CN108710296A - 微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，包括：建立微陀螺仪系统的无量纲动力学方程数学模型和参考轨迹模型；构建基于分数阶的自适应快速终端滑模控制器。本发明能够实现微陀螺仪实时跟踪的目标，使误差在有限时间内快速收敛到零，增强了系统的鲁棒性，在有外界干扰的情况下仍然保持很好的性能；根据分数阶快速终端滑模面设计分数阶自适应律，基于Lyapunov稳定性判据设计一种自适应辨识方法，在线实时估计微陀螺仪的各项未知系统参数，与整数阶相比，多了可调项，提高了控制效果和参数估计效果；采用自适应控制方法对系统不确定性和外界干扰总和的上界的参数进行估计，达到对制造误差和外界扰动的自动跟踪。

Description

微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法

技术领域

本发明涉及微陀螺仪控制技术领域，具体是一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法。

背景技术

微陀螺仪是测量惯性导航和惯性制导系统角速度的传感器，因为它在任何环境下都能够自主导航，所以自出现以来就受到人们的广泛关注，在航天、航海、航空和军事等领域得到了普遍的应用。但是生产和制造过程中存在误差且易受温度影响，造成元件特性与设计之间的差异，从而导致微陀螺仪的性能降低。另外，微陀螺仪属于多输入多输出系统并且系统参数存在不确定性及易受外界环境的影响，使得陀螺仪追踪效果并不理想。传统的滑模控制方法中滑模面的设计都是采用误差的比例、微分或积分的线性组合，其中微分或积分的阶数都是整数，微陀螺仪的跟踪效果比较差，系统参数和角速度估计效果也比较差，容易引起抖振。

发明内容

本发明为了避免上述不足之处，提出一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，在线实时估计陀螺仪参数矩阵，有效提高控制效果和参数估计效果，保证系统的跟踪误差在有限时间内收敛到零，并且有效降低抖振。

本发明采用的技术方案是：

一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，包括如下步骤：

一、建立微陀螺仪系统的无量纲动力学方程数学模型；

二、构建微陀螺仪系统的参考轨迹模型；

三、构建基于分数阶的自适应快速终端滑模控制器，首先，基于Lyapunov稳定性理论设计分数阶快速终端滑模控制器，确保系统状态可以在很短的有限时间内收敛到平衡点；然后，设计分数阶自适应快速终端滑模控制律，在线实时估计微陀螺仪的系统参数；最后，为了避免控制系统的抖振现象，采用自适应方法对系统不确定性和外界干扰总和上界的参数进行估计，达到对制造误差和外界扰动的自动跟踪。

本发明的微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法中，首先采用分数阶快速终端滑模面，根据Lyapunov函数设计带有分数阶的快速终端滑模控制律，快速终端滑模保证系统的跟踪误差迅速在有限时间内收敛到零。再通过调节分数阶阶数，来提高系统的跟踪性能。然后，采用自适应控制的方法对系统不确定性和外界干扰总和的上界的参数进行估计，设计分数阶自适应快速终端滑模控制器，达到对制造误差和外界干扰的自动跟踪，从而减小系统抖振。

具体地，Lyapunov(李雅普诺夫)函数V(x,t)是可以根据需要自由选取的，但是要符合李雅普诺夫函数的要求(即李雅普诺夫稳定性判据)，即V(x,t)是正定的，当x≠0时， V(x,t)＞0；当x＝0时，V(0,t)＝0，具有连续的偏导数；V(x,t)的一阶导是负半定的。

优选地，所述步骤一中：所述微陀螺仪的无量纲动力学方程数学模型为：

其中，q为微陀螺仪数学模型无量纲化后的位置向量，表示对位置向量q求一阶导数，表示对位置向量q求二阶导数；D_b为无量纲化后阻尼矩阵，K为无量纲化后弹簧系数矩阵，Ω为无量纲化后角速度矩阵，u为微陀螺仪的控制输入，f为系统不确定性和外界干扰总和，且有：

其中，ΔD_b为惯性矩阵D_b+2Ω的未知参数的不确定性，ΔK为惯性矩阵K的未知参数的不确定性，d(t)是外界干扰；

假设系统不确定性和外界干扰总和满足：

其中，||f||表示求向量f的模，b₀,b₁,b₂是系统的不确定性和外界干扰的上界的参数，为正常数。

优选地，所述步骤二中：所述微陀螺仪系统的参考轨迹模型为：：

q_r1＝A₁sin(ω₁t)，q_r2＝A₂sin(ω₂t) (4)

其中q_r1、q_r2是指x轴、y轴两轴的参考轨迹模型；A₁、A₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上的振幅；ω₁、ω₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上给定的振动频率；t是时间变量。

优选地，所述步骤三中，基于Lyapunov稳定性理论，设计分数阶快速终端滑模控制器，设计步骤包括：

定义微陀螺仪实际位置和参考轨迹之间的跟踪误差e为：

e＝q-q_r (5)

其中，q_r为微陀螺仪系统两轴的参考轨迹；

针对微陀螺仪设计分数阶终快速端滑模面s为：

其中，λ₁,λ₂,γ为正实数，0＜γ＜1，D^α-1e是指对e求α-1阶导，这是分数阶专用的写法，D 表示求导，α是指分数阶的阶数，|e|表示对e求绝对值，sign为符号函数，则微陀螺仪分数阶快速终端滑模面s的导数为：

其中，D^αe是对D^α-1e求导的结果；

不考虑系统参数不确定性和外界干扰，令得到等效控制律u_eq为：

不连续的控制项Δu为：

则基于分数阶的快速终端滑模控制律设计为：

设计Lyapunov函数V₁为：

对上式两边求导并代入u'，得到说明微陀螺仪系统是稳定的。

优选地，所述步骤三中，基于分数阶的自适应快速终端滑模控制律设计步骤包括：

定义微陀螺仪无量纲化模型中估计误差以及系统不确定性和外界干扰总和上界的参数估计误差分别为：

其中，分别是微陀螺仪参数矩阵D_b,K,Ω的估计值，分别为参数矩阵D_b,K,Ω的参数估计误差；是系统不确定性和外界干扰总和上界的参数估计值，为相应的估计误差；

基于分数阶的自适应快速终端滑模控制律u为：

其中：

定义Lyapunov函数V为：

其中，M＝M^T＞0，N＝N^T＞0，P＝P^T＞0为对称正定矩阵，tr{·}表示矩阵的求迹运算，x_i为正常数；

为了保证Lyapunov函数的导数在线实时估计微陀螺仪的系统参数以及系统不确定性和外界干扰总和上界的参数，设计微陀螺仪参数矩阵D_b,K,Ω的估计值和系统不确定和外界干扰总和上界参数估计值的自适应律分别为：

为陀螺仪系统阻尼矩阵D_b的估计值的自适应律的转置，为陀螺仪系统的弹簧系数矩阵 K的估计值的自适应律的转置，为陀螺仪角速度矩阵的估计值的自适应律的转置；当选取上述参数自适应律时，满足李雅普诺夫稳定性定理，保证微陀螺仪系统全局稳定性。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：1)本发明设计快速终端滑模面，确保了系统跟踪误差迅速在有限时间内收敛到零；在此基础上引入分数阶，即带有偏差的分数阶导数的快速终端滑模面，则多了可以调节的微分阶数项，增加了调节自由度，使得控制效果有所改善；当微陀螺仪系统参数和角速度看作未知变量时，基于Lyapunov稳定性理论，设计参数的自适应律，实时更新微陀螺仪的角速度和其他系统参数的估计值；同时，考虑到制造误差和外界扰动的上界未知的情况，采用自适应方法对系统不确定性和外界干扰总和上界的参数进行估计，达到对制造误差和外界干扰的自动跟踪；2)本发明具有提高陀螺仪系统控制性能和鲁棒性的特点，能够实现微陀螺仪较好的跟踪效果，使跟踪误差在有限时间内收敛到零并且降低系统抖振，以及辨识出系统参数和角速度，辨识系统参数可以了解系统的物理参数，如果某个参数距离给定的值很远，说明系统内部出现问题，需要更换原件等。

附图说明

图1为本发明分数阶自适应快速终端滑模控制系统的原理图；

图2为本发明采用自适应快速终端滑模控制方法的微陀螺仪X,Y轴跟踪效果图；

图3为本发明采用自适应快速终端滑模控制方法的跟踪误差图；

图4为本发明采用自适应快速终端滑模控制方法的两轴控制输入响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

如图1所示，一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，包括以下步骤：

一、建立微陀螺仪系统的无量纲动力学方程数学模型

一般的微机械振动陀螺仪由三个部分组成：弹性材料所支撑悬挂的质量块、静电驱动装置和感测装置，将其简化为一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振荡系统。对z轴微陀螺仪而言，可以认为质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动，只围绕z轴旋转。

根据旋转系中的牛顿定律，考虑加工制造误差，再对数学模型进行无量纲化处理及等效变换后，得到的微陀螺仪的数学模型如下：

其中：q为微陀螺仪数学模型无量纲化后的位置向量，q₁,q₂分别为微陀螺仪数学模型无量纲化后x轴、y轴的位置向量；为参考位移，Q₁，Q₂分别为微陀螺仪x轴、y轴的位置；表示对位置向量q求一阶导数，表示对位置向量q求二阶导数；为微陀螺仪的控制输入，u_x,u_y分别表示x轴和y轴的控制输入；为无量钢化后阻尼矩阵，其中，箭头→表示后者由前者计算得到是等于关系，D_xx,D_yy分别为微陀螺仪x轴、y轴的阻尼系数，D_xy为两轴的耦合阻尼系数，m为陀螺仪的质量，ω₀为两轴的共振频率；为无量纲化后弹簧系数矩阵，其中，k_xx,k_yy分别为微陀螺仪x轴、y轴的弹簧系数，k_xy为两轴耦合的弹簧系数；为无量纲化后角速度矩阵，其中Ω^* _z为z轴方向上的输入角速度，微陀螺仪是沿着x-y平面运动，但是同时它也在围绕z轴旋转，所以有z轴角速度；ΔD_b为惯性矩阵D_b+2Ω的未知参数的不确定性，ΔK为惯性矩阵K的未知参数的不确定性，d(t)是外界干扰。

从而式(1)可以改写为：

其中，f为系统不确定性和外界干扰总和，且有：

假设系统不确定性和外界干扰总和满足：

b₀,b₁,b₂是系统的不确定性和外界干扰的上界的参数，为正常数，||f||表示求向量的模值。

二、构建微陀螺仪系统的参考轨迹模型

微陀螺仪的理想动态特性是一种无能量损耗，x轴、y轴两轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，参考轨迹模型描述如下：

q_r1＝A₁sin(ω₁t)，q_r2＝A₂sin(ω₂t) (5)

其中q_r1、q_r2是指x轴、y轴两轴的参考轨迹模型；A₁、A₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上的振幅；ω₁、ω₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上给定的振动频率；t是时间变量。

将(5)式转化成微分方程形式为：

其中，q_r＝[q_r1 q_r2]^T为微陀螺仪系统两轴的参考轨迹，表示对x轴、y轴的参考轨迹q_r求二阶导，K_r＝diag(ω₁ ²,ω₂ ²)，diag()表示对角矩阵，矩阵K_r表示微陀螺仪在x轴、y轴方向上给定的振动频率的对角矩阵。

三、构建基于分数阶的自适应快速终端滑模控制器

基于分数阶的自适应快速终端滑模控制器设计步骤如下：

3.1)基于Lyapunov稳定性方法设计分数阶快速终端滑模控制器，确保系统状态迅速在有限时间内收敛至平衡点。

定义微陀螺仪实际位置和参考轨迹之间的跟踪误差e为：

e＝q-q_r (7)

其中，q_r为微陀螺仪系统x、y轴的参考轨迹。

针对微陀螺仪设计分数阶终快速端滑模面s为：

其中，λ₁,λ₂,γ为正实数，0＜γ＜1，D^α-1e是指对e求α-1阶导，这是分数阶专用的写法，D 表示求导，α是指分数阶的阶数，|e|表示对e求绝对值，sign为符号函数，则微陀螺仪分数阶快速终端滑模面s的导数为：

其中，D^αe是对D^α-1e求导的结果。

不考虑系统参数不确定性和外界干扰，令得到等效控制律u_eq为：

不连续的控制项Δu为：

则基于分数阶的快速终端滑模控制律u'设计为：

稳定性证明：

设计Lyapunov函数V₁为：

对上式两边求导并代入公式(4)、(9)、(12)可以得到：

根据Lyapunov稳定性判据可以证明微陀螺仪系统是稳定的；

3.2)设计基于分数阶的自适应快速终端滑模控制器的控制律u：

由于微陀螺仪无量纲化模型中D_b,K,Ω三个参数是未知的，并且在实际应用过程中，系统存在不确定性和外界干扰，因此基于分数阶的快速终端滑模控制律u'公式(12)不能直接应用。基于自适应理论知识，用估计值代替(12)中的三个陀螺仪参数矩阵，设计三个参数估计值的自适应算法，在线实时更新估计；同时为了避免抖振问题，采用自适应控制的方法对系统不确定性和外界干扰总和的上界的参数进行估计，用估计值代替(12) 中系统不确定性和外界干扰总和上界的参数b₀,b₁,b₂，设计分数阶自适应快速终端滑模控制器，达到对制造误差和外界扰动的自动跟踪。

定义微陀螺仪无量纲化模型中参数估计误差以及系统不确定性和外界干扰总和上界的参数估计误差分别为：

基于分数阶的快速终端滑模控制律公式(12)可以转换为基于分数阶的自适应快速终端滑模控制律u：

其中：

稳定性证明：

将控制律式(16)代入公式(9)可得：

定义李雅普诺夫函数V为：

其中，M＝M^T＞0，N＝N^T＞0，P＝P^T＞0为对称正定矩阵，称作自适应固定增益矩阵，它们是可调整的参数，是可人为选取的；x_i为正常数；tr{·}表示矩阵的求迹运算。

对Lyapunov函数等式(19)两边求导并代入公式(18)得：

由于D_b＝D_b ^T,K＝K^T,Ω＝-Ω^T,并且为标量，因此：

同理可得：

将公式(21)、(22)代入公式(20)得：

为保证设计参数自适应律分别为：

为陀螺仪系统阻尼矩阵D_b的估计值的自适应律的转置，为陀螺仪系统的弹簧系数矩阵K的估计值的自适应律的转置，为陀螺仪角速度矩阵的估计值的自适应律的装置，是系统不确定性和外界干扰总和上界参数的自适应律。

那么V对时间t的微分变为：

由于满足李雅普诺夫稳定性定理，说明跟踪轨迹在有限时间内到达了滑模面，并停留在滑模面上，从而验证本发明所提出的控制方法能够实现对微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模的控制，具有鲁棒作用，提高了系统控制性能，使得跟踪效果更好且可以在有限时间内收敛到零，并且降低抖振，同时在线辨识微陀螺仪系统参数，从而了解微陀螺仪系统的物理参数，如果参数辨识中某个估计值距离给定的值D_b,K,Ω很远，说明系统内部出现问题，需要更换原件等。

为了更加直观地显示本发明提出的分数阶自适应快速终端滑模控制方法的优越性，在 MATLAB/SIMULINK对本发明控制方法进行计算机仿真实验。

参考现有文献，选取微陀螺仪的参数为：

m＝1.8×10^-7kg，D_xx＝1.8×10^-6N s/m，D_yy＝1.8×10^-6Ns/m，

D_xy＝3.6×10^-7Ns/m，k_xx＝63.955N/m，k_yy＝95.92N/m，k_xy＝12.779N/m。

假定未知的输入角速度为Ω_z ^*＝100rad/s。首先微陀螺仪参数进行无量纲化处理，对于振动式微陀螺仪，基础质量块沿x轴，y轴振动幅值在亚微米级别，参考位移选取为q₀＝1μm较为合理。因为微陀螺仪的操作频率在kHz范围，所以选取固有频率为ω₀＝1kHz。得到微陀螺仪的无量纲化参数为：

ω_x ²＝355.3，ω_y ²＝532.9，ω_xy＝70.99，d_xx＝0.01

d_yy＝0.01，d_xy＝0.002，Ω_z＝0.1

仿真实验中，设系统的初始条件为：q₁(0)＝0.5,q₂(0)＝0.5,q₁(0)，q₂(0)是指微陀螺仪在x轴、y轴的初始位置，此刻t＝0，微陀螺仪的两轴期望运行轨迹(参考轨迹) 为：q_r1＝sin(4.17t),q_r2＝1.2sin(5.11t)，三个参数矩阵的估计初值分别为：

在滑模控制律中，滑模面参数取λ₁＝10,λ₂＝0.5,γ＝0.5，取M＝N＝P＝diag(150,150),x₀＝1.0,x₁＝1.6,x₂＝1.6，取分数阶阶数α＝0.9。

当外界干扰取白噪声信号d＝[0.5*randn(1,1)；0.5*randn(1,1)]时，randn(1,1)表示产生随机数，仿真结果如图2至图4所示。

图2为微陀螺仪X、Y轴的跟踪曲线，从图中可以看出采用分数阶自适应快速终端滑模控制方法后微陀螺仪的X、Y轴轨迹能够很好追踪上参考轨迹。

图3为跟踪误差曲线图，从图中可以看出，X、Y轴上的跟踪误差e能在有限时间内收敛到零。

图4为两轴控制输入响应曲线。自适应方法对控制器中系统不确定性和外界干扰总和的上界的参数进行估计，有效降低了抖振。

本发明应用于微陀螺仪的基于分数阶自适应快速终端滑模控制方法，该方法对于微陀螺仪进行有效、可靠的控制，在对系统参数未知的情况下，能够有效估计出系统的各项参数，并且保证系统的全局稳定性。在滑模控制的设计中，选取分数阶快速终端滑模面，在保留滑模控制优势的基础上，又多了可以调节的微分阶数项，增加了调节自由度，改善了控制性能；快速终端滑模面保证了系统误差迅速在有限时间内收敛到零，提高了跟踪性能；基于自适应机制，设计自适应律，实时估计陀螺仪系统的参数和角速度；另外，采用自适应方法对系统不确定性和外界干扰总和的上界的参数进行估计，达到对制造误差和外界扰动的自动跟踪，有效降低了抖振。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上大的限制，虽然本发明以较佳实例揭露如上，然而并非用以限制本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实例，但凡是为脱离本发明的技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与装饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (5)

1.一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，其特征在于：包括如下步骤：

一、建立微陀螺仪系统的无量纲动力学方程数学模型；

二、构建微陀螺仪系统的参考轨迹模型；

三、构建基于分数阶的自适应快速终端滑模控制器，首先，基于Lyapunov稳定性理论设计分数阶快速终端滑模控制器，确保系统状态可以在很短的有限时间内收敛到平衡点；然后，设计分数阶自适应快速终端滑模控制律，在线实时估计微陀螺仪的系统参数；最后，为了避免控制系统的抖振现象，采用自适应方法对系统不确定性和外界干扰总和上界的参数进行估计，达到对制造误差和外界扰动的自动跟踪。

2.根据权利要求1中所述的一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，其特征在于：所述步骤一中：所述微陀螺仪的无量纲动力学方程数学模型为：

其中，q为微陀螺仪数学模型无量纲化后的位置向量，表示对位置向量q求一阶导数，表示对位置向量q求二阶导数；D_b为无量纲化后阻尼矩阵，K为无量纲化后弹簧系数矩阵，Ω为无量纲化后角速度矩阵，u为微陀螺仪的控制输入，f为系统不确定性和外界干扰总和，且有：

其中，ΔD_b为惯性矩阵D_b+2Ω的未知参数的不确定性，ΔK为惯性矩阵K的未知参数的不确定性，d(t)是外界干扰；假设系统不确定性和外界干扰总和满足：

其中，||f||表示求向量f的模，b₀,b₁,b₂是系统的不确定性和外界干扰的上界的参数，为正常数。

3.根据权利要求1中所述的一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，其特征在于：所述步骤二中：所述微陀螺仪系统的参考轨迹模型为：

q_r1＝A₁sin(ω₁t)，q_r2＝A₂sin(ω₂t) (4)

其中q_r1、q_r2是指x轴、y轴两轴的参考轨迹模型；A₁、A₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上的振幅；ω₁、ω₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上给定的振动频率；t是时间变量。

4.根据权利要求1中所述的一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，其特征在于：所述步骤三中，基于Lyapunov稳定性理论，设计分数阶快速终端滑模控制器，设计步骤包括：

定义微陀螺仪实际位置和参考轨迹之间的跟踪误差e为：

e＝q-q_r (5)

其中，q_r为微陀螺仪系统两轴的参考轨迹；

针对微陀螺仪设计分数阶终快速端滑模面s为：

其中，λ₁,λ₂,γ为正实数，0＜γ＜1，D^α-1e是指对e求α-1阶导，这是分数阶专用的写法，D表示求导，α是指分数阶的阶数，|e|表示对e求绝对值，sign为符号函数，则微陀螺仪分数阶快速终端滑模面s的导数为：

其中，D^αe是对D^α-1e求导的结果；

不考虑系统参数不确定性和外界干扰，令得到等效控制律u_eq为：

不连续的控制项Δu为：

则基于分数阶的快速终端滑模控制律设计为：

设计Lyapunov函数V₁为：

对上式两边求导并代入u'，得到说明微陀螺仪系统是稳定的。

5.根据权利要求4中所述的一种微陀螺仪的分数阶自适应快速终端滑模控制方法，其特征在于：所述步骤三中，基于分数阶的自适应快速终端滑模控制律u设计步骤包括：

定义微陀螺仪无量纲化模型中估计误差以及系统不确定性和外界干扰总和上界的参数估计误差分别为：

其中，分别是微陀螺仪参数矩阵D_b,K,Ω的估计值，分别为参数矩阵D_b,K,Ω的参数估计误差；是系统不确定性和外界干扰总和上界的参数估计值，为相应的估计误差；

基于分数阶的自适应快速终端滑模控制律u为：

其中：

定义Lyapunov函数V为：

其中，M＝M^T＞0，N＝N^T＞0，P＝P^T＞0为对称正定矩阵，tr{·}表示矩阵的求迹运算，x_i为正常数；

为了保证Lyapunov函数的导数在线实时估计微陀螺仪的系统参数以及系统不确定性和外界干扰总和上界的参数，设计微陀螺仪参数矩阵D_b,K,Ω的估计值和系统不确定和外界干扰总和上界参数估计值的自适应律分别为：

为陀螺仪系统阻尼矩阵D_b的估计值的自适应律的转置，为陀螺仪系统的弹簧系数矩阵K的估计值的自适应律的转置，为陀螺仪角速度矩阵的估计值的自适应律的转置，是系统不确定性和外界干扰总和上界参数的自适应律；当选取上述参数自适应律时，满足李雅普诺夫稳定性定理，保证微陀螺仪系统全局稳定性。