CN101339404B - 飞行器姿态动力学简化模型增益切换比例-微分控制的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种飞行器姿态动力学简化模型增益切换比例-微分控制的设计方法，采用一种非线性增益切换PD控制方案，依据设计的切换规律，让设计的两个参数不同且性能互补的PD子控制器(快速PD子控制器和强阻尼PD子控制器)分阶段配合作用，在保证闭环控制系统全局稳定性的基础上，同时实现了系统阶跃响应无超调，并能灵活调整阶跃响应的调节时间以满足快速性的设计要求。该设计方法的技术方案为：第一步 设计闭环控制系统的结构；第二步 设计增益切换决策环节；第三步 设计两个PD子控制器的增益参数；第四步 阶跃响应快速性的检验与调节；第五步 闭环系统全局稳定性的验证；第六步 设计结束。

Description

飞行器姿态动力学简化模型增益切换比例-微分控制的设计方法

(一)技术领域

针对飞行器姿态动力学简化模型(属于双积分系统)，本发明给出一种增益切换比例-微分(Proportional-Derivative，PD)控制的设计方法，属于飞行器控制技术领域。

(二)背景技术

系统响应的快速性和无超调性是两个矛盾的性能指标。设计控制器时，往往需要兼顾这两方面的控制需求。例如，在固定翼飞行起飞-着陆段，不仅需要迎角和姿态角的响应足够快，还要求这两个被控量的响应无超调或小超调(受擦地角的限制)。文传源等编著的《现代飞行控制》一书中指出：“某型号歼击机整个抬前轮过程大约为2秒钟”和“飞机擦地角为12.5度，因而取最大迎角为10度离地”。这实际上说明：在飞机起飞过渡段，迎角的控制需要同时考虑响应时间和超调量的要求。飞行器姿态动力学的简化模型是典型的双积分模型(例如飞机纵向姿态动力学的简化模型 $\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=u.$ 其中u表示俯仰力矩，θ表示俯仰角)。从更广的角度说，牛顿力学第二定律描述的关系也是一种双积分模型，因此为该对象设计快速无超调控制器很有现实意义。

美国学者斯洛坦和李维平编著的《应用非线性控制》一书中指出：双积分系统的镇定需要引入输出量的速度反馈，对于飞行器系统，也就是需要引人姿态角速度信号进行反馈控制。基于这种认识，目前工程中常用的控制技术可分为两类：标准比例积分-微分(Proportional-Integral-Derivative，PID)控制和非线性比例-积分-微分控制。

(1)标准PID控制(增益时不变的线性PID控制)

工程中常采用标准比例-微分(Proportional-Derivative，PD)控制(增益时不变的PD控制)镇定双积分系统。这种控制方案下的闭环系统是严格正则的二阶系统，因为其传递函数分子的阶次为1，小于分母的阶次2，该类控制难以兼顾响应快速性和超调量这两方面的设计需求。权炳文等人在“二阶系统无超调和单调非递减阶跃响应”一文中(详见2002年的《控制、自动化和系统工程会刊》)分析了二阶线性系统阶跃响应无超调的条件。台湾学者林士宽等人在“三阶单输入-单输出线性系统无超调和单调非递减阶跃响应”一文中(详见1997年的《电气和电子工程师协会自动控制会刊》)分析了三阶线性系统阶跃响应无超调的条件。基于这两项研究的结论，并通过进一步分析可知：对于双积分被控对象，不管采用标准PD控制还是标准PID控制都不能实现闭环系统阶跃响应无超调。对此，这里给出三种典型的控制方案(表1给出了具体的设计参数)，并通过数字仿真结果来说明。

采用基于单位负反馈的标准PD/PID控制时，双积分对象和控制器构成的闭环控制系统是典型的线性系统。表1中，方案(1)给出的是一种常规的、带有积分项的PID控制；方案(2)和方案(3)给出的是增益不同的两种标准PD控制，控制器和被控对象构成的闭环系统代表两种阻尼特性完全相反的二阶线性系统。这里用向量K表示PD/PID控制器的增益向量，如K＝[2 1 1]表示比例项，微分项和积分项的增益分别取为2，1和1。

表1  三组传统控制方案的设计参数及闭环系统的特点

方案	设计参数	闭环系统的特点
			(1)	K＝[2 1 1]	正则的三阶线性系统
(2)	K＝[1 0.6 0]	阻尼比等于0.3的欠阻尼二阶线性系统
			(3)	K＝[1 4.2 0]	阻尼比等于2.1的过阻尼二阶线性系统

这三种控制方案对应的闭环系统的阶跃响应曲线如附图7所示。从中可以看出：方案(1)和(2)获得的超调量很大(都大于40％)；方案(3)获得的超调量虽然较小(约为4％)，但阶跃响应进入稳态的时间过长(2％误差带的调节时间为4.85秒)，因此系统响应的快速性很差。从而可以得出结论：这三种控制方案都没能实现阶跃响应无超调，而且都没能协调好响应快速性和小超调量这两方面的控制需求。

(2)非线性PID控制

非线性控制器具有线性控制器(例如各型的标准PID控制器)不具备的优点，其中增益切换PID控制是很常用的一种，而且已经大量应用到机器人的控制中。其主要思想是：当系统输出远离期望值时(误差信号e与其导数

同号时)采用比例项增益较大的PID或PD控制器；反之，当系统输出靠近期望值时(误差信号e与其导数

异号时)采用比例项增益较小的PID或PD控制器。这种控制方法从一定程度上较好兼顾了响应速度和超调量这两个方面的需求，但是很难获取系统阶跃响应无超调的条件。目前，这类研究虽然讨论了切换控制器的设计及闭环系统稳定性分析方面的内容，但是并没有进一步讨论这类增益切换控制器对闭环系统性能的影响，更没有讨论这类控制下系统阶跃响应的时域指标，如调节时间和超调量等。因此，控制工程师没法直接应用这种非线性控制思想进行阶跃响应无超调控制器的设计。

这种技术背景下，针对双积分对象，本发明给出一种非线性增益切换PD控制的设计方法。采用这种控制不仅保证了闭环系统(一种切换系统)的全局稳定性，还实现了系统输出对单位阶跃信号的快速且无超调跟踪。

(三)发明内容

本发明一种飞行器姿态动力学简化模型增益切换比例-微分控制的设计方法，其目的是：针对飞行器姿态动力学简化模型，克服现有控制技术的不足，给出一种非线性控制方法及具体的设计方法，在保证闭环系统全局稳定的基础上，实现闭环系统输出对单位阶跃信号的快速且无超调跟踪。

本发明一种飞行器姿态动力学简化模型增益切换比例-微分控制的设计方法，其设计思想是：采用一种非线性增益切换PD控制方案，依据设计的切换规律，让两个参数不同且性能互补的PD子控制器(快速PD子控制器和强阻尼PD子控制器)分阶段配合作用，以同时改善系统响应的快速性和超调特性。按照本说明书给出的技术方案设计闭环控制系统的结构和切换规律、并选择PD子控制器的增益参数，能保证闭环控制系统的全局稳定性，同时实现了系统阶跃响应无超调，并能灵活调整阶跃响应的调节时间以满足快速性的设计要求。

下面结合流程框图3中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明一种飞行器姿态动力学简化模型增益切换比例-微分控制的设计方法，其方法步骤如下：

第一步  设计闭环控制系统的结构

闭环控制系统采用单位负反馈的控制结构，输出量是角度信号。所设计的闭环控制系统主要包括增益切换决策环节，PD控制器组(包括两个PD子控制器)，切换开关和飞行器姿态动力学简化模型这四个部分，其结构布局情况见附图1所示。

其中，增益切换决策环节，PD控制器组和切换开关都属于控制律的设计范畴，一般都采用高级语言(例如C语言或Ada等)编程实现而不采用硬件模拟电路实现，这也符合现代飞行器电传操作系统中飞行控制软件的需要，下面将介绍这三部分的功能及其在整个控制回路中的信号连接情况。

增益切换决策环节的输入信号是误差信号(由参考信号减去输出信号求得)，它的作用是基于误差信号与误差门限(一个设计的常值)的大小关系，按照设计的切换规律，驱动切换开关以接通对应的PD子控制器。误差门限和切换规律的设计将在下文“第二步”中进一步介绍，这里只是简要介绍增益切换决策环节在整个控制回路中的连接关系及其作用。

切换开关是控制器切换的执行环节，它把增益切换决策环节的输出信号作为指令。它的工作状态反映了PD控制器组的工作状态，即哪个PD子控制器在起控制作用。

PD控制器组的输入是误差信号，输出是控制信号(也是飞行器姿态动力学简化模型的输入信号)。快速PD子控制器和强阻尼PD子控制器的结构相同，它们实现的输入-输出关系数学上的描述都为：

$u_i\left(t\right)=k_{\mathrm{pi}}e\left(t\right)+k_{\mathrm{di}}\stackrel{\·}{e}\left(t\right),i=\mathrm{1,2}---\left(1\right)$

其中：i＝1，2分别是快速PD子控制器和强阻尼PD子控制器的代号；

      u_i(t)表示第i个子控制器的输出；

      k_pi表示第i个子控制器的比例项增益；

      k_di表示第i个子控制器的微分项增益；

      e(t)表示t时刻的误差信号；

      

表示t时刻跟踪误差的导数。

式(1)中的

可借助微分器(微分算法)求得。本技术方案的具体实例中采用学者王新华、陈增强等在2007年的《电气和电子工程师协会自动控制会刊》上发表的基于奇异摄动技术的有限时间收敛微分器。(Xinhua Wang，ZengqiangChen，Geng Yang.“Finite-Time Convergent Differentiator Based on SingularPerturbation Technique”.IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52(9)：1731-1737.)。微分器的输入信号是e(t)，其阶数选为3，具体数学形式如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{x}_1}{\mathrm{dt}}=x_2\\ \frac{d{x}_2}{\mathrm{dt}}=x_3\\ {0.01}^3\frac{d{x}_3}{\mathrm{dt}}=-2^{\frac{3}{5}}\×4{(x_1-e\left(t\right)+{\left(0.01x_2\right)}^{\frac{9}{7}})}^{\frac{1}{3}}-4\×{\left({0.01}^2{x}_3\right)}^{\frac{3}{5}}\\ y=x_2\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：x₁，x₂，x₃表示微分器的三个状态变量；

      y表示微分器的输出变量。

具体计算时，用式(2)中的y代替(1)中

，以求得对应的控制信号u_i(t)。上述两组PD子控制器的增益取值不同，其中，第1个PD子控制器和被控对象构成的闭环控制系统须是欠阻尼的二阶系统，而第2个PD子控制器和被控对象构成的闭环控制系统须是过阻尼或临界阻尼的二阶系统。从功能上说，这两个控制器分别具有加快系统响应速度和阻碍系统响应超调的作用。两组PD子控制器四个参数(k_pi，k_di，i＝1，2)的具体设计将在下文“第三步”中详细介绍。

第二步  设计增益切换决策环节

增益切换决策环节的设计包括误差门限和切换规律(切换函数)的设计。增益决策环节能够根据跟踪误差与设定误差门限的大小关系，驱动切换开关以接通对应增益的PD子控制器，以产生控制信号。

本发明技术方案中，对于单位阶跃信号下的输出跟踪问题，误差门限e_s的取值范围是(0 1)，在该范围内选定一个误差门限值。对于其他参考信号，误差门限应大于零且小于参考信号的幅值。

这里用切换函数的概念描述我们采用的切换规律。设计的切换规律是：当跟踪误差e(t)大于或等于误差门限e_s时(即当e(t)≥e_s时)，或当跟踪误差e(t)小于误差门限的相反数e_s时(即当e(t)＜-e_s时)，切换函数σ(e)的取值为1，切换开关接通快速PD子控制器(即增益为k_p1，k_d1的PD子控制器)，使之处于工作状态；反之，当跟踪误差大于或等于误差门限的相反数且小于误差门限时(即当-e_s≤e(t)＜e_s时)，切换函数σ(e)的取值为2，切换开关接通强阻尼PD子控制器(即增益为k_p2，k_d2的PD子控制器)，使之处于工作状态。该切换控制规律见图2所示，描述的切换函数具体表达式如下：

按照这种切换规律得到的切换函数是跟踪误差e(t)的分段函数，取值为1或2，而且关于e(t)处处右连续，因此关于时间t也处处右连续。这种设计便于我们利用现有的切换系统稳定性分析工具，讨论闭环系统的全局稳定性(这将在“第五步”的步骤中进一步介绍)。

第三步  设计两个PD子控制器的增益参数

两个PD子控制器增益的选择满足阶跃响应无超调的要求，具体约束关系用式(4)所示的不等式组表示：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{d1}>0\\ k_{p1}>0\\ {k_{d1}}^2<4k_{p1}\\ k_{d2}>0\\ k_{p2}>0\\ {k_{d2}}^2\&GreaterEqual;4k_{p2}\\ \frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_s}{e_s}\&GreaterEqual;\frac{-k_{d2}-\sqrt{{k_{d2}}^2-4k_{p2}}}{2}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中：k_p1和k_d1分别表示快速PD子控制器的比例项和微分项增益；

      k_p2和k_d2分别表示强阻尼PD子控制器的比例项和微分项增益；

      e_s和

分别表示误差门限的值和切换时刻误差的导数。

式(4)中的前两个不等式保证快速PD子控制器和双积分对象构成的闭环系统是稳定的；第三个不等式保证该闭环子系统是欠阻尼的(系统阻尼比小于1)。

第四个和第五个不等式保证强阻尼PD子控制器和双积分对象构成的闭环系统是稳定的；第六个不等式保证该闭环子系统是临界阻尼的(系统阻尼比等于1)或过阻尼的(系统阻尼比大于1)。

第七个不等式刻画了误差门限、切换时刻的误差导数和强阻尼PD子控制器增益三者间的约束关系。在快速PD子控制器的作用下，系统输出从零逐渐增大(这里考虑零状态响应)，直至误差信号等于误差门限。根据这种控制规律，可知：对于一定的误差门限，切换时刻的误差导数由快速PD子控制器的控制作用决定(因为强阻尼PD子控制器还没有开始作用)。因而数学描述上，切换时刻的误差导数是快速PD子控制器增益k_p1，k_d1和误差门限的函数e_s。因此，第七个不等式本质上反映的是误差门限、快速PD子控制器增益和强阻尼PD子控制器增益三者间的关系。

式(4)描述的约束关系涉及的参数包括k_p1、k_d1、k_p2、k_d2、e_s和

。其中

是k_p1、k_d1和e_s的非线性函数(它的显式较复杂，这里不给出，不是独立的设计参数。对于给定的参数k_p1、k_d1和e_s，借助于控制系统设计和仿真工具(如Matlab 6.5)能够求出对应的

。(Matlab是国际控制界公认的标准计算软件，在数值计算方面用的最为广泛。它带有的Simulink软件包是一个交互式操作的动态系统建模、仿真、分析集成环境，能够强有力支持控制系统的建模、仿真和性能检验。2002年夏天推出的6.5版，其最大特点是采用了加速器技术，使Matlab的运算速度有了很大提高。该软件完全胜任支持本发明技术方案中的系统建模、仿真和验证等工作)

实际进行控制器设计时，往往要求控制器的输出信号(控制指令)不能引起驱动器(如飞行器的操纵舵面)的饱和，而控制器参数的大小直接影响控制指令的幅值。基于这种原因，控制器参数的设计值不能超过一定的范围(也就是要避免控制理论中所谓的“高增益”设计)。为此，这里假定PD控制器组增益参数(包括k_p1、k_d1、k_p2和k_d2)的取值都不能超过10，下面的设计中都考虑这种约束选择相关的参数。

本发明技术方案所述的该“第三步”的步骤中，按照下面四个小步骤进行PD子控制器增益参数的设计和检验。

第一小步：在式(4)前六个不等式关系描述的取值区间和小于10的取值范围内，任意选择PD控制器组的一组参数值k_p1、k_d1、k_p2和k_d2。

第二小步：结合这组k_p1、k_d1、k_p2、k_d2和在(0 1)范围内任意选定的一个es，在Matlab 6.5的环境中，利用Simulink软件包构造图1所示的闭环控制系统，对该系统进行数字仿真，并记录仿真结果(包括仿真时间、系统的阶跃响应信号、误差信号、误差信号的导数和控制信号等)。根据仿真结果中记录的误差信号，找出满足e(t_s)＝e_s的时刻t_s；根据仿真结果中记录的误差导数，确定t_s时刻对应的误差导数

。这种方法是借助于控制系统仿真软件求解

，避免了直接求解

表达式带来的复杂性。

第三小步：验证k_p1、k_d1、k_p2、k_d2、e_s和

是否满足(4)式中的第七个不等式。若不满足，则在前六个不等式刻画的取值区间内，增加k_d2的值或小幅度减小k_p1的值。然后利用调整后的参数，重复进行上述的第二小步和第三小步，直到(4)式的第七个不等式也成立。

第四小步：设计结束

不等式组(4)式中的前三个约束和第四，第五，第六这三个约束是相互独立的，因此同时满足这六个约束的控制器参数一定是存在的。同时，若把k_d2设计成一很大的正数，而把k_p2设计成一很小的正数，这样第七个不等式的右端是一个很小的负数，因此一定能在(0 1)范围内找到很多满足该不等式的误差门限值。所以该不等式组一定是有解的，而且是多解的。通过后文给出的具体实例也能看出这点。

满足不等式组(4)式的设计参数能够保证闭环系统的阶跃响应不存在超调，同时该式也是该方案下闭环系统阶跃响应无超调的充分必要条件。

第四步  阶跃响应快速性的检验与调节

这一步将检验系统阶跃响应的调节时间是否满足设计要求，见附图3所示。借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab 6.5进行。

若满足要求，将直接进入下一步即第五步的检验。若阶跃响应的调节时间不满足设计要求，则在不等式组(4)式限定的取值范围内，减小误差门限e_s的值、或小幅度减小k_d2的值、或小幅度增加子控制器比例项增益(k_p1和k_p2)的值。根据第三步中的分析可知，满足无超调设计要求的参数是无穷多组的。在这无穷多解中，选择误差门限小的一组将直接提高系统的响应速度。因为误差门限e_s越小，快速PD子控制器的作用时段越长，而强阻尼PD子控制器的作用时段相对越小，从而加快了系统的响应速度。另一方面，减小k_d2的值相当于减弱了控制器微分项的阻尼作用，因此能够提高系统的响应速度。第三方面，增加比例项增益(k_p1和k_p2)的取值相当于增大了控制的自然角频率，因此也能够提高系统的响应速度。因此这三种办法都有助于提高系统响应的快速性。

第五步  闭环系统全局稳定性的验证

两个子控制器作用时，闭环系统都是二阶线性系统(称之为二阶子系统)，所以本方案设计的闭环控制系统是典型的切换线性系统。采用状态空间描述，这两个二阶子系统的状态阵为：

$A_i=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -k_{\mathrm{pi}}& -k_{\mathrm{di}}\end{array}\right],i=\mathrm{1,2}---\left(5\right)$

这里通过检验A₁和A₂是否存在一个共同二次李亚普诺夫函数阵P，来检验闭环系统的全局渐进稳定性。若存在一个对称正定矩阵P，满足关系式：

$\left\{\begin{array}{c}P{A}_1+{A_1}^{T}P<0\\ P{A}_2+{A_2}^{T}P<0\end{array}\right.---\left(6\right)$

则该切换线性系统一定是全局渐进稳定的。对(6)式的检验可以利用Matlab6.5的线性矩阵不等式(Linear Matrix inequalities，LMI)工具箱进行。

基于上述方法，对于设计的一组A₁和A₂，若利用LMI工具箱能够求解出满足(6)一个矩阵P，则整个设计过程结束；否则，重复上述设计过程的第三、四和五步，直至求解出满足(6)式的一个P阵。

根据上述第三步中的分析可知：按照不等式组(4)式选择的设计参数k_p1、k_d1、k_p2、k_d2保证了两个二阶子系统都是稳定的。由于它们都是线性子系统，所以它们各自的稳定性与系统的初值无关，所以闭环系统的稳定性也一定是全局的。借助于共同二次李亚普诺夫函数阵给出的全局稳定条件只是充分条件，并不是必要条件(利用LMI工具箱即使求不出满足(6)的P阵也不能说明闭环系统不是全局稳定的)。

第六步  设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别闭环系统的全局稳定性，阶跃响应的无超调特性和快速性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了整体的控制方案及闭环控制系统的具体构成；第二步中重点给出了增益切换决策环节的设计方法，主要包括误差门限的选择和切换规律的设计；第三步中给出了阶跃响应无超调的充分必要条件，这个条件限定了控制器增益和误差门限的取值范围；第四步中主要介绍了用以提高系统响应速度的参数调节方法；第五步中给出了一种检验闭环系统全局渐进稳定的方法。经上述各步骤后，设计结束。

本发明一种飞行器姿态动力学简化模型增益切换比例-微分控制的设计方法，其优点及功效是：与目前存在的处理方法相比，这种方法在设计控制器时，不仅考虑了闭环系统全局稳定性的设计要求，还同时考虑了调节时间和超调量这两方面的要求。具体优点包括两个方面：其一，闭环系统的阶跃响应不存在超调；其二，通过调节设计参数，能够简单、灵活地控制阶跃响应的调节时间。例如，能够实现5％误差带对应的调节时间不大于1.5秒，2％误差带对应的调节时间不大于2秒(某型歼击机抬前轮过程姿态角响应调节时间的上限)。

(四)附图说明

图1：本发明闭环控制系统结构和组件连接关系示意图

图2：本发明切换函数图

图3：本发明增益切换PD控制设计流程示意图

图4.1：本发明实施方式(一)中k_d2＝2时的阶跃响应图

图4.2：本发明实施方式(一)中k_d2＝5时的阶跃响应图

图4.3：本发明实施方式(一)中k_d2＝4.2时的阶跃响应图

图5.1：本发明实施方式(二)中k_p1＝3时的阶跃响应图

图5.2：本发明实施方式(二)中k_p1＝2且k_p2＝1时的阶跃响应图

图5.3：本发明实施方式(二)中k_p1＝2且k_p2＝1.35时的阶跃响应图

图6.1：本发明实施方式(三)中e_s＝0.35且k_d2＝3时的阶跃响应图

图6.2：本发明实施方式(三)中e_s＝0.35且k_d2＝3.2时的阶跃响应图

图7：三种标准PID控制方案下的阶跃响应图

图中的标号、符号和线条等说明如下：

图1中，e(t)表示t时刻的跟踪误差；e_s表示误差门限；u(t)表示t时刻控制器的输出；

表示t时刻的误差导数；k_p1和k_d1分别表示快速PD子控制器比例项和微分项的增益。k_p2和k_d2分别表示强阻尼PD子控制器的比例项和微分项增益。图2中，e_s表示误差门限；e是e(t)的简写，表示t时刻的跟踪误差；σ(e)表示切换函数。

图4.1-4.3、图5.1-5.3、图6.1-6.2和图7中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；纵坐标表示阶跃响应，无量纲。图5.1、图5.3、图6.1和图7中较细的点线代表单位阶跃信号线，也是检验系统阶跃响应是否有超调的基准线。

(五)具体实施方式

设计目标包括两个方面：其一，闭环系统的阶跃响应无超调；其二，响应快速性方面要求，具体指标是：对于阶跃响应，5％误差带的调节时间不大于1.5秒，2％误差带的调节时间不大于2秒。

具体实施中，增益切换决策环节和切换开关的功能、PD控制算法和闭环控制系统的仿真和检验都借助于Matlab6.5中的Simulink工具箱来实现。这里通过介绍三个具有一定代表性的实施方式，来进一步说明本发明技术方案中的相关设计以及设计参数的调节方法。

实施方式(一)通过增大初始设计参数中的k_d2以实现系统阶跃响应无超调；通过增大k_d2以保证系统阶跃响应的调节时间满足设计要求。实施方式(二)通过减小初始设计参数中的k_p1以实现系统阶跃响应无超调；通过增大k_p2以保证系统阶跃响应的调节时间满足设计要求。实施方式(三)通过减小初始设计参数中的k_p1以实现系统阶跃响应无超调(这和实施方式(二)采用的方法相同)；通过减小误差门限e_s和增大k_d2以保证系统阶跃响应的调节时间满足设计要求。

对于实施方式(一)，这里详细介绍整个设计过程；对于对实施方式(二)和(三)，这里只重点介绍它们与实例(一)的不同之处(主要是参数调节方法的不同和共同二次李亚普诺夫函数阵值的不同)。

实施方式(一)

I设计闭环控制系统的结构

如图1所示，采用输出量(角度信号)的单位负反馈控制结构。PD控制器组结构、增益切换决策环节和切换开关这三部分在闭环控制回路中的连接情况如附图1所示。

利用Matlab 6.5环境下的.m语言编程实现增益切换决策环节、切换开关和PD控制器组的结构和功能。即实现增益切换决策环节的输入信号是误差信号(由参考信号减去输出信号求得)，它基于误差信号与误差门限(一个设计的常值)的大小关系，按照设计的切换规律，驱动切换开关以接通对应的PD子控制器；实现的切换开关是控制器切换的执行环节，它把增益切换决策环节的输出信号作为指令。它的工作状态反映了PD控制器组的工作状态，即哪个PD子控制器在起控制作用。实现的两组PD子控制器都具有式(1)描述的输入-输出关系，其中误差微分信号借助于式(2)所示的微分器求得。

II设计增益切换决策环节

增益切换决策环节的设计包括误差门限和切换规律的设计。针对单位阶跃信号跟踪问题，在取值范围(01)内选定误差门限e_s＝0.2；

利用.m语言实现切换规律：当跟踪误差e(t)大于或等于误差门限e_s时(即当e(t)≥0.2时)，或当跟踪误差e(t)小于误差门限的相反数e_s时(即当e(t)＜-0.2时)，切换函数σ(e)的取值为1，切换开关接通快速PD子控制器(即增益为k_p1，k_d1的PD子控制器)，使之处于工作状态；反之，当跟踪误差大于或等于误差门限的相反数且小于误差门限时(即当-0.2≤e(t)＜0.2时)，切换函数σ(e)的取值为2，切换开关接通强阻尼PD子控制器(即增益为k_p2，k_d2的PD子控制器)，使之处于工作状态。该切换函数是跟踪误差e(t)函数，并且关于时间t处处右连续。

III设计两个PD子控制器的增益参数

这里的设计包括快速PD子控制器比例项和微分项增益(k_p1和k_d1)的设计和强阻尼PD子控制器的比例项和微分项增益(k_p2和k_d2)的设计。

第一小步：在不等式组(4)式前六个自由约束限定的范围内，选定一组设计参数k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_p2＝1，k_d2＝2。

第二小步：结合这组参数以及e_s＝0.2，按图1所示构造闭环控制系统。对该系统进行数字仿真可得t_s＝1.05s，并结合误差导数的记录结果得 ${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_s=-0.767.$

第三小步：检验不等式组(4)的第七个不等式是否成立。结合e_s＝0.2和 ${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_s=-0.767,$ 计算得第七个不等式的左边等于-3.85；结合k_p2＝1，k_d2＝2，计算得第七个不等式的右边等于-1。显然这组参数下，第七个不等式不成立，因此不能实现阶跃响应无超调(见附图4.1所示)。为此须重新设计，这里保持其他三个参数不变，增大k_d2使之等于5。此时第七个不等式的左边仍等于-3.85，而右边等于-4.79，显然第七个不等式成立。所以在k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_p2＝1，k_d2＝5这组设计参数下闭环系统的阶跃响应不存在超调(见图4.2)。

第四小步：无超调设计结束

经过简单的数学计算可知：在设计参数e_s＝0.2，k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_p2＝1时，只要k_d2≥4.15就有不等式组(4)的第七个不等式成立。因此技术方案下，满足阶跃响应无超调的设计参数是无穷多组的。

针对e_s＝0.2，k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_p2＝1，k_d2＝5这组设计，下面将通过数值仿真检验闭环系统阶跃响应的快速性。

IV阶跃响应快速性的检验与调节

采用e_s＝0.2，k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_d2＝1，k_d2＝5这组参数，构造图1所示的闭环控制系统。对该控制系统进行数字仿真并记录仿真结果，闭环控制系统的阶跃响应曲线如图4.2所示。

数值仿真结果显示：对于5％误差带，系统阶跃响应的调节时间是1.6秒，大于1.5秒；对于2％误差带，系统阶跃响应的调节时间为4.8秒，大于2秒，显然不满足预定的设计目标，为此须重新设计。这里保持其他参数不变，仅小幅度减小k_d2使之等于4.2(满足不等式组(4)给出的设计约束以保证阶跃响应无超调)。对e_s＝0.2，k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_p2＝1，k_d2＝4.2这组设计参数进行数字仿真，可得对于5％误差带，系统阶跃响应的调节时间是1.44秒，不大于1.5秒；对于2％误差带。系统阶跃响应的调节时间为1.73秒，不大于2秒，显然满足了预定的设计目标。该组参数下，闭环控制系统的阶跃响应曲线如图4.3所示

针对e_s＝0.2，k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_p2＝1，k_d2＝4.2这组设计，下面将检验闭环系统的全局稳定性，给出保证其全局稳定的一个共同二次李亚普诺夫函数阵P。

V闭环系统全局稳定性的验证

对于e_s＝0.2，k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_p2＝1，k_d2＝4.2这组设计参数，切换线性系统的两个子系统的状态矩阵为：

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -0.6\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -4.2\end{array}\right]$

利用Matlab 6.5中的LMI工具箱求解共同二次李亚普诺夫函数阵P为：

$P=\left[\begin{array}{cc}7.1814& 1.9090\\ 1.9090& 5.7516\end{array}\right]$

这样获得的P满足下述条件：

$\left\{\begin{array}{c}P{A}_1+{A_1}^{T}P<0\\ P{A}_2+{A_2}^{T}P<0\end{array}\right.$

所以，这组设计保证了闭环系统的全局渐进稳定性，因此接着进行下一步。

VI设计结束

总结上面五步的设计与分析，从而得出结论：采用本技术方案进行设计，并选择参数e_s＝0.2，k_p1＝1，k_d1＝0.6，k_p2＝1，k_d2＝4.2能够满足前文提出的设计目标，具体包括三个方面，分别是：(1)闭环系统全局稳定；(2)闭环系统的阶跃响应无超调；(3)系统响应速度较快，阶跃响应的调节时间指标满足：5％误差带的调节时间不大于1.5秒，2％误差带的调节时间不大于2秒。

这个实施方式中涉及的调节参数仅仅是k_d2，其第III步增大k_d2的目的是为了保证不等式组(4)第七式的右边是一较小的负值，从而保证该不等式成立，也就实现了闭环系统的阶跃响应不存在超调；其第IV步减小k_d2的目的是为了减弱强阻尼PD子控制器的阻尼作用，从而减小系统阶跃响应的调节时间。

实施方式(二)

I设计闭环控制系统的结构

这一步和实施方式(一)中对应的步骤完全相同。

II设计增益切换决策环节

在取值范围(0 1)内，选定误差门限e_s＝0.4。其他的设计和实施方式(一)中对应的步骤完全相同。

III设计两个PD子控制器的增益参数

需要设计的内容和相关的设计方法与实施方式(一)中对应的步骤完全相同，仅仅是初始参数的取值和参数的调节方法不同，这里重点介绍这种不同。

第一小步：选定初始的一组设计参数为k_p1＝3，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3，它们显然满足(4)式的前六个不等式约束。

第二小步：结合这组参数以及e_s＝0.4，按图1所示构造闭环控制系统。对该系统进行数字仿真可得t_s＝0.57秒，而 ${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_s=-1.26$

第三小步：结合e_s＝0.4和 ${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_s=-1.26,$ 计算得第七个不等式的左边等于-3.15；结合k_p2＝1，k_d2＝3，计算得不等式组(4)中第七式的右边等于-2.62。显然这组参数下，第七个不等式不成立，因此不能实现阶跃响应无超调(见图5.1所示)。为此须重新设计，这里采用减小k_p1的方法。保持其他三个参数不变，减小k_p1使之等于2。此时第七个不等式的右边仍等于-2.62，而左边等于-2.45，显然该式成立。所以在e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3这组设计参数下，闭环系统的阶跃响应不存在超调(见图5.2所示)。

第四小步：无超调设计结束

若保持e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_d2＝3这几个参数的值不变，则不等式组(4)第七式的左边一直都等于-2.45。此时，该不等式能否成立取决于k_p2的值(直接影响七式右边的取值)。经过简单计算可知，只要0＜k_p2≤1.35成立，即可保证不等式组(4)的第七式成立，从而就能实现闭环系统的阶跃响应不存在超调。

针对e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3这组参数，下面将通过数值仿真检验闭环系统阶跃响应的快速性，并给出一种调节方法。

IV阶跃响应快速性的检验与调节

采用e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3这组参数，闭环控制系统的阶跃响应曲线如图5.2所示。

仿真结果显示：对于5％误差带，系统阶跃响应的调节时间是1.66秒；对于2％误差带，系统阶跃响应的调节时间为2.42秒，显然不满足预定的设计目标，因此需重新设计，这里采用小幅度增大k_p2的方法。保持其他参数不变，增大k_p2使之等于1.35。结合上步中的分析可知：对于e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1.35，k_d2＝3这组设计参数，能够实现闭环系统的阶跃响应不存在超调。对该组设计进行控制系统仿真可得：对于5％误差带，系统阶跃响应的调节时间是1.5秒；对于2％误差带，系统阶跃响应的调节时间为1.95秒，显然满足了预定的设计目标。该组参数下，闭环控制系统的阶跃响应曲线如图5.3所示。

针对e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1.35，k_d2＝3这组设计，下面将检验闭环系统的全局稳定性，给出保证其全局稳定的一个共同二次李亚普诺夫函数阵P。

V闭环系统全局稳定性的验证

针对e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1.35，k_d2＝3这组设计，切换线性系统的两个子系统的状态矩阵为：

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -1\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1.35& -3\end{array}\right]$

采用和实施方式(一)对应步骤相同的方法求得P阵为：

$P=\left[\begin{array}{cc}8.7074& 1.6474\\ 1.6474& 3.5057\end{array}\right]$

这样获得的P满足条件下述条件：

$\left\{\begin{array}{c}P{A}_1+{A_1}^{T}P<0\\ P{A}_2+{A_2}^{T}P<0\end{array}\right.$

所以，这组设计保证了闭环系统的全局渐进稳定性，因此接着进行下一步。

VI设计结束

总结上面五步的设计与分析，从而得出结论：采用本技术方案进行设计，并选择参数e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1.35，k_d2＝3能够满足前文提出的设计目标，具体包括三个方面，分别是：(1)闭环系统全局稳定；(2)闭环系统的阶跃响应无超调；(3)系统响应速度较快，阶跃响应的调节时间指标满足：5％误差带的调节时间不大于1.5秒，2％误差带的调节时间不大于2秒。

这个实施方式中涉及的调节参数是k_p1和k_p2，其第III步调节k_p1的目的是为了保证不等式组(4)第七式成立，从而保证闭环系统的阶跃响应无超调；其第IV步增大k_p2的目的是为了增大强阻尼PD子控制器比例项的增益，从而减小系统阶跃响应的调节时间以满足快速性的设计需求。

实施方式(三)

I设计闭环控制系统的结构

这一步和实施方式(一)中对应的步骤完全相同。

II设计增益切换决策环节

这一步和实施方式(二)中对应的步骤完全相同，即取e_s＝0.4。

III设计两个PD子控制器的增益参数

这一步设计的内容和相关设计方法与实施方式(二)中对应的步骤完全相同，参数的选择和调节过程也完全相同即：初始选择的一组控制器参数为：k_p1＝3，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3；然后调整k_p1使之等于2而其他参数保持不变，从而选定e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3。

IV阶跃响应快速性的检验与调节

结合实施方式(二)中第IV步的分析可知：选定的这组设计参数e_s＝0.4，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3虽然满足了阶跃响应无超调的条件，但是阶跃响应的调节时间不满足要求(可见图5.2所示)。

区别于实施方式(二)中第IV步的调节方法，这里采用减小误差门限e_s的方法。保持控制器组的四个增益参数不变，减小e_s使之等于0.35。并对e_s＝0.35，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3这组数据进行控制系统仿真，根据仿真结果可知：虽然阶跃响应的调节时间满足了设计要求，但是带来了小幅度超调(可见图6.1所示)，因为此时不等式组(4)的第七个不等式不再成立。为此，需要重新调整PD控制器组参数以实现无超调。采用的方法是：小幅度增加k_d2使之等于3.2。

对于e_s＝0.35，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3.2这组设计，进行控制系统仿真，根据仿真结果可知：切换时刻t_s＝0.73，而 ${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_s=-0.975.$ 结合e_s＝0.35，可得不等式组(4)第七式的左边等于-2.79，而其左边等于-2.85，该式成立。同时，根据仿真结果可知：对于5％误差带，系统阶跃响应的调节时间是1.47秒；对于2％误差带，系统阶跃响应的调节时间为1.92秒。所以，这组设计参数下，系统的超调量和调节时间满足了预定的设计目标(闭环系统的阶跃响应曲线如图6.2所示)。

针对e_s＝0.35，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3.2这组设计，下面将检验闭环系统的全局稳定性，给出保证其全局稳定的一个共同二次李亚普诺夫函数阵P。

V闭环系统全局稳定性的验证

针对e_s＝0.35，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3.2这组设计，切换线性系统的两个子系统的状态矩阵为：

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -1\end{array}\right],$ $A_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -3.2\end{array}\right]$

采用和实施方式(一)对应步骤相同的方法，求得P阵为：

$P=\left[\begin{array}{cc}8.6101& 1.7286\\ 1.7286& 3.4265\end{array}\right]$

这样获得的P满足下述条件：

$\left\{\begin{array}{c}P{A}_1+{A_1}^{T}P<0\\ P{A}_2+{A_2}^{T}P<0\end{array}\right.$

所以，这组设计保证了闭环系统的全局渐进稳定性，因此接着进行下一步。

VI设计结束

总结上面五步的设计与分析，从而得出结论：采用本技术方案进行设计，并选择参数e_s＝0.35，k_p1＝2，k_d1＝1，k_p2＝1，k_d2＝3.2能够满足前文提出的设计目标，具体包括三个方面，分别是：(1)闭环系统全局稳定；(2)闭环系统的阶跃响应无超调；(3)系统响应速度较快，阶跃响应的调节时间指标满足：5％误差带的调节时间不大于1.5秒，2％误差带的调节时间不大于2秒。

这个实施方式中，涉及的调节参数包括是k_p1、e_s和k_d2，其第III步增大k_p1的目的是为了保证不等式组(4)的第七式成立，从而保证闭环系统的阶跃响应无超调，这种调节方法和实施方式(二)第III步中采用的方法相同；实施方式(三)第IV步减小e_s的目的是为了增强快速PD子控制器的控制作用，以减小系统阶跃响应的调节时间。但是选定e_s＝0.35却导致了阶跃响应的小幅度超调，为此小幅度增大k_d2使之等于3.2，这种调节方法又类似于实施方式(一)第III步中采用的方法。因此，实施方式(三)参数的调节方法兼有实施方式(一)和(二)的特点，而又不同这两种方式，因为在设计过程中也调整了误差门限e_s的取值。

在本说明书的背景技术中，分析了工程中常用的标准PID控制器在控制双积分对象时的不足，这主要包括两个方面：(1)闭环系统的阶跃响应不能实现无超调；(2)较难协调好响应快速性和小超调量之间的设计矛盾。这里考察了三种典型的标准PD/PID控制方案，从附图7中可以看出它们的控制效果。显然方案(1)和(2)获得的超调量很大(都大于40％)；而方案(3)获得的超调量虽然较小(约为4％)，但阶跃响应进入稳态的时间过长(2％误差带的调节时间为4.85秒)，因此系统响应的快速性很差。与此对比，本发明给出的增益切换PD控制能够较好解决这两方面的问题，并以某型歼击机姿态控制的实际背景提出设计目标，包括两个方面：(1)闭环系统的阶跃响应无超调；(2)响应快速性方面，对于阶跃响应，5％误差带的调节时间不大于1.5秒，2％误差带的调节时间不大于2秒。本发明一种增益切换PD控制，在其技术方案中通过一个不等式组给出了闭环阶跃响应无超调的充分必要条件，并提出了多种调节系统响应速度的方法。这些调节方法对应多种实施方式，这里具体给出了三种，它们获得的控制效果如图4.3、图5.3和图6.2所示。可以看出：这三种方式都实现了闭环系统阶跃响应无超调，而且调节时间都满足了预定的设计目标。

Claims (1)

1.一种飞行器姿态动力学简化模型增益切换比例-微分控制的设计方法，其特征在于：其方法步骤如下：

第一步  设计闭环控制系统的结构

闭环控制系统采用输出量为角度信号的单位负反馈控制结构，设计的闭环控制系统主要包括增益切换决策环节，包括两个PD子控制器的PD控制器组，切换开关和飞行器姿态动力学简化模型这四个部分；

增益切换决策环节的输入信号是误差信号，利用参考信号减去输出信号求得，它基于误差信号与一个设定误差门限的大小关系，按照设计的切换规律驱动切换开关以接通对应的PD子控制器；

切换开关是控制器切换的执行环节，它把增益切换决策环节的输出信号作为指令；它的工作状态反映PD控制器组的工作状态，即哪个PD子控制器在起控制作用；

PD控制器组的输入是误差信号，输出是控制信号；快速PD子控制器和强阻尼PD子控制器的结构相同，它们实现的输入-输出关系数学上的描述都为：

其中：i＝1，2分别是快速PD子控制器和强阻尼PD子控制器的代号；

u_i(t)表示第i个子控制器的输出；

k_pi表示第i个子控制器的比例项增益；

k_di表示第i个子控制器的微分项增益；

e(t)表示t时刻的误差信号；

表示t时刻跟踪误差的导数；

式(1)中的可借助微分器的微分算法求得；微分器的输入信号是e(t)，其方程的阶数定为3，具体数学形式如下：

其中：x₁，x₂，x₃表示微分器的三个状态变量；

y表示微分器的输出变量；

具体计算时用式(2)式中的y代替(1)式中的

，以求得对应的控制信号u_i(t)；上述两组PD子控制器的增益取值不同，要求第1个PD子控制器和被控对象构成的闭环控制系统是欠阻尼的二阶系统，要求第2个PD子控制器和被控对象构成的闭环控制系统是过阻尼或临界阻尼的二阶系统；

第二步  设计增益切换决策环节

增益切换决策环节的设计包括误差门限和切换规律的设计；增益决策环节能够根据跟踪误差与设定误差门限的大小关系，驱动切换开关以接通对应增益的PD子控制器，以产生控制信号；

对于单位阶跃信号下的输出跟踪问题，误差门限e_s的取值范围是(0 1)，在该范围内选定一个误差门限值；对于其他参考信号，误差门限应大于零且小于参考信号的幅值；

这里用切换函数的概念描述我们采用的切换规律；设计的切换规律是：当跟踪误差e(t)大于或等于误差门限e_s时，或当跟踪误差e(t)小于误差门限的相反数e_s时，切换函数σ(e)的取值为1，切换开关接通快速PD子控制器，使之处于工作状态；反之，当跟踪误差大于或等于误差门限的相反数且小于误差门限时，切换函数σ(e)的取值为2，切换开关接通强阻尼PD子控制器，使之处于工作状态；该切换函数具体表达式如下：

按照这种切换规律得到的切换函数是跟踪误差e(t)的分段函数，取值为1或

2，而且关于e(t)处处右连续，因此关于时间t也处处右连续；

第三步  设计两个PD子控制器的增益参数

两个PD子控制器增益的选择满足阶跃响应无超调的要求，具体约束关系用下列式(4)所示的不等式组表示为：

其中：k_p1和k_d1分别表示快速PD子控制器的比例项和微分项增益；

k_p2和k_d2分别表示强阻尼PD子控制器的比例项和微分项增益；

e_s和

分别表示误差门限的值和切换时刻误差的导数；

式(4)描述的约束关系涉及的参数包括k_p1、k_d1、k_p2、k_d2、e_s和；其中是k_p1、k_d1和e_s的非线性函数；对于给定的参数k_p1、k_d1和e_s，借助于控制系统设计和仿真工具Matlab 6.5能够求出对应的

该“第三步”步骤中，按照下面四个小步骤进行PD子控制器增益参数的设计和检验：

第一小步：在式(4)前六个不等式关系描述的取值区间和小于10的取值范围内，任意选择PD控制器组的一组参数值k_p1、k_d1、k_p2和k_d2；

第二小步：结合这组k_p1、k_d1、k_p2、k_d2和在(0 1)范围内任意选定的一个e_s，在Matlab 6.5的环境中，利用Simulink软件包构造所描述的闭环控制系统，对该系统进行数字仿真，并记录仿真结果；根据仿真结果中记录的误差信号，找出满足e(t)＝e_s的时刻t_s；根据仿真结果中记录的误差导数，确定t_s时刻对应的误差导数

第三小步：验证k_p1、k_d1、k_p2、k_d2、e_s和

是否满足(4)式中的第七个不等式，若不满足，则在前六个不等式刻画的取值区间内，增加k_d2的值或小幅度减小k_p1的值，然后利用调整后设计参数，重复进行上述的第二步和第三步，直到(4)式的第七个不等式也成立；

第四小步：该“第三步”设计结束

第四步  阶跃响应快速性的检验与调节

这一步将检验系统阶跃响应的调节时间是否满足设计要求，借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab 6.5进行；

若阶跃响应的调节时间满足要求，将直接进入下一步即第五步的检验；若不满足设计要求，则在不等式组(4)式限定的取值范围内，减小误差门限e_s的值、或小幅度减小k_d2的值、或小幅度增加子控制器比例项增益k_p1和k_p2的值；

第五步  闭环系统全局稳定性的验证

两个子控制器作用时，闭环系统都是二阶线性系统，也称之为二阶子系统；对于该切换线性系统，采用状态空间描述，其两个二阶子系统的状态阵是：

通过检验A₁和A₂是否存在一个共同二次李亚普诺夫函数阵P，来检验闭环系统的全局渐进稳定性；若存在一个对称正定矩阵P，满足下列关系式：

则该切换线性系统一定是全局渐进稳定的；对(6)式的检验可以利用Matlab6.5的线性矩阵不等式工具箱进行；

基于上述方法，对于设计的一组A₁和A₂，利用LMI工具箱若能够求解出满足(6)式的一个对称正定矩阵P，则整个设计过程结束；否则，重复设计过程的第三、四和五步，直至求解出满足(6)式的一个P阵；

第六步  设计结束。

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