CN105204345A - 一种自适应分数阶滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种自适应分数阶滑模控制方法，包括：建立系统的数学模型和参考模型；根据系统的数学模型和参考模型建立分数阶滑模面；根据所述分数阶滑模面设计分数阶自适应律；根据所述分数阶滑模面和分数阶自适应律设计控制力；基于Lyapunov函数验证所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性。本发明提高了控制效果和参数估计效果。

Description

一种自适应分数阶滑模控制方法

技术领域

本发明涉及自动化控制技术领域，尤其涉及一种自适应分数阶滑模控制方法。

背景技术

通常，滑模控制中滑模面的设计都是采用误差的比例、积分、微分的组合，其中积分与微分的阶数都是整数，控制效果比较差，参数估计效果也比较差。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于，提供一种自适应分数阶滑模控制方法，提高控制效果和参数估计效果。

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种自适应分数阶滑模控制方法，包括：

建立系统的数学模型和参考模型；

根据系统的数学模型和参考模型建立分数阶滑模面；

根据所述分数阶滑模面设计分数阶自适应律；

根据所述分数阶滑模面和分数阶自适应律设计控制力；

基于Lyapunov函数验证所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性。

进一步的，所述建立系统的数学模型和参考模型，具体包括：

建立系统的数学模型为式中，X表示系统实际轨迹，A、B为系统参数矩阵，U表示控制力；F＝△AX+d为集总干扰，△A为系统参数不确定部分，d为外界干扰，且F存在上界ρ，并满足不等式ρ-|d|≥σ₁，ρ、σ₁为正数；

建立系统的参考模型为式中，X_m表示系统理想轨迹，A_m为参考系统参数矩阵，且A、B、A_m满足条件：存在一个矩阵K^*，使得系统参数矩阵A、B以及参考系统参数矩阵A_m满足A+BK^*T＝A_m。

进一步的，所述根据系统的数学模型和参考模型建立分数阶滑模面，具体包括：

根据系统的数学模型和参考模型计算得到跟踪误差e＝X-X_m；

根据所述跟踪误差建立分数阶滑模面S＝λ₁e+λ₂∫e+λ₃D^α-1e，式中，D^α-1为分数阶导数，λ₁，λ₂，λ₃为滑模面参数，且都为正数。

进一步的，所述根据所述分数阶滑模面设计分数阶自适应律，具体包括：

根据所述分数阶滑模面S设计分数阶自适应律式中，η₁表示为自适应参数，且为正数。

进一步的，所述根据所述分数阶滑模面和分数阶自适应律设计控制力，具体包括：

根据所述分数阶滑模面S和分数阶自适应律设计控制力U＝(λ₁B)^-1(-λ₁A_me+λ₁BK^TX-λ₁ρsgn(S)-λ₂e-λ₃D^αe)，式中，K为K^*的估计值，为估计偏差，D^α为分数阶导数。

进一步的，所述基于Lyapunov函数验证所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性，具体包括：

设计Lyapunov函数为 $V=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}tr\left(\tilde{K}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right);$

对Lyapunov函数求导得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S^T\stackrel{\·}{S}V+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\\ =S^T\left({\mathrm{\λ}}_1\right(A_{m}e-{\mathrm{BK}}^{*T}X+BU+d)+{\mathrm{\λ}}_{2}e+{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\\ =S^T({\mathrm{\λ}}_1{A}_{m}e-{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{BK}}^{*T}X+{\mathrm{\λ}}_{1}B{\left({\mathrm{\λ}}_{1}B\right)}^{-1}(-{\mathrm{\λ}}_1{A}_{m}e+{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{BK}}^{T}X-{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\ρ}\mathrm{sgn}\left(S\right)\\ -{\mathrm{\λ}}_{2}e-{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+{\mathrm{\λ}}_{1}d+{\mathrm{\λ}}_{2}e+{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\\ =S^T(-{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\ρ}\mathrm{sgn}(S)+{\mathrm{\λ}}_{1}d)+S^T{\mathrm{\λ}}_{1}B{\tilde{K}}^{T}X+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\end{array};$

得到验证了所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性。

实施本发明，具有如下有益效果：本发明提供了一种自适应分数阶滑模控制方法，由于分数阶微积分的微分和积分的阶数可以进行调整，与传统整数阶微积分相比，分数阶微积分多了可以调节的微积分阶数项，因此由于分数阶滑模控制多了可调节的阶数自由度，控制效果有所改进。由于所设计的滑模面包含分数阶项，并且所设计的自适应律应用了分数阶滑模面项，采用分数阶自适应律的参数估计与以往应用整数阶滑模面的自适应律相比，参数估计效果有所提高。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明的自适应分数阶滑模控制方法的一个实施例的流程示意图；

图2为本发明具体实施实例中X,Y轴位置跟踪性能曲线；；

图3为本发明具体实施实例中X,Y轴位置跟踪误差曲线；；

图4为本发明具体实施实例中自适应分数阶滑模控制方法X,Y轴位置跟踪误差与自适应滑模控制方法X,Y轴位置跟踪误差比较图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

图1是本发明的自适应分数阶滑模控制方法的一个实施例的流程示意图，如图1所示，包括：

S101、建立系统的数学模型和参考模型.

具体的，S101包括步骤：

S1011、建立系统的数学模型为式中，X表示系统实际轨迹，A、B为系统参数矩阵，U表示控制力；F＝△AX+d为集总干扰，△A为系统参数不确定部分，d为外界干扰，且F存在上界ρ，并满足不等式ρ-|d|≥σ₁，ρ、σ₁为正数；

S1012、建立系统的参考模型为式中，X_m表示系统理想轨迹，A_m为参考系统参数矩阵，且A、B、A_m满足条件：存在一个矩阵K^*，使得系统参数矩阵A、B以及参考系统参数矩阵A_m满足A+BK^*T＝A_m。

S102、根据系统的数学模型和参考模型建立分数阶滑模面.

具体的，S102具体包括步骤：

S1021、根据系统的数学模型和参考模型计算得到跟踪误差e＝X-X_m；

S1022、根据所述跟踪误差建立分数阶滑模面S＝λ₁e+λ₂∫e+λ₃D^α-1e，式中，D^α-1为分数阶导数，λ₁，λ₂，λ₃为滑模面参数，且都为正数。

S103、根据所述分数阶滑模面设计分数阶自适应律。

其中，分数阶自适应律式中，η₁为自适应参数，且为正数。

S104、根据所述分数阶滑模面和分数阶自适应律设计控制力。

其中，设计控制力U＝(λ₁B)^-1(-λ₁A_me+λ₁BK^TX-λ₁ρsgn(S)-λ₂e-λ₃D^αe)，式中，K为K^*的估计值，为估计偏差，D^α为分数阶导数。

其中，控制力U的设计过程为：

设计控制力为

U＝(λ₁B)^-1(-λ₁A_me+λ₁BK^*TX-λ₁ρsgn(S)-λ₂e-λ₃D^αe)

由于控制力中包含K^*，而假设2中的K^*为一未知矩阵，因控制力很难实施。可以使用一个矩阵K来对K^*进行估计，采用并对K设计自适应律,根据持续激励理论，矩阵K会逐渐收敛至K^*，同时根据A+BK^*T＝A_m可知，在K逐渐收敛至K^*的情况下，系统参数矩阵A中的参数都能辨识出来。

重新设计控制力为U＝(λ₁B)^-1(-λ₁A_me+λ₁BK^TX-λ₁ρsgn(S)-λ₂e-λ₃D^αe)。

S105、基于Lyapunov函数验证所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性。

具体的，步骤S105包括：

S1051、设计Lyapunov函数为

对Lyapunov函数求导得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S^T\stackrel{\·}{S}V+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\\ =S^T\left({\mathrm{\λ}}_1\right(A_{m}e-{\mathrm{BK}}^{*T}X+BU+d)+{\mathrm{\λ}}_{2}e+{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\end{array}$

将U＝(λ₁B)^-1(-λ₁A_me+λ₁BK^TX-λ₁ρsgn(S)-λ_2e-λ₃D^αe)代入得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S^T({\mathrm{\λ}}_1{A}_{m}e-{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{BK}}^{*T}X+{\mathrm{\λ}}_{1}B{\left({\mathrm{\λ}}_{1}B\right)}^{-1}(-{\mathrm{\λ}}_1{A}_{m}e+{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{BK}}^{T}X-{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\ρ}\mathrm{sgn}\left(S\right)\\ -{\mathrm{\λ}}_{2}e-{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+{\mathrm{\λ}}_{1}d+{\mathrm{\λ}}_{2}e+{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\end{array}$

整理得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S^T(-{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\ρ}\mathrm{sgn}(S)+{\mathrm{\λ}}_{1}d)+S^T\left({\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{BK}}^{T}X-{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{BK}}^{*T}X\right)+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\\ =S^T(-{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\ρ}\mathrm{sgn}(S)+{\mathrm{\λ}}_{1}d)+S^T{\mathrm{\λ}}_{1}B{\tilde{K}}^{T}X+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\end{array}$

自适应律为由于滑模面S设计为S＝λ₁e+λ₂∫e+λ₃D^α-1e，包含误差的分数阶导数，因此自适应律也为分数阶形式。

其中使用了矩阵迹的性质 $tr\left(S^T{\mathrm{\λ}}_{1}B{\tilde{K}}^{T}X\right)=tr\left({\mathrm{XS}}^T{\mathrm{\λ}}_{1}B{\tilde{K}}^T\right)$

由系统干扰F和干扰上界ρ满足不等式ρ-|d|≥σ₁，可知，验证了所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性。

对本发明实施例进行实验验证，实验结果如图2、3、4所示。图2为本发明具体实施实例中X,Y轴位置跟踪性能曲线；其中虚线为实际轨迹，实线为理想轨迹。从图中可以看出，经过控制的轨迹能够很好的跟踪上理想轨迹。图3为本发明具体实施实例中X,Y轴位置跟踪误差曲线；从图中可以看出，跟踪误差很快能够收敛到0。图4为本发明具体实施实例中自适应分数阶滑模控制方法X,Y轴位置跟踪误差与自适应滑模控制方法X,Y轴位置跟踪误差比较图；从图中可以看出，分数阶滑模控制跟踪误差更快收敛到0，控制效果更好。

实施本发明，具有如下有益效果：本发明提供了一种自适应分数阶滑模控制方法，由于分数阶微积分的微分和积分的阶数可以进行调整，与传统整数阶微积分相比，分数阶微积分多了可以调节的微积分阶数项，因此由于分数阶滑模控制多了可调节的阶数自由度，控制效果有所改进。由于所设计的滑模面包含分数阶项，并且所设计的自适应律应用了分数阶滑模面项，采用分数阶自适应律的参数估计与以往应用整数阶滑模面的自适应律相比，参数估计效果有所提高。

需要说明的是，在本文中，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者装置不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者装置所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括该要素的过程、方法、物品或者装置中还存在另外的相同要素。

上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。

专业人员还可以进一步意识到，结合本文中所公开的实施例描述的各示例的单元及算法步骤，能够以电子硬件、计算机软件或者二者的结合来实现，为了清楚地说明硬件和软件的可互换性，在上述说明中已经按照功能一般性地描述了各示例的组成及步骤。这些功能究竟以硬件还是软件方式来执行，取决于技术方案的特定应用和设计约束条件。专业技术人员可以对每个特定的应用来使用不同方法来实现所描述的功能，但是这种实现不应认为超出本发明的范围。

对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的专业技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (6)

1.一种自适应分数阶滑模控制方法，其特征在于，包括：

建立系统的数学模型和参考模型；

根据系统的数学模型和参考模型建立分数阶滑模面；

根据所述分数阶滑模面设计分数阶自适应律；

根据所述分数阶滑模面和分数阶自适应律设计控制力；

基于Lyapunov函数验证所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性。

2.如权利要求1所述的自适应分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述建立系统的数学模型和参考模型，具体包括：

建立系统的数学模型为式中，X表示系统实际轨迹，A、B为系统参数矩阵，U表示控制力；F＝△AX+d为集总干扰，△A为系统参数不确定部分，d为外界干扰，且F存在上界ρ，并满足不等式ρ-|d|≥σ₁，ρ、σ₁为正数；

建立系统的参考模型为式中，X_m表示系统理想轨迹，A_m为参考系统参数矩阵，且A、B、A_m满足条件：存在一个矩阵K^*，使得系统参数矩阵A、B以及参考系统参数矩阵A_m满足A+BK^*T＝A_m。

3.如权利要求2所述的自适应分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述根据系统的数学模型和参考模型建立分数阶滑模面，具体包括：

根据系统的数学模型和参考模型计算得到跟踪误差e＝X-X_m；

根据所述跟踪误差建立分数阶滑模面S＝λ₁e+λ₂∫e+λ₃D^α-1e，式中，D^α-1为分数阶导数，λ₁，λ₂，λ₃为滑模面参数，且都为正数。

4.如权利要求3所述的自适应分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述根据所述分数阶滑模面设计分数阶自适应律，具体包括：

根据所述分数阶滑模面S设计分数阶自适应律式中，η₁表示为自适应参数，且为正数。

5.如权利要求4所述的自适应分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述根据所述分数阶滑模面和分数阶自适应律设计控制力，具体包括：

根据所述分数阶滑模面S和分数阶自适应律设计控制力U＝(λ₁B)^-1(-λ₁A_me+λ₁BK^TX-λ₁ρsgn(S)-λ₂e-λ₃D^αe)，式中，K为K^*的估计值，为估计偏差，D^α为分数阶导数。

6.如权利要求4所述的自适应分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述基于Lyapunov函数验证所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性，具体包括：

设计Lyapunov函数为 $V=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}tr\left(\tilde{K}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right);$

对Lyapunov函数求导得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S^T\stackrel{\·}{S}V+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\\ =S^T\left({\mathrm{\λ}}_1\right(A_{m}e-{\mathrm{BK}}^{*T}X+BU+d)+{\mathrm{\λ}}_{2}e+{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\\ =S^T({\mathrm{\λ}}_1{A}_{m}e-{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{BK}}^{*T}X+{\mathrm{\λ}}_{1}B{\left({\mathrm{\λ}}_{1}B\right)}^{-1}(-{\mathrm{\λ}}_1{A}_{m}e+{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{BK}}^{T}X-{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\ρ}\mathrm{sgn}\left(S\right)\\ -{\mathrm{\λ}}_{2}e-{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+{\mathrm{\λ}}_{1}d+{\mathrm{\λ}}_{2}e+{\mathrm{\λ}}_3{D}^{\mathrm{\α}}e)+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\\ =S^T(-{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\ρ}\mathrm{sgn}(S)+{\mathrm{\λ}}_{1}d)+S^T{\mathrm{\λ}}_{1}B{\tilde{K}}^{T}X+tr\left(\stackrel{\·}{\tilde{K}}{\mathrm{\η}}_1{\tilde{K}}^T\right)\end{array};$

得到验证了所设计的自适应分数阶滑模控制方法的稳定性。