CN108875246A - 具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，通过带记忆存储器的多步变换，将具有控制时延的线性离散时间系统转化为无控制时延的等价线性离散时间系统，然后通过设计无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器，得到具有控制时延的线性离散时间系统的控制器；通过设计无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器，得到具有控制时延的线性离散时间系统的控制器。本发明在无记忆变换的基础上，给出了具有控制时延的线性离散时间系统的多步变换最优控制，当使用这种转换时，系统的维度不会增加，且得到的最优控制器可使闭环系统指数稳定。

Description

具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法

技术领域

本发明涉及控制器设计领域，特别涉及一种具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法。

背景技术

时间延迟往往是系统不稳定的主要来源，并且出现在各种工程系统中，例如化学过程、气动系统中的长传输线。时间延迟系统的稳定性标准已引起许多研究人员的关注，它们可以分为两类：依赖延迟的标准和不依赖延迟的标准，后者不包括关于延迟大小的任何信息，而前者包括这些信息。到目前为止，具有控制时延的线性离散时间系统的指数稳定性问题依然没有得到解决。

发明内容

本发明提供了一种具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，用于具有控制时延的线性离散时间系统中，使闭环系统达到指数稳定。

为了解决上述技术问题，本发明的技术方案是：

一种具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，通过带记忆存储器的多步变换，将具有控制时延的线性离散时间系统转化为无控制时延的等价线性离散时间系统，然后通过设计无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器，得到具有控制时延的线性离散时间系统的控制器；通过设计无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器，得到具有控制时延的线性离散时间系统的控制器。

较佳地，将具有控制时延的线性离散时间系统转化为无控制时延的等价线性离散时间系统的方法如下：

具有控制时延的线性离散时间系统表示为：

x_k+1＝Ax_k+Bu_k+B₁u_k-h (1)

式中x(t)∈Rⁿ,u(t)∈R^m并且A,B,B₁分别是适当大小的矩阵，h为正整数；

引入时滞变换：

则

把式(1)带入式(3)，可得

令则上式可得无控制时延的等价线性离散时间系统：

较佳地，对应于无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器，其成本函数为：

式中F＝F^T≥0,Q＝Q^T＞0,R＝R^T＞0。

较佳地，所述使成本函数(5)极小的无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器为：

u_k＝-G_kz_k (8)

其中

控制器(8)是具有控制时延的线性离散时间系统(1)的多步变换控制器。

较佳地，所述无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器，其成本函数为：

式中Q＝Q^T＞0,R＝R^T＞0。

较佳地，使成本函数(6)极小的无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器为：

u_k＝-Gz_k (11)

其中

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

1.本发明在无记忆变换的基础上，给出了具有控制时延的线性离散时间系统的多步变换最优控制，当使用这种转换时，系统的维度不会增加；

2.得到的有限时间最优控制器可使闭环系统指数稳定，当开环系统是可控或可镇定时，得到的无限时间最优控制器可使闭环系统指数稳定。

附图说明

图1是本发明实施例一的有限时间最优控制器的闭环系统的状态响应图；

图2是本发明实施例一的无限时间最优控制器的闭环系统的状态响应图；

图3是本发明实施例二的有限时间最优控制器的闭环系统的状态响应图；

图4是本发明实施例二的无限时间最优控制器的闭环系统的状态响应图。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细的说明。需说明的是，本发明附图均采用简化的形式且均使用非精准的比例，仅用以方便、明晰地辅助说明本发明实施例的目的。

一种具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，通过带记忆存储器的多步变换，将具有控制时延的线性离散时间系统转化为无控制时延的等价线性离散时间系统，然后通过设计无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器，得到具有控制时延的线性离散时间系统的控制器；通过设计无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器，得到具有控制时延的线性离散时间系统的控制器，两种控制器最终可使闭环系统指数稳定。

较佳地，将具有控制时延的线性离散时间系统转化为无控制时延的等价线性离散时间系统的方法如下：

具有控制时延的线性离散时间系统表示为：

x_k+1＝Ax_k+Bu_k+B₁u_k-h (1)

式中x(t)∈Rⁿ,u(t)∈R^m并且A,B,B₁分别是适当大小的矩阵，h为正整数，k为整数，R表示实数空间；

引入时滞变换：

则

把式(1)带入式(3)，可得

令则上式可得无控制时延的等价线性离散时间系统：

因此，只要A是可逆的，具有控制时延的线性离散时间系统(1)就可以被转换成无控制时延的等价线性离散时间系统(4)。

较佳地，对应于无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器，其成本函数为：

式中F＝F^T≥0,Q＝Q^T＞0,R＝R^T＞0，N为正整数。

对应于无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器，其成本函数为：

式中Q＝Q^T＞0,R＝R^T＞0。

现在，我们的任务是设计无控制时延的等价线性离散时间系统(4)的最优控制器并分别使代价函数(5)和(6)极小。

具体地，对于无控制时延的等价线性离散时间系统(4)的有限时间最优控制，我们可以得到以下结果：

对于无控制时延的等价线性离散时间系统(4)，一种新的有限时间离散时间Riccati方程如下：

使成本函数(5)极小的无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器为：

u_k＝-G_kz_k (8)

其中

控制器(8)便是具有控制时延的线性离散时间系统(1)的多步变换控制器。

对于无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制：

较佳地，所述使成本函数(6)极小的无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器为：

u_k＝-Gz_k (11)

其中

无限时间离散时间Riccati方程的一种新形式如下：

并且

P＝P^T＞0

实际上，人们知道控制器(11)便是具有控制时延的线性离散时间系统(1)的多步变换控制器。

在给出本申请的主要结果之前，我们首先给出一个定义和三个引理。

定义1.如果对于每个初始状态x₀，都有以下结论成立，则称系统(1)是指数稳定的。

||x_k||²≤βγ^k||x₀||² (15)

其中β＞0,0＜γ＜1。

引理1.有限时间最优控制器(8)可以使系统(4)指数稳定。

对于系统(4)的无限时间最优控制，我们有以下结果：

引理2.如果系统(4)是可控的或可镇定的，则无限时间最优控制器(11)使系统(4)指数稳定。

引理3.若z,z₁,z₂,L z_k都是同维数的矢量，且下面的矢量方程成立，

z＝z₁+z₂+L+z_k，

则有，||z||²≤k[||z₁||²+||z₂||²+L+||z_k||²]。

根据以上得出以下结果：

定理1.有限最优控制器(8)使系统(1)指数稳定。

证明：根据引理1，有限时间最优控制器(8)可以使系统(4)指数稳定，也就是说

||z_k||²≤βγ^k||z₀||² (16)

其中β＞0,0＜γ＜1。

从(2)式可知，

由引理3和式(16)可知，

||x_k||²≤(h+1)(||z_k||²+||A^-hB₁G_k-1z_k-1||²+||A^1-hB₁G_k-2z_k-2||²+L+||A^-1B₁G_k-hz_k-h||²)

≤(h+1)(βγ^k||z₀||²+||A^-hB₁G_k-1||²||z_k-1||²+||A^1-hB₁G_k-2||²||z_k-2||²+L+||A^{- 1}B₁G_k-h||²||z_k-h||²)

≤(h+1)(βγ^k||z₀||²+||A^-hB₁G_k-1||²βγ^k-1||z₀||²+

||A^1-hB₁G_k-2||²βγ^k-2||z₀||²+L+||A^-1B₁G_k-h||²βγ^k-h||z₀||²)

令||A^-hBG_k-1||²＝α₁,||A^-hBG_k-2||²＝α₂,L||A^-hBG_k-h||²＝α_h，得

令

由于

u_-h＝u_-h+1＝L＝u_-1＝0,

最终得到

||x_k||^k≤β₁γ^k||x₀||²

根据定义1，我们知道有限最优控制器(8)使系统(1)指数稳定。证明完成。

定理2.如果系统(4)是可控的，无限时间最优控制器(11)可以使系统(1)指数稳定。

证明：从引理2可知，无限时间最优控制器(11)可以使系统(4)指数稳定，也就是说

||z_k||²≤βγ^k||z₀||² (17)

其中β＞0,0＜γ＜1。

从(2)式可知，

证明的其余部分与定理1的相似。证明完成。

实施例一

具有控制时延的线性离散时间系统如下，

x_k+1＝Ax_k+Bu_k+B₁u_k-3

其中

在仿真中选择参数如下：

F＝diag(1,1),Q＝diag(0.01,0.01),

R＝1,N＝200

对于系统的有限时间最优控制，在式(4)中计算P_k的值不是很方便，P_k的计算方法与文献(H.L.Liu,Q.X.Zhu,New Forms of Riccati equations and the further resultsof the optimal control for linear discrete-time systems.International Journalof Control,Automation and Systems.2014,12(6):1160-1164.)中的计算方法相同。当P_N,P_N-1,L P₂,P₁的值已知时，可以计算系统的有限时间最优控制器。当系统的初始值为x₀＝[1-1]^T时，闭环系统的状态响应如图1所示。从图1可以看出，具有有限时间最优变换控制器的闭环系统是指数稳定的。对于系统的无限时间最优控制，容易验证系统是可控的，使用Matlab函数DARE，可以得到P的值如下：

当系统的初始值为x₀＝[1 -1]^T时，具有无限时间最优控制器的闭环系统的状态响应如图2所示。从图2可知，具有无限时间最优变换控制器的闭环系统是指数稳定的。

实施例二

具有控制时延的线性离散时间系统如下，

x_k+1＝Ax_k+Bu_k+B₁u_k-2

其中

在仿真中选择参数如下：

F＝diag(1,1,1,1),Q＝diag(0.1,0.1,0.1,0.1),

R＝diag(1,1),N＝200

对于系统的有限时间最优控制，P_k的计算方法与实施例一相同。在系统的初始值为x₀＝[1 1 -2 -3]^T时，闭环系统的状态响应如图3所示。从图3可以看出，具有有限时间最优变换控制器的闭环系统是指数稳定的。对于系统的无限时间最优控制，很容易知道系统是可控的。使用Matlab函数DARE可以得到P的值如下。

在系统的初始值为x₀＝[1 -1 2 -3]^T时，具有无限时间最优控制器的闭环系统的状态响应如图4所示。从图4可知，具有无限时间最优变换控制器的闭环系统是指数稳定的。

综上所述，根据本发明提供的具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，得到的最优控制器可使闭环系统指数稳定。

本领域的技术人员可以对发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包括这些改动和变型在内。

Claims (6)

1.一种具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，其特征在于，通过带记忆存储器的多步变换，将具有控制时延的线性离散时间系统转化为无控制时延的等价线性离散时间系统，然后通过设计无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器，得到具有控制时延的线性离散时间系统的控制器；通过设计无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器，得到具有控制时延的线性离散时间系统的控制器。

2.根据权利要求1所述的具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，其特征在于，将具有控制时延的线性离散时间系统转化为无控制时延的等价线性离散时间系统的方法如下：

具有控制时延的线性离散时间系统表示为：

x_k+1＝Ax_k+Bu_k+B₁u_k-h (1)

式中x(t)∈Rⁿ,u(t)∈R^m并且A,B,B₁分别是适当大小的矩阵，h为正整数；

引入时滞变换：

则

把式(1)带入式(3)，可得

令则上式可得无控制时延的等价线性离散时间系统：

3.根据权利要求2所述的具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，其特征在于，所述无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器，其成本函数为：

式中F＝F^T≥0,Q＝Q^T＞0,R＝R^T＞0。

4.根据权利要求3所述的具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，其特征在于，使成本函数(5)极小的无控制时延的等价线性离散时间系统的有限时间最优控制器为：

u_k＝-G_kz_k (8)

其中

控制器(8)是具有控制时延的线性离散时间系统(1)的多步变换控制器。

5.根据权利要求2所述的具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，其特征在于，所述无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器，其成本函数为：

式中Q＝Q^T＞0,R＝R^T＞0。

6.根据权利要求5所述的具有控制时延的线性离散时间系统的最优控制器设计方法，其特征在于，使成本函数(6)极小的无控制时延的等价线性离散时间系统的无限时间最优控制器为：

u_k＝-Gz_k (11)

其中