CN103558761B - 一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法 - Google Patents

Abstract

一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法，涉及一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法。解决现有技术在控制非线性化学反应循环不确定时滞系统时系统不稳定的问题。本发明中的控制方法是按照建立化学反应循环不确定时滞悬架系统的模型、设计基于指令滤波器的自适应反步递推控制器、调节控制器的设计控制参数三个步骤进行。本发明用于非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制。

Description

一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法

技术领域

本发明涉及一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法。

背景技术

随着化学工业的不断发展，化学反应器循环系统越来越多的受到了工业界的关注。在化工企业中，化学反应循环系统经常用来提高原材料的使用率。众所周知，化学反应循环系统是一个具有复杂行为的非线性系统。同时，时滞现象又是循环反应系统中固有的本质现象。在反应循环的过程的期间，会有各种不确定的因素存在，因此，它是一个典型的时滞不确定的非线性系统。

一个化工反应循环系统不仅仅可以提高整体的转换效率，而且降低反应的成本。对于循环反应系统而言，循环系统的输入必须要和生产的输出分离开来，那么就需要进行分离操作，最后通过传输管道的传输。这套装置的引入，不可避免的给循环系统带来了时滞和控制器的输入饱和，因为管道的传输需要一定的时间，管道的孔径是有物理限制的。

为了消除这些难题，已经提出了很多的方法。但是现有的方法存在以下不足：

1）经常假设循环系统生产线中没有时滞的存在，虽然这个假设可以使理论分析更加的简单，但是这不符合实际生产过程。为了循环再利用，就必须把输出和输入分开，这需要输出管道装置的传输存在一个死区时间。

2）没有考虑到传输管道是有物理孔径的限制，也就是说控制物料的输入不能任意的给定，是有一个上界和下界的范围的。

3）对于非线性的时滞系统，现有技术认为系统在平衡点范围线性化，然后根据这个线性化的时滞系统模型来设计控制器。这种方法可以很好解决在平衡点范围的扰动，但是控制器的有效范围应是局部的，而在实际生产中的干扰通常是大范围的，从而造成局部控制器不适用的问题。

4）对于非线性系统，经常使用反步递推控制器的设计方法，但是在传统的基于反步递推控制器设计的过程中，会导致微分函数的指数爆炸现象，也就是会随之系统阶数的增加，使得计算复杂性指数级的增加。

因此，现有技术方法在处理时滞和饱和问题时，会引起系统性能降级，导致系统不稳定。

发明内容

本发明的目的是为了解决利用现有技术在控制非线性化学反应循环不确定时滞系统时存在系统不稳定的问题，而提供一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法。

一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法，按照以下步骤进行：

步骤A、建立非线性化学反应循环不确定时滞系统的模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1\left(t\right)=g_1{x}_2\left(t\right)+{\mathrm{\θ}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)+{\mathrm{\θ}}_{h_1}^T{H}_1(x_1(t-{\mathrm{\τ}}_1)\\ {\stackrel{.}{x}}_2\left(t\right)=g_{2}u\left(t\right)+{\mathrm{\θ}}_{f_2}^T{F}_2\left(t\right)+{\mathrm{\δ}}_{f_2}+{\mathrm{\θ}}_{h_2}^T{H}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_2(t-{\mathrm{\τ}}_2\right)+{\mathrm{\δ}}_{h_2}\left({\stackrel{\‾}{x}}_2(t-{\mathrm{\τ}}_2)\right)\end{array}\right.$

控制器控制输入u限制为：|u|≤u_max，其中u_max是控制器的最大输出量；

步骤B、设计基于指令滤波器的自适应反步递推控制器：

$v=\frac{1}{g_2}({-g}_1{z}_1-K_2(z_2-e)-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2^T{F}_{{\mathrm{\θ}}_2}-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{20}{\mathrm{\φ}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\φ}}_2}{{\mathrm{\ϵ}}_2}\right)+{\stackrel{.}{a}}_1-\frac{z_{2}h\left(Z\right)}{{\mathrm{\Φ}}^2+z_2^2})$

$\stackrel{.}{\mathrm{\&Phi;}}=\left\{\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{\&Phi;h}(z_2,{\mathrm{\&Phi;}}_2)}{{\mathrm{\&Phi;}}^2+z_2^2}-k_v\mathrm{\&Phi;}& \left|z_2\right|\&GreaterEqual;l_2\\ 0& \left|z_2\right|<l_2\end{array}\right.,$ 其中k_v＞0,l＞0

所述指令滤波器的自适应反步递推控制器包含以下控制设计参数：k_v，σ₁，σ₂，σ₂₀，K₁，K₂和K₂₂；

其中，虚拟控制器α₁：

的导数通过指令滤波器直接得到；

通过设计自适应升级率：

${\stackrel{.}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2={\mathrm{\&Gamma;}}_2(F_{{\mathrm{\&theta;}}_2}{z}_2-{\mathrm{\&sigma;}}_2{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2),{\stackrel{.}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_{20}={\mathrm{\&gamma;}}_2(z_2{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right)-{\mathrm{\&sigma;}}_{20}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{20})$ 实现对未知的参数θ₁，θ₂和θ₂₀的在线实时估计；

通过引入的辅助设计系统以分析控制系统，所述的辅助设计系统如下：

$\stackrel{.}{e}=\left\{\begin{array}{cc}{-K}_{22}e-\frac{1}{{\left|e\right|}^2}{f}_2(u,\mathrm{\&Delta;u},z_2,{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)e+g_2(v-u)& \left|e\right|\&GreaterEqual;{\&Element;}_2\\ 0& \left|e\right|<{\&Element;}_2\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中Δu＝u-v，k₂₂＞0，e是辅助设计系统的状态，∈₂是一个正常数，它根据系统所要求的跟踪性能来选取一个近似值；

步骤C、调节所述自适应反步递推控制器的控制设计参数：k_v＞0,σ₁＞0,σ₂＞0,σ₂₀＞0，K₁＞0，K₂＞0，K₂₂＞1，使系统在有限时间内达到稳定，完成系统控制。

本发明有益效果：

本发明提出一种化学反应循环系统的输入饱和控制方法，考虑到实际化工循环系统中存在系统参数的不确定性和传输时滞的影响，提出了基于指令滤波器的自适应反步递推控制方法，提高了化工反应循环系统的稳定精度，并且保证了在存在系统状态参数时滞的情况下，系统仍然是稳定可控的，解决了非线性不确定时滞化学反应循环的不稳定问题。

本发明使用的指令滤波器主要是处理传统基于反步递推控制器是产生的微分函数指数爆炸现象，通过指令滤波器，可以有效的求解虚拟控制函数和实际控制输入的微分，从而避免了微分指数爆炸，同时，指令滤波器可以很好的刻画控制输入的饱和现象，通过指令滤波器的输入幅值的限制，使得控制器的输出不会超过物理的限定值。

本发明考虑到系统参数中存在的系统模型参数不确定性情况和系统输入输出分离而导致的状态时滞的情况，对二级级联的化学反应循环系统建立了数学模型，解决了现有技术不符合实际生产过程的问题。从模型中可以看出化学反应循环系统为典型的不确定时滞系统，为了满足化学循环反应系统的稳定运行，本发明借助于反步递推控制器设计方法的帮助，设计了控制器，这种控制器并不需要先验的系统时滞相关的信息。同时，从仿真结果中可以证实本发明提出的方法的有效性。达到了预期的控制目的。解决了在处理时滞饱和问题时可能引起的系统性能降低。

附图说明

图1是本发明流程图；图2是非线性化学反应循环不确定时滞系统的模型图，图2中1为延时回路，2为反应器B，3为反应器A，4和5为干扰，反应器A的输入来自于反应器B的输出和干扰，同时，反应器B的输入是反应器A的延时状态，控制输入和外界扰动；图3是指令滤波器模型图，图中6为幅值限制，α_i0为指令滤波器输入，ω_i为自然频率，ξ_i为阻尼系数，α_i为输入滤波值，输入导数的滤波值，并且i＝1,2，α₁₀,α₂₀＝v，α＝α₁,u＝α₂；图4是化学反应循环内部状态随时间的响应曲线：—-表示系统状态x₁(t)的响应曲线，表示系统状态x₂(t)的响应曲线；图5是控制器控制输入响应曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：如图1所示，本实施方式中的一种具有控制器输入饱和的不确定非线性时滞化学反应循环系统的控制方法，具体按以下步骤实现：

步骤A、建立非线性化学反应循环不确定时滞系统的模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1\left(t\right)=g_1{x}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{H}_1(x_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\\ {\stackrel{.}{x}}_2\left(t\right)=g_{2}u\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_2}^T{F}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&delta;}}_{f_2}+{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}^T{H}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\right)+{\mathrm{\&delta;}}_{h_2}\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\right)\end{array}\right.$

控制器控制输入u限制为：|u|≤u_max，其中u_max是控制器的最大输出量；

步骤B、设计基于指令滤波器的自适应反步递推控制器：

$v=\frac{1}{g_2}({-g}_1{z}_1-K_2(z_2-e)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_2}-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{20}{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right)+{\stackrel{.}{a}}_1-\frac{z_{2}h\left(Z\right)}{{\mathrm{\&Phi;}}^2+z_2^2})$

$\stackrel{.}{\mathrm{\&Phi;}}=\left\{\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{\&Phi;h}(z_2,{\mathrm{\&Phi;}}_2)}{{\mathrm{\&Phi;}}^2+z_2^2}-k_v\mathrm{\&Phi;}& \left|z_2\right|\&GreaterEqual;l_2\\ 0& \left|z_2\right|<l_2\end{array}\right.,$ 其中k_v＞0,l＞0

所述指令滤波器的自适应反步递推控制器包含以下控制设计参数：k_v，σ₁，σ₂，σ₂₀，K₁，K₂和K₂₂；

其中，虚拟控制器α₁：

的导数通过指令滤波器直接得到；

通过设计自适应升级率：

${\stackrel{.}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2={\mathrm{\&Gamma;}}_2(F_{{\mathrm{\&theta;}}_2}{z}_2-{\mathrm{\&sigma;}}_2{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2),{\stackrel{.}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_{20}={\mathrm{\&gamma;}}_2(z_2{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right)-{\mathrm{\&sigma;}}_{20}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{20})$ 实现对未知的参数θ₁，θ₂和θ₂₀的在线实时估计；

通过引入的辅助设计系统以分析控制系统，所述的辅助设计系统如下：

$\stackrel{.}{e}=\left\{\begin{array}{cc}{-K}_{22}e-\frac{1}{{\left|e\right|}^2}{f}_2(u,\mathrm{\&Delta;u},z_2,{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)e+g_2(v-u)& \left|e\right|\&GreaterEqual;{\&Element;}_2\\ 0& \left|e\right|<{\&Element;}_2\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中Δu＝u-v，k₂₂＞0，e是辅助设计系统的状态，∈₂是一个正常数，它根据系统所要求的跟踪性能来选取一个近似值；

步骤C、调节所述自适应反步递推控制器的控制设计参数：k_v＞0,σ₁＞0,σ₂＞0,σ₂₀＞0，K₁＞0，K₂＞0，K₂₂＞1，使系统在有限时间内达到稳定，完成系统控制。

具体实施方式二：本实施方式中的一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法与具体实施方式一的不同之处在于步骤A中所述非线性化学反应循环不确定时滞系统模型按照以下步骤建立：

结合图2，化学反应循环不确定时滞系统的动态方程表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=-k_1{x}_1\left(t\right)-\frac{1}{C_1}{h}_1(x_1\left(t\right),x_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1))+\frac{1-R_2}{V_1}{x}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&delta;}}_1(t,x_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1))\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=-k_2{x}_2\left(t\right)-\frac{1}{C_2}{h}_2(x_2\left(t\right),x_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2))+\frac{R_1}{V_2}{x}_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)+\frac{R_2}{V_2}{x}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)+\frac{F_2}{V_2}u\left(t\right)+{\mathrm{\&delta;}}_2(t,x_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2))\end{array}\right.---\left(1\right)$

式（1）中的x₁(t)和x₂(t)是生产过程反应系统的状态，h₁＝x₁(t)+x₁(t-τ₁)和τ₁,τ₂是未知的时滞参数，R₁和R₂是循环反应流的速率，C₁和C₂是未知的反应驻留时间，k₁和k₂是反应常数，F₂是供料速率，V₁和V₂是反应器的容积，δ₁(·)和δ₂(·)是未知的非线性时滞函数，由于系统中存在这样的未知的时滞函数，就需要设计控制器来克服这些不确定非线性函数。他们之间的不确定性满足以下函数的形式：和 和为未知的常数，u是具有饱和特性的控制器输入；

通过定义如下变量：其中ζ₁，ζ₂是已知常数，F₁(t)＝x₁(t)，H₁(x₁(t-τ₁))＝[x₁(t-τ₁),sin(x₁(t))x₁(t-τ₁)]， $g_2=\frac{F_2}{V_2},{\mathrm{\&theta;}}_{f_2}=-k_2,$ F₂＝x₂(t)， ${\mathrm{\&delta;}}_{f_2}=-\frac{1}{C_2}{x}_2^2\left(t\right),\left|{\mathrm{\&delta;}}_{f_2}\right|\&le;c_{f_2}{\mathrm{\&phi;}}_2,c_{f_2},{\mathrm{\&phi;}}_2=x_2^2\left(t\right),$ ${\mathrm{\&theta;}}_{h_2}=[\frac{R_1}{V_2},\frac{R_2}{V_2}],H_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\right)=\left[x_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1){,x}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\right],{\mathrm{\&delta;}}_{h_2}={\mathrm{\&theta;}}_{{\mathrm{\&delta;}}_2}\sin \left(x_2\left(t\right)\right)x_2^2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2),$ $\left|{\mathrm{\&delta;}}_{h_2}\right|\&le;c_{h_2}{\mathrm{\&psi;}}_2,c_{h_2}={\mathrm{\&theta;}}_{{\mathrm{\&delta;}}_2},{\mathrm{\&psi;}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)=x_2^2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2),$

通过上面的变量定义，合并其中的同类项，将化学反应循环不确定时滞系统的动态方程（1）简化为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=g_1{x}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{H}_1(x_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=g_{2}u\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_2}^T{F}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&delta;}}_{f_2}+{{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}^{T}H}_2({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)+{\mathrm{\&delta;}}_{h_2}\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

对于非线性化学反应循环不确定时滞系统，因为物理结构的限制，控制器的输出量是有上、下限值的，且通过控制器的作用使得系统的状态曲线响应趋于0，因此控制器的输出量描述为

|u|≤u_max（3）

其中u_max是控制器的最大输出量，

完成非线性化学反应循环不确定时滞系统的模型的建立。

根据上述分析，对于不确定非线性化学反应循环不确定时滞系统（2）和（3），设计自适应控制输入u，使得闭环系统即使存在不确定参数和时滞的情况下，依然可以保证系统的状态参数x₁，x₂在有限时间内收敛于零；其它与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式中的一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法与具体实施方式一的不同之处在于步骤B中所述设计自适应反步递推控制器（如图3所示）包括以下三个步骤：

步骤B1、设计虚拟控制器α₁和自适应升级率通过指令滤波器，求虚拟控制器α₁的导数；

定义误差变量z₁＝x₁-x_1d和z₂＝x₂-α₁，

通过设计虚拟控制函数α₁，使跟踪误差z₁＝x₁-x_1d趋近于零，其中x_1d是参考轨迹信号，在化学反应循环系统中参考轨迹信号为0参考轨线。结合式（2），使用备选Lyapunov函数可以得到V_z1的导数为：

${\stackrel{.}{V}}_{z1}=g_1{z}_1\left(t\right)z_2\left(t\right)+g_1{z}_1\left(t\right){\mathrm{\&alpha;}}_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)z_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{H}_1\left(x_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1\right)z_1\left(t\right)-z_1\left(t\right){\stackrel{.}{x}}_{1d}\left(t\right)$

从上式中可以发现，中即有不确定的参数，又有时滞的参数。这样对控制器的设计带来的设计的困难。为了克服这个困难，利用Young’s不等式，将时滞项和不确定项分开，得到

${\stackrel{.}{V}}_{z1}\&le;g_1{z}_1\left(t\right)z_2\left(t\right)+g_1{z}_1\left(t\right){\mathrm{\&alpha;}}_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)z_1\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}{z}_1^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{H}_1^2\left(x_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\right)-z_1\left(t\right){\stackrel{.}{x}}_{1d}\left(t\right),$

因为时滞的参数是未知的，不能直接用于控制器的设计，所以通过定义时滞补偿函数其中来补偿时滞参数的给系统带来的影响，通过进一步推导得到：

${\stackrel{.}{V}}_{z1}+{\stackrel{.}{V}}_{U_1}\&le;g_1{z}_1{z}_2+g_1{z}_1{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1{z}_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}{z}_1^2+\frac{1}{2}{H}_1^2-z_1{\stackrel{.}{x}}_{1d}---\left(4\right)$

但是，这时，又引入的新的问题，如果直接用（4）来设计反步递推控制器，那么时滞补偿函数留下来的需要提出项，也就是但是这会在z1趋于0的时候，出现控制器输入能量远远超过负荷的现象，而z1趋于0正是控制目标，控制输入远超负荷不是实际中能够实现的。为了克服这个问题，通过定义 $U_1=z_1\frac{2}{z_1}{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)U_1+[1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)]U_1,$ 其中η₁是一个正的设计参数，通过η₁的调整，可以使得z1的控制精度控制在系统的范围内。可以将（4）整理成如下形式

${\stackrel{.}{V}}_{z1}+{\stackrel{.}{V}}_{U_1}\&le;g_1{z}_1{z}_2+z_1(g_1{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}{z}_1+\frac{2}{z_1}{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)U_1-{\stackrel{.}{x}}_{1d})+\&lsqb;1-{2\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)\&rsqb;U_1---\left(5\right)$

定义变量 ${\mathrm{\&theta;}}_1={[{\mathrm{\&theta;}}_{f_1},{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_1},1]}^T,F_{{\mathrm{\&theta;}}_1}={[{F_1}^T,\frac{1}{2}{z}_1,\frac{2}{z_1}{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)U_1]}^T,$ 将（5）整理成

${\stackrel{.}{V}}_{z1}+{\stackrel{.}{V}}_{U_1}\&le;g_1{z}_1{z}_2+z_1(g_1{\mathrm{\&alpha;}}_1+{{\mathrm{\&theta;}}_1^{T}F}_{{\mathrm{\&theta;}}_1}-{\stackrel{.}{x}}_{1d})+[1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)]U_1;$

从上式中可以发现，存在着不确定未知的参数θ₁，为了控制器的设计，未知参数我们是不能利用的，所以定义误差变量其中是估计误差，是估计值，用θ₁的估计值来完成控制器的设计；

使用如下形式的Lyapunov备选函数：

其中Γ₁是一个正的常数，结合式（5）对其求导，得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\&le;g_1{z}_1{z}_2+z_1(g_1{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_1}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d})-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_1}{z}_1+[1-2\tan h^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)]U_1+{\mathrm{\&Gamma;}}_1^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1^T{\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{\mathrm{\&theta;}}}_1---\left(6\right)$

设计自适应升级率σ₁是一个正的修正因数，这样就可以在线的实时估计未知的参数θ₁，得到θ₁的估计值

结合 ${-\mathrm{\&sigma;}}_1{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\&le;\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_1{\left|\right|{\mathrm{\&theta;}}_1\left|\right|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_1{\left|\right|{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1\left|\right|}^2,$ 并定义虚拟控制器 ${\mathrm{\&alpha;}}_1=\frac{1}{g_1}(-K_1{z}_1-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_1}+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}),$ 将（6）式整理得到如下的形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\&le;g_1{z}_1{z}_2-K_1{z}_1^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_1{\left|\right|{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_1{\left|\right|{\mathrm{\&theta;}}_1\left|\right|}^2+[1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)]U_1---\left(7\right)$

其中K₁是一个正常数，

这样将所选取的虚拟控制器α₁，通过指令滤波器，直接得到虚拟控制器的导数而不会引起由于计算产生的微分指数爆炸线性，其中指令滤波器的参数为w₁,ξ₁，w₁是指令滤波器的自然频率，ξ₁是指令滤波器的阻尼系数，w₁选取的越大，跟踪的精度越高，ξ₁越小，阻尼越小，但是会引起跟踪的超调。其中，虚拟控制器的导数将在步骤B2的控制器设计的过程中使用。

步骤B2、设计名义控制输入v；

在步骤B2中，使用和步骤B1相似的策略来克服未知时滞参数、输入饱和给控制器设计带来的困难。

选择备选Lyapunov函数结合式（2），求其对时间的导数如下：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{z_2}\&le;z_2\left(t\right)g_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right)u\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_2}^T{F}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right)z_2\left(t\right)+c_{f_2}\left|z_2\left(t\right)\right|{\mathrm{\&phi;}}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}{z}_2^2\left(t\right)\\ +\frac{1}{2}{H}_2^T\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\right)H_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\right)+\frac{1}{2}{c}_{h_2}^2{z}_2^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&psi;}}_2^2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\right)-z_2\left(t\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1\left(t\right)\end{array}---\left(8\right)$

通过定义 $U_2\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(H_2^T\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right)\right)H_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right)+{\mathrm{\&psi;}}_2^2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right),V_{U_2}=\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{t-{\mathrm{\&tau;}}_j}{\overset{t}{\&Integral;}}{U}_2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}$

和定义变量 ${\mathrm{\&theta;}}_2={[{\mathrm{\&theta;}}_{f_2},{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}+c_{h_2}^2,1]}^T,{\mathrm{\&theta;}}_{20}=c_{f_2},F_{{\mathrm{\&theta;}}_2}={[F_2^T,\frac{1}{2}{z}_2,\frac{2}{z_2}{\tanh }^2\left(\frac{z_2}{{\mathrm{\&eta;}}_2}\right)U_2]}^T,$ 其中η₂是一个正的设计参数，得到：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{z_2}+{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{U_2}\&le;z_2(g_{2}u+{\mathrm{\&theta;}}_2^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_2}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1)+{\mathrm{\&theta;}}_{20}\left|z_2\right|{\mathrm{\&phi;}}_2+[1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_2}{{\mathrm{\&eta;}}_2}\right)]U_2;$

克服未知参数θ₂的影响，采用和步骤B1相同的策略，然而未知参数θ₂₀需要采用另一个策略，通过数学基础函数tanh的性质，根据引理：对于任意ε₂＞0和任意η∈R，有下面的不等式得以满足 $0\&le;\left|\mathrm{\&eta;}\right|-\mathrm{\&eta;}\tanh \left(\frac{\mathrm{\&eta;}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right)\&le;k_p{\mathrm{\&epsiv;}}_2,$ 其中k_p是一个正常数，满足 $k_p=e^{-(k_p+1)},k_p=0.2758;$ 通过定义k_pε₂＝Φ₂，得到 ${\mathrm{\&theta;}}_{20}\left|z_2\right|{\mathrm{\&phi;}}_2\&le;z_2^T{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right){\mathrm{\&theta;}}_{20}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&Phi;}}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{20}^2,$ 因此有 ${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{z_2}+{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{U_2}\&le;z_n(g_{2}u+{\mathrm{\&theta;}}_2^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_2}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1)+z_2^T{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right){\mathrm{\&theta;}}_{20}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&Phi;}}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{20}^2+[1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_2}{{\mathrm{\&eta;}}_2}\right)]U_2,$

通过定义和其中分别θ₂的估计误差和估计值，分别是θ₂₀的估计值和估计误差，选择备选的Lyapunov函数：

$V_2^{*}\left(t\right)=V_{z_2}\left(t\right)+V_{U_2}\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&gamma;}}_2^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_{20}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T\left(t\right){\mathrm{\&Gamma;}}_2^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2\left(t\right),$

并设计自适应升级率：

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{\mathrm{\&theta;}}}_2={\mathrm{\&Gamma;}}_2(F_{{\mathrm{\&theta;}}_2}{z}_2-{\mathrm{\&sigma;}}_2{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2),{\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{\mathrm{\&theta;}}}_{20}={\mathrm{\&gamma;}}_2(z_2{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right)-{\mathrm{\&sigma;}}_{20}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{20})---\left(9\right)$

其中σ₂,σ₂₀是正的修正因数，γ₂,Γ₂是正的回归因子，

这样就可以克服未知参数的影响，使用它们的估计值来完成控制器的设计。

由式（3）中可知，控制输入u具有上限制和下限值，为方便输入饱和控制系统的分析，引入辅助设计系统如下：

$\stackrel{.}{e}=\left\{\begin{array}{cc}{-K}_{22}e-\frac{1}{{\left|e\right|}^2}{f}_2(u,\mathrm{\&Delta;u},z_2,{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)e+g_2(v-u)& \left|e\right|\&GreaterEqual;{\&Element;}_2\\ 0& \left|e\right|<{\&Element;}_2\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中Δu＝u-v，k₂₂＞0，e是辅助设计系统的状态，∈₂是一个正常数，它根据系统所要求的跟踪性能来选取一个近似值；

定义 $h(z_2,{\mathrm{\&Phi;}}_2)=\frac{1}{2}{K}_2^2{z}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&Phi;}}_2^2,K_2>0;$

由于饱和输入的影响，得到如下的名义控制输入：

$v=\frac{1}{g_2}({-g}_1{z}_1-K_2(z_2-e)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_2}-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{20}{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right)+{\stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}}_1-\frac{z_{2}h\left(Z\right)}{{\mathrm{\&Phi;}}^2+z_2^2})---\left(11\right)$

$\stackrel{.}{\mathrm{\&Phi;}}=\left\{\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{\&Phi;h}(z_2,{\mathrm{\&Phi;}}_2)}{{\mathrm{\&Phi;}}^2+z_2^2}-k_v\mathrm{\&Phi;}& \left|z_2\right|\&GreaterEqual;l_2\\ 0& \left|z_2\right|<l_2\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中k_v＞0,l＞0；名义控制输入是设计基于指令滤波器的自适应反步递推控制器，但不直接用于系统的控制输入，而需要通过指令滤波器，使用指令滤波器来刻画实际控制器的饱和特性，从指令滤波器的输出u才是实际的控制输入。

步骤B3、根据步骤B1和步骤B2中的控制率对设计控制参数进行选择；

根据非线性化学反应循环不确定时滞系统（2），在控制率（9）～（12）的情况下，存在设计控制参数k_v＞0,σ₁＞0,σ₂＞0,σ₂₀＞0，K₁＞0，K₂＞0，K₂₂＞1，使得闭环系统的所有信号是半全局稳定的，也就是闭环信号是有界的；

证明：当||e||≥∈₂时，也就是当控制器饱和出现时，选择如下的备选Lyapunov函数

对其求导，结合（9）～（12），整理得到

${\stackrel{.}{V}}_2\&le;-\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{K}_j{z}_j^2-\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_j{\left|\right|{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_j\left|\right|}^2-{\mathrm{\&sigma;}}_{20}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_{20}^2-(K_{22}-1)e^2-k_v{\mathrm{\&Phi;}}^2+\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_j{\left|\right|{\mathrm{\&theta;}}_j\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_{20}{\mathrm{\&theta;}}_{j0}^2$

$+\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}[1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_j}{{\mathrm{\&eta;}}_j}\right)]U_j\&le;K(V_2-V_{U_2})+C+\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}[1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_j}{{\mathrm{\&eta;}}_j}\right)]U_j$

其中K：＝min(2K₁,2K₂,2(k₂₂-1),σ₂₀γ₂,σ₁Γ₁,σ₂Γ₂,k_v),选择设计参数k_v，σ₁，σ₂，σ₂₀，K₁，K₂，K₂₂确保k_v＞0,σ₁＞0,σ₂＞0,σ₂₀＞0，K₁＞0，K₂＞0，K₂₂＞1；

考虑紧集定义集合j＝1,2；那么，对于任意和任意η_j＞0，不等式是满足的；

所以，当初始条件时，可以得到系统是半全局稳定的；当初始条件时，z_j是有界的，进而其余的信号都是有界的。其他与具体实施方式一相同。

具体实施方式四：本实施方式中的一种具有控制器输入饱和的不确定非线性时滞化学反应循环系统的控制方法与具体实施方式一至三之一的不同之处在于步骤C中在系统遭受参数不确定性的扰动时，调节设计参数k_v＞0,σ₁＞0,σ₂＞0,σ₂₀＞0，K₁＞0，K₂＞0，K₂₂＞1则跟踪误差z₁,z₂是有界的；且在系统仅遭受参数不确定性、状态时滞和控制器输入饱和的影响时，则跟踪误差z₁,z₂在有限时间收敛于0，也就是状态响应曲线x1，x2趋于0。其它与具体实施方式一至三之一相同。

效果检测

一、结合图2根据实际情况，选取化学反应循环系统的具体参数如下：时滞参数τ₁＝0.2,τ₂＝0.25，循环反应流的速率参数R₁＝R₂＝0.5，反应驻留时间C₁＝C₂＝2，反应常数k₁＝k₂＝0.5，供料速率F₂＝0.5，反应器的容积V₁＝V₂＝0.5，常数执行器的最大输出为u_max＝10。

二、结合图3，指令滤波器的具体参数如下：指令滤波器1的自然频率和阻尼系数分别是w₁＝100，ξ₁＝1，没有幅值的限制；指令滤波器2的自然频率和阻尼系数分别是w₂＝100，ξ₂＝1，幅值限制3为u_max＝10；指令滤波器输入4参数为α₁₀,α₂₀＝v，在指令滤波器的输出参数中控制器输出量u，输入导数的滤波值是指令滤波器的直接输出参数，因此α＝α₁,u＝α₂。

根据非线性化学反应循环不确定时滞系统（2），在控制率（9）～（12）的情况下，存在设计参数k_v＞0,σ₁＞0,σ₂＞0,σ₂₀＞0，K₁＞0，K₂＞0，K₂₂＞1，使得闭环系统的所有信号是半全局稳定的，也就是闭环信号是有界的。

控制律参数选取：系统初值状态集合x₁(0)＝1，x₂(0)＝-1，参考轨迹x_1d＝0，自适应估计参数初始值θ₁(0)＝[-0.4-1/1.8,[-1/1.8,0.4][-1/1.8,0.4]^T,1]，θ₂₀(0)＝0.4²，θ₂(0)＝[-0.4,[0.4/1.8,0.4/1.8][0.4/1.8,0.4/1.8]^T+0.4²,1],时滞参数τ₁＝0.2,τ₂＝0.25，控制器设计参数k_v＝3，K₁＝3，K₂＝3，K₂₂＝3，自适应设计参数Γ₁＝Γ₂＝γ₂＝0.01，修正因子正常数σ₁＝σ₂＝σ₂₀＝0.01。

作用效果：

化学反应循环系统，主要的干扰是系统开始运行时，物料反应罐中物料的状态并不是平衡的状态，也就是非零状态，同时也面临一些不确定时滞因数的扰动，通常选取正弦信号作为干扰的形式。

从图4可以看出，系统的—表示系统状态x₁(t)的响应曲线，表示系统状态x₂(t)的响应曲线，可以从图中很明显的发现在1s左右的时间内系统状态达到了稳定。从图4中可以看出尽管系统中存在着不确定参数和未知的状态时滞，所发明的控制器可以起到很好的作用效果。从图5中可以看到，控制器在系统刚开的时候由于系统的跟踪误差比较大，出现了输入饱和，但是很快的就退出了饱和区域的限制，回到正常的控制能力范围之内。可以看出，通过本发明控制方法可以很好的控制系统的状态来跟踪参考轨迹0，并且在有限的时间内达到稳定，达到了控制的目的。

Claims (2)

1.一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法，其特征在于按照以下步骤进行：

步骤A、建立非线性化学反应循环不确定时滞系统的模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=g_1{x}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{H}_1\left(x_1\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_1\right)\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=g_{2}u\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_2}^T{F}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&delta;}}_{f_2}+{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}^T{H}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\right)\right)+{\mathrm{\&delta;}}_{h_2}\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\right)\right)\end{array}\right.$

步骤B、设计基于指令滤波器的自适应反步递推控制器：

$v=\frac{1}{g_2}(-g_1{z}_1-K_2(z_2-e)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_2}-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{20}{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh (\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1-\frac{z_{2}h\left(Z\right)}{{\mathrm{\&Phi;}}^2+z_2^2})$

其中k_v>0,l₂>0

所述指令滤波器的自适应反步递推控制器包含以下控制设计参数：k_v，σ₁，σ₂，σ₂₀，K₁，K₂和K₂₂；对于任意ε₂>0；

其中，虚拟控制器α₁：

的导数通过指令滤波器直接得到；

通过设计自适应升级率： 实现对未知的参数θ₁，θ₂和θ₂₀的在线实时估计；

通过引入的辅助设计系统以分析控制系统，所述的辅助设计系统如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=\left\{\begin{array}{cc}-K_{22}e-\frac{1}{|e{|}^2}{f}_2(u,\mathrm{\&Delta;}u,z_2,{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)e+g_2(v-u)& \left|e\right|\&GreaterEqual;{\&Element;}_2\\ 0& \left|e\right|<{\&Element;}_2\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中Δu＝u-v，K₂₂>0，e是辅助设计系统的状态，∈₂是非线性化学反应循环不确定时滞系统的跟踪性能常数，且∈₂>0；

步骤C、调节所述自适应反步递推控制器的设计参数如下：k_v>0,σ₁>0,σ₂>0,σ₂₀>0，K₁>0，K₂>0，K₂₂>1，使系统在有限时间内达到稳定，完成系统控制；

其中，步骤A中所述的非线性化学反应循环不确定时滞系统模型建立的具体过程为：

首先，化学反应循环不确定时滞系统的动态方程表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=-k_1{x}_1\left(t\right)-\frac{1}{C_1}{h}_1\left(x_1\right(t),x_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1\left)\right)+\frac{1-R_2}{V_1}{x}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&delta;}}_1\left(t,x_1\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_1\right)\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=-k_2{x}_2\left(t\right)-\frac{1}{C_2}{h}_2\left(x_2\right(t),x_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\left)\right)+\frac{R_1}{V_2}{x}_1(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)+\frac{R_2}{V_2}{x}_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)+\frac{F_2}{V_2}u\left(t\right)+{\mathrm{\&delta;}}_2(t,x_2(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\left)\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式(1)中的x₁(t)和x₂(t)是生产过程反应系统的状态，h₁＝x₁(t)+x₁(t-τ₁)和τ₁,τ₂是未知的时滞参数，R₁和R₂是循环反应流的速率，C₁和C₂是未知的反应驻留时间，k₁和k₂是反应常数，F₂是供料速率，V₁和V₂是反应器的容积以及δ₁(·)和δ₂(·)是未知的非线性时滞函数，他们之间的不确定性满足以下函数的形式：和 和为未知的常数，u是具有饱和特性的控制器输入；

然后，通过定义如下变量：其中ζ₁，ζ₂是已知常数，F₁(t)＝x₁(t)，H₁(x₁(t-τ₁))＝[x₁(t-τ₁),sin(x₁(t))x₁(t-τ₁)]， 和将同类项进行合并，式(1)简化为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=g_1{x}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{H}_1\left(x_1\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_1\right)\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=g_{2}u\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_2}^T{F}_2\left(t\right)+{\mathrm{\&delta;}}_{f_2}+{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}^T{H}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\right)\right)+{\mathrm{\&delta;}}_{h_2}\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\right)\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

控制器的输出量描述为

|u|≤u_max(3)

其中u_max是控制器的最大输出量，

至此，完成了非线性化学反应循环不确定时滞系统的模型建立；

其中，步骤B中所述的设计基于指令滤波器的自适应反步递推控制器的步骤具体为：

步骤B1、定义误差变量z₁＝x₁-x_1d和z₂＝x₂-α₁，设计虚拟控制器α₁，使跟踪误差z₁＝x₁-x_1d趋于零，其中x_1d是参考轨迹信号，在非线性化学反应循环不确定时滞系统模型中参考轨迹信号为0参考轨线；并通过指令滤波器，得到虚拟控制器α₁的导数

结合式(2)，使用备选Lyapunov函数得到V_z1的导数为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{z1}=g_1{z}_1\left(t\right)z_2\left(t\right)+g_1{z}_1\left(t\right){\mathrm{\&alpha;}}_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)z_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{H}_1\left(x_1\right(t-{\mathrm{\&tau;}}_1\left)z_1\right(t)-z_1\left(t\right){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\left(t\right);$

利用Young’s不等式，将时滞项和不确定项分开，得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{z1}\&le;g_1{z}_1\left(t\right)z_2\left(t\right)+g_1{z}_1\left(t\right){\mathrm{\&alpha;}}_1\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1\left(t\right)z_1\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}{z}_1^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{H}_1^2\left(x_1\right(t-{\mathrm{\&tau;}}_1\left)\right)-z_1\left(t\right){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\left(t\right),$

定义时滞补偿函数其中来补偿未知的时滞参数的给系统带来的影响，得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{z1}+{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{U_1}\&le;g_1{z}_1{z}_2+g_1{z}_1{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1{z}_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}{z}_1^2+\frac{1}{2}{H}_1^2-z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}---\left(4\right);$

定义其中η₁是一个正的设计参数，通过η₁的调整，使得z₁的控制精度控制在系统的范围内，并避免出现在z₁趋于0的时候，控制器输入能量需要超出额定负荷的现象，得到：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{z1}+{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{U_1}\&le;g_1{z}_1{z}_2+z_1(g_1{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_{f_1}^T{F}_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_1}{z}_1+\frac{2}{z_1}{\tanh }^2(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1})U_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d})+\&lsqb;1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)\&rsqb;U_1---\left(5\right);$

定义误差变量其中是估计误差，是估计值，并定义变量

用不确定的未知参数θ₁的估计值来完成控制器的设计，使用如下形式的Lyapunov备选函数：

其中Γ₁是一个正的常数，结合式(5)对其求导，得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\&le;g_1{z}_1{z}_2+z_1(g_1{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_1}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d})-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_1}{z}_1+\&lsqb;1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)\&rsqb;U_1+{\mathrm{\&Gamma;}}_1^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_1---\left(6\right);$

设计自适应升级率σ₁是一个正的修正因数，实现在线的实时估计未知的参数θ₁；

结合不等式并定义虚拟控制将式(6)整理得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\&le;g_1{z}_1{z}_2-K_1{z}_1^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_1\left|\right|{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1|{|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_1|\left|{\mathrm{\&theta;}}_1\right|{|}^2+\&lsqb;1-2{\tanh }^2\left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}\right)\&rsqb;U_1---\left(7\right)$

其中K₁是一个正常数，将所选取的虚拟控制器α₁，通过指令滤波器，得到虚拟控制器的导数并避免引起由于计算产生的微分指数爆炸线性；

步骤B2、设计名义控制输入v；

采用与步骤B1中相同的方法，选择备选Lyapunov函数结合式(2)，求其对时间的导数如下：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{z_2}\&le;z_2\left(t\right)g_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right)u\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_{f_2}^T{F}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right)z_2\left(t\right)+c_{f_2}\left|z_2\left(t\right)\right|{\mathrm{\&phi;}}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}^T{\mathrm{\&theta;}}_{h_2}{z}_2^2\left(t\right)\\ +\frac{1}{2}{H}_2^T\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\right)\right)H_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\right)\right)+\frac{1}{2}{c}_{h_2}^2{z}_2^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&psi;}}_2^2\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_2\right)\right)-z_2\left(t\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1\left(t\right)\end{array}---\left(8\right)$

定义定义变量

和其中η₂是一个正的设计参数，通过整理式(8)得到：

其中η₂为正的设计参数，通过η₂的调整，使得z₂的控制精度控制在系统的范围内；

定义和其中分别是θ₂的估计误差和估计值，分别是θ₂₀的估计误差和估计值，通过定义变量

θ₂通过选择备选Lyapunov函数：

并设计自适应升级率：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2={\mathrm{\&Gamma;}}_2(F_{{\mathrm{\&theta;}}_2}{z}_2-{\mathrm{\&sigma;}}_2{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2),{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_{20}={\mathrm{\&gamma;}}_2\left(z_2{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \right(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2})-{\mathrm{\&sigma;}}_{20}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{20})---\left(9\right)$

实现在线的实时估计未知的参数θ₁；

θ₂₀根据引理与式(9)并通过定义k_pε₂＝Φ₂，得到

${\mathrm{\&theta;}}_{20}\left|z_2\right|{\mathrm{\&phi;}}_2\&le;z_2^T{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh \left(\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}\right){\mathrm{\&theta;}}_{20}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&Phi;}}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_{20}^2$

其中σ₂,σ₂₀是正的修正因数，γ₂,Γ₂是正的回归因子；实现使用θ₂₀的估计值完成控制器设计；

引入辅助设计系统以方便输入饱和控制系统的分析：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=\left\{\begin{array}{cc}-K_{22}e-\frac{1}{|e{|}^2}{f}_2(u,\mathrm{\&Delta;}u,z_2,{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)e+g_2(v-u)& \left|e\right|\&GreaterEqual;{\&Element;}_2\\ 0& \left|e\right|<{\&Element;}_2\end{array}\right.---\left(10\right)$

根据系统要求的跟踪性能来选取一个近似值；

通过定义

得到名义控制输入即自适应反步递推控制器：

$v=\frac{1}{g_2}(-g_1{z}_1-K_2(z_2-e)-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{F}_{{\mathrm{\&theta;}}_2}-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{20}{\mathrm{\&phi;}}_2\tanh (\frac{z_2{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1-\frac{z_{2}h\left(Z\right)}{{\mathrm{\&Phi;}}^2+z_2^2})---\left(11\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Phi;}}=\left\{\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{\&Phi;}h(z_2,{\mathrm{\&Phi;}}_2)}{{\mathrm{\&Phi;}}^2+z_2^2}-k_v\mathrm{\&Phi;}& \left|z_2\right|\&GreaterEqual;l_2\\ 0& \left|z_2\right|<l_2\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中k_v>0,l₂>0；

步骤B3、根据步骤B1和步骤B2的控制率对设计参数进行选择：

根据非线性化学反应循环不确定时滞系统(2)，在公式(9)～(12)的情况下，对于任意有界初始条件下，存在设计参数k_v>0,σ₁>0,σ₂>0,σ₂₀>0，K₁>0，K₂>0，K₂₂>1，使闭环信号e,z₁,z₂,是有界的。

2.根据权利要求1中一种具有控制器输入饱和的非线性化学反应循环不确定时滞系统的控制方法，其特征在于步骤C调节控制设计参数k_v>0,σ₁>0,σ₂>0,σ₂₀>0，K₁>0，K₂>0，K₂₂>1时，跟踪误差z₁,z₂是有界的，且在系统仅遭受参数不确定性、状态时滞和控制器输入饱和的影响时，使状态响应曲线x₁，x₂趋于零。