CN109917645B - 微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法，控制系统参考模型、滑模面、自适应律、双反馈模糊神经网络逼近器、超扭曲模糊滑模控制器和微陀螺系统。本发明针对实际微陀螺系统模型未知及其参数不确定性等问题，提出了基于双反馈模糊神经网络的微陀螺系统的自适应超扭曲滑模控制方法。相比于传统的神经网络控制，本发明设计的双闭环模糊神经网络具有全调节的优势，可以任意设定中心向量及基宽的初值，中心向量、基宽值以及神经网络的权值都会随着所设计的自适应算法根据不同的输入自适应调整到最佳值，自适应算法通过Lyapunov稳定性理论得出，动态双反馈神经网络由于加入了信号回归回路，能够存储更多的信息，对微陀螺系统未知模型逼近的精度更高，同时结合高阶超扭曲算法的优越性，能够有效抑制系统的控制输入抖振，能够保证系统在有限时间内收敛，快速精确跟踪参考轨迹，从而提高控制系统性能，并利用MATLAB对算法的优越性进行了实验验证。

Description

微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法

技术领域

本发明涉及基于双反馈模糊神经网络的微陀螺系统自适应超扭曲滑模控制方法，属于微陀螺的控制技术领域。

背景技术

陀螺是惯性导航和惯性制导系统的基本测量元件。微陀螺因其在成本、体积、结构等方面存在巨大的优势，从而被广泛地应用在航海、航天、航空及油田勘测开发和陆地车辆的导航与定位等民用、军事领域中。因其在设计和制造中存在误差和温度的影响,会导致原件特性和设计之间的差异，从而导致陀螺仪系统灵敏度和精度的降低,微陀螺控制的主要问题是补偿制造误差和测量角速度。经过几十年的研究发展，微陀螺虽然在结构设计和精度等方面取得了显著的进步，但是由于其设计原理本身的局限性及工艺加工精度自身的限制，使得微陀螺的发展难以取得质的飞跃。

并且对于实际的微陀螺系统而言，微陀螺无量纲模型中模型参数是未知的或无法准确获取的，所以在实施控制时，无法精确地实施所设计的控制律，因此选取一种有效的方法对微陀螺未知模型的逼近也极为重要，使控制律的设计不依赖于精确的数学模型。

双反馈模糊神经网络可以有效地逼近任意非线性模型，并且具有全调节的优点，可以任意设定中心向量及基宽的初值，中心向量、基宽值以及神经网络的权值都会随着所设计的自适应算法根据不同的输入自适应调整到最佳值，自适应算法通过Lyapunov稳定性理论得出，动态双反馈神经网络由于加入了信号回归回路，能够存储更多的信息，对微陀螺系统未知模型逼近的精度更高。高阶超扭曲算法能够有效抑制系统的控制输入抖振，能够保证系统在有限时间内收敛，快速精确跟踪参考轨迹，从而提高控制系统性能

发明内容

为了改善微陀螺系统性能，提高其鲁棒性为，解决微陀螺现存在的缺陷和传统控制方法不足等问题，本发明提出微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法，充分利用双反馈模糊神经网络控制，自适应控制和超扭曲滑模控制的优点。

本发明中主要采用的技术方案为：

微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统，所述控制系统包括参考模型、滑模面、自适应律、双反馈模糊神经网络逼近模型、超扭曲模糊滑模控制器和微陀螺系统，其中，参考模型为控制系统提供参考信号，双反馈模糊神经网络逼近模型用于逼近微陀螺系统的未知模型，与超扭曲模糊滑模控制器共同形成整个控制系统的控制器，并且双反馈模糊神经网络的参数根据所设计的自适应律实现全调节，其中，所述超扭曲模糊滑模控制器包括超扭曲滑模控制器和等效滑模控制器。

微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法，具体步骤如下：

步骤1：结合参考模型，建立微陀螺系统的无量纲动力学方程及微陀螺系统的等效模型；

步骤2：设计微陀螺系统的超扭曲滑模控制器，其中，超扭曲模糊滑模控制器的控制律包括等效滑模控制器的等效控制项u_eq和超扭曲滑模控制器的超扭曲滑模控制项u_sw；

步骤3：采用双反馈模糊神经网络逼近微陀螺系统的未知模型f，建立双反馈模糊神经网络逼近模型

步骤4：根据Lyapunov稳定性理论得到双反馈模糊神经网络中各项参数的自适应算法。

优选地，所述步骤1的具体步骤如下：

步骤1.1：建立微陀螺的数学模型，所述微陀螺包括被弹性材料支撑悬挂的基础质量块，静电驱动装置和感测装置，且在笛卡尔坐标系下简化为z轴微机械振动陀螺仪模型，根据旋转系中的牛顿定律，最终得到微陀螺的数学模型如式(1)所示：

式(1)中，m是基础质量块的质量，x,y为质量块在驱动轴和感测轴两轴的位置向量，d_xx,d_yy表示x,y两轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别是x,y两轴的弹簧系数，u_x,u_y分别表示x,y两轴的控制输入，k_xy，d_xy分别为制造误差引起的耦合弹簧系数和阻尼系数，Ω_z表示微陀螺工作环境中的角速度，

分别为x,y两轴方向所受的科里奥利力；

步骤1.2：对式(1)进行无量纲化处理，将式(1)的两侧同时除以微陀螺基础质量块的质量m，参考长度q₀，两轴的共振频率的平方ω₀ ²，则(1)式中，各无量纲量的表达式如式(2)所示：

根据式(2)的无量纲化处理得到微陀螺无量纲动力学方程如式(3)所示：

步骤1.3：对微陀螺无量纲化模型进行等效变化，初步获得微陀螺系统的等效模型，如式(4)所示：

其中，

步骤1.4：根据微陀螺系统的参数不确定性和外界干扰，将式(4)所示的微陀螺系统的等效模型修改为式(5)所示：

式(5)中，ΔD为惯性矩阵D+2Ω的未知参数的不确定性，ΔK为矩阵K的未知参数的不确定性，d为外界干扰；

步骤1.5：定义

则式(5)进一步表示为：

定义未知模型

式(7)中，

其中，

表示系统集总参数的不确定性和外界干扰，满足

其中，ρ为系统集总参数不确定性和外界干扰的上界值，且不确定性和外界干扰的导数满足

δ为系统集总参数不确定性和外界干扰导数的上界值，δ为正的常数。

优选地，所述步骤2的具体步骤如下：

步骤2.1：设计滑模面如式(9)所示：

式(9)中，c为滑模面常数，e,

分别为跟踪误差和跟踪误差的导数，所述跟踪误差e＝q-q_r＝[q₁-q_r1,q₂-q_r2]^T，其中，q为微陀螺系统的输出轨迹，q_r为微陀螺系统的参考模型，所述跟踪误差的导数如式(10)所示：

因此，将式(10)代入式(9)中，并对其求导可得

步骤2.2：设计等效滑模控制器的等效控制项u_eq，将式(7)和式(8)代入式(11)可得：

在不考虑误差及外界干扰时，令

得到等效滑模控制器的等效控制项u_eq如式(13)所示：

步骤2.3：采用超扭曲滑模控制，得到超扭曲滑模控制器的超扭曲滑模控制项u_sw如式(14)所示：

式(14)中，k₁＞0,k₂＞0，并且

ρ为系统集总参数不确定性和外界干扰的上界值，δ为系统集总参数不确定性和外界干扰导数的上界值；

步骤2.4：结合式(13)和式(14)，超扭曲模糊滑模控制器的控制律u＝u_eq+u_sw，如式(15)所示：

优选地，所述步骤3的具体步骤如下：

步骤3.1：定义逼近模型

并利用此逼近模型

逼近式(15)中控制律的未知模型f，得到式(16)：

设存在最优权值w^*，最优基宽值b^*，最优中心向量c^*以及最优内层反馈增益

和最优外层反馈增益

来估计未知模型f，则f＝w^*Th^*+ξ，其中

ξ为映射误差；

步骤3.2：定义逼近模型

中各参数的逼近误差为：

因此系统未知模型f与逼近模型

之间的误差表示为：

定义微陀螺系统集总逼近误差为：

将式(19)代入式(18)可得：

步骤3.3：为了使双反馈模糊神经网络逼近器的各项参数实现在线的自适应调节，对

进行泰勒展开，得到的表达式如下：

其中，O_h为高阶项，系数矩阵dh_c,dh_b,

的表达形式如下所示：

将式(21)代入式(20)得：

其中，逼近误差总和为：

假设逼近误差总和及其导数是有界的，并且有

其中O_d为逼近误差总和导数的上界值，O_d为正常数。

优选地，所述步骤4的具体步骤如下：

步骤4.1选择如下Lyapunov函数对系统的稳定性证明：

其中，定义：

其中，η₁、η₂、η₃、η₄、η₅表示自适应增益值，将(25)式代入(24)式，并对式(24)进行求导得：

将式(12)及式(16)代入式(26)得：

将式(23)代入式(27)得：

步骤4.2：利用矩阵求逆性质有：

因此，令

得双反馈模糊神经网络中权值的自适应律为：

同理，得双反馈模糊神经网络的中心向量

基宽

内层反馈增益

以及外层反馈增益

的自适应律为：

步骤4.3：将自适应律(34)～(38)代入(28)式得：

因为

所以(28)式可以化简为：

因此只要使k₂满足k₂≥δ+O_d，即能保证：

根据Lyapunov稳定性理论可知，

能够保证系统达到稳定状态，滑模面及其滑模面的导数能够在有限时间内收敛到零，

的半负定确保了V,s均是有界的，再根据Barbalat定理及其推论，s(t)将趋于零，即

进而也有滑模面函数中的e、

都会收敛到0。

优选地，所述微陀螺系统的参考模型为：

且选取稳定正弦振荡，其中：x＝A₁sin(ω₁t)，y＝A₂sin(ω₂t)，其中A₁,A₂表示参考模型正弦信号的幅值，ω₁,ω₂表示参考模型正弦信号的频率。

有益效果：本发明提出微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法，相比于传统的神经网络控制，本发明设计的双闭环模糊神经网络具有全调节的优势，可以任意设定中心向量及基宽的初值，中心向量、基宽值以及神经网络的权值都会随着所设计的自适应算法根据不同的输入自适应调整到最佳值，自适应算法通过Lyapunov稳定性理论得出，动态双反馈神经网络由于加入了信号回归回路，能够存储更多的信息，对微陀螺系统未知模型逼近的精度更高，同时结合高阶超扭曲算法的优越性，能够有效抑制系统的控制输入抖振，能够保证系统在有限时间内收敛，快速精确跟踪参考轨迹，从而提高控制系统性能，并利用MATLAB对算法的优越性进行了实验验证。本发明的控制方法设计简易，应用方便，进一步扩展了微陀螺的应用范围，能够实现对被控系统的有效控制，使微陀螺系统的轨迹跟踪具有较强的鲁棒性，较快的收敛速度以及较高的精确度。保证微陀螺的轨迹能够准确有效地跟踪其参考轨迹，确保系统全局渐进稳定，改善系统的鲁棒性，提高系统的灵敏度和精确度。

附图说明

图1为本发明实例中微陀螺系统的简化模型图；

图2为本发明实例中基于双反馈模糊神经网络的自适应超扭曲控制系统结构框图；

图3为本发明实例中微陀螺系统X轴位置与速度跟踪曲线；

图4为本发明实例中微陀螺系统Y轴位置与速度跟踪曲线；

图5为本发明实例中微陀螺系统X轴Y轴位置跟踪误差曲线；

图6为本发明实例中微陀螺系统X轴Y轴控制输入曲线；

图7为本发明实例中微陀螺系统X轴Y轴滑模面收敛曲线；

图8为本发明实例中微陀螺系统X轴Y轴未知模型逼近曲线；

图9为本发明实例中微陀螺系统X轴Y轴未知模型逼近误差曲线。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请中的技术方案，下面对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本申请保护的范围。

下面结合附图对本发明的技术方案做了进一步的详细说明：

微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统，所述控制系统包括参考模型、滑模面、自适应律、双反馈模糊神经网络逼近模型、超扭曲模糊滑模控制器和微陀螺系统，其中，参考模型为控制系统提供参考信号，双反馈模糊神经网络逼近模型用于逼近微陀螺系统的未知模型，与超扭曲模糊滑模控制器共同形成整个控制系统的控制器，并且双反馈模糊神经网络的参数根据所设计的自适应律实现全调节，其中，所述超扭曲模糊滑模控制器包括超扭曲滑模控制器和等效滑模控制器。

微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法，具体步骤如下：

步骤1：结合参考模型，建立微陀螺系统的无量纲动力学方程及微陀螺系统的等效模型；

步骤2：设计微陀螺系统的超扭曲滑模控制器，其中，超扭曲模糊滑模控制器的控制律包括等效滑模控制器的等效控制项u_eq和超扭曲滑模控制器的超扭曲滑模控制项u_sw；

步骤3：采用双反馈模糊神经网络逼近微陀螺系统的未知模型f，建立双反馈模糊神经网络逼近模型

步骤4：根据Lyapunov稳定性理论得到双反馈模糊神经网络中各项参数的自适应算法。

优选地，所述步骤1的具体步骤如下：

步骤1.1：建立微陀螺的数学模型，所述微陀螺包括被弹性材料支撑悬挂的基础质量块，静电驱动装置和感测装置，且在笛卡尔坐标系下简化为z轴微机械振动陀螺仪模型，根据旋转系中的牛顿定律，最终得到微陀螺的数学模型如式(1)所示：

式(1)中，m是基础质量块的质量，x,y为质量块在驱动轴和感测轴两轴的位置向量，d_xx,d_yy表示x,y两轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别是x,y两轴的弹簧系数，u_x,u_y分别表示x,y两轴的控制输入，k_xy，d_xy分别为制造误差引起的耦合弹簧系数和阻尼系数，Ω_z表示微陀螺工作环境中的角速度，

分别为x,y两轴方向所受的科里奥利力；

步骤1.2：对式(1)进行无量纲化处理，将式(1)的两侧同时除以微陀螺基础质量块的质量m，参考长度q₀，两轴的共振频率的平方ω₀ ²，则(1)式中，各无量纲量的表达式如式(2)所示：

根据式(2)的无量纲化处理得到微陀螺无量纲动力学方程如式(3)所示：

步骤1.3：对微陀螺无量纲化模型进行等效变化，初步获得微陀螺系统的等效模型，如式(4)所示：

其中，

步骤1.4：根据微陀螺系统的参数不确定性和外界干扰，将式(4)所示的微陀螺系统的等效模型修改为式(5)所示：

式(5)中，ΔD为惯性矩阵D+2Ω的未知参数的不确定性，ΔK为矩阵K的未知参数的不确定性，d为外界干扰；

步骤1.5：定义

则式(5)进一步表示为：

定义未知模型

式(7)中，

其中，

表示系统集总参数的不确定性和外界干扰，满足

其中，ρ为系统集总参数不确定性和外界干扰的上界值，且不确定性和外界干扰的导数满足

δ为系统集总参数不确定性和外界干扰导数的上界值，δ为正的常数。

优选地，所述步骤2的具体步骤如下：

步骤2.1：设计滑模面如式(9)所示：

式(9)中，c为滑模面常数，e,

分别为跟踪误差和跟踪误差的导数，所述跟踪误差e＝q-q_r＝[q₁-q_r1,q₂-q_r2]^T，其中，q为微陀螺系统的输出轨迹，q_r为微陀螺系统的参考模型，所述跟踪误差的导数如式(10)所示：

因此，将式(10)代入式(9)中，并对其求导可得

步骤2.2：设计等效滑模控制器的等效控制项u_eq，将式(7)和式(8)代入式(11)可得：

在不考虑误差及外界干扰时，令

得到等效滑模控制器的等效控制项u_eq如式(13)所示：

步骤2.3：采用超扭曲滑模控制，得到超扭曲滑模控制器的超扭曲滑模控制项u_sw如式(14)所示：

式(14)中，k₁＞0,k₂＞0，并且

ρ为系统集总参数不确定性和外界干扰的上界值，δ为系统集总参数不确定性和外界干扰导数的上界值；

步骤2.4：结合式(13)和式(14)，超扭曲模糊滑模控制器的控制律u＝u_eq+u_sw，如式(15)所示：

优选地，所述步骤3的具体步骤如下：

步骤3.1：定义逼近模型

并利用此逼近模型

逼近式(15)中控制律的未知模型f，得到式(16)：

设存在最优权值w^*，最优基宽值b^*，最优中心向量c^*以及最优内层反馈增益

和最优外层反馈增益

来估计未知模型f，则f＝w^*Th^*+ξ，其中

ξ为映射误差；

步骤3.2：定义逼近模型

中各参数的逼近误差为：

因此系统未知模型f与逼近模型

之间的误差表示为：

定义微陀螺系统集总逼近误差为：

将式(19)代入式(18)可得：

步骤3.3：为了使双反馈模糊神经网络逼近器的各项参数实现在线的自适应调节，对

进行泰勒展开，得到的表达式如下：

其中，O_h为高阶项，系数矩阵dh_c,dh_b,

的表达形式如下所示：

将式(21)代入式(20)得：

其中，逼近误差总和为：

假设逼近误差总和及其导数是有界的，并且有

其中O_d为逼近误差总和导数的上界值，O_d为正常数。

优选地，所述步骤4的具体步骤如下：

步骤4.1选择如下Lyapunov函数对系统的稳定性证明：

其中，定义：

其中，η₁、η₂、η₃、η₄、η₅表示自适应增益值，将(25)式代入(24)式，并对式(24)进行求导得：

将式(12)及式(16)代入式(26)得：

将式(23)代入式(27)得：

步骤4.2：利用矩阵求逆性质有：

因此，令

得双反馈模糊神经网络中权值的自适应律为：

同理，得双反馈模糊神经网络的中心向量

基宽

内层反馈增益

以及外层反馈增益

的自适应律为：

步骤4.3：将自适应律(34)～(38)代入(28)式得：

因为

所以(28)式可以化简为：

因此只要使k₂满足k₂≥δ+O_d，即能保证：

根据Lyapunov稳定性理论可知，

能够保证系统达到稳定状态，滑模面及其滑模面的导数能够在有限时间内收敛到零，

的半负定确保了V,s均是有界的，再根据Barbalat定理及其推论，s(t)将趋于零，即

进而也有滑模面函数中的e、

都会收敛到0。

优选地，所述微陀螺系统的参考模型为：

且选取稳定正弦振荡，其中：x＝A₁sin(ω₁t)，y＝A₂sin(ω₂t)，其中A₁,A₂表示参考模型正弦信号的幅值，ω₁,ω₂表示参考模型正弦信号的频率。实施例：本发明的实验仿真分析

利用MATLAB/Simulink仿真软件，对本文所提出基于双反馈模糊神经网络的微陀螺系统自适应超扭曲滑模控制进行数值仿真实验，验证此算法的可行性和有效性，微陀螺系统参数选择如下：

m＝1.8×10^-7kg，k_xx＝63.955N/m,k_yy＝95.92N/m，k_xy＝12.779N/m

d_xx＝1.8×10^-6N s/m，d_yy＝1.8×10^-6N s/m,d_xy＝3.6×10^-7N s/m

假定微陀螺系统输入的角速度为Ω_z＝100rad/s。为了使数值仿真更易实现，简化控制器设计，对微陀螺系统，我们对其进行无量纲化处理，选取参考长度为q₀＝1μm，参考频率为ω₀＝1000Hz，得到微陀螺系统的无量纲参数如下：

ω_x ²＝355.3，ω_y ²＝532.9，ω_xy＝70.99，d_xx＝0.01

d_yy＝0.01，d_xy＝0.002，Ω_z＝0.1

微陀螺系统无量纲参数矩阵如下：

因此系统的无量纲参数可表示为：

仿真实验中，设系统的初始条件为：q1(0)＝1.0,

q2(0)＝0.5,

微陀螺的两轴期望运行轨迹为：q_r1＝-sin(0.5πt),q_r2＝-sin(0.5πt)，滑模控制中，取滑模面的参数c＝70。Super-Twisting切换控制律中，取k₁＝20,k₂＝30，当微陀螺系统参数摄动10％，外界干扰取白噪声信号。双反馈模糊神经网络控制器相关参数选取如下：选取自适应增益值为η₁＝250000,η₂＝10000,η₃＝10000,η₄＝10000,η₅＝10000，任意设定b,c,w,w_r,w_ro的初始值，选取陀螺仪位置跟踪误差e作为网络输入层的输入。仿真结果如图3至图9所示。

图3至图5分别代表X轴Y轴的位置与速度跟踪曲线以及位置跟踪误差曲线，从图中可以看出系统在基于双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制下，系统的输出信号能够在有限时间内快速并精确地跟踪系统输入的参考信号，并且跟踪效果较好，跟踪误差能够快速收敛至零。因此，控制系统能够在有限时间内快速地达到稳定状态，实现控制系统所要求的控制目标，达到较好的控制效果。

图6为微陀螺系统在双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制律下X轴和Y轴的控制输入曲线，从图中可以看出，本文所提出的控制方法可以有效抑制系统控制输入抖振，控制输入曲线较为平滑，因此可以达到较好的控制效果。

图7为系统在双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制律下的X轴和Y轴的滑模面收敛曲线，结果显示，滑模面能够在有限时间内迅速收敛至零，同时也表明，该系统可以在有限时间内达到滑模面，并且稳定在滑模面上，达到滑动稳定区域，保证了控制系统的有效性和稳定性。

图8至图9表示系统未知模型逼近曲线以及系统未知模型逼近误差曲线，从图中可以看出本发明所提出的双反馈模糊神经网络可以有效地逼近系统的未知模型，与实际模型相比较逼近效果较好，因此，可以使系统的控制不依赖于其精确的数学模型，简化了控制系统设计，提高了控制效率，使控制系统能够达到所要求的的动态、静态性能。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法，其特征在于，控制系统包括参考模型、滑模面、自适应律、双反馈模糊神经网络逼近模型、超扭曲模糊滑模控制器和微陀螺系统，其中，参考模型为控制系统提供参考信号，双反馈模糊神经网络逼近模型用于逼近微陀螺系统的未知模型，与超扭曲模糊滑模控制器共同形成整个控制系统的控制器，并且双反馈模糊神经网络的参数根据所设计的自适应律实现全调节，其中，所述超扭曲模糊滑模控制器包括超扭曲滑模控制器和等效滑模控制器，其具体步骤如下：

步骤1：结合参考模型，建立微陀螺系统的无量纲动力学方程及微陀螺系统的等效模型；所述步骤1的具体步骤如下：

步骤1.1：建立微陀螺的数学模型，所述微陀螺包括被弹性材料支撑悬挂的基础质量块，静电驱动装置和感测装置，且在笛卡尔坐标系下简化为z轴微机械振动陀螺仪模型，根据旋转系中的牛顿定律，最终得到微陀螺的数学模型如式(1)所示：

式(1)中，m是基础质量块的质量，x,y为质量块在驱动轴和感测轴两轴的位置向量，d_xx,d_yy表示x,y两轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别是x,y两轴的弹簧系数，u_x,u_y分别表示x,y两轴的控制输入，k_xy，d_xy分别为制造误差引起的耦合弹簧系数和阻尼系数，Ω_z表示微陀螺工作环境中的角速度，

分别为x,y两轴方向所受的科里奥利力；

步骤1.2：对式(1)进行无量纲化处理，将式(1)的两侧同时除以微陀螺基础质量块的质量m，参考长度q₀，两轴的共振频率的平方ω₀ ²，则(1)式中，各无量纲量的表达式如式(2)所示：

根据式(2)的无量纲化处理得到微陀螺无量纲动力学方程如式(3)所示：

步骤1.3：对微陀螺无量纲化模型进行等效变化，初步获得微陀螺系统的等效模型，如式(4)所示：

其中，

步骤1.4：根据微陀螺系统的参数不确定性和外界干扰，将式(4)所示的微陀螺系统的等效模型修改为式(5)所示：

式(5)中，ΔD为惯性矩阵D+2Ω的未知参数的不确定性，ΔK为矩阵K的未知参数的不确定性，d为外界干扰；

步骤1.5：定义

则式(5)进一步表示为：

定义未知模型

式(7)中，

其中，

表示系统集总参数的不确定性和外界干扰，满足

其中，ρ为系统集总参数不确定性和外界干扰的上界值，且不确定性和外界干扰的导数满足

δ为系统集总参数不确定性和外界干扰导数的上界值，δ为正的常数；

步骤2：设计微陀螺系统的超扭曲滑模控制器，其中，超扭曲模糊滑模控制器的控制律包括等效滑模控制器的等效控制项u_eq和超扭曲滑模控制器的超扭曲滑模控制项u_sw，所述步骤2的具体步骤如下：

步骤2.1：设计滑模面如式(9)所示：

式(9)中，c为滑模面常数，e,

分别为跟踪误差和跟踪误差的导数，所述跟踪误差e＝q-q_r＝[q₁-q_r1,q₂-q_r2]^T，其中，q为微陀螺系统的输出轨迹，q_r为微陀螺系统的参考模型，所述跟踪误差的导数如式(10)所示：

因此，将式(10)代入式(9)中，并对其求导可得

步骤2.2：设计等效滑模控制器的等效控制项u_eq，将式(7)和式(8)代入式(11)可得：

在不考虑误差及外界干扰时，令

得到等效滑模控制器的等效控制项u_eq如式(13)所示：

步骤2.3：采用超扭曲滑模控制，得到超扭曲滑模控制器的超扭曲滑模控制项u_sw如式(14)所示：

式(14)中，k₁＞0,k₂＞0，并且

ρ为系统集总参数不确定性和外界干扰的上界值，δ为系统集总参数不确定性和外界干扰导数的上界值；

步骤2.4：结合式(13)和式(14)，超扭曲模糊滑模控制器的控制律u＝u_eq+u_sw，如式(15)所示：

步骤3：采用双反馈模糊神经网络逼近微陀螺系统的未知模型f，建立双反馈模糊神经网络逼近模型

所述步骤3的具体步骤如下：

步骤3.1：定义逼近模型

并利用此逼近模型

逼近式(15)中控制律的未知模型f，得到式(16)：

设存在最优权值w^*，最优基宽值b^*，最优中心向量c^*以及最优内层反馈增益

和最优外层反馈增益

来估计未知模型f，则f＝w^*Th^*+ξ，其中

ξ为映射误差；

步骤3.2：定义逼近模型

中各参数的逼近误差为：

因此系统未知模型f与逼近模型

之间的误差表示为：

定义微陀螺系统集总逼近误差为：

将式(19)代入式(18)可得：

步骤3.3：为了使双反馈模糊神经网络逼近器的各项参数实现在线的自适应调节，对

进行泰勒展开，得到的表达式如下：

其中，O_h为高阶项，系数矩阵dh_c,dh_b,

的表达形式如下所示：

将式(21)代入式(20)得：

其中，逼近误差总和为：

假设逼近误差总和及其导数是有界的，并且有

其中O_d为逼近误差总和导数的上界值，O_d为正常数；

步骤4：根据Lyapunov稳定性理论得到双反馈模糊神经网络中各项参数的自适应算法，所述步骤4的具体步骤如下：

步骤4.1选择如下Lyapunov函数对系统的稳定性证明：

其中，定义：

其中，η₁、η₂、η₃、η₄、η₅表示自适应增益值，将(25)式代入(24)式，并对式(24)进行求导得：

将式(12)及式(16)代入式(26)得：

将式(23)代入式(27)得：

步骤4.2：利用矩阵求逆性质有：

因此，令

得双反馈模糊神经网络中权值的自适应律为：

同理，得双反馈模糊神经网络的中心向量

基宽

内层反馈增益

以及外层反馈增益

的自适应律为：

步骤4.3：将自适应律(34)～(38)代入(28)式得：

因为

所以(28)式可以化简为：

因此只要使k₂满足k₂≥δ+O_d，即能保证：

根据Lyapunov稳定性理论可知，

能够保证系统达到稳定状态，滑模面及其滑模面的导数能够在有限时间内收敛到零，

的半负定确保了V,s均是有界的，再根据Barbalat定理及其推论，s(t)将趋于零，即

进而也有滑模面函数中的e、

都会收敛到0。

2.根据权利要求1所述的微陀螺双反馈模糊神经网络超扭曲滑模控制系统设计方法，其特征在于，所述微陀螺系统的参考模型为：

且选取稳定正弦振荡，其中：x＝A₁ sin(ω₁t)，y＝A₂ sin(ω₂t)，其中A₁,A₂表示参考模型正弦信号的幅值，ω₁,ω₂表示参考模型正弦信号的频率。

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