CN110058525B - 分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法 - Google Patents

Abstract

分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法，具体包括以下几个步骤：由离心飞轮调速系统的机电方程建立分数阶离心飞轮调速系统的数学模型；根据分数阶微积分理论进行分数阶滑模面设计；确定分数阶数学模型中未知参数的自适应更新律；根据有限时间控制理论确定受控系统有限时间控制器；基于Lyapunov稳定理论验证分数阶被控系统的有限时间稳定性。本发明能够实现分数阶离心飞轮调速系统的有限时间镇定，实现状态轨迹在有限时间内收敛到零。尤其当系统存在上界未知的干扰和不确定性时，所提出的控制器可以提高受控系统的鲁棒性，克服外界扰动和未建模动态的影响。

Description

分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法

技术领域

本发明涉及离心飞轮调速系统控制技术领域，特别是涉及分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法。

背景技术

离心飞轮调速系统主要用来对发动机速度进行自动控制，主要是用来避免由于负载转矩的突然变化对系统造成的损坏。离心飞轮调速系统目前在很多高速旋转的机械上都有很好的应用，如，柴油机、蒸汽机等。最近有研究发现不同的离心飞轮调速系统具有多种非线性行为，如，规则，周期，准周期和混沌行为。分数阶离心飞轮调速系统较整数阶系统具有更特殊的性质，系统参数存在不确定性且易受外界扰动和未建模动态的影响，会影响系统控制效果。鉴于分数阶算子的复杂性，传统的滑模控制方案无法实现分数阶系统的有限时间镇定。

本发明为了克服传统滑模控制方案无法实现分数阶系统有限时间镇定的不足，提出分数阶离心飞轮调速系统有限时间自适应控制策略。通过调节滑模面中的分数幂次，可以方便调节收敛时间，分数阶非线性系统采用分数阶有限时间控制器效果更好。

发明内容

为了加强分数阶非线性系统的有限时间镇定研究，本发明提供分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法，本发明基于滑模控制技术对一类实际应用的分数阶系统的自适应镇定问题进行研究。将分数阶微积分理论引用到滑模面的构建中，可以很好地解决分数阶系统的有限时间控制问题，填补了分数阶系统这一方面研究成果上的空白，为达此目的，本发明提供分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法，包含以下几个步骤：

(1)根据离心飞轮调速系统的机电联系方程，建立分数阶数学模型；

(2)根据分数阶微积分理论进行分数阶滑模面设计；

(3)确定分数阶数学模型中未知参数的自适应更新律；

(4)根据有限时间控制理论确定受控系统有限时间控制器；

(5)基于Lyapunov稳定理论验证分数阶被控系统的有限时间稳定性。

本发明的进一步改进，所述步骤(1)具体步骤如下：

离心飞轮调速系统的机电联系方程为：

式中，

为旋转轴和连杆之间的夹角，ω为飞轮旋转角速度，F为负载转矩，I为机器的转动惯量，e＝2k/m，k为线性弹簧的刚度，m为支撑球的质量，l为连杆长度，b＝c/2ml²，c为阻尼系数，g为重力加速度，α为角速度ω₀对应的角度，a为比例常数；

选择状态变量

x₃＝ω，并考虑系统未建模不确定性和外界扰动，则受控系统可用状态矢量表示为：

式中u_i(t)为要设计的有限时间控制器；

构建上式分数阶模型，取分数阶阶次q∈(0,1)，用D^q表示分数阶算子，则上式对应的分数阶数学模型为：

D^qx₁＝x₂+Δf₁(x)+d₁(t)+u₁(t)

D^qx₃＝(αcos x₁-F)/I-a sinωt+Δf₃(x)+d₃(t)+u₃(t) (3)。

本发明的进一步改进，所述步骤(2)具体步骤如下：

设计分数阶滑模面；

s_i(t)＝D^q-1x_i+D^q-2(k_i sgn(x_i)|x_i|^μ),μ∈(0,1) (4)

对分数阶滑模面求一阶导数可得；

到达滑模面后，有：

s_i(t)＝0，系统的状态为：

D^qx_i＝-D^q-1(k_i sgn(x_i)|x_i|^μ) (6)。

本发明的进一步改进，所述步骤(3)具体步骤如下：

未知参数自适应更新律设计，其特征包含以下几个方面

系统未知参数向量定义为：

δ₁＝[e,n²,e+g/l,b]^T

δ₂＝[α/I,F/I,a]^T (7)

系统(3)中未建模动态不确定性和外界扰动项上界未知：

|Δf_i(x)+d_i(t)|≤γ_i i＝1,2,3. (8)

未知参数自适应估计律设计为：

式中，

f₃(x)＝[cos x₁,-1,-sinωt]^T，ρ_i为正数。

本发明的进一步改进，所述步骤(4)具体步骤如下：

确定有限时间控制器：

本发明的进一步改进，步骤(5)具体步骤如下：

基于Lyapunov稳定理论验证分数阶离心飞轮调速系统的有限时间稳定性；

滑模态有限时间收敛性可以通过选择如下Lyapunov函数来验证：

两端同时对时间t求一阶导数，可得：

其中能量函数满足式(12)的系统，其滑模态能在有限时间内收敛到零

接下来验证状态变量能够在有限时间内到达滑模面，选择Lyapunov函数如下所示：

为估计误差，对V2(t)沿时间求一阶导数，可得：

根据所设计的有限时间控制器形式u_i(t)，结合对系统未知不确定项上界的假设和未知参数自适应估计律

上式可进一步变换为

上式中k＝min{k_i}，i＝1,2,3，定义

其中

易知V₂(t)≥V₂₁(t)，存在常数

使得

根据式(16)，可得；

求解可得

因此，当初始时间t₀＝0，可得系统状态可以在有限时间内到达滑模面，根据式(18)可得到达时间为

综上分析，趋近态和滑模态都是有限时间稳定，即整个控制阶段为有限时间稳定的，所提出的控制方案理论可行。

本申请分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法，具有如下特征：

(1)本发明提出分数阶系统的一种有限时间自适应滑模控制方法，构建的滑模面含有分数阶微积分和分数次幂，通过调节这些参数的值可以有效的调节收敛时间，因此，收敛时间的调节自由度高，控制效果佳。

(2)本发明提出分数阶系统的一种有限时间自适应滑模控制方法，结合分数阶滑模面和分数阶微积分理论，提出系统参数自适应估计律，大大提高未知参数辨识效果。

(3)本发明提出分数阶系统的一种有限时间自适应滑模控制方法，包含趋近阶段和滑模阶段均为有限时间收敛，本发明中提出的控制算法都是基于Lyapunov稳定理论，可以保证本发明结果的有效性。

附图说明

图1为本发明提出的有限时间自适应滑模控制方法的流程图；

图2为本发明提出的有限时间自适应滑模控制方法的结构原理图；

图3为分数阶离心飞轮调速系统未引入控制器前的状态轨迹曲线图；

图4为激活控制器后受控分数阶离心飞轮调速系统的状态估计曲线图。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

本发明提供分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法，本发明基于滑模控制技术对一类实际应用的分数阶系统的自适应镇定问题进行研究。将分数阶微积分理论引用到滑模面的构建中，可以很好地解决分数阶系统的有限时间控制问题，填补了分数阶系统这一方面研究成果上的空白。

下面结合附图对本发明的应用原理作详细的说明。

如图1所示,分数阶系统的一种有限时间自适应滑模控制方法,主要包括以下步骤：

根据离心飞轮调速系统各参数之间的内部关系，建立系统机电联系方程；

选择适当状态变量，确定系统整数阶状态空间表达式数学模型；

在离心飞轮调速系统整数阶数学模型的基础上，结合分数阶微积分理论，确定分数阶离心飞轮调速系统的数学表达式；

利用系统状态变量和分数阶微积分算子，建立适当形式的分数阶滑模面，对滑模面求一阶导数，可求得分数阶滑模态；

利用分数阶滑模面变量，建立系统未知参数的自适应更新律的数学表达式；

结合系统结构和未知参数自适应更新律，设计适当形式的有限时间控制器；

针对整个控制过程中的趋近阶段和滑模阶段，选择合适的Lyapunov函数验证本发明所提出的有限时间自适应滑模控制方法的有效性和可行性。

所述被控对象的分数阶数学模型为：

D^qx₁＝x₂+Δf₁(x)+d₁(t)+u₁(t)

D^qx₃＝(αcos x₁-F)/I-a sinωt+Δf₃(x)+d₃(t)+u₃(t) (1)

引入分数阶微积分算子，建立如下形式的分数阶滑模面

s_i(t)＝D^q-1x_i+D^q-2(k_i sgn(x_i)|x_i|^μ),μ∈(0,1) (2)

对上式求一阶导数，得到分数阶滑模态方程为

D^qx_i＝-D^q-1(k_i sgn(x_i)|x_i|^μ) (3)

选择δ₁＝[e,n²,e+g/l,b]^T，δ₂＝[α/I,F/I,a]^T作为系统第2和3个方程的未知参数矢量。基于分数阶滑模面和系统状态变量，构建如下形式未知参数自适应估计律

根据建立的滑模面和未知参数自适应估计律，设计合适形式的有限时间控制器为

所述的分数阶系统的一种自适应滑模控制算法，还包括建立适当形式的Lyapunov函数验证趋近阶段和滑模阶段的有限时间收敛性。

滑模阶段所述Lyapunov函数为

对(6)求一阶导数有

根据有限时间理论，滑模态状态变量可在有限时间

内收敛到0。

趋近阶段所述Lyapunov函数为

对式(9)求一阶导数有

结合所提出的未知参数自适应估计律

和所设计的有限时间控制器u_i(t)，可得

式(11)满足有限时间稳定条件

求解可得

因此，当初始时间t₀＝0，可得系统状态可以在有限时间内到达滑模面，根据式(13)可得到达时间为

根据Lyapunov有限时间稳定理论，可以判定被控系统的有限时间稳定性。

图2所示为本发明提出的有限时间自适应滑模控制算法的原理图。

图3-4所示为控制器激活前后的状态轨迹时间响应，在本发明的实施例中，受控系统各参数设置为n＝3，l＝1.5，a＝0.8，ω＝1，e＝0.3，b＝0.4，I＝1.2，α＝0.611，F＝0.3，g＝9.8，被控系统状态变量的初始值选择为x(0)＝[0.1,-0.1,0.15]^T，未知参数估计值的初始值为

滑模面系数设定为k₁＝k₂＝k₃＝5，μ＝1/4，分数阶阶次q＝0.998，未建模动态和外界干扰项假设为Δf₁(x)+d₁(t)＝0.025cos(4x₁)+0.01sin(t)，Δf₂(x)+d₂(t)＝-0.03cos(2x₂)+0.02sin(2t)，Δf₃(x)+d₃(t)＝-0.02cos(3x₃)+0.01sin(3t)。状态轨迹时间响应曲线显示本发明可以有效实现分数阶离心飞轮调速系统的有限时间镇定稳定控制。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (1)

1.分数阶离心飞轮调速系统有限时间镇定控制方法，其特征在于，包含以下几个步骤：

(1)根据离心飞轮调速系统的机电联系方程，建立分数阶数学模型；

所述步骤(1)具体步骤如下：

离心飞轮调速系统的机电联系方程为：

式中，

为旋转轴和连杆之间的夹角，ω为飞轮旋转角速度，F为负载转矩，I为机器的转动惯量，e＝2k/m，k为线性弹簧的刚度，m为支撑球的质量，l为连杆长度，b＝c/2ml²，c为阻尼系数，g为重力加速度，α为角速度ω₀对应的角度，a为比例常数；

选择状态变量

x₃＝ω，并考虑系统未建模不确定性和外界扰动，则受控系统可用状态矢量表示为：

式中u_i(t)为要设计的有限时间控制器；

构建上式分数阶模型，取分数阶阶次q∈(0,1)，用D^q表示分数阶算子，则上式对应的分数阶数学模型为：

D^qx₁＝x₂+Δf₁(x)+d₁(t)+u₁(t)

D^qx₃＝(αcosx₁-F)/I-asinωt+Δf₃(x)+d₃(t)+u₃(t) (3)；

(2)根据分数阶微积分理论进行分数阶滑模面设计；

所述步骤(2)具体步骤如下：

设计分数阶滑模面；

s_i(t)＝D^q-1x_i+D^q-2(k_isgn(x_i)|x_i|^μ),μ∈(0,1) (4)

对分数阶滑模面求一阶导数可得；

到达滑模面后，有：

s_i(t)＝0，系统的状态为：

D^qx_i＝-D^q-1(k_isgn(x_i)|x_i|^μ) (6)；

(3)确定分数阶数学模型中未知参数的自适应更新律；

所述步骤(3)具体步骤如下：

未知参数自适应更新律设计，其特征包含以下几个方面

系统未知参数向量定义为：

δ₁＝[e,n²,e+g/l,b]^T

δ₂＝[α/I,F/I,a]^T (7)

系统(3)中未建模动态不确定性和外界扰动项上界未知：

|Δf_i(x)+d_i(t)|≤γ_i i＝1,2,3. (8)

未知参数自适应估计律设计为：

式中，

f₃(x)＝[cosx₁,-1,-sinωt]^T，ρ_i为正数；

(4)根据有限时间控制理论确定受控系统有限时间控制器；

所述步骤(4)具体步骤如下：

确定有限时间控制器：

(5)基于Lyapunov稳定理论验证分数阶被控系统的有限时间稳定性；

步骤(5)具体步骤如下：

基于Lyapunov稳定理论验证分数阶离心飞轮调速系统的有限时间稳定性；

滑模态有限时间收敛性可以通过选择如下Lyapunov函数来验证：

两端同时对时间t求一阶导数，可得：

其中能量函数满足式(12)的系统，其滑模态能在有限时间内收敛到零

接下来验证状态变量能够在有限时间内到达滑模面，选择Lyapunov函数如下所示：

为估计误差，对V₂(t)沿时间求一阶导数，可得：

根据所设计的有限时间控制器形式u_i(t)，结合对系统未知不确定项上界的假设和未知参数自适应估计律

上式可进一步变换为

上式中k＝min{k_i}，i＝1,2,3，定义

其中

易知V₂(t)≥V₂₁(t)，存在常数

使得

根据式(16)，可得；

求解可得

因此，当初始时间t₀＝0，可得系统状态可以在有限时间内到达滑模面，根据式(18)可得到达时间为

综上分析，趋近态和滑模态都是有限时间稳定，即整个控制阶段为有限时间稳定的，所提出的控制方案理论可行。

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