CN103279035A - 考虑wams信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种考虑WAMS信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法，首先基于网络化控制系统理论建立计及反馈信号时滞的闭环广域电力系统通用模型；然后引入改进的自由权矩阵方法得到广域电力系统网络化控制系统时滞稳定性分析的定理和推论；同时采用改进锥补偿算法将非线性矩阵不等式（NLMI）转换为可以方便求解的线性矩阵不等式（LMI），通过非线性迭代优化算法得到保守性较低的广域电力系统网络化控制器最大时滞边界和相应的状态反馈控制器；最后结合成熟的状态观测器理论实现电力系统的时滞输出反馈控制。本发明计算过程简单，运行速度较快，能够快速得到广域电力系统的最大时滞上界，且易于在工程上实现。

Description

考虑WAMS信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法

技术领域

本发明属于电力系统广域时滞阻尼控制技术领域，特别涉及一种考虑WAMS信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法。

背景技术

随着我国大区电网之间的互联使网络结构更复杂、分布地域更广、元件更多，动态行为也更复杂。对这种具有动、静态不确定性的非线性超大规模电力系统的分析和安全预警难度很大。长期沿用的基于局部信息的电力系统控制和保护设计方法以及静态安全防御系统的构架，也不能满足超大规模电力系统振荡抑制与控制、系统保护和动态安全防御的要求。为此，必须加强电力大系统安全稳定及其控制理论的基础研究，并在此基础上建立我国电力大系统的安全保障体系。

大规模电力系统尤其是呈放射形结构的电网低频振荡问题尤为突出，已经成为导致系统失稳的最重要原因。低频振荡可分为本地振荡和区域间振荡。本地振荡是指在同一区域内一台发电机或几台发电机和区域内的其它机组发生的振荡，本地振荡的频率一般都比较高，在0.7～2.5Hz的范围内；区域间振荡是指不同区域的两个机组或者几台发电机之间发生的相互振荡，区域间振荡的频率一般较低，在0.1～0.7Hz的范围内。对于低频振荡产生的机理分析，负阻尼理论认为在发电机输出功率很大和系统电抗很大的前提条件下，由于励磁调节系统本身所带有的惯性，励磁调节系统放大倍数的增加将导致系统特征根的实部将逐渐变大；而当放大倍数增加到一定临界值的时候，实部将由负变正，从而系统中存在着增幅振荡。因此用负阻尼来解释低频振荡的形成机理就是由于励磁调节系统放大倍数的增加，产生了负阻尼，由此抵消了原始系统原有的正阻尼，使得系统的总阻尼很小或者为负。负阻尼的分析原理是基于线性系统的理论，同时又因为分析过程物理概念清楚，物理意义明确，因而得到普遍认同。

近来受到广泛关注的广域测量系统（Wide Area Measurement System--WAMS），可以在同一参考时间框架下捕捉到大规模互联电力系统各地点的实时稳态/动态信息，这些信息可应用于电力系统稳态及动态分析与控制的许多领域，给大规模互联电力系统的运行和控制提供了新的视角。广域测量系统技术为大电网朝着大面积实时监测和控制方向的发展提供了先进的信息技术平台。

WAMS给电力系统的运行和控制带来了新的契机，也会有一些不可忽略的问题，如反馈信号的传输时间时滞问题。广域测量系统是一个由多种通信媒质组成的结构复杂的网络系统。在广域控制的条件下，由于各个通信传输通道存在信号通信时滞，不同的传输媒介和装置的通信延迟时间各异且具有随机性，造成了电力系统是一个典型的非线性、多时滞控制系统。时滞的存在使得电力系统的稳定分析和控制变得更加复杂和困难，也是系统不稳定和系统控制性能变差的根源之一。

发明内容

本发明的目的是提出一种考虑WAMS信号时滞不确定性影响的电力系统广域输出反馈控制器设计方法，旨在模型和控制器设计过程就考虑到信道时滞不确定的影响，并且通过一种非线性迭代优化方法得到保守性较低和可供工程人员参考的闭环广域电力系统最大时滞上界，实现对互联电力系统的广域输出反馈控制。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：

一种考虑WAMS信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法，包括以下步骤，

步骤1、基于WAMS建立计及反馈信号时滞的闭环广域电力系统通用模型；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{BKx}\left(i_{k}h\right),t\∈[i_{k}h+{\mathrm{\τ}}_k,i_{k+1}h+{\mathrm{\τ}}_{k+1}),k=\mathrm{1,2},...,\\ x\left(t\right)=x(t_0-\mathrm{\η})e^{A(t-t_0+\mathrm{\η})}=\mathrm{\φ}\left(t\right),\end{array}\right.$

其中，h为信号采样周期，τ_k为反馈信道的时滞，K为状态反馈控制器，A,B为系统矩阵，i_k为时间间隔系数，k为离散信号序列标签；

步骤2、假设给定状态反馈控制器K，得到闭环广域电力系统网络化控制的时滞稳定性定理和推论；

定理1：针对闭环电力系统给定标量η＞0，如果存在矩阵P＞0,Q≥0,Z＞0, $X=\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ *& X_{13}\end{array}\right]\≥0$ 以及矩阵 $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 和 $M={\left[\begin{array}{cc}{M}_1^T& M_2^T\end{array}\right]}^T$ 使得如下矩阵不等式成立：

$\mathrm{\&phi;}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&phi;}}_{11}& {\mathrm{\&phi;}}_{12}& -M_1& {\mathrm{\&eta;A}}^{T}Z\\ *& {\mathrm{\&phi;}}_{22}& -M_2& {\mathrm{\&eta;K}}^T{B}^{T}Z\\ *& *& -Q& 0\\ *& *& *& -\mathrm{\&eta;Z}\end{array}\right]<0$

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}X& N\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

${\mathrm{\&Psi;}}_2=\left[\begin{array}{cc}X& M\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

则闭环广域电力系统是渐进稳定的，且：

${\mathrm{\&phi;}}_{11}=\mathrm{PA}+A^{T}P+Q+N_1+N_1^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{11}$

${\mathrm{\&phi;}}_{12}=\mathrm{PBK}-N_1+N_2^T+M_1+\mathrm{\&eta;}{X}_{12}$

${\mathrm{\&phi;}}_{13}=-N_2-N_2^T+M_2+M_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{22}$

当M＝0和Q＝εI时，ε是指充分小并趋近于零的数，I是一个单位矩阵，由定理1得到如下推论：

推论1：针对闭环电力系统给定标量η＞0，如果存在P＞0,Z＞0, $X=\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ *& X_{22}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$ 以及矩阵 $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 使得如下矩阵不等式成立：

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}X& N\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

$\mathrm{\&Xi;}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& {\mathrm{\&eta;A}}^{T}Z\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& {\mathrm{\&eta;K}}^T{B}^{T}Z\\ *& *& -\mathrm{\&eta;Z}\end{array}\right]<0$

则闭环广域电力系统是渐进稳定的，且：

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\mathrm{PA}+A^{T}P+N_1+N_1^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{11}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\mathrm{PBK}-N_1+N_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{12}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=-N_2-N_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{22}$

步骤3、在步骤2的闭环广域电力系统网络化控制系统时滞稳定性分析定理1和推论1的基础上，进一步得到定理2，并根据定理2得到使闭环广域电力系统渐进稳定的状态反馈控制器K；

定理2：针对闭环电力系统给定标量η＞0，如果存在矩阵L＞0,W≥0,R＞0, $Y=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ *& Y_{22}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$ 以及矩阵 $S={\left[\begin{array}{cc}{S}_1^T& S_2^T\end{array}\right]}^T,$ $T={\left[\begin{array}{cc}{T}_1^T& T_2^T\end{array}\right]}^T$ 和矩阵V使得如下矩阵不等式成立：

$\mathrm{\&Xi;}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& -T_1& {\mathrm{\&eta;LA}}^T\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& -T_2& {\mathrm{\&eta;V}}^T{B}^T\\ *& *& -W& 0\\ *& *& *& -\mathrm{\&eta;R}\end{array}\right]<0---\left(15\right)$

${\mathrm{\&Pi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}Y& S\\ *& {\mathrm{LR}}^{-1}L\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

${\mathrm{\&Pi;}}_2=\left[\begin{array}{cc}Y& T\\ *& {\mathrm{LR}}^{-1}L\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

则闭环广域电力系统是渐进稳定的，且反馈控制器K＝VL^-1，

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\mathrm{AL}+{\mathrm{LA}}^T+W+S_1+S_1^T+\mathrm{\&eta;}{Y}_{11}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\mathrm{BV}-S_1+S_2^T+T_1+\mathrm{\&eta;}{Y}_{12}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=-S_2-S_2^T+T_2+T_2^T+\mathrm{\&eta;}{Y}_{22}$

步骤4、针对步骤3的定理2中的矩阵不等式含有非线性项LR^-1L，利用改进锥补偿算法ICCL将其转换为方便求解的线性矩阵不等式LMI，然后通过非线性迭代优化算法，求解得到保证闭环广域电力系统渐进稳定且保守性较低的最大时滞上界η_max和与之对应的状态反馈控制器K；

步骤5、根据步骤4得到的状态反馈控制器K，结合成熟的状态观测器理论得到广域时滞输出反馈控制器的状态空间表达式。

所述步骤4中利用非线性迭代优化算法得到状态反馈控制器K的过程如下：

定义新变量U，使LR^-1L≥U，并且令P＝L^-1,H＝U^-1,Z＝R^-1，

因此转化为以下的基于LMI的非线性迭代最小化问题：

Minimize Tr{LP+UH+RZ}

Subject to式(9)以及

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}Y& S\\ *& U\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}Y& T\\ *& U\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}H& P\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\\ \left[\begin{array}{cc}L& I\\ *& P\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}U& I\\ *& H\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}R& I\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0.\end{array}\right.---\left(18\right)$

则闭环广域电力系统的最大时滞上界η_max和与之对应的状态反馈控制器K通过以下非线性迭代优化算法来获得，具体步骤如下：

步骤4.1、选取初始值η＞0，使其满足式（15）、（18）约束，设置迭代次数N；

步骤4.2、寻找一组满足式（15）、（18）约束的可行解，设初始值为(P₀,L₀,W,S,T,Y,Z₀,R₀,U₀,H₀,V)，令k＝0；

步骤4.3、求解关于变量P,L,W,S,T,Y,Z,R,U,H,V,K的最小化问题；

Minimize Tr{LP_k+L_kP+UH_k+U_kH+RZ_k+R_kZ}

Subject to式（15）和式(18)

令P_k+1＝P,L_k+1＝L,U_k+1＝U,H_k+1＝H,R_k+1＝R,Z_k+1＝Z；

步骤4.4、对步骤4.3所得的K，如果LMI式（15）、（18）有关于变量P,Q,Z,N,M,X的可行解，则令η_max＝η，适当增大η并返回步骤4.3；如果步骤4.3所得的K，使LMI式（15）、（18）不可行或者超出迭代次数N，则结束程序，否则，令k＝k+1，返回步骤4.3。

所述步骤1中，通过开环电力系统模型

采用无记忆状态反馈控制器并计及网络反馈信号时滞 $\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)\\ u\left(t\right)=\mathrm{Kx}(t^{*}-{\mathrm{\&tau;}}_k),t^{*}\&Element;\{i_{k}h+{\mathrm{\&tau;}}_k\},k=\mathrm{1,2},...,\end{array}\right.,$ 得到考虑网络控制系统反馈信号时滞的闭环广域电力系统通用模型：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{BKx}\left(i_{k}h\right),t\&Element;[i_{k}h+{\mathrm{\&tau;}}_k,i_{k+1}h+{\mathrm{\&tau;}}_{k+1}),k=\mathrm{1,2},...,\\ x\left(t\right)=x(t_0-\mathrm{\&eta;})e^{A(t-t_0+\mathrm{\&eta;})}=\mathrm{\&phi;}\left(t\right),\end{array}\right.$

其中，t^*为状态变量的时刻。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

1、本发明解决了矩阵不等式中存在非线性项LR-1L的问题，采用改进锥补偿方法（ICCL）将其转化为易求解的线性矩阵不等式。

2、本发明基于一种非线性的迭代优化求解方法，能够方便地求解出闭环广域电力系统的最大时滞上界η_max，并具有较低的保守性。

附图说明

图1是本发明中非线性迭代优化求解算法流程图。

图2是本发明新英格兰10机39节点电力系统单线图。

图3是本发明实施例中故障1条件下3号和4号发电机的转速差动态响应对比图。

图4是本发明实施例中故障1条件下2号和3号发电机的转速差动态响应对比图。

图5是本发明实施例中故障2条件下3号和4号发电机的转速差动态响应对比图。

图6是本发明实施例中故障2条件下2号和3号发电机的转速差动态响应对比图。

具体的实施方式

一种考虑WAMS信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法，包括以下步骤，

步骤1、基于WAMS建立计及反馈信号时滞的闭环广域电力系统通用模型；

未加反馈控制信号的开环电力系统模型如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)---\left(1\right)$

其中x(t)∈Rⁿ,y(t)∈Rⁿ,u(t)∈R^m分别表示开环电力系统的状态、系统输出和控制输入;n,m表示状态向量的维数;A,B为适当维数的系统矩阵，适当维数指的是经过系统降阶算法合理降阶后得到适合计算机处理能力的系统矩阵。

考虑引入计及反馈信号时滞的广域状态反馈控制器K：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)\\ u\left(t\right)=\mathrm{Kx}(t^{*}-{\mathrm{\&tau;}}_k),t^{*}\&Element;\{i_{k}h+{\mathrm{\&tau;}}_k\},k=\mathrm{1,2},...,\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中h为信号采样周期，τ_k为反馈信道的时滞，i_k为时间间隔系数，t^*为状态变量的时刻，k为离散信号序列标签，K为状态反馈控制器。这样就得到闭环广域时滞电力系统网络化控制系统模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{BKx}\left(i_{k}h\right),t\&Element;[i_{k}h+{\mathrm{\&tau;}}_k,i_{k+1}h+{\mathrm{\&tau;}}_{k+1}),k=\mathrm{1,2},...,\\ x\left(t\right)=x(t_0-\mathrm{\&eta;})e^{A(t-t_0+\mathrm{\&eta;})}=\mathrm{\&phi;}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中t₀为初始时刻，η为反馈信道中的最大时滞。

步骤2、假设给定状态反馈控制器K，得到闭环广域电力系统网络化控制的时滞稳定性定理和推论；

定理1：针对闭环电力系统给定标量（给定最大时滞）η＞0，如果存在P＞0,Q≥0,Z＞0, $X=\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ *& X_{13}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$ 以及任意合适维数的矩阵 $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 和 $M={\left[\begin{array}{cc}{M}_1^T& M_2^T\end{array}\right]}^T$ 使得如下矩阵不等式成立：

$\mathrm{\&phi;}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&phi;}}_{11}& {\mathrm{\&phi;}}_{12}& -M_1& {\mathrm{\&eta;A}}^{T}Z\\ *& {\mathrm{\&phi;}}_{22}& -M_2& {\mathrm{\&eta;K}}^T{B}^{T}Z\\ *& *& -Q& 0\\ *& *& *& -\mathrm{\&eta;Z}\end{array}\right]<0---\left(5\right)$

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}X& N\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,---\left(6\right)$

${\mathrm{\&Psi;}}_2=\left[\begin{array}{cc}X& M\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,---\left(7\right)$

则闭环广域电力系统是渐进稳定的。这里：

${\mathrm{\&phi;}}_{11}=\mathrm{PA}+A^{T}P+Q+N_1+N_1^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{11}$

${\mathrm{\&phi;}}_{12}=\mathrm{PBK}-N_1+N_2^T+M_1+\mathrm{\&eta;}{X}_{12}$

${\mathrm{\&phi;}}_{13}=-N_2-N_2^T+M_2+M_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{22}$

推导过程：构造如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函：

$V\left(x_t\right)=x^T\left(t\right)\mathrm{Px}\left(t\right)+{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^t{x}^T\left(s\right)\mathrm{Qx}\left(s\right)\mathrm{ds}+{\&Integral;}_{-\mathrm{\&eta;}}^0{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;},---\left(8\right)$

其中，P＞0,Q≥0,Z＞0是待定矩阵。根据牛顿-莱布尼茨公式，对于任意合适维数的矩阵 $N={\left[\begin{array}{cc}{N}_1^T& N_2^T\end{array}\right]}^T$ 和 $M={\left[\begin{array}{cc}{M}_1^T& M_2^T\end{array}\right]}^T,$ 有：

$0={2\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)N[x\left(t\right)-x\left(i_{k}h\right)-{\&Integral;}_{i_{k}h}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]---\left(9\right)$

$0={2\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)M[x\left(i_{k}h\right)-x(t-\mathrm{\&eta;})-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^{i_{k}h}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}],---\left(10\right)$

其中， $\mathrm{\&zeta;}\left(t\right)={[x^T\left(t\right),x^T\left(i_{k}h\right)]}^T.$

另一方面，对任意矩阵 $X=\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ *& X_{22}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,$ 以下等式同样成立：

$0={\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^t{\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)\mathrm{X\&zeta;}\left(t\right)\mathrm{ds}-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^t{\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)\mathrm{X\&zeta;}\left(t\right)\mathrm{ds}$ (11)(11)

$={\mathrm{\&eta;\&zeta;}}^T\left(t\right)X\mathrm{\&zeta;}\left(t\right)-{\&Integral;}_{i_{k}h}^t{\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)\mathrm{X\&zeta;}\left(t\right)\mathrm{ds}-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^{i_{k}h}{\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)\mathrm{X\&zeta;}\left(t\right)\mathrm{ds}$

$-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}=-{\&Integral;}_{i_{k}h}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^{i_{k}h}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}---\left(12\right)$

对V(t,x_t)沿闭环系统式(4)求导，其中t∈[i_kh+τ_k,i_k+1h+τ_k+1)，得到V(t,x_t)的导数如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x_t\right)={2x}^T\left(t\right)P\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)+x^T\left(t\right)\mathrm{Qx}\left(t\right)-x^T(t-\mathrm{\&eta;})\mathrm{Qx}(t-\mathrm{\&eta;})+\mathrm{\&eta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)$

$-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)\mathrm{ds}$

$={2x}^T\left(t\right)P\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)+x^T\left(t\right)\mathrm{Qx}\left(t\right)-x^T(t-\mathrm{\&eta;})\mathrm{Qx}(t-\mathrm{\&eta;})+\mathrm{\&eta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)$

$-{\&Integral;}_{i_{k}h}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^{i_{k}h}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)Z\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}$

$+{2\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)N[x\left(t\right)-x\left(i_{k}h\right)-{\&Integral;}_{i_{k}h}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]---\left(13\right)$

$+{2\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)M[x\left(i_{k}h\right)-x(t-\mathrm{\&eta;})-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^{i_{k}h}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]$

$+{\mathrm{\&eta;\&zeta;}}^T\left(t\right)\mathrm{X\&zeta;}\left(t\right)-{\&Integral;}_{i_{k}h}^t{\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)\mathrm{X\&zeta;}\left(t\right)\mathrm{ds}-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^{i_{k}h}{\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right)\mathrm{X\&zeta;}\left(t\right)\mathrm{ds}$

$={\mathrm{\&xi;}}_1^T\left(t\right)\widehat{\mathrm{\&phi;}}{\mathrm{\&xi;}}_1\left(t\right)-{\&Integral;}_{i_{k}h}^t{\mathrm{\&xi;}}_2^t(t,s){\mathrm{\&psi;}}_1{\mathrm{\&xi;}}_2(t,s)\mathrm{ds}-{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&eta;}}^{i_{k}h}{\mathrm{\&xi;}}_2^T(t,s){\mathrm{\&psi;}}_2{\mathrm{\&xi;}}_2(t,s)\mathrm{ds},$

其中：

$\widehat{\mathrm{\&phi;}}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&phi;}}_{11}+{\mathrm{\&eta;A}}^T\mathrm{ZA}& {\mathrm{\&phi;}}_{12}+{\mathrm{\&eta;A}}^T\mathrm{ZBK}& -M_1\\ *& {\mathrm{\&phi;}}_{22}+{\mathrm{\&eta;K}}^T{B}^T\mathrm{ZBK}& -M_2\\ *& *& -Q\end{array}\right]$

ξ₁(t)=[x^T(t),x^T(i_kh),x^T(t-η)]^T

${\mathrm{\&xi;}}_2(t,s)={[{\mathrm{\&zeta;}}^T\left(t\right),{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)]}^T$

如果ψ_i≥0,i＝1,2,

那么对于充分小的ε＞0，有

这样就确保了闭环系统式(4)是渐近稳定的。定理得证。

当M＝0和Q＝εI（这里ε是一个足够小的标量）时，可以由定理1得到如下推论：

推论1：针对闭环电力系统给定标量η＞0，如果存在P＞0,Z＞0,

$X=\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ *& X_{22}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$ 以及任意合适维数的矩阵 $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 使得式（6）和如下矩阵不等式成立：

$\mathrm{\&Xi;}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& {\mathrm{\&eta;A}}^{T}Z\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& {\mathrm{\&eta;K}}^T{B}^{T}Z\\ *& *& -\mathrm{\&eta;Z}\end{array}\right]<0---\left(14\right)$

则闭环广域电力系统是渐进稳定的。这里：

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\mathrm{PA}+A^{T}P+N_1+N_1^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{11}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\mathrm{PBK}-N_1+N_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{12}.$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=-N_2-N_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{22}$

步骤3、在步骤2的闭环广域电力系统网络化控制系统时滞稳定性分析定理1和推论1的基础上，进一步得到定理2，并根据定理2得到使闭环广域电力系统渐进稳定的状态反馈控制器K；

定理2：针对闭环电力系统给定标量η＞0，如果存在矩阵变量L＞0,W≥0,R＞0, $Y=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ *& Y_{22}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$ 以及任意合适维数的矩阵变量 $S={\left[\begin{array}{cc}{S}_1^T& S_2^T\end{array}\right]}^T,$ $T={\left[\begin{array}{cc}{T}_1^T& T_2^T\end{array}\right]}^T$ 和V使得如下矩阵不等式成立:

$\mathrm{\&Xi;}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& -T_1& {\mathrm{\&eta;LA}}^T\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& -T_2& {\mathrm{\&eta;V}}^T{B}^T\\ *& *& -W& 0\\ *& *& *& -\mathrm{\&eta;R}\end{array}\right]<0---\left(15\right)$

${\mathrm{\&Pi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}Y& S\\ *& {\mathrm{LR}}^{-1}L\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(16\right)$

${\mathrm{\&Pi;}}_2=\left[\begin{array}{cc}Y& T\\ *& {\mathrm{LR}}^{-1}L\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(17\right)$

L、W、R、V、S、T均指的是矩阵不等式（15）、（16）和（17）中待求的矩阵；

则闭环广域电力系统是渐进稳定的，并且反馈控制器K＝VL^-1。这里：

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\mathrm{AL}+{\mathrm{LA}}^T+W+S_1+S_1^T+\mathrm{\&eta;}{Y}_{11}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\mathrm{BV}-S_1+S_2^T+T_1+\mathrm{\&eta;}{Y}_{12}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=-S_2-S_2^T+T_2+T_2^T+\mathrm{\&eta;}{Y}_{22}$

推导过程：将式（5）中的φ分别左乘和右乘对角矩阵{P^-1,P^-1,P^-1,Z^-1}，同时将式（6）和式（7）中的ψ_i,i＝1,2分别左乘和右乘对角矩阵{P^-1,P^-1,P^-1}，并令：

L＝P^-1,R＝Z^-1,V＝KL,

S_i＝LN_iL,T_i＝LM_iL,i＝1,2,

W＝LQL,Y＝diag{P^-1,P^-1}·X·diag{P^-1,P^-1}.

这样可以得到矩阵不等式（15）-（17）。定理得证。

步骤4、针对步骤3的定理2中的矩阵不等式含有非线性项LR^-1L，利用改进锥补偿算法ICCL将其转换为方便求解的线性矩阵不等式LMI，然后通过非线性迭代优化算法，求解得到保证闭环广域电力系统渐进稳定且保守性较低的最大时滞上界η_max和与之对应的状态反馈控制器K；

由于定理2中的式（16）、（17）中有LR^-1L这一非线性项的存在，不能够直接用LMI方法求得控制器的参数。下面利用非线性迭代算法从非线性矩阵不等式（NLMI）中得到状态反馈控制器K的参数。定义新变量U，让LR^-1L≥U，并且令P＝L^-1,H＝U^-1,Z＝R^-1。

那么可转化为如下的基于LMI的非线性迭代最小化问题:

Minimize Tr{LP+UH+RZ}

Subject to式(15)以及

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}Y& S\\ *& U\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}Y& T\\ *& U\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}H& P\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\\ \left[\begin{array}{cc}L& I\\ *& P\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}U& I\\ *& H\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}R& I\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0.\end{array}\right.---\left(18\right)$

则闭环广域电力系统的最大时滞上界η_max和与之对应的状态反馈控制器K可以通过以下非线性迭代优化算法来获得，步骤如下：

第一步：选取充分小的初始值η＞0，一般可以设置为0ms＜η＜50ms，应当设置的尽量较小，使之成为系统容易满足的时滞条件；如令初始值η＝10ms使其满足式（15）、（18）约束。设置迭代次数N。

第二步：寻找一组满足式（15）、（18）约束的可行解，设初始值为(P₀,L₀,W,S,T,Y,Z₀,R₀,U₀,H₀,V)。令k＝0。

第三步：求解关于变量P,L,W,S,T,Y,Z,R,U,H,V,K的最小化问题

Minimize Tr{LP_k+L_kP+UH_k+U_kH+RZ_k+R_kZ}

Subject to式(15)和式(18).

令P_k+1＝P,L_k+1＝L,U_k+1＝U,H_k+1＝H,R_k+1＝R,Z_k+1＝Z。

第四步：对第三步所得的K，如果LMI式（15）、（18）有关于变量P,Q,Z,N,M,X的可行解，则令η_max＝η，适当增大η并返回第三步；如果第三步所得的K，使LMI式（15）、（18）不可行或者超出迭代次数N，则结束程序，否则，令k＝k+1，返回第三步。具体流程见附图1。

第五步：根据步骤4得到的状态反馈控制器K，结合成熟的状态观测器理论可以得到了广域时滞输出反馈控制器的状态空间表达式，广域时滞输出反馈控制较之时滞状态反馈控制更加易于在工程上实现。

实施例

本实施例应用改进自由权矩阵方法设计广域时滞阻尼控制器，并利用新英格兰10机39节点系统来验证本文方法的有效性，如图2所示。

所设计的广域时滞阻尼控制器WATDC的输出信号附加到发电机G1、G3、G8、G9的励磁系统，输入信号采用重要联络线功率和发电机功角差y＝[P_2-30,P_35-22,δ_30-32,δ_30-38]^T，其中：P_2-30为母线2和B30之间联络线的有功；P_35-22连接母线35和22之间联络线的有功；δ_30-32为G1和G3之间的功角差；δ_30-38为G1和G9之间的功角差。经过上述设计流程得到了所需要的广域控制器和最大时滞上限532.7ms，能够满足实际工程需要。

为了检验广域时滞阻尼控制器WATDC的控制效果，对新英格兰系统设置两类典型故障进行仿真试验，系统故障响应分别如图3和图4。

故障1：母线6和11之间发生两相故障，四个周期后故障切除，自动重合闸成功。

故障2：母线22和23之间发生三相接地故障，四个周期后切除故障线路。

Claims (3)

1.一种考虑WAMS信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法，其特征在于：包括以下步骤，

步骤1、基于WAMS建立计及反馈信号时滞的闭环广域电力系统通用模型；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{BKx}\left(i_{k}h\right),t\&Element;[i_{k}h+{\mathrm{\&tau;}}_k,i_{k+1}h+{\mathrm{\&tau;}}_{k+1}),k=\mathrm{1,2},...,\\ x\left(t\right)=x(t_0-\mathrm{\&eta;})e^{A(t-t_0+\mathrm{\&eta;})}=\mathrm{\&phi;}\left(t\right),\end{array}\right.$

其中，h为信号采样周期，τ_k为反馈信道的时滞，K为状态反馈控制器，A,B为系统矩阵，i_k为时间间隔系数，k为离散信号序列标签；

步骤2、假设给定状态反馈控制器K，得到闭环广域电力系统网络化控制的时滞稳定性定理和推论；

定理1：针对闭环电力系统给定标量η＞0，如果存在

P＞0,Q≥0,Z＞0, $X=\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ *& X_{13}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$ 以及矩阵 $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 和 $M={\left[\begin{array}{cc}{M}_1^T& M_2^T\end{array}\right]}^T$ 使得如下矩阵不等式成立：

$\mathrm{\&phi;}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&phi;}}_{11}& {\mathrm{\&phi;}}_{12}& -M_1& {\mathrm{\&eta;A}}^{T}Z\\ *& {\mathrm{\&phi;}}_{22}& -M_2& {\mathrm{\&eta;K}}^T{B}^{T}Z\\ *& *& -Q& 0\\ *& *& *& -\mathrm{\&eta;Z}\end{array}\right]<0$

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}X& N\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

${\mathrm{\&Psi;}}_2=\left[\begin{array}{cc}X& M\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

则闭环广域电力系统是渐进稳定的，且：

${\mathrm{\&phi;}}_{11}=\mathrm{PA}+A^{T}P+Q+N_1+N_1^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{11}$

${\mathrm{\&phi;}}_{12}=\mathrm{PBK}-N_1+N_2^T+M_1+\mathrm{\&eta;}{X}_{12}$

${\mathrm{\&phi;}}_{13}=-N_2-N_2^T+M_2+M_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{22}$

当M＝0和Q＝εI时，由定理1得到如下推论：

推论1：针对闭环电力系统给定标量η＞0，如果存在P＞0,Z＞0, $X=\left[\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ *& X_{22}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$ 以及矩阵 $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 使得如下矩阵不等式成立：

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}X& N\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

$\mathrm{\&Xi;}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& {\mathrm{\&eta;A}}^{T}Z\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& {\mathrm{\&eta;K}}^T{B}^{T}Z\\ *& *& -\mathrm{\&eta;Z}\end{array}\right]<0$

则闭环广域电力系统是渐进稳定的，且：

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\mathrm{PA}+A^{T}P+N_1+N_1^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{11}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\mathrm{PBK}-N_1+N_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{12}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=-N_2-N_2^T+\mathrm{\&eta;}{X}_{22}$

步骤3、在步骤2的闭环广域电力系统网络化控制系统时滞稳定性分析定理1和推论1的基础上，进一步得到定理2，并根据定理2得到使闭环广域电力系统渐进稳定的状态反馈控制器K；

定理2：针对闭环电力系统给定标量η＞0，如果存在矩阵L＞0,W≥0,R＞0, $Y=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ *& Y_{22}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$ 以及矩阵 $S={\left[\begin{array}{cc}{S}_1^T& S_2^T\end{array}\right]}^T,$ $T={\left[\begin{array}{cc}{T}_1^T& T_2^T\end{array}\right]}^T$ 和矩阵V使得如下矩阵不等式成立：

$\mathrm{\&Xi;}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& -T_1& {\mathrm{\&eta;LA}}^T\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& -T_2& {\mathrm{\&eta;V}}^T{B}^T\\ *& *& -W& 0\\ *& *& *& -\mathrm{\&eta;R}\end{array}\right]<0---\left(15\right)$

${\mathrm{\&Pi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}Y& S\\ *& {\mathrm{LR}}^{-1}L\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

${\mathrm{\&Pi;}}_2=\left[\begin{array}{cc}Y& T\\ *& {\mathrm{LR}}^{-1}L\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

则闭环广域电力系统是渐进稳定的，且反馈控制器K=VL^-1，

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\mathrm{AL}+{\mathrm{LA}}^T+W+S_1+S_1^T+\mathrm{\&eta;}{Y}_{11}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\mathrm{BV}-S_1+S_2^T+T_1+\mathrm{\&eta;}{Y}_{12}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=-S_2-S_2^T+T_2+T_2^T+\mathrm{\&eta;}{Y}_{22}$

步骤4、针对步骤3的定理2中的矩阵不等式含有非线性项LR^-1L，利用改进锥补偿算法ICCL将其转换为方便求解的线性矩阵不等式LMI，然后通过非线性迭代优化算法，求解得到保证闭环广域电力系统渐进稳定且保守性较低的最大时滞上界η_max和与之对应的状态反馈控制器K；

步骤5、根据步骤4得到的状态反馈控制器K，结合成熟的状态观测器理论得到广域时滞输出反馈控制器的状态空间表达式。

2.根据权利要求1所述的考虑WAMS信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法，其特征在于：所述步骤4中利用非线性迭代优化算法得到状态反馈控制器K的过程如下：

定义新变量U，使LR^-1L≥U，并且令P＝L^-1,H＝U^-1,Z＝R^-1，

因此转化为以下的基于LMI的非线性迭代最小化问题：

Minimize Tr{LP+UH+RZ}

Subject to式(9)以及

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}Y& S\\ *& U\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}Y& T\\ *& U\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}H& P\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\\ \left[\begin{array}{cc}L& I\\ *& P\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}U& I\\ *& H\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}R& I\\ *& Z\end{array}\right]\&GreaterEqual;0.\end{array}\right.---\left(18\right)$

则闭环广域电力系统的最大时滞上界η_max和与之对应的状态反馈控制器K通过以下非线性迭代优化算法来获得，具体步骤如下：

步骤4.1、选取初始值η＞0，使其满足式（15）、（18）约束，设置迭代次数N；

步骤4.2、寻找一组满足式（15）、（18）约束的可行解，设初始值为(P₀,L₀,W,S,T,Y,Z₀,R₀,U₀,H₀,V)，令k＝0；

步骤4.3、求解关于变量P,L,W,S,T,Y,Z,R,U,H,V,K的最小化问题；

Minimize Tr{LP_k+L_kP+UH_k+U_kH+RZ_k+R_kZ}

Subject to式（15）和式(18)

令P_k+1＝P,L_k+1＝L,U_k+1＝U,H_k+1＝H,R_k+1＝R,Z_k+1＝Z；

步骤4.4、对步骤4.3所得的K，如果LMI式（15）、（18）有关于变量P,Q,Z,N,M,X的可行解，则令η_max＝η，适当增大η并返回步骤4.3；如果步骤4.3所得的K，使LMI式（15）、（18）不可行或者超出迭代次数N，则结束程序，否则，令k＝k+1，返回步骤4.3。

3.根据权利要求1所述的考虑WAMS信号时延的电力系统广域输出反馈控制方法，其特征在于：所述步骤1中，通过开环电力系统模型

引入无记忆状态反馈控制器并计及网络反馈信号时滞

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)\\ u\left(t\right)=\mathrm{Kx}(t^{*}-{\mathrm{\&tau;}}_k),t^{*}\&Element;\{i_{k}h+{\mathrm{\&tau;}}_k\},k=\mathrm{1,2},...,\end{array}\right.,$ 得到考虑网络控制系统反馈信号时滞的闭环广域电力系统通用模型：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{BKx}\left(i_{k}h\right),t\&Element;[i_{k}h+{\mathrm{\&tau;}}_k,i_{k+1}h+{\mathrm{\&tau;}}_{k+1}),k=\mathrm{1,2},...,\\ x\left(t\right)=x(t_0-\mathrm{\&eta;})e^{A(t-t_0+\mathrm{\&eta;})}=\mathrm{\&phi;}\left(t\right),\end{array}\right.$

其中，t^*为状态变量的时刻。

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