IEEETransactions on Signal Processing,2005,53(8):3010-3022)中针对传统阵列提出基于l1-SVD(l1norm Singular Value Decomposition)的DOA估计方法，该方法通过对阵列接收数据进行奇异值分解，并提取信号子空间构建l2,1范数联合稀疏模型，然后采用二阶锥规划(Second Order Cone Programming,SOCP)求解该模型得到目标DOA。该方法通过奇异值分解提取信号子空间降低了计算复杂度和对噪声的敏感性，但对目标个数的错误判断导致其DOA估计性能不理想。Wang等人在论文“A sparse representation scheme for angleestimation in monostatic MIMO radar”(Signal Processing,2014,104:258-263)中提出一种加权l1-SVD算法，该算法利用降维变换和SVD分解来降低稀疏信号重构的复杂性，并采用RD-Capon算法空间谱的系数构造加权矩阵以促进多测量向量问题中解的稀疏性，从而提高该算法的DOA估计性能。然而由于该方法采用线型规划求解加权稀疏表示模型且涉及多测量矢量DOA估计问题，因此其计算复杂度较高。为了降低多测量矢量DOA估计方法的计算复杂度，可将DOA估计问题转化为基于协方差矩阵稀疏表示的单测量矢量重构问题。Mohimani等人在论文“A Fast Approach for Overcomplete Sparse DecompositionBased on Smoothed L0Norm”(IEEE Transactions on Signal Processing,2009,57(1):289-301)中提出一种平滑l0范数(Smoothed l0norm,SL0)算法，通过构造一个平滑的高斯函数来近似l0范数，将以基于l0范数表示的离散函数优化问题转化为利用平滑函数的极值问题，并利用最速下降法和投影步骤进行求解。Liu等人在论文“Reweighted smoothed l0-norm based DOA estimation for MIMO radar”(Signal Processing,2017,137:44-51)中提出一种基于加权SL0算法的MIMO雷达DOA估计方法，该算法通过对降维后的MIMO雷达协方差矩阵进行矢量化运算并稀疏表示成单测量矢量重构问题，并将该单测量矢量DOA估计问题转化为平滑函数的极值求解问题，并利用噪声和信号子空间的正交性理论构造加权向量来促进解的稀疏性。然而该算法在计算加权向量时需要预知目标个数先验信息，当目标个数的错误判断会导致该算法DOA估计性能下降。上述采用SL0算法和l1-SVD算法进行MIMO雷达DOA估计的方法中，通常将非凸非平滑稀疏表示问题分别近似成凸平滑函数和凸非平滑问题进行求解，因此在稀疏表示模型上存在一定程度上的误差，从而导致其DOA估计性能不能达到最优。Sadeghi等人在论文“Iterative Sparsification-Projection:Fast andRobust Sparse Signal Approximation”(IEEE Transactions on Signal Processing,2016,64(21):5536-5548)中基于近端方法提出一种相对SL0算法更为广泛的稀疏重构算法以解决非凸平滑函数优化问题，称为迭代稀疏投影(Iterative Sparsification-Projection,ISP)算法。针对非凸非平滑函数优化问题,Ghayem等人在论文“Sparse SignalRecovery Using Iterative Proximal Projection”(IEEE Transactions on SignalProcessing,2018,66(4):879-894)中提出一种迭代近端投影(Iterative ProximalProjection,IPP)算法，该算法通过构造近端投影模型，并利用SCAD(Smoothly ClippedAbsolute Deviation Penalty)罚函数获得近端算子来求解该模型以促进解的稀疏度，同时引用外推步骤改善该算法的收敛性能。针对基于协方差矩阵稀疏表示的MIMO雷达单测量矢量DOA估计问题是一种非凸非平滑稀疏表示问题，研究一种能有效解决非凸非平滑稀疏表示问题的方法以提高MIMO雷达单测量矢量DOA估计性能是十分有必要的。
发明内容
发明目的：本发明的目的是提供一种基于迭代加权近端投影的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，可降低单测量矢量DOA估计稀疏表示模型的近似误差，提高MIMO雷达单测量矢量DOA估计性能，从而有效解决MIMO雷达单测量矢量DOA估计中的非凸非平滑稀疏表示问题。
技术方案：一种基于迭代加权近端投影的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，包括如下步骤：
步骤1：对MIMO雷达接收阵列信号进行匹配滤波，取若干快拍下MIMO雷达虚拟阵列的输出信号；
步骤2：对MIMO雷达虚拟阵列输出信号矩阵进行降维变换，得到降维后的接收数据矩阵；
步骤3：计算降维后接收数据的协方差矩阵，并将其向量化运算后得到的数据矢量；
步骤4：根据稀疏重构理论，将搜索空域按等角度间隔划分为多个单元，将数据矢量转换成单测量矢量稀疏表示模型，将MIMO雷达DOA估计问题转化为求解稀疏向量中非零元素位置的问题；
步骤5:利用降维后的协方差逆矩阵的高阶幂构造加权矩阵；
步骤6:利用近端函数模型建立MIMO雷达单测量矢量DOA估计的加权稀疏优化模型；
步骤7:通过多次迭代求解步骤6建立的加权稀疏优化模型，获得稀疏解；
步骤8:通过搜索稀疏解的谱峰所在位置得到真实目标DOA估计值。
进一步的，所述步骤1具体包括如下内容：
对具有M个发射阵元和N个接收阵元的MIMO雷达接收阵列信号进行匹配滤波，取J个快拍下MIMO雷达虚拟阵列的输出信号，得到：
X＝AS+N
其中，
Figure BDA0002144856980000031
为输出信号矩阵，其中，
Figure BDA0002144856980000032
表示大小为MN×J的复数域矩阵集合，tj(j＝1,2,…,J)为第j次快拍的时间；
Figure BDA0002144856980000041
为信号矩阵；
Figure BDA0002144856980000042
为高斯噪声矩阵；
Figure BDA0002144856980000043
为发射接收联合导向矩阵；其中，
Figure BDA0002144856980000044
为对应第p个目标的发射阵列的导向向量，p＝1,2,...,P；
Figure BDA0002144856980000045
为对应第p个目标的接收阵列的导向向量，p＝1,2,...,P；(·)T表示矩阵转置，θp为第p(p＝1,2,...,P)个目标的方位角，
Figure BDA0002144856980000046
表示Kronecker积，P是非相干目标的数目。
进一步的，所述步骤2具体包括如下内容：
对MIMO雷达虚拟阵列输出信号矩阵X进行降维变换，得到降维后的接收数据矩阵：
Figure BDA0002144856980000047
其中，
Figure BDA0002144856980000048
为降维矩阵，
Figure BDA0002144856980000049
为转换矩阵，
Figure BDA00021448569800000410
0N×M为N×M维的零矩阵，IN表示N×N维的单位矩阵，(·)H表示共轭转置运算，
Figure BDA00021448569800000411
为降维后的阵列流形矩阵，
Figure BDA00021448569800000412
为信号矩阵，
Figure BDA00021448569800000413
为降维后的高斯白噪声矩阵。
进一步的，所述步骤3具体包括如下内容：
计算降维后接收数据的协方差矩阵
Figure BDA00021448569800000414
并将其向量化运算后得到的数据矢量y：
Figure BDA00021448569800000415
其中，
Figure BDA00021448569800000416
RS和
Figure BDA00021448569800000417
分别表示信号和噪声的协方差矩阵，E(·)表示期望运算符，vec(·)表示向量化运算符。
进一步的，所述步骤4具体包括如下内容：
根据稀疏重构理论，将搜索空域[-90°,90°]按等角度间隔划分为L个单元，且L＞＞P，定义过完备字典
Figure BDA00021448569800000418
Figure BDA00021448569800000419
Figure BDA00021448569800000420
表示空域内所有可能的入射方向,⊙表示Khatri-Rao积。
将数据矢量y转换成单测量矢量稀疏表示模型：
Figure BDA0002144856980000051
其中，
Figure BDA0002144856980000052
vec(·)表示向量化运算符，稀疏向量
Figure BDA0002144856980000053
是P行稀疏矩阵，
Figure BDA0002144856980000054
中的非零元素对应过完备字典中目标的DOA，将MIMO雷达DOA估计问题转化为求解稀疏向量
Figure BDA0002144856980000055
中非零元素位置的问题。
进一步的，所述步骤5中，利用降维后协方差逆矩阵的高阶幂构造加权矩阵：
w＝diag[w1,w2,...,wL]
其中，diag(e)表示由向量e中的元素构成的对角矩阵,
Figure BDA0002144856980000056
其中，
Figure BDA0002144856980000057
向量
Figure BDA0002144856980000058
为字典
Figure BDA0002144856980000059
的第l列，m为任意正整数。
进一步的，所述步骤6具体包括如下内容：
利用近端函数模型建立MIMO雷达单测量矢量DOA估计的加权稀疏优化模型：
Figure BDA00021448569800000510
f(wz)为向量wz中的各个元素代入惩罚函数
Figure BDA00021448569800000511
所计算得到大小为L×1矢量，z为辅助变量，λ为调整参数，a＞2为常量，
Figure BDA00021448569800000512
定义为可行集
Figure BDA00021448569800000513
的指示函数,ε为噪声功率的上界。
进一步的，所述步骤7中，通过多次迭代求解加权稀疏优化问题的具体步骤为：
(7.1)定义初始值u0＝Aθ H(AθAθ H)-1y，u1＝Aθ H(AθAθ H)-1y，定义[λ1,λ2,...,λQ]为一组调整参数序列，并且满足关系λq+1＝cλq,0＜c＜1，λ1＝max{u0},其中，Q为外循环迭代次数；
(7.2)定义外循环变量q用来迭代求解加权稀疏优化问题，q赋初值为1；
(7.3)令λ＝λq
(7.4)定义内循环变量k用来迭代求解全局最小值并将该最小值投影到可行集，k赋初值为1；
(7.4a)令
Figure BDA00021448569800000514
令
Figure BDA00021448569800000515
其中，w为步骤5中构造的加权矩阵；
(7.4b)利用外推步骤得到
Figure BDA00021448569800000516
其中μ≥0为外推常数。
(7.4c)非凸非平滑函数
Figure BDA00021448569800000517
的近端算子为：
Figure BDA00021448569800000518
通过SCAD惩罚函数
Figure BDA0002144856980000061
产生相应的SCAD阈值函数
Figure BDA0002144856980000062
来计算非凸非平滑函数
Figure BDA0002144856980000063
的近端算子，即
Figure BDA0002144856980000064
其中，
Figure BDA0002144856980000065
为向量
Figure BDA0002144856980000066
中的各个元素代入SCAD阈值
Figure BDA0002144856980000067
所计算得到的大小为L×1的矢量，sign(·)为符号函数，(α)+＝max(α，0)；
(7.4d)令
Figure BDA0002144856980000068
将
Figure BDA0002144856980000069
投影到可行集，得到稀疏解
Figure BDA00021448569800000610
其中
Figure BDA00021448569800000611
代表可行集
Figure BDA00021448569800000612
的投影；
(7.4e)令
Figure BDA00021448569800000613
(7.4f)当k≥K时，其中，K为内循环迭代次数，转至步骤(7.5)，否则，令k＝k+1，返回步骤(7.4a)；
(7.5)当q≥Q时，转至步骤(7.6)，否则，令q＝q+1，返回步骤(7.3)；
(7.6)获得最终稀疏解
Figure BDA00021448569800000614
和现有技术相比，本发明具有如下显著进步：1、基于协方差矩阵稀疏表示的单测量矢量重构算法通常将基于l0范数的非凸非平滑问题近似成凸平滑函数或凸非平滑问题进行求解，因此在建立稀疏优化问题时存在一定的近似误差，从而导致其DOA估计性能不能达到最优。本发明采用近端函数优化模型来较好地表示了MIMO雷达单测量矢量DOA估计中的非凸非平滑稀疏优化问题，降低了稀疏优化模型的近似误差，从而提高了MIMO雷达DOA估计性能。2、本发明方法采用降维后协方差逆矩阵的高阶幂来构造加权矩阵以对稀疏向量进行合适的权值约束，并建立了加权近端函数优化模型，能够进一步促进迭代近端投影(IPP)算法重构结果的稀疏性，从而进一步提高了MIMO雷达DOA估计精度。3、本发明方法构造的加权矩阵与目标个数的先验信息无关，其DOA估计性能不受目标个数先验信息的影响，具有很好的实用性。
附图说明
图1是本发明的方法流程图；
图2是加权SL0算法和本发明算法对目标个数的先验信息的敏感性；
图3是各种算法的DOA估计均方根误差随信噪比变化的曲线图；
图4是各种算法的DOA估计均方根误差随快拍数的变化关系；
图5是本发明算法的DOA估计均方根误差在不同阵元数时随信噪比变化的曲线图。
具体实施方式
以下结合具体实施例与附图对本发明的技术方案做详细描述。
如图1所示，一种基于迭代加权近端投影的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，包括如下步骤：
步骤1:假设窄带单基地MIMO雷达系统具有M个发射阵元和N个接收阵元，发射和接收阵列均为均匀线阵，其阵元间隔分别为dt＝λ/2和dr＝λ/2，λ为接收信号波长。假设存在P个远场窄带非相干目标，其入射角度分别为θ1,θ2,...,θP，MIMO雷达接收阵列信号经匹配滤波后可表示为：
x(t)＝As(t)+n(t) (1)
式中，
Figure BDA0002144856980000071
为发射接收联合导向矩阵，其中
Figure BDA0002144856980000072
为发射阵列的导向向量，
Figure BDA0002144856980000073
为接收阵列的导向向量，(·)T表示矩阵转置；
Figure BDA0002144856980000074
表示复数域，
Figure BDA0002144856980000075
表示大小为MN×P的复数域矩阵集合，
Figure BDA00021448569800000715
表示Kronecker积；
Figure BDA0002144856980000076
为非相干信源信号矢量，其中，
Figure BDA0002144856980000077
βp和fp分别为第p个目标的散射系数和多普勒频率，假设散射系数βp服从零均值高斯分布，即
Figure BDA0002144856980000078
Figure BDA0002144856980000079
为接收阵列的噪声矢量，服从零均值，方差为
Figure BDA00021448569800000710
的高斯分布，即
Figure BDA00021448569800000711
IMN表示MN×MN维的单位矩阵。取J个快拍下MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵，即
X＝AS+N (2)
式中，
Figure BDA00021448569800000712
为虚拟阵列输出数据矩阵，其中，tj(j＝1,2,…,J)为第j次快拍的时间；
Figure BDA00021448569800000713
为目标回波信号矩阵；
Figure BDA00021448569800000714
为高斯噪声矩阵。
步骤2:对于发射阵列和接收阵列均为阵元间距等于半波长的均匀线阵的单基地MIMO雷达系统来说，其有效虚拟阵元个数为M+N-1，因此，MN×1维的目标均匀线阵导向矢量可由(M+N-1)×1维的虚拟均匀线阵导向矢量通过线性变换来表示，即
Figure BDA0002144856980000081
式中，
Figure BDA0002144856980000082
表示(M+N-1)×1维的虚拟均匀线阵导向矢量，
Figure BDA0002144856980000083
为转换矩阵，其中，
Figure BDA0002144856980000084
0N×M为N×M维的零矩阵，IN表示N×N维的单位矩阵。根据式(3)，阵列流形矩阵A可进一步表示为A＝GB (4)
式中，B＝[b(θ1),b(θ2),...,b(θP)]为(M+N-1)×P维的虚拟均匀线阵导向矩阵。
为了降低算法的计算复杂度，可定义一个大小为(M+N-1)×MN的降维矩阵T对接收数据X进行降维预处理。为了使得降维后的噪声服从
Figure BDA0002144856980000085
的高斯白噪声，降维矩阵T需满足TTH＝IM+N-1，因此降维矩阵可选取为
Figure BDA0002144856980000086
其中
Figure BDA0002144856980000087
式中，min(·)表示取最小的元素；diag(·)表示对角化操作；(·)H表示共轭转置运算。经过降维变换后的接收数据矩阵可表示为
Figure BDA0002144856980000088
式中，
Figure BDA0002144856980000089
为降维后的接收数据矩阵；
Figure BDA00021448569800000810
为降维后的阵列流形矩阵；
Figure BDA00021448569800000811
为降维后的高斯白噪声矩阵。
步骤3:由式(6)可得降维后接收数据的协方差矩阵
Figure BDA00021448569800000812
式中，E(·)表示期望运算符，RS和
Figure BDA0002144856980000091
分别表示信号和噪声的协方差矩阵。对协方差矩阵
Figure BDA0002144856980000092
进行矩阵向量化操作后可表示为
Figure BDA0002144856980000093
式中，vec(·)表示对矩阵向量化，(·)*表示共轭运算。由于RS为对角矩阵，vec(RS)的非零值与RS的非零对角元素相对应，可以采用Khatri-Rao积对式(8)进一步表示为
Figure BDA0002144856980000094
式中，
Figure BDA0002144856980000095
表示由P个目标的信号功率
Figure BDA0002144856980000096
构成的矢量，
Figure BDA0002144856980000097
⊙表示Khatri-Rao积。
步骤4:根据稀疏重构理论，将搜索空域[-90°,90°]按等角度间隔划分为L个单元，且L＞＞P，
Figure BDA0002144856980000098
表示空域内所有可能的入射方向，构造过完备字典：
Figure BDA0002144856980000099
Figure BDA00021448569800000910
则式(9)可表示为：
Figure BDA00021448569800000911
其中，
Figure BDA00021448569800000912
vec(·)表示向量化运算符，稀疏向量
Figure BDA00021448569800000913
是P行稀疏矩阵，
Figure BDA00021448569800000914
中的非零元素对应过完备字典中目标的DOA，因此，MIMO雷达DOA估计问题可以转化为求解稀疏矩阵
Figure BDA00021448569800000915
中非零元素位置的问题。MIMO雷达的单测量矢量DOA估计稀疏表示模型可以转化为
Figure BDA00021448569800000916
式中，||·||0表示为l0范数。然而式(11)中的最小化l0范数问题属于非凸非平滑稀疏表示问题，通常将其近似成凸平滑函数和凸非平滑问题进行求解，因此存在一定程度的近似误差。
步骤5:为了进一步促进解的稀疏性以更好的估计目标DOA，通过引入加权思想对稀疏向量进行加权约束，即对大稀疏向量乘以较大的权值，对小稀疏向量乘以较小的权值。对接收数据的协方差矩阵
Figure BDA0002144856980000101
进行特征值分解，可得：
Figure BDA0002144856980000102
式中，Us和Un分别为信号子空间和噪声子空间；Λs＝diag[λ1,λ2,...,λP]为由信号特征值构成的对角矩阵，diag(e)表示由向量e中的元素构成的对角矩阵；
Figure BDA0002144856980000103
为噪声功率。根据式(12)计算协方差逆矩阵的高阶幂，得
Figure BDA0002144856980000104
其中，m可为任意正整数；λi(i＝1,2,...,P)为信号特征值。由于式(15)中
Figure BDA0002144856980000105
因此，当m→∞时，
Figure BDA0002144856980000106
上式(15)趋近于噪声子空间，即
Figure BDA0002144856980000107
通过式(16)可以得到一个无需预判或预知目标个数的噪声子空间和噪声子空间共轭转置积的近似方法。因此当m趋近无穷大时，式(15)趋近于噪声子空间。于是，根据降维后协方差逆矩阵的高阶幂构造新的权重，即
Figure BDA0002144856980000108
式中，向量
Figure BDA0002144856980000109
为字典
Figure BDA00021448569800001010
的第l列。因此加权矩阵w＝diag[w1,w2,...,wL]，其中diag(e)表示由向量e中的元素构成的对角矩阵，
Figure BDA00021448569800001011
当快拍数J→∞时，根据降维后协方差逆矩阵高阶幂的性质可知，对应信号分量
Figure BDA00021448569800001012
上的权值满足0<wl≤1，对应噪声分量
Figure BDA00021448569800001013
上的权值满足wl→0。根据设计的加权矩阵可知，在迭代过程中，当
Figure BDA00021448569800001014
为非信源方向的噪声分量时，则对该噪声分量进行较小权值的加权计算，可以起到抑制噪声的作用；当
Figure BDA00021448569800001015
为信源方向的信号分量时，则对该信号分量进行较大权值的加权计算，可以较好的保证信号重构的保真度。因此该加权矩阵能够增大信号分量，减小噪声分量，从而增强重构结果的稀疏性。
步骤6:为了能够直接求解非凸非平滑稀疏表示问题，本发明利用基于协方差矩阵稀疏表示的单测量矢量近端函数模型来表示MIMO雷达单测量矢量DOA估计中的非凸非平滑稀疏表示问题，即
Figure BDA0002144856980000111
式(12)为非凸非平滑稀疏优化问题，其中，f(z)为非凸非平滑函数，z为辅助变量，
Figure BDA0002144856980000112
定义为可行集
Figure BDA0002144856980000113
的指示函数，ε为噪声功率的上界，可表示为
Figure BDA0002144856980000114
为了进一步促进解的稀疏性以更好的估计目标DOA，通过引入加权思想对稀疏向量进行加权约束，即对大稀疏向量乘以较大的权值，对小稀疏向量乘以较小的权值。因此，建立迭代加权近端函数优化模型来表示MIMO雷达单测量矢量DOA估计中的非凸非平滑稀疏优化问题，即
Figure BDA0002144856980000115
在式(18)的稀疏优化问题中引入惩罚函数，即
Figure BDA0002144856980000116
式中，λ＞0为惩罚因子，||·||2表示l2范数。通过交替最小化方法将式(19)转化为关于z和
Figure BDA0002144856980000117
的两个子问题的迭代求解，即
Figure BDA0002144856980000118
令
Figure BDA0002144856980000119
根据近端映射的定义，式(20)进一步化简为
Figure BDA00021448569800001110
其中，
Figure BDA00021448569800001111
为非平滑函数
Figure BDA00021448569800001112
的近端算子。
步骤7:为了避免在求解上述非凸非平滑优化问题时易陷入局部最小值的问题，利用外推步骤改善迭代近端投影(IPP)算法收敛性能，则在第k次迭代得到
Figure BDA00021448569800001113
式中，μ≥0为外推常数。在第k次迭代中式(18)的稀疏解可进一步表示为
Figure BDA0002144856980000121
非平滑函数的近端算子
Figure BDA0002144856980000122
可通过不同的惩罚函数
Figure BDA0002144856980000123
产生相应的阈值函数进行求解，其中
Figure BDA0002144856980000124
为向量
Figure BDA0002144856980000125
中的各个元素x在惩罚函数中对应的函数值f(x)所构成大小为L×1的矢量。本发明选取f(x)为SCAD罚函数，即
Figure BDA0002144856980000126
式中，λ为调整参数，a为常量，一般取值为a＞2。非平滑函数
Figure BDA0002144856980000127
的近端算子
Figure BDA0002144856980000128
可采用SCAD阈值函数
Figure BDA0002144856980000129
来表示，即
Figure BDA00021448569800001210
式中，
Figure BDA00021448569800001211
为向量
Figure BDA00021448569800001212
中的各个元素代入SCAD阈值
Figure BDA00021448569800001213
所计算得到的大小为L×1的矢量，其中SCAD阈值函数
Figure BDA00021448569800001214
可表示为
Figure BDA00021448569800001215
式中，sign(·)为符号函数，(α)+＝max(α，0)。该SCAD阈值函数
Figure BDA00021448569800001216
不仅克服了硬阈值收缩函数对数据中微小波动的敏感性，而且避免了软阈值收缩函数带来的偏差，因此能够进一步促进解的稀疏性。为了能够投影到可行集，令
Figure BDA00021448569800001217
因此，式(23)可进一步表示为
Figure BDA00021448569800001218
在步骤7中采用外推步骤和SCAD阈值函数
Figure BDA00021448569800001219
来求解稀疏优化问题的具体步骤如下：
(7.1)定义初始值u0＝Aθ H(AθAθ H)-1y，u1＝Aθ H(AθAθ H)-1y，定义[λ1,λ2,...,λQ]为一组调整参数序列，并且满足关系λq+1＝cλq,0＜c＜1，λ1＝max{|u0|},其中，Q为外循环迭代次数；
(7.2)定义外循环变量q用来迭代求解加权稀疏优化问题，q赋初值为1；
(7.3)令λ＝λq
(7.4)定义内循环变量k用来迭代求解全局最小值并将该最小值投影到可行集，k赋初值为1；
(7.4a)令
Figure BDA0002144856980000131
令
Figure BDA0002144856980000132
其中，w为步骤5中构造的加权矩阵；
(7.4b)利用外推步骤得到
Figure BDA0002144856980000133
其中μ≥0为外推常数。
(7.4c)非凸非平滑函数
Figure BDA0002144856980000134
的近端算子为
Figure BDA0002144856980000135
通过SCAD惩罚函数
Figure BDA0002144856980000136
产生相应的SCAD阈值函数
Figure BDA0002144856980000137
来计算非凸非平滑函数
Figure BDA0002144856980000138
的近端算子，即
Figure BDA0002144856980000139
其中，
Figure BDA00021448569800001310
为向量
Figure BDA00021448569800001311
中的各个元素代入SCAD阈值
Figure BDA00021448569800001312
所计算得到的大小为L×1的矢量，sign(·)为符号函数，(α)+＝max(α，0)；
(7.4d)令
Figure BDA00021448569800001313
将
Figure BDA00021448569800001314
投影到可行集，得到稀疏解
Figure BDA00021448569800001315
其中
Figure BDA00021448569800001316
代表可行集
Figure BDA00021448569800001317
的投影；
(7.4e)令
Figure BDA00021448569800001318
(7.4f)当k≥K时，其中，K为内循环迭代次数，转至步骤(7.5)，否则，令k＝k+1，返回步骤(7.4a)；
(7.5)当q≥Q时，转至步骤(7.6)，否则，令q＝q+1，返回步骤(7.3)；
(7.6)获得最终稀疏解
Figure BDA00021448569800001319
步骤8:通过步骤7多次迭代后可获得稀疏解
Figure BDA00021448569800001320
之后，通过搜索其谱峰所在位置得到真实目标DOA估计值。
本发明的技术效果可通过以下仿真进一步说明，为了验证本发明方法在MIMO雷达单测量矢量DOA估计方面的优势，选取加权SL0(Reweighted Smoothed l0norm,RSL0)算法、加权l1-SVD(Reweighted l1-SVD)算法和CRB进行对比，将本发明称为加权IPP_SCAD算法。假设均匀线阵单基地MIMO雷达的发射阵元数为5，接收阵元数为6，收发阵元间隔为dt＝dr＝λ/2，在空间角度范围[-90°,90°]以角度间隔0.05°等分。假设存在3个远场窄带非相干目标，设置各目标的DOA分别为θ1＝-10°，θ2＝0°，θ3＝18.6°。DOA估计的均方根误差定义为
Figure BDA0002144856980000141
其中，
Figure BDA0002144856980000142
表示第p个目标在第mt次蒙特卡罗实验中的目标DOA估计值，MT为蒙特卡罗实验次数。目标p的回波信噪比定义为
Figure BDA0002144856980000143
在本发明中，设置SCAD阈值函数
Figure BDA0002144856980000144
中的参数a＝30，外推常数μ＝0.5，内循环次数K＝3,衰减因子c＝0.8，加权矩阵中选取m＝2。
仿真实验1
图2中，(a)和(b)分别显示了加权SL0算法和本发明算法对目标个数的先验信息的敏感性。仿真实验中设置实际目标个数为3，信噪比为0dB，快拍数J＝300。从(a)可知，当目标个数预判正确时，三个谱峰所在位置即为三个空间目标信号源的DOA；然而目标个数判定错误时，由于加权SL0算法的空间谱受到目标个数先验信息的影响导致该算法的DOA估计性能恶化，因此加权SL0算法对目标个数的先验信息具有较强的敏感性。从(b)可知，由于迭代近端投影算法和本发明算法构造的加权矩阵与目标个数的先验信息无关，该算法的DOA估计性能不受目标个数先验信息的影响，表明本发明算法对目标个数的先验信息不具有敏感性，且能够实现精确的DOA估计。
仿真实验2
为了避免目标个数的错误判定导致加权SL0算法的估计性能恶化，仿真实验2～5中的加权SL0算法均在目标个数预知正确的前提下进行DOA估计。图3为各种算法的DOA估计均方根误差随信噪比的变化关系。设置信噪比在-10～15dB之间变化，快拍数J＝300，进行200次蒙特卡罗实验。从图3中可以看出，各种算法的均方根误差均随着信噪比的增加逐渐减小，且本发明算法估计精度显著高于加权l1-SVD算法和加权SL0算法。当信噪比大于-5dB时，由于利用加权SL0算法构造的稀疏优化问题与基于l0范数的非凸非平滑问题存在一定程度上的误差，从而导致其DOA估计性能不能达到最优。而本发明算法建立加权近端函数优化模型来直接表示非凸非平滑稀疏优化问题，同时采用SCAD罚函数获得的近端算子以更好地促进解的稀疏性，因此，本发明算法相比加权SL0算法和加权l1-SVD算法能够获得较好的DOA估计性能；当信噪比小于-5dB时，由于本发明方法在低信噪比时分辨率有限，不能有效利用加权矩阵来增强解的稀疏性，因此该方法的DOA估计精度稍低于加权SL0算法。
仿真实验3
图4为各种算法的DOA估计均方根误差随快拍数的变化关系。设置信噪比为0dB，进行200次蒙特卡罗实验，快拍数J在50～350之间变化。从图4中可以看出，随着快拍数的增加各种算法的DOA估计精度均有不同程度的提高。在低快拍下本发明算法的DOA估计性能与加权SL0算法接近，但随着快拍数的增加，本发明算法的DOA估计精度明显优于加权SL0算法和加权l1-SVD算法。
仿真实验4
图5为本发明算法的DOA估计均方根误差在不同阵元数时随信噪比变化的曲线。设置信噪比在-10～15dB之间变化，快拍数J＝300，进行200次蒙特卡罗实验。从图5中可以看出，随着发射和接收阵元数的增加，由于波形分集增益特性形成有效虚拟孔径得到扩展，从而提高MIMO雷达的空间分辨能力，因此本文算法的DOA估计精度也随之提高。
仿真实验5
表1
Figure BDA0002144856980000151
由于降维变换将高维回波数据转换至低维空间以降低空域维度，且几乎不会带来估计精度的损失，因此加权SL0(Reweighted Smoothed l0norm,RSL0)算法、加权l1-SVD(Reweighted l1-SVD)算法和本发明算法均利用降维变换来降低算法的计算复杂度。
表1为各种算法计算复杂度的对比。
本发明算法的计算量主要集中在加权向量的构造和近端投影算法两部分，构造加权矩阵需要进行J(M+N-1)2+L(M+N-1)2次乘法运算，近端投影算法需要进行KQL(M+N-1)2次乘法运算，因此，本发明算法的计算复杂度为O(J(M+N-1)2+L(M+N-1)2+KQL(M+N-1)2)；加权l1-SVD算法的计算复杂度为O(J(M+N-1)2+(M+N-1)3+L(M+N)(M+N-P-1)+L3P3)；加权SL0算法的计算复杂度为O(L(M+N-1)(M+N-P-1)+L(M+N-P-1)+KQL(M+N-1)2)，其中，L为过完备字典中离散化采样网格的数量，Q和K分别为SL0算法以及加权IPP-SCAD算法的内外循环次数。本发明算法的计算复杂度稍高于加权SL0算法，但该算法构造的加权矩阵不受目标个数先验信息的影响，因此本发明算法能够在目标个数先验信息未知的情况下实现精确的DOA估计。表2为各种算法在不同目标个数P运算时间的分析。
表2
Figure BDA0002144856980000161
设置信噪比为0dB，快拍数J＝300，进行200次蒙特卡罗实验。运行软件为MATLABR2013a，CPU为Intel(R)Core(TM)，主频为2.4GHz，内存为4GB。从表2中可以看出，随着目标个数P的增加，加权l1-SVD算法的运算时间有所增加，加权SL0算法的运算时间有所下降，而由于本文算法的加权矩阵的计算和由SCAD阈值函数获得的近端算子与目标个数无关，因此其运算时间在不同目标个数时相差无几。此外，本发明方法运算时间略高于加权SL0算法，与算法复杂度的分析吻合。
综上，本发明的方法首先将降维后接收数据的协方差矩阵向量化，然后利用降维后协方差逆矩阵的高阶幂构造加权矩阵以对稀疏向量进行合适的权值约束，并建立加权近端函数优化模型来表示MIMO雷达单测量矢量DOA估计中的非凸非平滑稀疏优化问题，最后在迭代过程中通过SCAD函数获得近端算子，并将其投影到可行集以求解该加权函数优化模型，从而获得稀疏解，通过搜索谱峰所在位置得到真实目标DOA估计值。相比于加权l1-SVD算法和加权SL0算法，本发明能获得更好的DOA估计性能，且无需预知目标个数先验信息。

Claims (8)

1.一种基于迭代加权近端投影的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：对MIMO雷达接收阵列信号进行匹配滤波，取若干快拍下MIMO雷达虚拟阵列的输出信号；
步骤2：对MIMO雷达虚拟阵列输出信号矩阵进行降维变换，得到降维后的接收数据矩阵；
步骤3：计算降维后接收数据的协方差矩阵，并将其向量化运算后得到的数据矢量；
步骤4：根据稀疏重构理论，将搜索空域按等角度间隔划分为多个单元，将数据矢量转换成单测量矢量稀疏表示模型，将MIMO雷达DOA估计问题转化为求解稀疏向量中非零元素位置的问题；
步骤5:利用降维后的协方差逆矩阵的高阶幂构造加权矩阵；
步骤6:利用近端函数模型建立MIMO雷达单测量矢量DOA估计的加权稀疏优化模型；
步骤7:通过多次迭代求解步骤6建立的加权稀疏优化模型，获得稀疏解；
步骤8:通过搜索稀疏解的谱峰所在位置得到真实目标DOA估计值。
2.根据权利要求1所述的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，其特征在于，所述步骤1具体包括如下内容：
对具有M个发射阵元和N个接收阵元的MIMO雷达接收阵列信号进行匹配滤波，取J个快拍下MIMO雷达虚拟阵列的输出信号，得到：
X＝AS+N
其中，
Figure FDA0003709782590000011
为输出信号矩阵，其中，
Figure FDA0003709782590000012
表示大小为MN×J的复数域矩阵集合，tj，j＝1，2，…，J为第j次快拍的时间；
Figure FDA0003709782590000013
为信号矩阵；
Figure FDA0003709782590000014
为高斯噪声矩阵；
Figure FDA0003709782590000015
为发射接收联合导向矩阵；其中，
Figure FDA0003709782590000016
为对应第p个目标的发射阵列的导向向量，p＝1,2,...,P；
Figure FDA0003709782590000017
为对应第p个目标的接收阵列的导向向量，p＝1,2,...,P；(·)T表示矩阵转置，θp为第p，p＝1，2，...，p个目标的方位角，
Figure FDA00037097825900000217
表示Kronecker积，P是非相干目标的数目。
3.根据权利要求2所述的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，其特征在于，所述步骤2具体包括如下内容：
对MIMO雷达虚拟阵列输出信号矩阵X进行降维变换，得到降维后的接收数据矩阵：
Figure FDA0003709782590000021
其中，
Figure FDA0003709782590000022
为降维矩阵，
Figure FDA0003709782590000023
为转换矩阵，
Figure FDA0003709782590000024
0N×M为N×M维的零矩阵，IN表示N×N维的单位矩阵，(·)H表示共轭转置运算，
Figure FDA0003709782590000025
为降维后的阵列流形矩阵，
Figure FDA0003709782590000026
为信号矩阵，
Figure FDA0003709782590000027
为降维后的高斯白噪声矩阵。
4.根据权利要求3所述的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，其特征在于，所述步骤3具体包括如下内容：
计算降维后接收数据的协方差矩阵
Figure FDA0003709782590000028
并将其向量化运算后得到的数据矢量y：
Figure FDA0003709782590000029
其中，
Figure FDA00037097825900000210
RS和
Figure FDA00037097825900000211
分别表示信号和噪声的协方差矩阵，E(·)表示期望运算符，vec(·)表示向量化运算符。
5.根据权利要求4所述的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，其特征在于，所述步骤4具体包括如下内容：
根据稀疏重构理论，将搜索空域[-90°,90°]按等角度间隔划分为L个单元，且L＞＞P，定义过完备字典：
Figure FDA00037097825900000212
其中，
Figure FDA00037097825900000213
Figure FDA00037097825900000214
Figure FDA00037097825900000215
表示空域内所有可能的入射方向，⊙表示Khatri-Rao积；
将数据矢量y转换成单测量矢量稀疏表示模型：
Figure FDA00037097825900000216
其中，
Figure FDA0003709782590000031
vec(·)表示向量化运算符，稀疏向量
Figure FDA0003709782590000032
是P行稀疏矩阵，
Figure FDA0003709782590000033
中的非零元素对应过完备字典中目标的DOA，将MIMO雷达DOA估计问题转化为求解稀疏向量
Figure FDA0003709782590000034
中非零元素位置的问题。
6.根据权利要求5所述的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，其特征在于，所述步骤5中，利用降维后协方差逆矩阵的高阶幂构造加权矩阵：
w＝diag[w1,w2,...,wL]
其中，diag(e)表示由向量e中的元素构成的对角矩阵,
Figure FDA0003709782590000035
其中，
Figure FDA0003709782590000036
向量
Figure FDA0003709782590000037
为字典
Figure FDA0003709782590000038
的第l列，m为任意正整数。
7.根据权利要求6所述的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，其特征在于，所述步骤6中，利用近端函数模型建立MIMO雷达单测量矢量DOA估计的加权稀疏优化模型：
Figure FDA0003709782590000039
f(wz)为向量wz中的各个元素代入惩罚函数
Figure FDA00037097825900000310
计算得到大小为L×1矢量，z为辅助变量，λ为调整参数，a＞2为常量，
Figure FDA00037097825900000311
定义为可行集
Figure FDA00037097825900000312
的指示函数,ε为噪声功率的上界。
8.根据权利要求7所述的MIMO雷达单测量矢量DOA估计方法，其特征在于，所述步骤7中，通过多次迭代求解加权稀疏优化问题的具体步骤为：
(7.1)定义初始值u0＝Aθ H(AθAθ H)-1y，u1＝Aθ H(AθAθ H)-1y，定义[λ1,λ2,...,λQ]为一组调整参数序列，并且满足关系λq+1＝cλq,0＜c＜1，λ1＝max{|u0|},其中，Q为外循环迭代次数；
(7.1)定义外循环变量q用来迭代求解加权稀疏优化问题，q赋初值为1；
(7.3)令λ＝λq；
(7.4)定义内循环变量k用来迭代求解全局最小值并将该最小值投影到可行集，k赋初值为1；
(7.4a)令
Figure FDA00037097825900000313
令
Figure FDA00037097825900000314
其中，w为步骤5中构造的加权矩阵；
(7.4b)利用外推步骤得到
Figure FDA0003709782590000041
其中μ≥0为外推常数；
(7.4c)非凸非平滑函数
Figure FDA0003709782590000042
的近端算子为：
Figure FDA0003709782590000043
通过SCAD惩罚函数
Figure FDA0003709782590000044
产生相应的SCAD阈值函数
Figure FDA0003709782590000045
来计算非凸非平滑函数
Figure FDA0003709782590000046
的近端算子，即
Figure FDA0003709782590000047
其中，
Figure FDA0003709782590000048
为向量
Figure FDA0003709782590000049
中的各个元素代入SCAD阈值
Figure FDA00037097825900000410
所计算得到的大小为L×1的矢量，sign(·)为符号函数，(α)+＝max(α，0)；
(7.4d)令
Figure FDA00037097825900000411
将
Figure FDA00037097825900000412
投影到可行集，得到稀疏解
Figure FDA00037097825900000413
其中
Figure FDA00037097825900000414
代表可行集
Figure FDA00037097825900000415
的投影；
(7.4e)令
Figure FDA00037097825900000416
(7.4f)当k≥K时，其中，K为内循环迭代次数，转至步骤(7.5)，否则，令k＝k+1，返回步骤(7.4a)；
(7.5)当q≥Q时，转至步骤(7.6)，否则，令q＝q+1，返回步骤(7.3)；
(7.6)获得最终稀疏解
Figure FDA00037097825900000417
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